松永良弼《方圓算經》之內容分析

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生. 博士. 陳創義. 博士. 松永良弼《方圓算經》之內容分析. 研究生：王燕華撰. 中華民國一百零一年六月.

(2) 謝誌首先，非常感謝指導教授洪萬生教授，帶領我學習數學史知識，耐心地啟發我從不同的角度思考，細心地指導我完成論文。這段時間跟著寬容博雅的洪老師學習，讓我獲益良多，真的非常謝謝洪老師！接著，我還要感謝兩位口試委員，陳創義教授與林炎全教授的耐心指教，並提供本論文寶貴的建議，讓本論文更加完善！其次，我要感謝謝世峰教授在本論文無窮級數收斂速度驗證方面的指教與幫忙，讓我能理解收斂速度並做判斷！然後，我要感謝碩士班吳冠儒同學(「數值分析」助教)在 matlab 方面的幫忙，使我能學會用 matlab 計算與畫圖！就讀碩班期間，參與數學史文本讀書會，學習中國的《九章算術》、西方的《幾何原本》、日本和算家的數學史文本，能順利學習這些古代數學史文本，要感謝數學史團隊夥伴的協助，特別是俊瑋學長、耀仁學長、建宏學長、裕仁等團隊夥伴。此外，我還要謝謝除前述以外的數學史團隊夥伴們：俊鴻學長、家銘學長、瑜君學姊、雅茵學姊、珮瑜學姊、美杏學姊、典蔚學長、傑成學長、宜瑾學姐、美倫等。真的好感謝數學史團隊夥伴們在本人學業、論文以及生活中提供的協助！再次，我要感謝碩班求學期間，除上述以外曾教導我的師長們：朱亮儒教授、曹博盛教授、左台益教授、謝豐瑞教授、金鈐教授、楊凱林教授等，非常謝謝教授們的教導！另外，我要感謝除上述以外曾協助我的研究所助教、學長姐、同學、學弟妹，特別是政德助教、佳叡助教、健恆學姊、湘媛學姊、淑華學姊、淑貞、乃瑜、玟妤學妹等。最後，我要感謝家人對我的照顧、支持、關心與鼓勵，讓我能專注於研究並完成論文！在此，由衷地感謝這一路上陪伴我成長與協助我的師長、同儕夥伴與家人！王燕華一百零一年七月.

(3) 摘要關鍵字：和算、圓理、方圓算經、松永良弼。《方圓算經》於 1739 年成書。當時日本社會在德川幕府封建統治下，呈現統一和平的風貌，產業、教育、文藝等十分繁盛，日本學術界稱此時期為「文藝復興」。當時各種藝道不僅讓上層社會接受，也為下層庶民所分享，如茶道、花道、劍道、武道等。其中和算被視為「算道」，以藝道的形式生存與發展，因而數學流派林立，名家輩出。當時和算還有一些獨特的現象，例如家元—免許制、遺題繼承、算額等。在關孝和與建部賢弘等江戶初期和算家的開拓下，和算改變江戶初期實用算術的風格，學術性、藝道性日益增強，而呈現脫離中國數學知識體系而獨步發展之態勢。江戶初期和算家的數學成果奠定了整個江戶時代和算的基礎。松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744)是關流第二代宗統傳人，對和算與關流貢獻良多。筆者在貼近當時的社會歷史脈絡下，詮釋和算史實，全面深入分析《方圓算經》。《方圓算經》共五卷，卷首闡述抒發數學哲理與啟發，松永接著以抽象的陰率、陽率、應率、唱率與太陰率等率，融入其後四卷的無窮級數公式，包含圓周長、弧背、矢、弦、弧田積、角中徑、距面斜弦、平中徑、角面、距面矢、利用太陰率推導方垛積等三十個公式。概括之，《方圓算經》談論圓、正多邊形以及兩者所形成的數學內容。分析《方圓算經》的內容，發現松永承襲先人的數學成果並拓廣、突破與創新。本書可以說是松永最突出的作品。在這本書中，松永充分展現他的數學思想，精益求精的計算能力，以及不斷提升「算道」的風格。.

(4) 目錄第 I 章、導論 I.1 研究動機與問題 I.2 研究回顧 I.3 研究限制 I.4 研究取向. 1 1 2 6 6. 第 II 章、松永良弼與《方圓算經》的歷史脈絡. 8. II.1《方圓算經》成書時代背景 II.2《方圓算經》的作者 II.3《方圓算經》簡介與重要性. 8 20 32. II.4 結語. 41. 第 III 章、《方圓算經》內容分析(上) III.1 率引與太陰率 III.2 圓率. 43 43 63. III.3 弧背率 III.4 總結. 74 103. 第 IV 章、《方圓算經》內容分析(下). 108. IV.1 方率與捷術. 110. IV.2 圓充方與弧中截斜 IV.3 捷術補、捷術立表、圓充方立表 IV.4 綜合分析與總結. 130 141 162. 第 V 章、總結論. 173. 附錄. 175. 附錄一附錄二附錄三. 175 180 181. 附錄四. 190. 參考文獻. 195.

(5) 第 I 章、導論 I.1 研究動機與問題日本江戶時代 (西元 1603 年至 1867 年)，德川家康建立幕府實行封建制度。 17 世紀中葉至 18 世紀初，是幕府封建文化最繁榮的時期，被稱作「元祿文化」。在幕府的封建制度下，呈現統一和平的風貌，當時城市、交通、產業、印刷術、教育等都相當繁盛。幕府積極實行文治政策，庶民與商人階層得以愛好學問與藝術文化。江戶時代中期各學藝臻於成熟並普及到社會各階層，如圍棋、茶道、花道、劍道、武道、和歌等，和算被視為「算道」，與各種藝道一樣是一門游藝。各式各樣的藝道，集消遣、娛樂、智慧、藝術為一體，都讓上層社會接受，也是下層庶民的文化生活享受之道。當時各類名家如林，有小說家、俳人、儒者、天文曆學家等，而和算也是元祿文化之一。1 1673 至 1763 年，可說是和算史上的黃金時期，數學名家輩出，門派如雨後春筍般不斷成長，關孝和(Seki Takakazu，約 1642～1708 年)為首的關流數學被視為當時的主要流派。當時和算改變江戶初期實用算術的風格，學術性、技藝性日益增強，創造豐富的成果，呈現脫離中國數學知識體系而獨步發展之態勢，奠定整個江戶時代和算的基礎。18 世紀 30 年代至 18 世紀末，和算繼續蓬勃發展。2 松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744) 是關流第二代宗統傳人，3是一位具有代表性的和算家。松永一生著述豐富，在他眾多數學著述中只有《方圓算經》是以「算經」命名。對照中國古代的數學書籍，由中國唐初李淳風等奉敕註釋漢唐間著名的十部數學書籍為例，《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《數術記遺》、 4 《夏侯陽算經》等數學著作，這重要的十本書籍中有七本以「算經」命名。此外，在中國學術傳統中，「經」是學術中心、學術權威、學術正統；「經」是學問的典範；「經」是肯定學問之經典地位的冠冕。5如此說來，以「算經」命名能突顯數學著作的重要，那麼，松永良弼將《方圓算經》這本書冠以「算經」為書名，很可能是要傳達《方圓算經》這本書具有重要的價值。徐澤林表示，和算最核心. 1. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21~36；也參考林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 107。 2 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 306~309；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21~29。 3 宗統是整個門派中掌管整個組織的最高掌權人，類似於武俠小說中門派的掌門人。 4 參考李兆華，《中國數學史》，頁 100~103。 5 參考張壽安，〈從六經到二十一經 — 十九世紀經學的知識擴張與典範轉移〉，《學海》，總第 127 期，頁 146-163。 1.

(6) 的內容是圓理，6和算成就中最值得稱道的也是圓理。7徐澤林還表示，《方圓算經》含圓理領域的研究成果，是和算關於圓理研究的重要著述，也是松永數學業績中最突出的著作。8 因此，《方圓算經》是一部值得深入研究的數學著作。筆者希望針對這本書做全面的研究，對此書在和算發展上的角色能有更好的瞭解。筆者希望在本篇碩士論文中討論以下這些問題： (1) 松永良弼被視為關流第二代宗統傳人，他對關流流派的制度做了什麼貢獻？ (2) 松永在關孝和、建部賢弘等人的數學基礎上，在《方圓算經》中對圓理做了哪些貢獻？《方圓算經》中有哪些數學成果？ I.2 研究回顧筆者將有關松永良弼《方圓算經》考證分析的研究著作分成三大類，就所得的相關資料做一概述與評論。第一類是關於松永良弼的生平資料與歷史背景、當時的數學知識與社會文化等。以下是相關的參考文獻： (1) 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年。 (2) 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：科學出版社，2009 年。 (3) 孫成功，〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉，《第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》，2002 年。 (4) 烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年。 (5) 城地茂，《改訂再版日本數理文化交流史》，臺北市：致良出版社，2009 年。 (6) 林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，台北縣: 國立空中大學出版，1992 年。 (7) (日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，北京：商務印書館出版，1992 年。 (8) 遠藤寬子作；周若珍譯，《算法少女》，臺北市：小知堂社，2009 年。 (9) Hirabayashi, I. (2006).A Traditional Aspect of Mathematics Education in Japan: Mathematics as GEI (art), its JUTSU (technique) and DO (way)In Leung, F.K.S.,Graf, K.D. and Lopez-Real, F.J. (Eds.) , Mathematics Education in 6. 圓理類似於西方微積分算法，主要解決曲線、曲面求積的計算問題。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 23。 7 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 23。 8 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 392。 2.

