II. 3《方圓算經》簡介與重要性
III.3 弧背率
。
2.計算最麻煩。
松永良弼(1692?~1744）的 π 公式：
計算到第 21 差 (第 22 項)
1.收斂速度第三快。
2.計算較高斯、梅欽 簡便
總說之，松永是把自己著作中較好的 π 公式收到《方圓算經》，他的圓率公 式超越先師關孝和、建部賢弘的數學，「炫耀」自己所精進的數學研究成果，松 永的數學風格與對數學的不斷追求，正符應江戶時代和算的藝道化氛圍。另外，
松永的圓率公式是數學方法多元發現的例子之一。
III.3 弧背率
《方圓算經》第一卷名稱是「圓率」，包含圓率與弧背率，本節討論弧背率，
包括背冪、背數(內元率、中元率、外元率三種形式)、求矢、求弦、求積(弧田積)。
III.3.1 弧背率
現在詳細討論求背冪，下面左欄是原術文，右欄使用現今數學符號表示。
原術文：
第一、求背冪
徑因矢四段，為原數。解曰：假如徑一十寸，矢一寸者，
置徑，以矢相乘，得一十寸，四之，得 四十寸，為原數，由陽率得逐差也。
原數四十寸。
置矢，二之，以乘原數，為一差實，
以徑六段除之，得一差。
置矢一寸，倍之，得二寸，以乘原 數，得八十寸，為一差實，置徑，六之，
得六十寸為法，以除一差實，得一差，
以加原數，得一差泛背冪。
一差一寸三三三三三三三三三三
用現今數學符號表示之：
我們設徑為 d，矢為 c。
原數 4dc
假如圓直徑 d 為 10 寸，矢 c 為 1 寸，
原數得 40 寸。
一差 原數
寸。
一差泛背冪 寸。
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三三三三
泛背冪四十一寸三三三三三三三 三三三三三三三
置矢，八之，得數以乘一差，為二 差實，以徑一十五段除之，得二差。
置矢一寸，比八乘之，得八寸，以 乘一差，得十寸六六六奇零連六，為二差實。
置徑，以一十五乘之，得一百五十寸為 法，以除二差實，得二差，以加一差泛 背冪也。二差以上仿於此。
二差○寸○七一一一一一一一一 一一一一
泛背冪四十一寸四○四四四四四 四四四四四四四
置矢，十八之，以乘二差，為三差 實，以徑二十八段除之，得三差。
三差○寸○○四五七一四二八五 七一四二
泛背冪四十一寸四○九○一五八 七三○一五八七
置矢，三十二之，以乘三差，為四 差實，以徑四十五段除之，得四差。
四差○寸○○○三二五○七九三 六五○七
泛背冪四十一寸四○九三四○九 五二三八○九五
置矢，五十之，以乘四差，為五差 實，以徑六十六段除之，得五差。
五差○寸○○○○二四六二七二 二四六二
泛背冪四十一寸四○九三六五五 七九六○五五七
遞推之，得逐差數，以疊加於原 數，得從弱漸親之背冪。224
二差 一差
寸。
二差泛背冪 41.40444444444444 寸。
三差 二差
寸。
三差泛背冪 寸。
四差 三差
四差泛背冪 原數 一差 二差 三差 四差 五差
41.40934095238095 寸。
五差 四差
0.00002462722462 寸。
五差泛背冪 原數 一差 二差 三差 四差 五差
寸。
繼續仿此求各差數，原數 一差 二差 三差 四差 五差 背冪。
上面的術文中提到「由陽率得逐差也」，也就是各差數的乘數與除數來由。
224 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 414~415。
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，226其中 d 為直徑，c 為矢， k 即為第 k 差。
建部賢弘曾在《綴術算經》(1722 年)給出半背冪 展成徑 d 矢 c 的無窮級數 展開式
。227將其乘 以四倍就和松永求背冪公式一樣。《方圓算經》(1744)成書年代比《綴術算經》
(1722)晚，松永可能從《綴術算經》中學習了半背冪無窮級數展開式再整理到《方 圓算經》。228
久留島義太(與松永常有學術往來的和算家)《久氏弧背草》(年代不詳)也有 求半背冪的無窮級數展開式，部分原術文如下：
原數
一乘 一三三除 八乘 三五一十五除 九乘 二七一十四除 三十二乘 五九四十五除 …是依招差法求之故也229
久氏在術文末寫這些差數「是依招差法求之故也」。筆者參考《宅間流圓理》
求弧背展開式時使用招差法和零約術的過程來做求背冪級數展開式，並呈現於下 一段。230筆者從當時其他和算家的研究切入， 雖然不能保證還原松永的做法，
但是比使用現代數學方法來得貼近歷史事實，也有助於理解松永可能的想法。
