小數概念學習的相關研究

在九年一貫數學學習領域的數與量課程中，小數教材佔了極重要的地 位。小數很重要，但偏偏小數的概念卻是十分複雜，而學生在小數概念的學 習上也常遭遇困難，根據一些研究結果或評量報告，發現學生在小數學習方 面並不理想。以下將針對研究學生在小數知識的學習之相關文獻，分別整理 敘述於下：

艾如昀（1994）的研究以七種小數類型測量 61 位國小五年級學童，研 究結果發現：（1）在比較大小方面：學童在小數大小比較問題的正確率為 73%。學童錯誤的類型大致可以被歸納為整數法則與分數法則兩種，只有 55%

答題錯誤的學童符合 Resnick 等人（1989）之三種判斷小數大小的法則（整 數法則、分數法則、零法則），甚至還有許多學童是交互使用其他法則。同 時，他從各種小數題型犯錯的可能原因中做分析，發現都跟小數位值概念有 關係，顯示大部分學童的小數位值概念還不正確或不完整。（2）在分數與小 數相互轉換方面：大部分的學生在小數轉換成分數時，直接將小數點前後的 數字分別置於分子與分母的位置；在分數轉換成小數時，則將分子與分母置 於小數點的前後。顯示小數概念與分數概念缺乏良好的聯繫。（3）小數計算

方面：對小數計算規則不熟悉的學生人數隨著難度的增加而增加，而在計算 加減的錯誤率雖不高，但錯誤者以小數點未位對齊居多。研究結果發現，五 年級學童在小數類型中犯錯的原因，是由於學童對小數位數與數值大小知識 缺乏，因此，要幫助學生學習小數，最重要的是，先使學生對於小數的位數 和所代表位值大小間的關係有清楚的了解。若能加強此方面的學習，則能增 進學童在各種小數題目上的表現。

杜建台（1996）對四、五、六年級學生的研究發現：（1）學童十進位結 構理解的錯誤，例如 0.17 是 0 到 1 中間分成 20 格中的第 17 格，且年級越 低，對小數意義的理解越困難。且較熟悉用運算方式理解小數的十進位結構

（例如：0.1 與 1 的關係），但卻忽視概念性知識與理解性知識的獲得。（2）

有關小數數線表徵方式的表現情形：將數線分成十等份、不分等份、一百等 份、五等份以及八等份。結果發現學童對於小數與數線對應的理解的確有其 困難；學童最難理解的是分成八等份的數線。（3）年級越高越能正確反應小 數與數線對應的關係。（4）小數中有 0 的數字或有小數點存在時，會對學童 造成理解上的困難擾，以及學童會自己建構出錯誤的比較大小模式，並不只 有整數法則、分數法則以及零法則等三個法則。學生較不易理解純小數間的 大小次序及其關係，尤其是三個小數的相互比較。（5）學童在說出 0.2 和 0.3 之間的小數時僅有 44%的學童答對，顯見學童缺乏小數的稠密性觀念。

（6）讀二位小數時，易將小數點後的數字是視為整數來讀。

吳昭容（1996）以國小四、五、六年級共 356 名學童為研究對象，研究 結果發現在受試學童中所發生的錯誤多半與小數位值概念有關，而且更與整 數的位值概念有密切的關係。（1）在小數大小比較作業上：回答錯誤的學童 有 91%可歸類到三種錯誤類型中（整數法則、分數法則、零法則），此與 Sackur-Grisvard 和 Leonard、Resnick 等人的研究結果極為相近。另則學 生進行小數比較大小時，其使用法則發展順序，依序為：不管小數點的存在、

整數法則、零法則、分數法則、正確者；（2）在符號-指稱對象的連結，小 數學習可能需要分數經驗的前導，但符號-符號向度的連結，小數的學習可 能獨立於分數。（3）處理小數的位值概念有困難，且與整數位值概念有密切 關係。

陳永峰（1998）對六年級學生的研究結果發現：（1）傳統與實驗兩班級 在小數加減的計算皆表現不錯，在解題策略上，傳統班較單一化，實驗班較 多樣化。在計算規則上，傳統班只會運用，但實驗班還能說明其理由。（2）

學生在處理小數與分數的關係時，當分母是 10、100、1000 的情形下表現相 當不錯；但當分母是 5 或其它時，則有些困難。（3）在度量衡單位小數與複 名數換成單名數上，有的學生將小數點做為大單位與小單位的區隔，以傳統 班表現較不理想。（4）學生在「小數位值」方面的迷思概念為：學童將整數 的位名觀念移植在小數位名上。（5）在小數的比較大小時，實驗班有「0.6

＜0.54」及「0.3＞0.09＞0.385」錯誤類型，其可能受「整數法則」、「分數 法則」的錯誤概念影響。（6）處理小數的化聚問題較常用計算方法得到答案，

實驗班較常用單位小數的轉換概念。

劉曼麗（1998）在國小數學教學實踐知識的研究中發現，中年級學生常 犯的錯誤為：（1）在序數小數如遇進位容易出錯，如 0.9 後就 0.10。

（2）在比較小數大小時，有的認為小數點後的數字越多其值越大，但也有 的認為其值越小。或只比較小數部分而忽略整數的比較；小數比 0 小（3）

在轉換分數為小數時，會將分母當整數、分子當小數或分子當整數（例如：

2/5=5.2）、分母當小數（例如：2/5=2.5）、不管分母的數字，就直接把分子 拿來當成小數部分（例如：2/5=0.2）（4）在小數的化聚上，有的學生不清 楚小數與整數的關係、直接將個數放在小數點後面，如 36 個 0.1 是 0.36。