(7) DifferentCultural Traditions: A Comparative Study of East Asia and the West. Springer,pp.51-64。 (10) 馮立昇，《中日數學關係史》，山東：山東教育出版社，2009 年。 (11) 蘇意雯，〈遺題承繼，串起中日代數史〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 172~182。 (12) 蘇意雯，〈探索日本寺廟的繪馬數學〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 184~192。 (13) 蘇意雯，〈天元術 V.S.點竄術〉，《HPM 通訊》，第 3 卷第 2/3 期，頁 2~6。 (14) 曹亮吉〈和算-日本的傳統數學(一)〉，《科學月刊》，第 18 卷第二期。 (15) 吳偉明，《易學對德川日本的影響》，香港 : 中文大學出版社，2009 年。著作中，第1篇和第2篇，論述非常廣泛，不僅簡要地介紹和算的發展歷史，還收錄不同流派多位和算家的主要數學著作。雖然有關松永良弼的介紹較像是呈現初步收集到的資料，但其與松永良弼有關的生平資料與歷史背景、社會文化卻是在這15篇中資料最多的，筆者由第1、2篇中對松永有了概略的認識。第3篇是針對松永良弼《方圓算經》的論文，關於松永的簡介十分簡略，可以讓人快速瀏覽，但卻缺漏了許多內容，像是薪俸、著作缺少、數學研究與成就、對關流免許狀的貢獻等等。此外，孫成功簡要地敘述到關於和算圓理的背景，雖然精簡，卻描繪出圓理發展的輪廓，提供筆者關於和算圓理演進脈絡的瞭解。第4篇主要是從社會文化面向探討和算發展歷史，概略地介紹整個和算的發展與社會文化。第 4篇沒有聚焦在某個時期或者某位數學家，當然也沒有針對某本數學著作，與松永相關的資料都被打散後都穿插在不同的章節或者章節中的某段的一兩句話而已。然而因為論述廣泛的範圍，倒也讓筆者對整個和算以藝道化形式發展、免許狀制度等有更多深入的認識。第5篇主要是關於關孝和的研究，松永良弼只是相關的配角，最多被一兩句話敘述而已。第6、7篇呈現了江戶時期的歷史背景。第 8篇，呈現了當時和算發展的環境以及感受到和算流派間競爭的緊張氛圍。第9 篇，清楚簡單地解釋江戶時期和算家做數學問題的態度，對於算學以藝道化的形式發展和存在有深入淺出的體悟。第10篇對中國與日本數學關係從古代到近代的歷史進行系統的考察和研究，以中日兩國數學交流及其相互影響為中心，依據中日數學的內容與特點，分成古代、宋元明時期、江戶時期及近世(二十世紀前期) 等五個時期來分別撰寫中日數學關係歷史發展及交流。論數相當廣泛，關於松永良弼的資料被打散在各章節中的某小段裡中。第11、12、13、14篇與當時的數學知識與社會文化有關，這四篇對和算的數學本身、社會文化等做深入淺出的介紹。第15篇講述儒學對日本政治經濟文化思想等不同面向的影響，給出數據以及資料等證明德川幕府實行儒教政策下，儒學作品中以易學在江戶時期最為風行，當時各行各業的文化人都將易學思想消化吸收後融入到自己的傳統藝道中，讓筆者認識到可以從中國宋明理學思想去體會松永良弼的想法。. 3.

(8) 第二類是近人對《方圓算經》文本內容的考證著作。筆者得到的資料如下： (1) 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年。 (2) 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：科學出版社，2009 年。 (3) 孫成功，〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉，《第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》，2002 年。第 1、2 篇，徐澤林這兩份資料收錄了許多和算家的論述。其中和算家松永良弼的《方圓算經》部分，徐澤林按照《方圓算經》文本內容的先後順序謄抄整理與做初步的解讀研究。他只做少數簡單地註解與給出二十個數學式子，沒有詳細深入地探討數學文本內容，二十個數學式子中共六個有誤，其中有四個要再調整，兩個數學式子錯誤，文本解讀錯誤。徐澤林謄抄整理的《方圓算經》文本內容不少地方有筆誤需要再校正，徐澤林對《方圓算經》文本的勘誤中，有些地方勘誤錯誤。徐澤林這兩份資料雖然有些缺漏，但是他廣泛地收錄諸多和算著作，讓筆者可以對松永良弼《方圓算經》有初步的認識。徐澤林以專書的方式出版資料，其包含松永良弼的一些數學著作是筆者分析《方圓算經》時主要使用的資料。第 3 篇，孫成功是針對松永良弼《方圓算經》中級數的論述，未完全收錄《方圓算經》全部的內容，缺少了卷尾中的兩個部分。另外，孫成功沒有按照《方圓算經》的順序呈現數學文本內容，他將《方圓算經》依照內容抽出來重新整理安排。他以現代的數學符號寫出《方圓算經》中級數展開式，未進一步對級數公式做討論與評判。孫成功對《方圓算經》中級數公式中有兩個解讀錯誤，另外，整理出來的數學式子，有五個需要調整才會對，還有做數學式子的推導時有四個式子錯誤。孫成功對松永的級數式子推論太過度，例如論文中經常用現今的三角函數做推論，此種以今衡古的輝格式詮釋(Whiggish interpretation)松永良弼《方圓算經》的數學想法，另外，孫成功於文章最後一部分，以松永在《方圓算經》卷首的「率引」中闡述的象數學概念來簡單陳述松永的數學想法。又例如孫成功根據當時已知無窮級數的開方、乘除、反演方法，就直接說出松永級數公式間互相推導的關係，寫下過度推衍的結論。儘管這兩位近代學者考證分析的著作中，數學內容有些錯誤，但還是讓我們對《方圓算經》有初步認識，讓筆者對松永良弼《方圓算經》基本輪廓有所了解。總之，以上這些關於《方圓算經》的研究分析文獻，都只是將漢文寫成現今的數學符號，探討表層的部分，且未做全面的探究，對於松永《方圓算經》中的數學，沒有從當時日本數學實際發展的情況下探討。第三類是與《方圓算經》文本特定主題或內容相關的研究著作，對於本論文撰寫某特定的主題內容時，提供參考的證據資料與相關的比較，以下就筆者得到的文獻，做概略說明： (1) 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年。 4.