226 此式子參考徐澤林，《和算選粹》頁 393，與孫成功，〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉，
《第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》，頁 74。
227 建部賢弘的半背冪公式，從求極小矢的弧背入手。他以弓形內接多邊形邊數逐倍的方式(圖 III.3-3 的二斜弦即在弓形上的做一次分割得到，繼續分割可以得到四斜弦、八斜弦…等)求弧長 冪近似值。先得到各截半背冪，再以累遍增約術求出定半背冪，最後以零約術構造冪級數。參考 徐澤林，《和算選粹》，頁 260、292~293。
228 松永在序文說「…故向既記弧背草，今又依開差之奇計，而布綴術之真演，以啟微妙通玄之 實路，而見弧背循環之淵源…」。筆者將松永的文本相關的部分做連結與猜測。松永《方圓雜算》
中有求二斜弦、四斜弦冪的術，「求二弦術、四弦冪術」，筆者以數學方法角度看，此二術可由幾 何關係或《算法綴術草》的二項展開式
推導，
如此應可繼續做到 2n 弦冪，接著將其乘以 2n 的平方，就可以得到弧背冪。筆者以數學方法角度 對松永在序文提及弧背的說明做猜測，但不保證筆者的猜測就是松永的想法。關於《算法綴術草》
與《方圓雜算》的詳細內容，讀者可以參考徐澤林《和算選粹補編》，頁 343~387。
229 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 355。
230 限於篇幅，筆者僅呈現久氏的方法。至於建部的方法，可以參考徐澤林《和算選粹》第 292~293 頁，徐澤林在其中詳細還原建部的過程。
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筆者先參考松永《方圓雜算》中「弧矢背弦、恒徑一尺」章節，231在圓直徑 為一尺時，不同的弧長各對應到矢的數據，再依照招差法的程序求背冪級數展開 式。我們讓各矢長做為限數，將各矢與弧經由式子弧長
矢-1 轉成元積，再算出定積，
呈現於表 III.3-1。
表 III.3-1 各弧長 各矢(限數)
元積(=弧長
矢-1) 定積(=元積
限數-1) 0.4510268118 0.05 0.017125925 0.342518496 0.64350110879 0.1 0.035234193 0.352341925 0.795398827 0.15 0.054432157 0.362881044 0.927295218 0.2 0.074845527 0.374227633 1.0471975519 0.25 0.096622711 0.386490845 1.15927948073 0.3 0.119940762 0.39980254
假定背冪可以表示成
。232繼續用招差法計算出各係數，定差 A1，平差 A2，立差 A3，三乘差 A4，四乘差 A5。首先假定矢長滿足插值多項式：背冪=B1+ B2矢+ B3矢2+B4矢
3+B5矢4+B6矢5。然後用累裁招差法233求出各係數 Bi，i=1、2、3…、6。筆者使 用 EXCEL 輔助計算出的各係數分別為，B6 0.142278316，B5 0.009109806，
B4 0.094698185，B3 0.112558534，B2 0.177882936，B1 0.333331014。接著再 假定矢長滿足插值多項式：背冪=C1+ C2矢+ C3矢2+C4矢3+C5矢4。然後用累裁 招差法求出各係數 Ci，i=1、2、3…、5。筆者使用 EXCEL 輔助計算出的各係數 分別為， C5 0.115818542，C4 0.064464043，C3 0.116560111，C2 0.177639285，
C1 0.33333635。接下來取各係數 Bi與 Ci的平均值 Ai= ，即 A1 0.333333682，
A2 0.177761111，A3 0.114559322，A4 0.079581114，A5 0.062464174。最後，
利用零約法依次得到各近似分數 A1= ，A2
，A3=
，A4
， A5=
。由此歸納出 Ai。如此能推得公式背冪=
231 參考徐澤林，《和算選粹補編》，頁 382~384。
232 參考徐澤林，《和算選粹補編》，頁 224~231。
233 累裁招差法是程序性的有限差分算法，限於篇幅而不呈現於本論文中，想要深入瞭解做法的 讀者請參考馮立昇的《中日數學關係史》第 98~102 頁。
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s a
r
c
E C
