II. 3《方圓算經》簡介與重要性
IV.4 綜合分析與總結
《方圓算經》第二卷「方率」，包含方率與捷術。第三卷「圓充方」，包含圓
458 筆者用現代數學算得十角徑一尺距三矢約為 2.0610737385376343541564702268046 寸。
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164 約為 1.5388417685876267013 寸)
十一
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「合真數幾位」，相當於說明準確到小數點下第幾位的名詞，松永利用實際數字 值驗證公式近似的精確度。筆者從現代數學方法切入，雖然不符史實合理性，但 能從具體的數學對照理解他可能的想法。筆者比較方率求角中徑冪、角中徑、捷 術求角中徑的收斂速度，發現由快至慢依次為捷術的求角中徑，其次是方率求角 中徑冪，再次是方率求角中徑。459筆者還比較方率與捷術的距面弦公式，發現捷 術距面弦公式比方率距面弦公式快很多。460松永在卷二捷術開始時說「求角中徑 及距面弦徑術已盡矣，然甚難澀也。故設捷術，而較簡易之矣。」461看來松永知 道捷術角中徑比方率角中徑冪、角中徑簡易，觀察捷術與方率公式，會發現捷術 公式在操作上確實較簡易。由於松永沒有多的評價說明，因此無法斷定他是否知 道捷術角中徑公式的正確性。以現代數學的觀點，後面的公式應該比前面的公式 收斂更有效率，後面的公式才有價值。松永在方率中先給角中徑冪再給角中徑公 式，但收斂沒有更快速。他可能是將公式都收集到書中並將公式並列。《方圓算 經》做為一本「經」書，為何要並列呈現三個求角中徑公式、並列呈現兩個求距 面弦的公式，而不只呈現最好的一個呢?他可能是要「炫耀」研究的成果。松永 的捷術分別使用太陰率求角中徑與平中徑，我們從數學具體內容切入，可以分別 看到 與 的泰勒展開式。他展示方率後，展示較簡易的捷術公式，透露出 他追求更精緻的算法精神與作為，呼應當時和算藝道化的風潮。
松永在方率中分別先列出求角中徑冪再列求角中徑公式的編排。從《方圓算 經》序文中「故向既記弧背草，今又依開差之奇計，而布綴術之真演，以啟微妙 通玄之實路，而見弧背循環之淵源。」462推測兩公式間可能有推導關係，即依「開 差」方法使用「綴術」的方式，但根據具體的數學內容(詳見 IV.1.1 節)，我們沒 能發現兩公式間有先後推導關係。那麼松永將角中徑冪與角中徑公式並列呈現。
仔細觀察這兩個公式，不同的地方在於角中徑冪術要多做一次開根號的動作，但 是以計算上來說，角中徑冪術需多做一次開方就可以少算幾個差術，就可以達到 角中徑術要繁雜地多算幾個新的差數的結果，故角中徑冪術比較好。儘管如此，
角中徑冪與求角中徑公式是否實際存在推導關係，有待考察。
松永在捷術立表術文的開頭說：「今有幾角、角面若干、問角中徑 (問平中 徑或問距幾面弦)」。經筆者驗算，卷尾捷術立表求角中徑與平中徑的術文確實
459 卷二捷術的求角中徑算到五差就已經精確到小數點下第 10 位，卷二方率求角中徑冪、卷二方 率求角中徑算到五差都才精確到小數點下第 4 位而已，故繼續分別計算到第七差，發現求角中徑 冪術的角中徑準確到小數點下第 6 位，但是求角中徑術的角中徑才準確到小數點下第 4 位。所以 卷二捷術的求角中徑最快，卷二方率求角中徑冪術的收斂速度次之，最慢的是卷二方率求角中徑 術。
460 筆者計算十角，面五寸，距三面弦。用現代數學結果是 13.090169943749474241022934171828 寸，用方率距面弦公式算到五差的結果是 13.09024258048，才準確到小數點下第三位。用捷術距 面弦公式算到五差的結果是 13.0901699436706，準確到小數點下第九位。
461 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 432。
462 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 403。
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是對任意角數與任意角面都可以計算，求距面弦對任意角數、任意角面、距任意 面弦也都可以計算。