(9) (2) 徐澤林，《和算選粹補編》，北京：科學出版社，2009 年。 (3) 李儼、錢寶琮，〈三角函數展開式的研究〉，《科學史全集第五卷》，瀋陽市：遼寧教育出版社，1998 年。 (4) 李儼、錢寶琮，〈中算家之級數論〉，《科學史全集第六卷》，瀋陽市：遼寧教育出版社，1998 年。 (5) 李儼、錢寶琮，〈中國算書中之周率研究〉，《科學史全集第九卷》，瀋陽市：遼寧教育出版社，1998 年。 (6) 李儼、錢寶琮，〈從中算家的割圓術看和算家的圓理和角術〉，《科學史全集第十卷》，瀋陽市：遼寧教育出版社，1998 年。 (7) 劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，台北：臺灣師範大學數學系所碩士論文，2011 年。 (8) 澤田吾一，《日本數學史講話》，東京市：刀江書院出版，1929 年。 (9) 遠藤利貞，《日本數學史》，東京市：岩波書店出版，1918 年。 (10) 郭書春，《中國古代數學》，台北市：台灣商務印書館，1994 年。以上這些參考文獻中，第1、2篇，徐澤林的著作收錄多位和算家的多本數學著述，其中像是《綴術算經》(建部賢弘著)、《算法綴術草》(松永良弼著)、《方圓雜算》(松永良弼著)、《圓周率》(松永良弼著)、《太陰率》(松永良弼著)、《算俎》(村松茂清著)、《宅間流圓理》(宅間流的鐮田俊清著)等，徐澤林都有對收錄的各著作做著述，也就是給出漢文並簡要地寫出註解和概述。第3、4、5、6篇，李儼、錢寶琮從數學知識本身出發探討數學內容。第3篇，討論中國清代數學家明安圖、董祐誠等人對三角函數的冪級數展開式的研究成果，他們是以幾何線段的連比例關係為依據去求得級數的各項係數。第4篇，整理了中國古代算學家的級數論結果。第5篇，整理了中國古代算學家求圓周率地成果。第6篇，整理出中日算書圓周率的計算、角術、杜氏九術等，其中列出松永《方圓算經》的九個無窮級數公式，并對照出有四個公式與杜氏九術相同，僅此而已，未對松永的無窮級數公式做深入探討。第7篇，主要是針對關孝和《括要算法》做文本分析，提供筆者參考的證據資料與《方圓算經》相關的比較。第8、9篇，澤田吾一的《日本數學史講話》與遠藤利貞的《日本數學史》皆以日文著述，提供豐富的日本數學史參考資料。第10篇，簡潔精要地給出中國古代數學內容的基本面貌。綜合以上文獻回顧的討論，筆者總結成以下幾點： (1) 關於松永良弼生平資料方面的研究，徐澤林著墨最多，孫成功撰述次多，兩者簡略的撰述能提供我們初步的了解，但是他們的撰述多有雷同，因此，我們對於松永的認識仍然有限。其他關於松永生平資料的文獻就更零碎，筆者從零碎的資料中蒐尋資料加以整理，發現生年、家族背景等更細微的情形仍無詳可考。 5.

(10) (2) 關於《方圓算經》數學文本內容方面的研究，徐澤林按照文本順序整理並以現代符號列出文本的數學式子，有些數學式子有誤需再修正，他未做評論以及未全面深入地研究。孫成功用現代符號列出文本的數學式子，他將文本相同的數學內容主題整理到一起，使用現代數學的三角函數做了過度的推論，輝格式詮釋，以今衡古地思考，未在算學文本當時日本數學實際發展情況的脈絡下做全面性深入研究。 (3) 《方圓算經》中的無窮級數公式，有些在不同時期其他和算家的著作中有出現，有些在中國古代算學家們的著作中有出現，有些在西方數學家們的數學成果中有出現，在李儼、錢寶琮的《科學史全集》第五、六、九、十卷中，皆有討論過無窮級數的文章。可見《方圓算經》中的無窮級數公式值得注意，但很可惜的是，這麼多的文章都僅列出數學公式，沒有深入探討與比較數學方法。 I.3 研究限制松永良弼的生平資料很少且零碎，而日文書籍取得又不易，即使搜尋到資料，由於筆者不深諳日文而不易解讀，即便有懂日文的朋友，也不具備數學方面的專長。為不影響讀者對原文意思的閱讀，在部分原文的引述筆者以日文原文引述。松永《方圓算經》使用象數易學闡述數的想法，這可能對他的數學有所啟發。筆者掌握到的線索是它的確與中國宋明理學相關，但宋明理學實在是非常深奧，筆者以往沒有學習過象數易學，現在為了解讀松永良弼的想法，研讀了象數易學相關書籍，還是只能了解皮毛而已所以沒辦法解讀與處理。另一方面，研讀近代學者徐澤林與孫成功對於《方圓算經》此部分的分析研究，筆者認為松永良弼在卷首使用象數易學闡述數的想法等哲學範疇的易學思想，與我們要分析的《方圓算經》文本數學內容無關。因此，本論文不著眼於考證象數易學的內容，松永良弼使用象數易學闡述數的想法有待進一步考察。最後是松永良弼《方圓算經》的公式都沒有給推導過程。筆者參考眾多相關的數學文本，從這些數學內容中找尋線索資料，來對松永良弼級數公式適當地解讀，並理解其數學想法。相關的數學文本包括關流的關孝和與建部賢弘相關數學著作、久留島義太的相關數學著作、宅間流的相關數學著作，以及松永良弼數學著作中與《方圓算經》相關的內容。筆者在當時日本數學實際發展的情況下，依據找到的線索來詮釋，但筆者不能保證可以忠實還原松永的想法。 I.4 研究取向在本論文中，筆者全面且深入地探討松永良弼《方圓算經》， (一)用現代數 6.

(11) 學符號清楚地寫出文本內容，展現《方圓算經》數學成果的形式；(二)深入全面地探討《方圓算經》數學內容的想法，顧慮當時和算發展的脈絡來詮釋歷史事實； (三)探討《方圓算經》的方法論與特色。筆者從松永與《方圓算經》相關的著作以及當時其他和算家的研究切入，企圖理解松永可能的想法。雖然不能保證還原松永的做法，但比用現代數學方法更貼近歷史事實。另外，適時地站在現代數學的高度，由具體的數學對照，理解松永數學可能的原因。儘管不盡然符合史實，但這樣能使我們理解松永可能的想法。筆者對《方圓算經》做全面深入分析，在貼近當時的社會歷史脈絡下，詮釋歷史事實，希望對和算發展史中，此書的貢獻，有更佳的理解。本論文各章節的安排如下：第 II 章是《方圓算經》成書時代背景、《方圓算經》作者，《方圓算經》簡介與重要性。第 III、IV 章詳細分析與討論《方圓算經》文本內容。III.1 節介紹卷首「率引」，「率引」中包含太陰率，而松永在卷尾重覆太陰率內容另增加太陰率之解方垛，基於方便說明，故呈現「率引」太陰率後，隨即呈現卷尾太陰率於 III.1 節。III.2 節分析第一卷的「圓率」包含周數冪與周數級數展開式，III.3 節分析第一卷的「弧背率」包含弧背冪、弧背、求矢、求弦、求弓形積等級數展開式。在 III.4 節對第 III 章做總結。IV.1 節分析第二卷「方率」，包含方率與捷術。方率含角中徑冪、角中徑、距面斜弦等級數展開式；捷術含角中徑、平中徑、距面弦等等級數展開式。IV.2 節分析第三卷「圓充方」，包括圓充方與弧中截斜。圓充方討論角面、距面斜弦、距面矢等級數展開式；弧中截斜討論距斜矢、距斜弦級數展開式。IV.3 節分析卷尾的「捷術補、捷術立表、圓充方立表」。IV.4 節對第 IV 章做綜合分析與總節。論文第 V 章提出本碩士論文的總結論。. 7.

(12) 第 II 章、松永良弼與《方圓算經》的歷史脈絡松永良弼(1692？~1744)所處的年代是江戶時代中期，9經歷日本封建文化最繁榮的時期 — 元祿文化。10和算在此時空環境中有極大的發展。11我們要在第 II.1 節討論《方圓算經》成書時代背景；在第 II.2 節討論《方圓算經》的作者松永良弼，從政治、經濟、社會、文化、教育、學術傳統、算學發展等脈絡來瞭解歷史概況；第 II.3 節簡介《方圓算經》及此書的重要性，第 II.4 節總結本章。 II.1《方圓算經》成書時代背景《方圓算經》的成書時間是元文四年閏十月，即西元 1739 年。現在從當時的政治經濟與社會文化背景等歷史脈絡，來瞭解和算的發展情形，以及深入探討成書年代算學知識發展的概況。 II.1.1 政治經濟背景西元 1603 年德川家康(1542~1616)在日本江戶(今東京)設立幕府，進入江戶時代。德川建立中央集權的「幕藩體制」12，幕府以完善的封建制度統治。在人事方面，分為將軍、大名、武士、農、工、商等階級，武士還分為直屬武士和非直屬武士。直屬武士是直屬德川將軍家，俸祿在一萬石以下的武士。農、工、商都有固定的身分，屬於不同階級。所有的身分再細分為各種階層並有穩固的主從關係。德川被封為征夷大將軍，其他領主須臣服將軍，領主有自己的領地並且能在領地內徵稅、行政、立法、司法等，領主在領土內的統治相當於治理一個國家，另一方面，他們受幕府監督並對將軍履行義務。領有一萬石以上祿米，臣服於將軍的封建領主叫做大名。幕府利用參覲交替制度管控大名。13幕府最高官職為大老(非常設職)，非常時期由眾老中裡產生，統籌事務，而老中總攬幕府的政務，若年寄則是輔佐老中，其次的重要官職寺社奉行(管寺院和神社及其領地的人民)、町奉行(管理江戶城內的行政、司法)和戡定奉行(管幕府直轄領地內的行政、司法、負責金銀米的出納)三個奉行，以及大目付(隸屬於老中，負責監督大名和老中) 9. 江戶時代是西元 1603 年至 1867 年。日本 17 世紀中葉至 18 世紀初，被稱作「元祿文化」，此時期的文化發展繁榮，被日本學術界稱作「文藝復興」。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21、29、391。 11 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21、29、391。 12 幕藩體制的藩是指領主在領內的統治機構，幕是幕府，這種封建國家機構就叫做「幕藩體制」。參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 281。 13 參覲交替是在慶長年間就有的的制度，但到寬永 12 年(1635 年)在武家諸法度中才制度化。參覲交替規定大名在一定時間內輪流居住江戶與自己的領地。參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 282。 8 10.

