圓率

《方圓算經》第一卷名稱是「圓率」，包含圓率與弧背率。III.2 節討論圓率，

含求周數冪和求周數，即求圓周長的平方和圓周長。以下是松永的求周數冪，筆 者分別把原術文置於左欄，而右欄使用現今數學符號表示。

原術文：

第一、求周數冪

九圓徑冪為原數。

解曰：圓徑冪九段，是乃泛周冪，

而言之原數者、以差術原始於此也。假 如圓徑一十寸者，自乘之、又九之，得 數為原數。

原數九百寸。

置基數一，自之，得一，以乘原數，

為一差實，基數三、四相乘，得一十二，

以除一差實，得一差。

乘數者，應率也^{率引所得之}四分之一也。除數者，

陽率也。置原數，以一乘之，以一十二 除之、得一差。

一差七十五寸。

使用現今數學符號的說明：

我們設圓直徑為 d。

原數 9d²。

假如圓直徑 d 為 10 寸，原數即為 900 寸。

一差 ^{基數一 原數}

基數三 基數四

75 寸。

64

+1. 607142857142 寸 986. 6071428571 寸。

65

66 +1.25 寸+0.140625 寸 31.390625 寸。

三差 ^{基數五 二差}

67

0.0209263392857 寸。

三差的泛周冪 原數+一差+二差 三差 30 寸+1.25 寸+0.140625 寸 +0.0209263392857 寸

31.41155133928571 寸。

四差 ^{基數七 三差} 寸 31.4151117234002 寸。

五差 ^{基數九 四差} 31.4157671577486 寸。

繼續仿此求出後面的差數，加上原數得

68

69

第二差一厘四毫○六五二忽云云

三個一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六²⁰⁷

久留島的圓周率公式和松永一樣，我們無法確定松永與久留島誰先獲得此 公式，但根據原術文，松永比久留島義太的完整且在求圓周率上做出更多的貢獻 (久氏展示的圓周率僅精確到小數點下第 20 位²⁰⁸)，故松永 公式的表現毫不遜色 於當時日本國內的數學家。但奇怪的是，松永展示完 49 位小數的圓周率後，卻 未像在卷二「方率」求角中徑、求角中徑冪；卷二「捷術」；卷三「圓充方」；求 角面卷尾「捷術立表」、「圓充方立表」等內容中那樣說「合於真數幾位」，那麼，

松永可能自己也不確定自己的圓周率近似值是對的。

十八世紀初，法人杜德美(Piere Jartoux，1670~1720)至中國，傳入圓徑求周 及弧求弦矢等無窮級數展開式。梅瑴成(1681~1763)《赤水遺珍》翻譯杜氏三術，

其第一術就是

。據李儼、錢寶琮的資料，

第一術可寫成

，是 之級數展開式，

為牛頓(Isaac Newton)所發明(1676 年)。²⁰⁹松永沒有給出 級數的推導過程，也沒 說此公式的由來。據李儼、錢寶琮指出，十八世紀初，杜氏九術未正式輸入日本。

210因此，在沒有中日數學交流的證據顯示情況下，如果此 級數公式是松永自己 發現的，那麼儘管年代上有差異，但此 級數公式也算是一個數學多元發現的例 子。

其實在松永良弼晚年的著作中另有兩本著作也討論圓周率，分別是《方圓雜 算》與《圓周率》。《方圓雜算》關於圓周率的原術文如下：

圓周率

三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三²¹¹二七九 五零二八八四一九七一六九三九九三七五一零五六七^止五十四位 。

