II. 3《方圓算經》簡介與重要性
IV.2 圓充方與弧中截斜
，其中
，(其中 m-(2t-1) 0， )，其中 a 為面，m 為距數， 為周法，n 為角數，k 即為第 k 差，m 。348
IV.2 圓充方與弧中截斜
《方圓算經》第三卷名稱是「圓充方」，包含圓充方與弧中截斜兩部分。圓 充方(即圓內接正多邊形)包括求角面、求距面斜弦、求距面矢等於 IV.2.1 節討論。
弧中截斜包括求距斜矢、求距斜弦於 IV.2.2 節討論。
IV.2.1 圓充方
筆者按照圓充方的編排順序呈現求角面、求距面斜弦、求距面矢。現在筆者 將圓充方求角面的原術文置於左欄，而右欄是用現今數學符號說明。
原術文：
方圓算經 卷三 圓充方
第一、求角面
解曰：全圓之內充邊容方由圓徑以 求角面術也。
圓徑三段、如角數而一、為原數。
解曰：假如、圓徑一尺、充內 容十角、置徑、以三乘之、得三十寸、
為實、以角數十除之、得原數。
原數三寸
置角數冪一段、內減三十六、餘以 乘原數、為一差實、以角數冪二十四段 除之、得一差。
由陰率得逐差也、角數冪一百，內 減三十六、餘六十四、以乘原數、得一 百九十二寸、為一差實、以角數冪二十 四段得二千四百除之、得一差。
一差○寸○八
用現今數學符號的說明：
由圓內接正多邊形，利用圓直徑求角 面。
我們假設圓徑為 d，角數為 n。
原數= 。
假如圓徑 d 為 1 尺(即 10 寸)，角數 n 為 10，則原數=
=3 寸。
一差= 原數
各差數的除數由陰率得到，陰率即 2 3=6、4 5=20、6 7=42、…。經筆者觀 察，各差數的除數為四倍的陰率。
一差=
=0.08 寸。
348 此一般式參考孫成功，〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉，《第五屆漢字文化圈及近鄰地區 數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》第 77 頁的公式；徐澤林，《和算選粹》，頁 394。
131
132
133
134 9.510630263071 寸。
做到五差的二十角距三弦
135
，361其中 d 為圓直徑，m 為距數，
m ， 為距 m 面弦，n 為角數。
圖 IV.2-1《方圓算經》書影362 圖 IV.2-2 圓充方距面矢363 筆者將圓充方求距面矢的原術文置於左欄，而右欄是用現今數學符號說明。
原術文：
第三、求距面矢
解曰：距一面矢者、即角面外之小 矢也。距二面弦外之矢也。距三面矢 者、距三面弦上之矢也。距面矢皆仿於 此。
置圓徑、以距數冪九段乘之、以角 數冪四段除之、為原數。
解曰：假如圓徑一尺、充內容十 角、求距三面矢者、置徑，以距數冪九 段乘之、得九十寸、又以九段乘之、得
用現今數學符號說明：
距一面矢即距一面弦(就是角面)上的 矢，距二面矢即距二面弦上的矢，見圖 IV.2-2。
我們假設圓直徑為 d，距數為 m，角數 為 n。
原數=
。
假如圓直徑 d 為 1 尺(即 10 寸)，角數 n 為 10，距數 m 為 3。
361 徐澤林的《和算選粹》第 395 頁的求距面斜弦公式有誤，應校改成此公式。《第五屆漢字文化 圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》第 78 頁，孫成功的〈松永良弼《方 圓算經》中之級數論〉中有類似的求距面斜弦公式，但有錯，他的數學式也應改成此公式。
362 圖下載自 http://ref-ap.library.pref.chiba.lg.jp/gazou/gazou_frm_syosai.php?q=18438869&id=20。
363 圖 IV.2-2，引自徐澤林，《和算選粹》，頁 438。
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八百一十寸、為實、置角數、自乘、四 之、得四百、以除實、得原數。
原數二寸○二五
角數冪一段，內減距冪九段、餘以 乘原數、為一差實、以角數冪一十二段 除之、得一差。
角數冪一段得一百，內減距冪九段 得八十一、餘一十九、以乘原數、得三 十八寸四七五、為一差實、以角數冪一 十二段得一千二百除之、得一差。後仿 於此。
一差○寸○三二○六二五364 角數冪四段，內減距冪九段、餘以 乘一差、為二差實、以角數冪三十段除 之、得二差。
二差○寸○○三四○九三一 二五
角數冪九段，內減距冪九段、餘以 乘二差、為三差實、以角數冪五十六段 除之、得三差。
三差○寸○○○四九八六一 一九五三一二
角數冪一十六段，內減距冪九段、
餘以乘三差、為四差實、以角數冪九十 段除之、得四差。
四差○寸○○○○八四一五 四六一七四二
角數冪二十五段，內減距冪九段、
餘以乘四差、為伍差實、以角數冪一百 三十二段除之、得五差。
五差○寸○○○○一五四二 一九七一一七
遞推之，得逐差數、以疊加於原 數、得所求距矢。
十角距三矢、二寸○六一○七
十角距三弦的原數=
=2.025 寸。
一差= 原數
。
一差=
0.0320625 寸。
二差= 一差
。
0.0034093125 寸。
三差= 二差
。
0.00049861195312 寸。
四差= 三差
。
0.00008415461742 寸。
五差= 四差
。
0.00001542197117 寸。
繼續仿此得到逐差數，原數+一差+二 差+三差+四差+五差+…=距面矢。
364 徐澤林的《和算選粹》第 439 頁寫「○寸三二○六二五」，經筆者上下文對照後發現有誤，故 校改之為「○寸○三二○六二五」。
137
○○○一○四一365 做到五差的十角距三矢
2.061070001041 寸。
整理求距面矢術文的說明，距面矢=原數+一差+二差+三差+四差+五差+…，
367 圖下載自 http://ref-ap.library.pref.chiba.lg.jp/gazou/gazou_frm_syosai.php?q=18438869&id=20。
368 圖 IV.2-4，引自徐澤林，《和算選粹》，頁 440。
138
139
0.000368050176 寸。
四差= 三差
0.00005116715335 寸。
五差= 四差
。
0.00000764096156 寸。
繼續仿此得到逐差數，原數+一差+二 差+三差+四差+五差+…=距斜矢。
做到五差的五斜距三矢 0.7541287462909 寸。
整理求距面矢術文的說明，距面矢=原數+一差+二差+三差+四差+五差+…，
140
0.00981467136 寸。
四差= 三差
算經》中之級數論〉中有類似的求距斜矢公式，但有錯，他的數學式也應改成此公式。
141
0.00170557177856 寸。
五差= 四差
。
0.00030563846271 寸。
繼續仿此，求逐差數，原數+一差+二 差+三差+四差+五差+…=距斜弦。
做到五差的五斜距三弦 5.281063641601 寸。
整理求距斜弦術文的說明，距斜弦=原數+一差+二差+三差+四差+五差+…，