(13) 和目付(隸屬於若年寄，負責城中秩序和監督直屬武士)。幕府藉著強大的實力與巧妙的策略強制推行，依賴土地分封的統治權與社會階層間固定的秩序，來維持封建制度。14圖 II.1-1 是幕府體制組織圖。. 將軍 (幕府). 大名. 大老非常設職. 臣服於將軍的領主(藩). 老中. 若年寄. 總攬幕府的政務. 寺社奉行. 輔佐老中. 町奉行. 管寺院神社及其領地的人民. 管理江戶城內的行政、司法. 戡定奉行. 大目付. 管幕府直轄領地內的行政、司法、負責金銀米的出納. 目付隸屬於若年寄，負責城中秩序和監督直屬武士. 隸屬於老中，負責監督大名和老中. 圖 II.1-1 幕府體制組織圖從圖 II.1-1 看到幕府有需要數學能力的工作，即戡定奉行。關流始祖—關孝和就曾擔任過江戶幕府的戡定吟味，類似今日會計的審計工作。15 德川幕府建立封建制度後，雖實行鎖國，卻非常積極地吸收中國的文化。16幕府選擇漢文化的儒家朱子學說作為官方意識型態，而對西方基督教採取嚴厲的禁教政策。也許是儒家宣揚君臣父子倫理及士大夫的統治形式，對於要鞏固統治地位以及要維護幕府主從制(將軍—大名—武士—農、工、商)幕府來說，是有效的統治形式，所以對於外文化以吸收漢文化為主。17 日本在江戶初期完成日本史上的第一次修曆，1685 年頒行《貞享曆》，幕府設立天文方，第一任天文方為澀川春海。當時天文方以家學形式傳承，江戶後期， 14. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 13；(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 281、285。 15 參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 22。 16 當時有八千多種漢籍輸入。參考林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 506。 17 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 13；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 39、44。 9.

(14) 幕府才於官學中設立實用數學知識教育，主要是珠算。幕府有設普請役(專門負責土木工程，關孝和曾任此職)，沒有設專門算學機構，天文方下也未設立算學職位。《貞享曆》頒行 32 年後，天象與曆日出現不合，八代將軍吉宗希望改曆，頒布緩禁令，允許西洋曆算學書輸入日本，命建部賢弘(Takebe Katahiro)為曆學顧問，西川如見(1648~1724)、中根元圭(Nakane Genkei)等協助改曆。雖然後來因為出現改革與保守兩派的對立，導致改曆工作沒有結果，但是，改曆的推行對數學知識的進步有幫助。松永也與曆法有著不解之緣。享保二十年(1735 年)完成天文學書籍《天經或問發揮》。18 1651 至 1716 年間，德川第四代到第七代幕府，展開禮教文化政治，諸任將軍好學篤信忠孝倫理之道。禮教文化政治緩和幕府初期的武力殺伐，促進社會的和平和安定，卻促使武士怠惰而增加經濟困難。當時經濟情況發生轉變，自然經濟轉變成商品經濟，19進而提高了商人的實力與地位。20 在 17 世紀中葉至 18 世紀初期間，德川的幕藩體制穩定下來，社會生產力和經濟有很大的發展，除江戶、大阪、京都等大城市外，稱作「城下町」的封建城鎮遍及全國。城下町聚集許多從事手工業和從事商業的市民階層「町人」，此時經濟繁榮，庶民化的町人文化成為江戶文化主流，過去貴族或上層階級所能享受的知識、藝能等，當時滲透到普通民眾中，經濟的繁榮為和算提供便利條件。21 當時實行兵農分離，武士離開土地，成為居住在城市四周的純粹消費者。武士聚集城下町，大多用米換錢做消費。據坂本太郎的資料，從享保初年(1716 年) 起連年豐收，米價暴跌，當時靠米生活的武士和農民就過得很苦的生活，幕府因而採取種種辦法，意圖提高米價，德川吉宗聽信米價下跌是因市場金銀數量流通短缺，他在元文元年(1736 年)鑄造並發行大量銅錢與鐵錢，這樣雖然使米價上升，但各種物價也都一起漲價，引起社會通貨膨脹。此外，武士收入固定但在大都市江戶的生活豪奢，而陷入入不敷出的生活窘境。當時武士們兼營其它被禁的商業或手工業，甚至賣刀劍等來增加收入。有些懂數學的武士就發揮自己的一技之長來維持生計，這與和算發展有關係(於 II.1.2 節詳細討論箇中緣由)。22 18. 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 73、82~83、144；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 30、390，參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 166。 19 自然經濟較像自給自足的模式；商品經濟則是從勞動中分離出手工業，即專業分工的情形，生產了許多產品，進一步會產生商人這個角色作為交易的媒介。由於不影響本論文故不多做探討，有興趣想要深入理解的讀者可以參考經濟學發展相關的書籍。 20 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 292~296；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 73；林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 107。 21 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 292~296；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 73；林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 107。 22 參考林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 110。 10.

(15) 總之，幕府建立穩定的政治秩序，社會經濟日趨繁榮興盛，普通民眾有機會接觸知識與藝能。德川實施鎖國，吸收漢文化。八代將軍吉宗喜好天文曆算學，頒布緩解令與推行改曆，鬆綁書籍傳入的限制。所有這些政治經濟背景，都提供和算發展的環境。 II.1.2 社會文化背景在社會方面，由於幕府帶來國內統一與和平，城市興旺、交通發達、貨幣流通、以及產業繁榮。此外，由於德川幕府積極的文治政策，當時發達的印刷術使書籍得以普及。長期以來文化、藝術被上層階級的貴族和上等武士階層壟斷，此時市民經濟實力成長發生轉變，社會大眾熱衷於學習藝能，町人文化崛起並成為江戶文化的主流。茶道、花道等被上層社會視為消遣娛樂有智慧與藝術性質，當時也成為一般民眾所享受。Hirabayashi, I.指出，學習「藝」是為了有趣，使生活更快樂，或在社會上有更好的名聲。在這種氛圍中，各種藝能得到提升並臻於成熟，這時和算也演變成為藝道化的算學。(關於算學的藝道化等內容，請參閱 II.1.3.3)。町人成為江戶中期日本文化的主要創造者，以描寫町人生活為題材的小說、詩歌、版畫、繪畫、戲曲等十分流行，町人文化帶來各類專門的學藝發展。日本學術界稱之為「文藝復興」。此時文藝繁榮，各類名家如林，如小說家、俳人、儒者、天文曆學家、和算家等。23 教育方面，德川施行文治政策，當時禮教文化方面達於鼎盛，教育很普及，各地興辦寺子屋、24藩校、25學藝道場，庶民得以學習識字、誦讀、學習算術知識等。據徐澤林的資料，江戶時代幕府直轄之學校約 20 多所，藩校有 200 多所，寺子屋最盛時期多達 15000 多所，幾乎所有城鄉都有。師匠(今教師)來源包含浪人、武士、町人、書家、醫生、神官、僧侶以及女人等，教育包含儒學、算學等。算學教育內容以《塵劫記》等實用算學與珠算為主。當時和算私塾也叫算學道場，很多和算家以開設私塾教授算學維生，例如荒木村英曾在市井中開設私塾。當然當時還有其它的專門學藝私塾，但與本論文無關，故不探討。26. 23. 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 296、318；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21。 24 從鐮倉時代開始，寺院兼作教育機構，吸收武士和平民子弟接受初等教育，其學生叫做「寺子」。室町末期開始，隨著町人階層的發展，學生都是平民子弟。到了德川時代，儒家、浪人、武士、女人、醫者、神官、僧侶等均設師塾。註腳引自徐澤林，《和算選粹》，頁 21。 25 藩校以教育藩士子弟為主，有的也允許平民入學。參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 334。 26. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁21、53；烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模. 式》，頁51~54、72~73；也參考Hirabayashi, I. (2006), A Traditional Aspect of Mathematics Education in Japan:Mathematics as GEI (art), its JUTSU (technique) and DO (way). 11.