求周數

以二為原數、一乘六除之，為一差、九乘二十除之，為二差、二十五乘四十 二除之，為三差。倍之，加八，減前，得次，諸差皆加，得周法。

207 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 353。

208 經筆者計算，此公式要精確到小數點下第 20 位，要做到第 29 差。

209 參考李儼、錢寶琮，《科學史全集第九卷》，頁 1~26。前面的「 」，李儼、錢寶琮寫「 」， 筆者發現有誤，故校改之。

210 據李儼、錢寶琮指出，十八世紀初，杜氏九術未正式輸入日本。參考李儼、錢寶琮，《科學史 全集第十卷》，頁 439。

211 徐澤林的《和算選粹補編》第 378 頁寫「八」，可能是翻譯時筆誤，筆者校改之為「三」。

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求周冪

以四為原數、二乘六除之，為一差、四乘十五除之，為二差、九乘二十八除 之，為三差。倍之，加四，減前，得次，諸差皆加，得周法冪。

又

以八為原數、一乘六除之，為一差、四乘十五除之，為二差、九乘二十八除 之，為三差。倍之，加四，減前，得次，諸差皆加，得周法冪。²¹²

《方圓雜算》給出小數點下 53 位的圓周率，但只精確到小數點下第 51 位，

最後兩位正確的是「八二」。「求周數」與「求周冪」的公式經由筆者驗證，都非 常不精確！由術文的安排，松永先「求周數」再「求周冪」，這與《方圓算經》

先「求周數冪」再「求周數」的數學進路不一樣。接著，我們來看《圓周率》這 本書怎麼說。《圓周率》關於圓周率的原術文如下：

圓周法之真數

三個一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九 五零二八八四一九七一六九四微弱。

求圓周法真術

三個為原數，置原數、一乘、二十四除，為一差；置一差，九乘、八十除，

為二差；置二差，二十五乘、一百六十八除，為三差；置三差，四十九乘、

二百八十八除，為四差；置四差，八十一乘、四百四十除，為五差；置五差，

一百二十一乘、六百二十四除，為六差；

求乘除之數術云：並所求之差數與前差數，自乘，為乘數。如求五差之乘，

並前差數四與所求之五，為九，自乘，八十一，為乘也。其除數倍之，加三 十二，減前除，為次除數。如，倍三差之除數一百六十八，為三百三十六，

加三十二，共三百六十八，內減二差之除數八十，余得四差之除數二百八十 八也。餘當推是以求。

不止作右六差，當如右求乘除數，以逐求差數。

原數與後差相並為周法也。²¹³

《圓周率》術文給出小數點下 43 位的圓周率，但只精確到小數點下第 42 位。「求圓周法真術」的公式是

，與《方圓算 經》中的公式乘開後的一樣！對照《圓周率》術文的「求乘除之數術云」內容，

212 轉引自徐澤林，《和算選粹補編》，頁 378~380。原術文為由上自下，由右至左書寫，筆者基 於排版方便，故將其逆時針轉九十度呈現。

213 轉引自徐澤林，《和算選粹補編》，頁 388~389。原術文為由上自下，由右至左書寫，筆者基 於排版方便，故將其逆時針轉九十度呈現。

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與《方圓算經》「求周數」求逐差的方式相較，《方圓算經》「求周數」使用「唱 率、陰率」的求逐差方式比較抽象且有規律。另外，從「求乘除之數術云」內容，

可以推測松永可能使用依據前幾差算出的結果再歸納求逐差的方式。

綜合以上圓周率的討論，《方圓算經》的數學知識比《圓周率》、《方圓雜算》

兩本著作來得正確，而《方圓算經》的數學方法與《方圓雜算》、《圓周率》相較，

已經能寫成無窮多項的級數，又賦予陰率、陽率、唱率、應率等率，使得更加抽 象化與一般化。因此，只看圓周率 部分，松永似乎是將研究成果中較好的成果 放到《方圓算經》。

另外筆者整理松永的先師關孝和與建部賢弘對圓周率的研究。

根據劉雅茵的資料，關孝和的《括要算法》貞卷的求圓周率術是先從正四邊 形出發，逐次對邊數增加二倍的方式來割圓，最終割到正 131072(即 2¹⁷) 邊形才 停止，並以「勾股術」(即現今之畢氏定理)求弦，弦是下一個正多邊形的邊長，