B O
A
D
。234
中國清代算學家明安圖的《割圓密率捷法》1774 年)曾得到與松永相同的式 子，235明安圖第八術正矢(2versα)求弧背(p)：
。236弧背(p)為松永的半背，故將弧背(p)用 替 換，將正矢(2versα)用 c 替換，半徑 r 轉換成直徑 d，就得到與松永相同的式子。
據李儼、錢寶琮指出，十八世紀初，杜氏九術未正式輸入日本。237即使明安圖與 建部賢弘、松永良弼、久留島義太等人的年代有些差異，但由於沒有數學交流的 證據，故此公式堪稱為一個數學多元發現的例子。
圖 III.3-1 中弧 ACD 為 s，AD 為弦 a，EC 為矢 c，BC 為徑 d，AO 為半徑 r，
線段 AC 加上線段 CD 為 ，它的平方為 4cd。在背冪的公式中是以 4cd 為原 數，而這與後面討論的背數中元率公式則是以 為原數。從數學方法的觀點，
即 比4cd 要多做一次開根號，所以 4cd 比 容易計算，也許是因為 這樣才會在求背數的公式之前給出求背冪的
公式。。另一方面，先給背冪的公式再利用 開方求出背數的安排，這安排呼應了在求背 冪的術文中，松永提到「求弧背之法者，起 於開差冪，而變為此術，遂轉為諸術，故以 此率名言弧背根率也。」238可以確定求背數的 方式是先做「背冪」，再利用「開差冪」求得
「背數」無窮級數。概括言之，松永先求弧 背的平方再求弧背，很可能是因為由易入難
或者數學方法的先前後推導順序而做安排！
圖 III.3-1
求背數有三種形式，分別是內元率形式、中元率形式、外元率形式。首先呈 現松永良弼的求背數內元率，筆者分別把原術文置於左欄，而右欄使用現今數學 符號表示。
234 參考徐澤林，《和算選粹補編》，頁 224~231。
235 明安圖的《割圓密率捷法》是對杜氏三術之外再補創弦矢弧背互求級數六術。參考李儼、錢 寶琮，《科學史全集第九卷》，頁 1~26。朱鴻、張豸冠、董祐誠、項名達、徐有壬等人復通稱明 安圖的《割圓密率捷法》的術為杜氏九術。參考李儼、錢寶琮，《科學史全集第十卷》，頁 434。
236 參考李儼、錢寶琮，《科學史全集第十卷》，頁 434~437。
237 參考李儼、錢寶琮，《科學史全集第十卷》，頁 439。
238 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 415。
80 6.43474285714285 寸。
239 徐澤林的《和算選粹》中寫「泛背冪」，經筆者前後文內容對照，發現有誤，可能是謄寫者的 筆誤，故校改之為「泛背」。
240 徐澤林的《和算選粹》中寫「弧冪」，經筆者前後文內容對照，發現有誤，可能是謄寫者的筆 誤，故校改之為「泛背」。
81
0.00024380952381 寸。
四差泛背=原數+一差+二差+三差+四 差 6.4349666666666 寸。
五差= 四差
0.00002216450216 寸。
五差泛背=原數+一差+二差+三差+四
82 3 1=3、5 2=10、7 3=21、9 4=36、…。
這邊應該是再將其乘以 2 的結果。
83 6.4299645756757 寸。
二差= 一差
0.0047434164902523 寸。
二差泛背=原數+一差+二差 6.43470799216595 寸。
三差= 二差
0.000282346219657 寸。
三差泛背=原數+一差+二差+三差 6.43499033838561 寸。
四差= 三差
0.00001921522883 寸。
四差泛背=原數+一差+二差+三差+四 四差泛背 6.43500955361445 寸。
五差= 四差
0.00000141493957 寸。
五差泛背=原數+一差+二差+三差+四
84
松永是如何得到此公式呢？
為了免於輝格式的史觀，我們從當時其他和算家的方法切入來理解松永可能 的想法，雖不能還原松永的方法，但比起使用現代的數學方法來得貼近歷史史實。
鐮田俊清(Kamada Toshikiyo，1678~1744)《宅間流圓理》247有與求背數中元率級 數相同的公式。248由於《宅間流圓理》成書年代比《方圓算經》(1739)早，所以 松永可能看過鐮田的公式，限於筆者掌握的資料有限而無法確定松永背數中元率 公式是否由他自創或曾參考《宅間流圓理》。
鐮田俊清(Kamada Toshikiyo，1678~1744)《宅間流圓理》247有與求背數中元率級 數相同的公式。248由於《宅間流圓理》成書年代比《方圓算經》(1739)早，所以 松永可能看過鐮田的公式，限於筆者掌握的資料有限而無法確定松永背數中元率 公式是否由他自創或曾參考《宅間流圓理》。