(16) 誠如前一節所說，當時有大量的儒學書籍傳入日本，其中以易學為最大宗。易學普及也是德川時代文化人的一種共同修養。27來自不同的思想及宗教門派的學者都熱衷於易學，並將易學融合進各自的傳統裡，像是茶道、花道、劍道、28武術、歌舞伎等。對於當時少數傳入日本的西學，幕府將其過濾，此機制是將之與易學中陰陽五行和中國傳統思想不合的部分加以刪除或攻擊。以多產作家西川如見(1648~1724)為例，西川如見是位對普及西方天文學、地理學、數學貢獻良多的學者，他在長崎閱讀西方著作時認為中國五行說與西方四元說本質相同，但以中國五行說較為精密，他在《天文義論》中，以陰陽五行與五運六氣為基本理論架構去闡述西方天文學。又例如幕府第一任天文方澀川春海的《天文瓊統》(1698) 也是以陰陽五行為主要原則。29當時從事自然科學的學者們，以中國儒學中的易學融入到當時的知識中。松永良弼似乎也受易學影響，他在《方圓算經》「率引」使用陰陽、天圓地方、象數學等概念。(請參閱第 III.1 節) 幕府以朱子學為正學，沒有徹底控制思想領域，為文化、學術多元留下發展的可能。數學方面，關孝和、建部賢弘、荒木村英、田中由真、島田尚政、井關知辰、宅間能清、鐮田俊清、大島喜侍等江戶初期具代表性的和算家，發現了不遜於歐洲的高等數學法則。30據徐澤林研究，從 1673 至 1763 年是和算史上的黃金時期，數學名家輩出，門派如雨後春筍般不斷成長，創造豐富的成果，呈現脫離中國數學知識體系而獨步發展之態勢，奠定整個江戶時代和算的基礎。除數學以外，還有許多其他方面，例如日本國文學領域，契沖受到德川光國之命寫成《萬葉集》注釋書—《萬葉代匠記》；31又例如獨立於漢文化意識和具有日本民族文化精神的國學等。32 因與本論文無關，故不探討。德川幕府帶來穩定的社會，武士不再征戰。有些上層武士將精力和財力轉向研究學問並以此為消遣，視數學為智力性的求道遊戲，當時社會興起「遺題承繼」之風。33下等階層武士生活困窘，正如前述，必須靠一技之長來維持生計。當時財稅、稅收、軍事、經濟等方面都需要數學，幕府需要懂數學的人才處理執行主帳、稅收、工程等方面的事務。因此，和算家可以憑著計算能力在幕府得到職位， 27. 以宋明為首的易學著疏的重版是德川時代書商的一門大生意。《易經》在中世的日本日漸普及並被不同政治與文化階級捧讀。參考吳偉明，《易學對德川日本的影響》，頁 5、17~28、39~40。 28 劍道用劍做為工具保護自己的一種武術。室町時代，由於戰亂時需要自我保護，所以學習劍術者眾多。到了江戶時代，雖然不用打戰，但是有些武士喜歡表演劍道展示自己的才能，因而促進劍道的發展。參考林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 495。 29 參考吳偉明，《易學對德川日本的影響》，頁 104~114。 30 朱子學說與日本的神道或者天主教思想相比，更具文化包容力。朱子學說具有格物致知的理性傾向，對日本的學術發展能夠有所作用。 31 《萬葉集》是現存日本最古老的詩歌集，其中有利用九九乘法創作的歌。參考遠藤寬子作；周若珍譯，《算法少女》，頁 101。 32 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 306~309；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21~22。 33 遺題承繼，請參考本論文 II.1.3.2 節。 12.

(17) 或為各藩工作領取俸祿。像松永良弼原本是久留米藩(今九州地區福岡縣境內)的浪人，34因「功於算術」，享保十七年(1732)十二月十五日，受聘於磐城平藩(今福島縣境內)第六代藩主內藤政樹(1703~1766)，成為內藤的武士。35當時的武士階層如果懂算學，能以此維生或消遣。現在，我們從數學的出版物來看當時的社會文化背景。寬永四年(1627)，吉田光由出版《塵劫記》，主要內容為役人36所需要的數學知識，大部分內容為沿襲中國明代算書《算法統宗》，只是一些數學術語和度量衡有別於中國算書。《塵劫記》很通俗，深受商人、職人、武士的歡迎，還不斷翻版，之後兩百五十年間，出版冠以某某塵劫記的書籍達四百種之多。可見當時數學書籍有多麼受大眾歡迎。寬永十八年(1641)，吉田光由出版《新編塵劫記》，該書末附上「遺題」，向讀者徵解，形成帶有競技性質的「遺題承繼」，37推動和算普及與發展。38 總之，政治的安定與經濟的繁華，德川幕府提倡禮教文治，教育得到普及，算學知識得到傳播，社會大眾熱衷於學習各類藝能，各類專門學藝蓬勃發展，自由研究的風氣帶來文藝興盛，日本學術界稱此期為「文藝復興」，此時，和算也以藝道化的形式發展與生存。社會對算學出版物的歡迎，形成競技性質的遺題繼承風潮，武士階層計算數學維生或消遣等，都對和算的發展有所推動。 II.1.3 數學知識發展背景瞭解江戶時期的政治經濟與社會文化對和算的發展有推動的作用後，接著，從算學學術脈絡，來看當時的數學知識發展，分別討論算學的學術地位、遺題承繼與算額、算學藝道化等，最後探究當時和算發展的程度。 II.1.3.1 算學的學術位階根據烏云齊齊格的研究，德川家康時期，政府大興土木，實行檢地，統一度量衡，實施人口普查，落實年貢負擔，開墾田地，興修水利、道路、橋梁等工程以及製作火器等，這些均需要一定的數學知識。顯然，德川家康時期政府的政策刺激了社會對實用數學的需要。當時有許多和算家參與主持和設計水利工程，像璣村吉德(Isomura Yoshitoku，？~1711)，曾是二本松丹羽氏霞成的水路開鑿設計. 34. 浪人是沒有主人的武士。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 388、390；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 64~65、67~69、72~74、147。 36 役人類似於今日的公務員。註腳引自劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 14。 37 本論文在第 II.1.3.2 節有關於遺題承繼的更詳細討論。 38 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 17~20。 13 35.

(18) 者；今村知商(Imamura Chishyo，1591？~1668)適於磐城平藩奉行，39曾受命調查從長陸國納賀湊至凅沼州、利根川的運輸水路。據平山諦《和算的歷史》，《割算書》(1622 年)刊刻了約有一千多本。《割算書》的內容為錢糧、粟布、借貸、買賣、檢地、人夫、工程和測量等問題，從書中內容可見社會對實用數學的需求。其後吉田光由《塵劫記》(1627 年)也廣受歡迎。由社會對實用數學的需要與反應，可見江戶初期的數學具實用性，只被當作算用之技而已。40在寬永十六年(1639)，一部完全與《塵劫記》完全不同性質的算書《豎亥錄》誕生，它是一本以漢文寫成的純學術性數學著作。41筆者總結烏云齊齊格的對《割算書》(1622 年)、《諸戡分物》(1622 年)、《塵劫記》(1627 年)、《豎亥錄》(1639 年)等書中名詞用語的比較，前三本書中都使用了「算戡」這個名詞用語，而純數學性的《豎亥錄》則只講「算術」。烏云齊齊格還指出和算家對中國宋元數學展開解讀與研究後，懂得「戡」適用於珠算，就不再以其在日語中的思考、計算之意來說明自己的數學工作。數學學術位階從實用提升到學術化。42總結烏云齊齊格所說，《塵劫記》確立了和算往實用數學的方向發展，《豎亥錄》引領和算往學術化的方向發展。從以上這些，我們知曉在《方圓算經》的成書時期，和算已經走上純理論發展的學術位階。接著，我們從日本的另一個學術傳統脈絡，來體察算學的發展情況。 II.1.3.2 遺題承繼與算額奉納當時的和算發展歷程中，有兩種獨特的現象，是其他國家數學發展沒有的情形。這兩種獨特的現象就是遺題承繼與算額奉納。現在，我們就來詳細討論遺題承繼與算額奉納。「遺題承繼」是指和算家在撰寫算書的卷末，提出一些數學難題，供讀者繼續研究發展。讀者如果解決了難題，就撰寫難題的解答書，並在卷末深入揭示問題的意義，再進一步提出更難的問題，讓有心人士再做研究而引出更深入的研究。和算家就這樣把數學難題一代接著一代地承繼下去。所以說，遺題承繼類似於我們現在的數學問題徵解，而且有很多算書都提出自己的問題或對別人著作中遺題的解答。遺題承繼始於寬永十八年(1641)，吉田光由出版《新編塵劫記》，該書末附上 12 個「遺題」，向讀者徵解，後來出現了多解答書，例如《参兩錄》、《圓方四卷記》、《改算記》、《算法闕疑抄》、《算法至源記》等等，而這些書末又都提. 39. 奉行是武家職名，負責某部門或某地方的政務。註腳引自徐澤林，《和算選粹》，頁 16。參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 67~68；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 16。 41 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 101。 42 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 68~70。 14 40.

