小分析；從關氏的增約術上，以導函數求多項式函數極值的算法開創了累遍增約 術。68
當時還有其他和算家的開拓，但與《方圓算經》無關，筆者僅簡單舉例說明，
例如島田尚政出版和算史上第一本行列式刊物，他的演段消元之法採用今天所謂 的 Vandemonde 展開法。田中由真也有演段消元之法，使用傍書法和行列式展開 法。享保年間的其他和算家還提出不知段數術、極數術、整數術等。69
和算家在中算家的算學基礎上有了新創造，和算開始獨立發展。和算家們的 百花齊放，讓當時的和算知識有許多的發展。從前述江戶前期和算家們研究的內 容，我們大概可以歸納出三個當時的算學特色：(一)和算家對幾何很有興趣(二) 無窮小算法(三)精緻化的算法與卓越的計算能力。70
II.2《方圓算經》的作者
現在討論《方圓算經》的作者 — 松永良弼，分別深入探討他的生平、交遊、
數學學習以及數學著作與成就，最後著眼於江戶時期藝道的「家元—免許制度」
方面，探討松永對關流免許71制度的貢獻。
II.2.1 松永良弼的生平與交遊
松永良弼(Matsunaga Yoshisuke，1692?~1744)，原姓寺內，名平八郎良弼，
後來改姓松永，通稱安右衛門、初名權平，號東岡、龍池、探玄子、葆真齋，東 溟等。《方圓算經》的署名是東岡良弼。作者何時何故由寺內改為松永，根據徐 澤林從松永良弼的著述署名推斷，改姓時間應是他 24 歲左右，即享保元年(1716) 前後。松永良弼生年不詳，延享元年(1744 年)卒於江戶。徐澤林推斷松永出生於 元祿五年(1692)前後，並指出松永良弼不是長子而且家中有十位兄弟。依據《內 藤家文書》記載，松永良弼原本是久留米藩(今九州地區福岡縣境內)的浪人，享 保十七年(1732)十二月十五日，受聘於磐城平藩(今福島縣境內)第六代藩主內藤 政樹(1703~1766)，因「功於算術」，成為內藤的武士。順帶一提，第六代藩主內 藤政樹本身愛好並重視算學，因此松永可以憑藉著數學能力成為內藤家的武士。
松永原先的俸祿為金六兩，72三人扶持，在享保二十年(1735)，增為金七兩、四
68 累遍增約術，即 Romberg 算法的數值逼近算法。參考徐澤林，《和算選粹》，頁 22~25。
69 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 22~29。至於不知段數術、極數術、整數術等術，筆者不在此多 做敘述。
70 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 50~51。
71 免許狀就如同今日的證照，有等級之分。
72 俸祿相當於現今的年薪。
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人扶持，元文三年(1738)十一月又改為切米 35 俵。73到了晚年，寬保二年(1742) 正月追加 5 俵、一人扶持，計為 40 俵、五人扶持。74他到晚年六七年間才有不 錯的薪水。75
依據《荒木先生茶談》及松永授予西冢重胜的「免許狀」表明，76松永在江 戶曾師事關孝和的弟子荒木村英。77藤田貞資的《精要算法》序文中提到：「我東 方言數者關夫子也，夫子授之荒木子村英，建部子賢弘，荒木子授之松永子良弼，
建部子授之中根元圭，夫子未及校閱之書，交與荒木子，荒木子又傳與松永子，
松永子盡校其書加以己意，關夫子之書得以集成。」78荒木村英年齡已高，故將 未及整理校閱的關孝和的遺稿傳給松永，松永繼承發展關氏的數學思想，被視為 關流第二代宗統傳人。目前和算史界普遍認同的關流歷代宗統傳人關係如下79：
關孝和─荒木村英─松永良弼─山路主住─安島直圓─日下誠─內田五觀 ─川北朝鄰─林鶴一
久留島義太
關孝和─建部賢弘─中根元圭─中根彥循─幸田親盈─金井兼庭─本多利 明
澀川春海 從關流歷代宗統傳人關係，能看到松永和久留島義太(Kurushima Yoshihiro，？
~1757)與中根元圭(Nakane Genkei，1662~1733)有交遊互動關係。烏雲齊齊格指 出，久氏經常和松永共同探討問題和交換彼此的想法。80
久留島義太是靠自學而成為數學家，是和算史上少見的數學奇才，其業績可
73 「俵」是用稻稈編成的袋子，用來裝穀類、根莖類或木炭等。參考遠藤寬子作；周若珍譯，《算 法少女》，頁 137。
74 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 388~392；烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展 模式》，頁 198。
75 根據大口求理的說法，金一兩約等於現今的十萬日圓，一俵大約是現今 60 公斤的米，一石等 於 2.5 俵大約是現今 150 公斤的米，江戶時代 30 俵以下給金，30 俵以上給扶持米，當時 30 俵至 400 俵相當於現今之中產階級。經筆者換算，松永原先的俸祿金六兩相當於現今之 60 萬日幣，
如果以 0.4 匯率換算日圓與台幣，他原先的年薪只有 24 萬台幣。元文三年改為切米 35 俵，算是 晉升為中產階級，經筆者換算後，他的年薪有 56 萬台幣。寬保二年增到 40 俵，松永年薪是 64 萬台幣，到晚年才有不錯的薪水。參考網站 http://www.m16.cn/005-rbdw/bb-1/kk5.html，大口求 理撰寫的〈江戶的武士與商人〉。
76 《荒木先生茶談》是由松永筆錄關孝和與荒木村英口述的一些前代數學逸聞。參考烏云齊齊 格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 96。