有的學生則是以小數點的位置來決定化聚的結果，如 3.2 化成小單位 0.1 時，直接拿掉 3.2 的「.」，又如將 36 個小單位 0.1 聚成 0.36 時，直接在 36 前面加上「0.」。（5）在小數的加減時，常犯的錯誤有：在小數點的概念 上有未對齊小數點；在 0 的概念上，只劃掉最末位的 0、小數點前面的 0 亦 省略、整數最前面的 0 多寫出來；在計算上，加法計算錯誤、進位錯誤、退 位錯誤、抄錯數字或符號、將不等位數的計算以等位數來計算。（6）在數線 上讀小數或標小數點時，會弄錯兩格之間的單位，例如：0.1 與 0.2 之間分 成十格時，不知每兩小格間代表的是 0.01。（7）在單名數轉換為複名數的 題目上，學童認為小數點前的數字代表大單位，小數點後的數字代表小單 位。例如 50.4 公升=50 公升+4 毫升或者 50.4 公升=50 公升+0.4 毫升。在複

名數轉換為單名數的題目上，學童知道答案中的數字ㄧ定與題目中的數字有 關，但無法判斷兩者的相對關係，故其答案內容僅含有題目出面過的數字，

但無法理解問題與答案間的相對關係。如：1 公尺 5 公分=（1.5）公尺或 3 公尺 7 公分=（3.7 公尺）。

劉曼麗（2001）在國小學生的小數知識研究中發現：國小四、五、六年 級的學生常犯的錯誤概念題部分有（1）學生直接將分子與分母當作整數與 小數部份或小數與整數部份。（2）學生會以小數位數的多寡來判斷小數大小。

劉曼麗（2003）在從小數符號的問題探討學生之小數概念知研究結果發 現：國小四、五、六年級多數學生的表現都不理想，學生因對於小數點左右 邊的數之意義掌握不夠，不易理解整數部分與非整數部分有何關聯，在圖像 表徵方面：四年級學生傾向將 a.b 由表面的形式直接轉換成圖像，如將小數 點左右兩邊的數視為兩個獨立的整數（a、b）；五、六年級則雖能透過分數 觀點看待小數，但在單位量的表示（分幾份與幾份）仍不清楚。在與分數的 雙向連結方面：各年級學生因不清楚小數點左右兩邊數字的關係，故易將小 數符號由表面形式直接轉換成分數符號（反之亦然），如將 a.b 化成

a b（或

a b

化成 a.b）。

吳金聰（1999）在國小三年級小數教學研究發現：（1）部分學生有以整 數位名代替小數位名命名的迷思。（2）引導學生以 0.1 為單位做大小比較，

可提升比較大小的運思層次。（3）以直尺的 10 等份特性畫數線，讓學生產 生量感有利數線教學。藉由教師或學生提出認知衝突問題並進行質疑辯證，

不但可以促使學生反思，也有益於迷思概念或錯誤做法的澄清。另外，讓學 生操作數學積木等的具體教學策略，有助於增進學生在小數教材的學習。

黃偉洲（2001）在其透過指示物活動來改進國小六年級學生小數概念的 個案研究發現：（1）透過指示物的分割與合成活動，有助於建立「1 與 0.1」、

「1 與 0.01」等被計數單位之間關係的概念。（2）透過指示物的做數活動有 助於建立小數化聚概念。（3）透過指示物的十進轉換活動有助於建立小數多 單位概念、小數大小的比較概念，其研究結果顯示出指示物活動的重要性及

功能。

陳文利（2001）在國小四年級學生小數迷思概念之研究結果發現：缺乏 討論或師生較無互動的教學方式、具體物的操作程度不夠、單一表徵化的教 學、缺乏位值概念的教學、數線引入技巧的不足等教學現象，都是可能造成 學生迷思概念的成因。

郭孟儒（2002）在其國小五年級學生小數迷思概念及其成因之研究結果 發現：（1）在分數轉換為小數上：學生普遍具有直接把分母（分子）當成整 數部份，而把分子（分母）當成小數部份；或是不管分母的數字，就直接把 分子拿來當成小數部份。（2）在小數轉換為分數上：學生普遍會因小數點後 2 個數字，就判斷小數轉換為分數後的分母為 10。（3）在小數大小比較上：

學生具有以整數的概念去解釋小數的概念，所以認為小數點後數值越大，其 值越大：從分數被分割的概念推論小數，所以學生認為小數位數越多會被分 割成的部份就越小，因此其值必定較小。（4）在小數的化聚上：學生普遍會 因不能區分 1 和 0.1 的不同而產生將相同單位名（個）視為相同單位的錯誤 概念，甚至學生會存有任何一個數乘以 0 點幾，答案就會變為 0 點幾的迷思。

（5）在單名數轉換為複名數上：學生會因為不了解小數點或單位互換的意

（5）在單名數轉換為複名數上：學生會因為不了解小數點或單位互換的意