(19) 出自己的遺題，就這樣掀起帶有競技性質的「遺題承繼」，推動了和算的發展。43. 圖 II.1-2 遺題承繼的關係圖44 從圖 II.1-2 可以看到，關孝和的《發微算法》(1674)解決澤口一之的《古今算法記》。根據蘇意雯〈遺題承繼，串起中日代數史〉說，《古今算法記》是目前已知第一本正確了解與操作天元術的日本書籍，而《古今算法記》的書末留下 15 題數學問題，這些是無法以天元術方法求解。關孝和在《發微算法》中提供了簡要的解答，後來他的弟子建部賢弘出版《發微算法演段諺解》，對關孝和的改良代數提供詳細的註解。關孝和的代數是改良中國的天元術，運用文字符號代表未知數，並推廣此種方法至多個未知數。關孝和將這種方法稱為「傍書法」，後來松永良弼改良為「點竄術」，以符號表示和消去的技術。45在這邊，我們可以看到關孝和因為「遺題承繼」的契機改良了中國的天元術，建部賢弘接著做深入研究，推動和算的知識發展，松永良弼則將「傍書法」改良為「點竄術」。這種「遺題承繼」的現象，一方面帶動數學更深入的研究，並且讓和算脫離中國數學的框架漸漸地獨立發展；另一方面，帶動知識的傳承，確實促進了和算的發展。根據劉雅茵的論文，這種「遺題承繼」的現象到文化十年(1813)石黑信由的《算學勾致》才結束。根據烏云其其格，「算額奉納」能視為「遺題承繼」的一種變形方式，「遺題承繼」的風氣漸收斂的年代，「算額奉納」的潮流逐漸興起。 43. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 20；參考蘇意雯，〈遺題承繼，串起中日代數史〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 173。 44 圖轉引自城地茂，《改訂再版日本数理文化交流史》，頁 10。 45 參考蘇意雯，〈遺題承繼，串起中日代數史〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 174~175。 15.

(20) 「算額奉納」是將解題方法刻在匾額上獻給神社、寺院的做法。46圖 II.1-3 大概可以說明烏云其其格所謂的「算額奉納」是「遺題承繼」的一種變形方式。. 圖 II.1-3 深川英俊對算額變化所做的統計圖47. 圖 II.1-4 繪馬48. 圖 II.1-5 算額(長野縣天然寺的算額) 49. 早期日本人信仰虔誠，他們會對神社或寺廟獻上馬匹表示崇敬，但馬匹昂貴，漸漸地，他們以畫有馬隻的畫板代替，也就是所謂的「繪馬」(見圖 II.1-4)。繪馬背面會寫上奉納者姓名、地址、心願等訊息。所畫的對象由馬匹延伸到其他物件，如果把數學問題和答案用漢字寫在畫板上，這種還願酬神的書板就叫做「算額」。奉納算額大概有三種意義，分別是(一)感謝神佛地恩謝；(二)表示對和算教師的尊崇；(三)展示研究的成果。當時日本人信仰虔誠，神社或寺廟就變成一個交流的絕佳場所。另外我們在前面有提到神社或寺廟有教育的功能，因此算家常把算額放在寺廟中增加曝光機會，呈現研究成果，引起許多有志之士的討論和演練。學習和算的師生們也會藉著算額指出其他流派的錯誤，提出更正確、更簡易的解答，這種「算額奉納」曾引起各數學流派的競技。蘇意雯指出算額上書寫的知識，幾何問題多於代數問題，因為幾何問題可以有許多美麗的圓形、多邊形、 46. 參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 16；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 158~159。 47 圖轉引自城地茂，《改訂再版日本数理文化交流史》，頁 12。 48 圖引自蘇意雯，〈探索日本寺廟的繪馬數學〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 185。 49. 圖引自蘇意雯，〈探索日本寺廟的繪馬數學〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 189。 16.

(21) 方中容圓，圓中容方等圖案，而且算額著色後就是一個色彩鮮豔的算額，達到視覺上最佳的效果。筆者認為算額上幾何問題多於代數問題，另一個原因是代數問題的解法比較結構化，而幾何問題比較容易出現更簡單、更快速或更巧妙的各種不同解法。算額上通常的問題是求邊長或圓的直徑、直線、三角形、圓周長、內切圓等問題 (見圖 II.1-5)。隨著和算家的數學研究程度提升，算額上也出現愈來愈難的問題，甚至牽涉到球、橢圓、微分、積分等相關問題。算額問題的素材包含珠算、人物、動物、測量等。算額書寫的格式順序通常是幾何圖形，再給問題，接著是答案和解法，最後是流派、教師、展示者、以及奉納的日期。50 上文我們提到繪馬上「所畫的對象由馬匹延伸到其他物件」，除了算額還有許多豐富的形式內容，例如宣傳的功用。筆者在烏云齊齊格《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》書中就看到一段話：岩手縣水澤市與甜得出與神社有一面大正十年(1921 年)的算額，額面上記載的是關流傳書免許目錄，其歷代宗統聯名為：關孝和──荒木村英──松永良弼──山路主住──安島直圓──日下誠──長谷川寬──千葉胤秀 ──松田利次──菅原德資──小野寺利政。51 這一段話，似乎是彰顯和算流派自我宣傳的功用。52 日本和算發展過程中，遺題承繼與算額奉納等帶有追求更高層次數學的競技性質，在這種氛圍中，算學如同茶道、花道等藝道形式發展。 II.1.3.3 算學藝道化誠如 II.1.2 節所述，江戶時期各種學藝臻於成熟並普及到社會各階層，如茶道、花道、劍道、武道、圍棋等，各式各樣的藝道，集消遣、娛樂、智慧、藝術為一體，是上層社會與下層庶民文化生活共通的享受之道。徐澤林指出，和算也以藝道的形式生存與發展，當時和算被視為一門游藝，稱作「算道」。53 數學史家三上義夫很早就注意到江戶時代的和算與各類藝道的類似性。54數學史家小倉金之助認為：. 50. 參考蘇意雯，〈探索日本寺廟的繪馬數學〉，洪萬生等《當數學遇見文化》，頁 184~192。引自烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 162。 52 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 158~159。和算流派、松永良弼與家元免許制度等內容，請參閱 II.2.3 節。 53 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 52。 54 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 52。 17 51.

(22) 正當歐洲的學者在大學、學會從事科學研究時，和算家卻沒有與之匹敵的學堂，他們只有一種行會性質的組織，他們的生活模式與圍棋、象棋匠師等的生活模式相同，這樣的生活必然導致他們追求數學解題過程中的巧妙性而不是數學發展的理論化、結構化，與其說和算是一種學術，倒不如說它是作為一種藝術繁榮起來，這是封建時代和算的特質。55 由此可見，從文化的角度來看和算，和算與其他藝道有相似的性質與模式。56 「藝」只能向師匠或獲得免許狀(即等級證書)的前輩學習，不能只憑藉書本學習，所以容易形成門派內最高組織者或學藝權威者的「家元」。藝是以秘傳的方式傳承，這樣做會形成壟斷的情形，也因此能變成緊密的學藝門派團體，一方面，能使其和其他流派競爭，另一方面，卻保留個別流派的獨特性。57(與藝道化有關的「家元—免許制度」，請參閱第 II.2.3 節。)德川時社會上各領域的文化人會將易學融入自己的領域(見 II.1.2 節)。松永在《方圓算經》使用易學闡述對數的啟發(見第 III.2 節)可能是受這種氛圍影響。此外，松永作為關流第二代宗統傳人，他可能想利用當時社會中熱門的易學來促進算學藝道，確立「關流」算學門派的稱呼。總之，《方圓算經》成書的時代，算學以藝道相似的形式存在與開展，像家元─免許制度、不同的數學流派等現象。 II.1.3.4 當時的和算知識發展本節在數學知識絡脈下討論當時和算知識的發展和特色。首先來看中國數學對和算的影響，我們從江戶前期傳入日本的數學書籍著手。根據徐澤林的資料，江戶前期有不少中國數學書傳入日本。58其中以《算學啟蒙》(朱世傑，1299)、《楊輝算法》(楊輝，1378)、《算法統宗》(程大位，1593)三本算書影響日本和算最深。前面我們提到熱賣的《塵劫記》就是吉田光由以《算法統宗》為藍本而出版，其對日本的影響昭然可見。《算法統宗》是明代數學的代表性成果，一部內容豐富、系統完備的實用數學著作。《算學啟蒙》是元代朱世傑撰寫的一部數學入門書籍，從最基礎的乘除口訣到較為高深的天元術知識，這本書為日本輸入天元術這種先進的數學方法，對和算進入以代數學為中心的階段有促進作用，也影響關流始祖 — 關孝和開創各種新術。《算學啟蒙》除了天元術外，還有與增乘開方法完 55 56 57. 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 52。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 52。參考 Hirabayashi, I. A Traditional Aspect of Mathematics Education in Japan:Mathematics as GEI. (art), its JUTSU (technique) and DO (way)。 58. 想要深入了解詳細書目的讀者，請參閱徐澤林《和算選粹》第 13~20 頁。 18.