77 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 389。
78 轉引自烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 170~171。
79 引自烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 174。
80 參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 175。
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與關孝和、建部賢弘等相提並論。個性散漫、不拘小節，沒有自己的門派。中根 元圭(Nakane Genkei，1662~1733)為建部的弟子，以擅長曆算聞名。徐澤林指出，
中根元圭在享保六年(1721)自京都來到江戶，此時久留島氏在江戶打著「算術指 南」的旗號，自立門戶授徒，松永和中根元圭常去拜訪。81徐澤林還指出：
享保三年，內藤政樹成為磐城平藩第六代藩主，此人愛好算學，招請久留島 義太。據《內藤家文書》記載，享保十四年四月十五日，久留島義太受十人 扶持米，受召時間是享保十五年五月。享保十七年(1732)十二月，松永良弼 也受聘於內藤家。久留島義太在磐城平藩的延岡時，松永良弼在江戶，他們 經常還書信連絡，一直持續到延享元年(1744)六月二十三日松永良弼歿。82 據幕末關流數學家藤田貞資記錄整理山路主住言論的抄本《山路君樹先生茶 談》，記錄了不少松永和久留島、中根等交遊的趣事，我們來看一則趣事敘述：
有人拿「求製作斗笠所需線之長度」這樣的問題去請教松永(良弼)先 生，松永先生說，能解答此問題的有中根與久留島兩人，如果去請教中根，
他會馬上給予回答，而若請教於久留島，他會對你說，這個問題沒有正確的 解法。當分別去問這兩位先生時，結果正如松永所說。83
總之，松永與久氏、中根三人，是很熟識且常有學術互動的朋友，在學術上熟悉 彼此的數學能力與見解，常互相影響數學想法。
II.2.2 松永良弼的數學學習與數學著作成就
首先來看松永的數學學習。誠如前述，松永在江戶曾師事關孝和的弟子荒木 村英，然而，他向荒木學習的數學知識並不多，據「《括要算法》出版時建部賢 弘曾說：『括要算法，是荒木從關孝和之未亡人處借原稿而出版的，荒木不知算 術，為揚己名之不埒者』。」，84徐澤林表示，也許是因為松永師從荒木的時間不 長，所以，在荒木那裏學到的數學知識並不多，松永約於 24 歲時鑽研《括要算 法》後才學力大增。
荒木村英於享保三年(即 1718 年)去世，建部賢弘的圓理研究於享保七年 (1722)開創，松永良弼享保十七年(1732)供職於內藤家，而建部賢弘元文四年 (1739)去世。因此，在松永良弼供職於內藤家與建部賢弘去世前，有七年的時間。
徐澤林說松永在這段時間有機會接受建部的教導並獲得各種算書。此外，建部的
81 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 30、341、389~390；馮立昇，《中日數學關係史》，頁 135、187~191。
82 引自徐澤林，《和算選粹》，頁 390。
83 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 343。
84 引自徐澤林，《和算選粹》，頁 389。
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圓理並未由建部的弟子中根元圭、池部清真、小池友賢等發展，僅松永推廣對建 部的圓理。《方圓算經》求背冪公式與建部《綴術算經》公式相同(詳見 III.3 節)。
總之，從數學成果內容的關係來看，松永似乎更像是建部的弟子。85 前述松永與中根元圭、久留島義太等常有學術互動，
這也影響松永的數學學習。《方圓算經》第一卷求背冪與 求矢公式和久留島《久氏弧背草》公式相同(詳見 III.3 節)。
根據馮立昇，中根元圭通過梅文鼎的著作掌握三角學知識 並著《八線表算法解義》，該書以《曆算全書》的三角函 數表與三角學知識為基礎，對三角函數表的原理和用法進 行了論述與說明。《方圓算經》似乎有受到三角學的影響(詳
見 IV.1 節)。86 圖 II.2-187
誠如前述，當時八代吉宗將軍任命建部賢弘為曆學顧問，中根元圭等人協助 改曆。他當時已經四十多歲，可能從建部那獲得豐富的曆算書。處在幕府推行改 曆活動的環境中，松永也熱情研究天文曆學，如後所述松永完成的書籍中《天經 或問發揮》就是一本天文學著作。可見松永也學習了一些西方天文學知識。
綜合前述，松永繼承關孝和、建部賢弘等人的一些學術成果，也吸收久留島 義太、中根元圭的數學成果，那松永有什麼數學著作與成就呢？徐澤林指出，松 永一生著述豐富，所有書籍都傳給弟子山路主住，後來山路主住受到久留米藩第 七代藩主有馬賴徸(1714~1783)的庇護。有馬賴徸的《拾璣算法》多含松永的數 學研究成果。1769 年《拾璣算法》公開後秘傳的關流算學才得到公開與普及。88 筆者將松永的著述分成青年時期、享保元年至享保十一年間、享保十七年至 元文元年間、元文三年至延享元年 (晚年的六、七年間)等四個時期討論，並簡 單地對各著述做相關說明。由於在台灣取得松永的書籍不易且松永書籍眾多，限 於時間精力，筆者僅就所掌握到的資料做說明，其他未掌握到的書籍，有待考察。
松永良弼青年時期的著作與成書時間，如下：
(1) 《勾股變化之法》時間不詳 (2) 《算法集滙》約正德四年
(3) 《解伏題交式斜乘之諺解》正德五年 (4) 《垜積招差之新術》正德六年
(3) 《解伏題交式斜乘之諺解》正德五年 (4) 《垜積招差之新術》正德六年