將邊長乘上邊數即可得到周長。接著，關孝和利用增約術加速逼近圓周長近似值，

令圓內接正 2^m邊形的邊長為 am與周長為 lm，各周長差 ，即 。關 孝和假設

以下的

所有值都與其相等，得到圓周 l16

+(l

17

- l

16

) +(l

18

- l

17

)+...=

l

16+ + +…= l16+

= l16+

3.14159265359。關氏做17次後，

精確到小數點下第 10 位。²¹⁴

根據徐澤林的資料，建部賢弘在《綴術算經》的「探員數第十一」中，使用 累遍增約術求圓周率。先採用割圓術，以圓內接正多邊形的周長冪，逼近圓周長 冪。將周長冪記為 ，表示成 初始近似值序列，也就是 。用

割圓術求出截周冪序列 ，觀察一階差分(各一差)，即

，各一差形成等比數列的公比是 ，

，為一遍約周冪。由第一遍增約(和算家稱無窮 等比級數求和為增約術)得到第二次近似值序列 ，其差 分(各二差)，即 ，各一差形成等比數列的公比是 ，

214 參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 117~120。

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，為二遍約周冪，仿 此做到第八遍約周冪，作為定周冪 。²¹⁵然後，建部賢弘在《綴術算經》中寫下

「用碎約之術，求得徑一尺之定周為三‧一四一五九二六五三五八九七九三二三 八四六二六四三三八三二七九五○二八八四一九七一二強，以零約術造徑周之率」

216，徐澤林說，建部做到八遍，精確到小數點下第 41 位。徐澤林表示，這邊的

「零約術」是建部賢明的方法，是利用輾轉相除得到逐次不完全商 、 、...、

，記成連分數的形式 ， ， ， ，算出 ， ， ， 。演算 過程是： 餘 ， 餘 ， 餘 ，…，

餘 ，令 ，

， ， ， ， ， 由此得到 的漸進分數序列： (k=1,2,3,…,n)。²¹⁷

綜合以上討論，關孝和用割圓術與增約術求 ，而建部賢弘則使用累遍增約 術求 再零約術求 ，松永在《方圓算經》中分別呈現 與 ，這三位所使用的 數學進路方法都不同。由前述得知，關孝和做 17 遍，才精確到小數點下第 10 位；建部的方法做到第 8 遍，精確到小數點下第 41 位；松永做到第 74 差，精確 到小數點下第 49 位。對於 的精確成果，松永最精確，建部賢弘次之，關氏最 差。以收斂速度而言，雖然三人中建部的方法最快，松永次之，但是建部的計算 過程卻不如松永的簡易。²¹⁸總之，《方圓算經》關於 的研究突破關孝和、建部賢 弘的數學進路方法，甚至超越了關孝和、建部賢弘對於 的精確程度。松永的超 越呼應江戶時代和算家們對更精進數學境界的追求。

松永在《方圓算經》的編排方面，分別列出求周數冪 ( )與求周數( )公式。

從《方圓算經》序文中「故向既記弧背草，今又依開差之奇計，而布綴術之真演，

以啟微妙通玄之實路，而見弧背循環之淵源。」²¹⁹，推測兩公式間可能有推導關 係，即依「開差」與「綴術」的方法，但前述「圓率」所載的具體數學內容分析，

我們無法確認公式間的推導關係。因此 與 公式是否存在推導關係，有待考察。

那麼松永將 (求周數冪)與 (求周數)公式並列，有什麼用意呢?筆者從現代

215 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 290~291。

216 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 276。

217 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 291~292。建部賢明的零約術關孝和的零約術程序不同。若讀 者有興趣想深入瞭解，請參考徐澤林的《和算の諸約術と Diophantus 近似及びその中算の源流》，

《數學史研究》，2004，Vol.182,No4。

218 筆者用 matlab 計算松永 的級數公式，如果精確到小數點下第 10 位(關孝和的成果)，松永的

218 筆者用 matlab 計算松永 的級數公式，如果精確到小數點下第 10 位(關孝和的成果)，松永的

在文檔中 松永良弼《方圓算經》之內容分析 (頁 67-78)