(23) 全相同的開方術、59垜積術、解線性方程的方法等內容也都對和算產生影響。《楊輝算法》中解高次數字方程的方法、求同餘式組的解法、重差術及縱橫圖對關流數學都有深刻影響。60例如關孝和和他的弟子建部賢弘等人合著的《大成算法》， 61. 就曾多次引用《楊輝算法》的內容。誠如前述，元祿文化時期和算家們吸收中國數學，經由關孝和、建部賢弘等數學家們的開拓，和算日益增強，並形成自己的知識體系，不再依賴中國數學而獨步發展。62 現在我們要探討當時數學家們開拓的數學知識，來掌握和算發展的程度。我們前面提到關孝和創造許多新術，是和算重要領域的數學開端。他的新術之中與《方圓算經》有關的數學內容與方法知識是傍書法、垜積術、63招差術、64角術、圓理等。他將《授時曆》中的三差法推廣為一般化的「累裁招差術」，65推導出一般化的乘方垜積公式。他還創造了插值法(即混沌招差)求弧長，將弧長冪表示成矢的多項式函數。角術即關於正多邊形的計算問題，包含多邊形邊長、內切圓半徑、外接圓半徑之間的代數關係，列出方程式求解。圓理是和算成就中最值得稱道的內容，類似於西方的微積分算法，主要是曲線和曲面求積的計算問題。關孝和發展了松茂村清的碎抹法(無窮小分割)，利用增約術使圓內接正多邊形周長加速逼近圓周長。66他還有其他與《方圓算經》較無關的術，例如演段術、剪管術等。67 關孝和的第一代傳人 — 建部賢弘，從關孝和那裏得到數學知識並做推廣與創新。建部賢弘的數學成果多半與《方圓算經》知識有關，例如從關氏的弧長冪創造了弧背冪的無窮級數展開式，開創無窮級數領域的研究；創立開方綴術，通過建立弧內接多邊形的邊長與矢的代數關係，推演出無窮級數展開式；使用無窮 59. 增乘開方法可以求高次方程的解，增乘開方法與高中數學教科書中綜合除法的程序相似。參考郭書春，《中國古代數學》，頁 114~117。 60 「重差術」是測量山高和井深的問題。《海島算經》的第一題是測望一海島高遠的問題，其方法與公式即所謂的重差術。參考郭書春，《中國古代數學》，頁 82~86。楊輝在《續古摘奇算法》中，縱橫圖是依照一定規律排列而成的數表，又稱為幻方。參考王文珮，《楊輝算書探微：一個 HPM 的觀點》，頁 78。對縱橫圖有興趣的讀者可以參考《楊輝算書探微：一個 HPM 的觀點》第 4.4 節《續古摘奇算法》的內容與結構。 61 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 14~16；參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 53，60，66，70~74。 62 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 22~29。 63 垜積術即高階等差數列的求和方法。 64 招差術即高次內插法，也就是拉格朗日插值法。 65 根據馮立昇的資料指出，《授時曆》是元代王恂、郭守敬制定的一部優秀的曆法，反映了元代天文曆法和數學兩方面的成就。這本書至遲在 1450 餘年，傳入日本，不僅對日本天文曆學有極大的影響，而且對和算的發展也起了重要的推動作用。參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 74。《授時曆》中的三差法即三次內插法。參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 104。關孝和將《授時曆》中的三差法推廣為高次插值。他的累裁招差內容，讀者可以參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 102~110。 66 增約術即無窮等比級數和公式。參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 16。 67 剪管術是現今數學數論領域的「中國剩餘定理」。關孝和對楊輝的剪管術(等同於秦九韶的「大衍總數術」)做一般化推廣，其子算法「剩一術」類似於秦九韶的「大衍求一術」。 19.

(24) 小分析；從關氏的增約術上，以導函數求多項式函數極值的算法開創了累遍增約術。68 當時還有其他和算家的開拓，但與《方圓算經》無關，筆者僅簡單舉例說明，例如島田尚政出版和算史上第一本行列式刊物，他的演段消元之法採用今天所謂的 Vandemonde 展開法。田中由真也有演段消元之法，使用傍書法和行列式展開法。享保年間的其他和算家還提出不知段數術、極數術、整數術等。69 和算家在中算家的算學基礎上有了新創造，和算開始獨立發展。和算家們的百花齊放，讓當時的和算知識有許多的發展。從前述江戶前期和算家們研究的內容，我們大概可以歸納出三個當時的算學特色：(一)和算家對幾何很有興趣(二) 無窮小算法(三)精緻化的算法與卓越的計算能力。70 II.2《方圓算經》的作者現在討論《方圓算經》的作者 — 松永良弼，分別深入探討他的生平、交遊、數學學習以及數學著作與成就，最後著眼於江戶時期藝道的「家元—免許制度」方面，探討松永對關流免許71制度的貢獻。 II.2.1 松永良弼的生平與交遊松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744)，原姓寺內，名平八郎良弼，後來改姓松永，通稱安右衛門、初名權平，號東岡、龍池、探玄子、葆真齋，東溟等。《方圓算經》的署名是東岡良弼。作者何時何故由寺內改為松永，根據徐澤林從松永良弼的著述署名推斷，改姓時間應是他 24 歲左右，即享保元年(1716) 前後。松永良弼生年不詳，延享元年(1744 年)卒於江戶。徐澤林推斷松永出生於元祿五年(1692)前後，並指出松永良弼不是長子而且家中有十位兄弟。依據《內藤家文書》記載，松永良弼原本是久留米藩(今九州地區福岡縣境內)的浪人，享保十七年(1732)十二月十五日，受聘於磐城平藩(今福島縣境內)第六代藩主內藤政樹(1703~1766)，因「功於算術」，成為內藤的武士。順帶一提，第六代藩主內藤政樹本身愛好並重視算學，因此松永可以憑藉著數學能力成為內藤家的武士。松永原先的俸祿為金六兩，72三人扶持，在享保二十年(1735)，增為金七兩、四. 68. 累遍增約術，即 Romberg 算法的數值逼近算法。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 22~25。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 22~29。至於不知段數術、極數術、整數術等術，筆者不在此多做敘述。 70 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 50~51。 71 免許狀就如同今日的證照，有等級之分。 72 俸祿相當於現今的年薪。 20 69.

(25) 人扶持，元文三年(1738)十一月又改為切米 35 俵。73到了晚年，寬保二年(1742) 正月追加 5 俵、一人扶持，計為 40 俵、五人扶持。74他到晚年六七年間才有不錯的薪水。75 依據《荒木先生茶談》及松永授予西冢重胜的「免許狀」表明，76松永在江戶曾師事關孝和的弟子荒木村英。77藤田貞資的《精要算法》序文中提到：「我東方言數者關夫子也，夫子授之荒木子村英，建部子賢弘，荒木子授之松永子良弼，建部子授之中根元圭，夫子未及校閱之書，交與荒木子，荒木子又傳與松永子，松永子盡校其書加以己意，關夫子之書得以集成。」78荒木村英年齡已高，故將未及整理校閱的關孝和的遺稿傳給松永，松永繼承發展關氏的數學思想，被視為關流第二代宗統傳人。目前和算史界普遍認同的關流歷代宗統傳人關係如下79：關孝和─荒木村英─松永良弼─山路主住─安島直圓─日下誠─內田五觀 ─川北朝鄰─林鶴一久留島義太關孝和─建部賢弘─中根元圭─中根彥循─幸田親盈─金井兼庭─本多利明澀川春海從關流歷代宗統傳人關係，能看到松永和久留島義太(Kurushima Yoshihiro，？ ~1757)與中根元圭(Nakane Genkei，1662~1733)有交遊互動關係。烏雲齊齊格指出，久氏經常和松永共同探討問題和交換彼此的想法。80 久留島義太是靠自學而成為數學家，是和算史上少見的數學奇才，其業績可 73. 「俵」是用稻稈編成的袋子，用來裝穀類、根莖類或木炭等。參考遠藤寬子作；周若珍譯，《算法少女》，頁 137。 74 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 388~392；烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 198。 75 根據大口求理的說法，金一兩約等於現今的十萬日圓，一俵大約是現今 60 公斤的米，一石等於 2.5 俵大約是現今 150 公斤的米，江戶時代 30 俵以下給金，30 俵以上給扶持米，當時 30 俵至 400 俵相當於現今之中產階級。經筆者換算，松永原先的俸祿金六兩相當於現今之 60 萬日幣，如果以 0.4 匯率換算日圓與台幣，他原先的年薪只有 24 萬台幣。元文三年改為切米 35 俵，算是晉升為中產階級，經筆者換算後，他的年薪有 56 萬台幣。寬保二年增到 40 俵，松永年薪是 64 萬台幣，到晚年才有不錯的薪水。參考網站 http://www.m16.cn/005-rbdw/bb-1/kk5.html，大口求理撰寫的〈江戶的武士與商人〉。 76 《荒木先生茶談》是由松永筆錄關孝和與荒木村英口述的一些前代數學逸聞。參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 96。 77 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 389。 78 轉引自烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 170~171。 79 引自烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 174。 80 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 175。 21.

(26) 與關孝和、建部賢弘等相提並論。個性散漫、不拘小節，沒有自己的門派。中根元圭(Nakane Genkei，1662~1733)為建部的弟子，以擅長曆算聞名。徐澤林指出，中根元圭在享保六年(1721)自京都來到江戶，此時久留島氏在江戶打著「算術指 81. 南」的旗號，自立門戶授徒，松永和中根元圭常去拜訪。徐澤林還指出：享保三年，內藤政樹成為磐城平藩第六代藩主，此人愛好算學，招請久留島義太。據《內藤家文書》記載，享保十四年四月十五日，久留島義太受十人扶持米，受召時間是享保十五年五月。享保十七年(1732)十二月，松永良弼也受聘於內藤家。久留島義太在磐城平藩的延岡時，松永良弼在江戶，他們經常還書信連絡，一直持續到延享元年(1744)六月二十三日松永良弼歿。82 據幕末關流數學家藤田貞資記錄整理山路主住言論的抄本《山路君樹先生茶談》，記錄了不少松永和久留島、中根等交遊的趣事，我們來看一則趣事敘述：有人拿「求製作斗笠所需線之長度」這樣的問題去請教松永(良弼)先生，松永先生說，能解答此問題的有中根與久留島兩人，如果去請教中根，他會馬上給予回答，而若請教於久留島，他會對你說，這個問題沒有正確的解法。當分別去問這兩位先生時，結果正如松永所說。83 總之，松永與久氏、中根三人，是很熟識且常有學術互動的朋友，在學術上熟悉彼此的數學能力與見解，常互相影響數學想法。 II.2.2 松永良弼的數學學習與數學著作成就首先來看松永的數學學習。誠如前述，松永在江戶曾師事關孝和的弟子荒木村英，然而，他向荒木學習的數學知識並不多，據「《括要算法》出版時建部賢弘曾說：『括要算法，是荒木從關孝和之未亡人處借原稿而出版的，荒木不知算術，為揚己名之不埒者』。」，84徐澤林表示，也許是因為松永師從荒木的時間不長，所以，在荒木那裏學到的數學知識並不多，松永約於 24 歲時鑽研《括要算法》後才學力大增。荒木村英於享保三年(即 1718 年)去世，建部賢弘的圓理研究於享保七年 (1722)開創，松永良弼享保十七年(1732)供職於內藤家，而建部賢弘元文四年 (1739)去世。因此，在松永良弼供職於內藤家與建部賢弘去世前，有七年的時間。徐澤林說松永在這段時間有機會接受建部的教導並獲得各種算書。此外，建部的 81 82 83 84. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 30、341、389~390；馮立昇，《中日數學關係史》，頁 135、187~191。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 390。轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 343。引自徐澤林，《和算選粹》，頁 389。 22.

(27) 圓理並未由建部的弟子中根元圭、池部清真、小池友賢等發展，僅松永推廣對建部的圓理。《方圓算經》求背冪公式與建部《綴術算經》公式相同(詳見 III.3 節)。總之，從數學成果內容的關係來看，松永似乎更像是建部的弟子。85 前述松永與中根元圭、久留島義太等常有學術互動，這也影響松永的數學學習。《方圓算經》第一卷求背冪與求矢公式和久留島《久氏弧背草》公式相同(詳見 III.3 節)。根據馮立昇，中根元圭通過梅文鼎的著作掌握三角學知識並著《八線表算法解義》，該書以《曆算全書》的三角函數表與三角學知識為基礎，對三角函數表的原理和用法進行了論述與說明。《方圓算經》似乎有受到三角學的影響(詳 86 見 IV.1 節)。. 圖 II.2-187. 誠如前述，當時八代吉宗將軍任命建部賢弘為曆學顧問，中根元圭等人協助改曆。他當時已經四十多歲，可能從建部那獲得豐富的曆算書。處在幕府推行改曆活動的環境中，松永也熱情研究天文曆學，如後所述松永完成的書籍中《天經或問發揮》就是一本天文學著作。可見松永也學習了一些西方天文學知識。綜合前述，松永繼承關孝和、建部賢弘等人的一些學術成果，也吸收久留島義太、中根元圭的數學成果，那松永有什麼數學著作與成就呢？徐澤林指出，松永一生著述豐富，所有書籍都傳給弟子山路主住，後來山路主住受到久留米藩第七代藩主有馬賴徸(1714~1783)的庇護。有馬賴徸的《拾璣算法》多含松永的數學研究成果。1769 年《拾璣算法》公開後秘傳的關流算學才得到公開與普及。88 筆者將松永的著述分成青年時期、享保元年至享保十一年間、享保十七年至元文元年間、元文三年至延享元年 (晚年的六、七年間)等四個時期討論，並簡單地對各著述做相關說明。由於在台灣取得松永的書籍不易且松永書籍眾多，限於時間精力，筆者僅就所掌握到的資料做說明，其他未掌握到的書籍，有待考察。松永良弼青年時期的著作與成書時間，如下： (1) 《勾股變化之法》時間不詳 (2) 《算法集滙》約正德四年 (3) 《解伏題交式斜乘之諺解》正德五年 (4) 《垜積招差之新術》正德六年 85 86 87 88. 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 31、389~391。參考馮立昇，《中日數學關係史》，頁 135、187~191。圖 II.2-1 是《八線表算法解義》書影，轉引自馮立昇，《中日數學關係史》，第 189 頁。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 389。 23.

(28) (5) 《精覈算法》享保元年 (6) 《精極算法》享保元年 (7) 《角法互推》時間不詳 (8) 《諸法根原》時間不詳 (9) 《剝脫演段正統術》時間不詳89 《解伏題交式斜乘之諺解》寫出《解伏題之法》中「交式斜乘」問題的詳細過程。徐澤林認為，《解伏題之法》是關孝和的《三部抄》中最重要的一部書，該書包含關孝和的最主要的數學業績。伏題是需要設輔助未知數，布列多元高次方程組的消元問題，關孝和將其聯列的方程組藉由一系列的線性運算導出行列式。然而關孝和的交式的「換五式」及五式以上，都是錯誤的，松永對此做修正，在《解伏題交式斜乘之諺解》中提出任意階行列式的生成方式。90《垜積招差之新術》可能是關於高階等差數列求和與高次內插法。根據徐澤林的資料以及以上掌握到的書籍資料的討論，松永青年時代的著述內容多以關孝和著作中的內容為中心。91 松永良弼於享保元年至享保十一年期間的著作與成書時間，如下： (1) (2) (3) (4) (5). 《括要算法角法演段圖抄》享保二年《括要算法第三難角法演段圖抄》享保二年三月《斷連總術》享保十一年《立圓率》享保十一年《圓中三圓適等》時間不詳. (6) (7) (8) (9) (10). 《算法全經》(廉術) 時間不詳《算法全經》(垛術) 時間不詳《求積後編》時間不詳《方陣新術》時間不詳《圓攢新術》時間不詳. (11) 《算法類聚》時間不詳 (12) 《重卦驗符》時間不詳 (13) 《自約之術》時間不詳92 《括要算法角法演段圖抄》與《括要算法第三難角法演段圖抄》是松永直接. 89. 引自徐澤林，《和算選粹》，頁 389~390。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 92、94、142~143。 91 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 389~390。 92 第(2)本「《括要算法第三難角法演段圖抄》享保二年三月」，引自徐澤林，《和算選粹》，頁 153。其餘皆引自徐澤林，《和算選粹》，頁 390。 24 90.