卷尾捷術立表的術文中，松永藉由逐次增加角數的角中徑的精確程度寫下心 得「故角數益多、合益密也」。他說要精確到幾位要用到幾差「若欲寸下十位密 合、則以角數冪、為準角數冪、一百上者、以五差為限、一千上者、以三差為限、
一萬上者、以一差為限也。若欲六位密合、則角數冪一百上者、以三差為限、一 千上者、以二差為限、一萬上者、以一差為限。」，按照術文(詳見 IV.3.2 節)內 容，他應該也是憑藉實際數字的計算再說明心得。平中徑與距面弦的術文，他也 憑藉實際的數字做說明。由此，可見松永具有精於計算的特質。
在 IV.3.2 節，筆者對照相關的《圓周率》「角法秘授」術文，發現《方圓算 經》術文較完整、逐差數列表數值也較正確。他在《圓周率》上的求角中徑術文 末尾寫「其術記於別書」，別書應該就是指《方圓算經》。463因此，即使《方圓 算經》的部分內容與松永其他的數學著作重疊，然而此書的內容比較清楚明確。
表 IV.4-2 卷二捷術角中徑十角面一寸各差數 表 IV.4-3 卷尾角中徑捷術立表 原數一寸五九一五四九四三○九一八。 原數 0.159154943091895 一差○寸○二六一七九九三八七七九九 一差 0.26179938779914 二差○寸○○○三○一四四九九一二一 二差 0.301449912169 三差○寸○○○○○三一三七一○六五 三差 0.3137106557 四差○寸○○○○○○○三一七一一 四差 0.31711081 五差○寸○○○○○○○○○三一八 五差 0.318004
比較卷二捷術與卷尾捷術立表的計算結果，發現捷術立表比捷術精確。但捷 術立表各差數據的計算卻不如捷術的計算方便，因為數字大很多。據筆者觀察比 較卷二捷術與卷尾捷術立表逐差數(以角中徑術為例，見表 IV.4-2、表 IV.4-3)，
松永應是調整捷術所算得的差數，轉變成立表的差數。(詳見 IV.3.2 節)
角中徑、平中徑在關孝和《括要算法》有出現過，關氏以正三角形至正二十 角形邊長表示內切圓與外接圓半徑之關係方程式，透過解方程式求角中徑與平中 徑。464與表 IV.4-1 角中徑、平中徑無窮級數公式不同，松永對角中徑、平中徑深 化且創新。
IV.4.1.2 綜議「圓充方」
表 IV.4-4 圓充方相關的內容
463 參考徐澤林，《和算選粹補編》，頁 395。
464 參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 34、142。
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求 距 面 矢
(原數-(一差-(二差-(三差-(四差 -五差 ) ) ) ) ) d。
圓直徑為一尺(即 d 為 10 寸)，
角數 n 為 10，距三面矢為 2.0610575385127(筆者使用現 代數學算得
2.06107373853763435415647 02268046 寸)
五 位 合
觀察表 IV.4-4，捷術補求角面、求距面弦、求距面矢的公式比圓充方更精準。
我們從具體的數學切入，有助理解松永的想法，但不保證還原松永的想法。捷術 補術文使用的圓周率位數可視情況調整，圓充方原數使用的周法 3，圓周率的使 用雖能提高精確性，可是捷術補公式更精準的原因其實是捷術補的無窮級數公式 本身較精準，捷術補的公式恰好能對應到三角函數 sinx 與 cosx 的泰勒展開式(詳 見 IV.3)。前述有關角術的內容，松永都有寫出精確的位數，而圓充方相關的範 疇，從表 IV.4-4，看到松永僅於卷尾圓充方立表寫出相當於有做驗證的名詞「合 幾位」。筆者從現代數學方法切入探究，這樣做雖然不符史實合理性，但能從具 體的數學對照理解他可能的原因。筆者驗證松永卷三圓充方求角面與卷尾捷術補 求角面級數公式的收斂速度，發現卷尾捷術補角面公式的收斂速度比卷三圓充方 角面公式快非常多。(詳見附錄三) 松永僅解釋捷術是「設捷術，而較簡易之」，
對照表 IV.4-4 中圓充方公式，在操作上確實較簡易。他沒有驗證卻能將公式放入 捷術補章節，說明他可能明白捷術是在操作上較簡易。可是松永沒有多做說明，
因此無法斷定他是否知道捷術補是正確的公式。465儘管如此，松永對更精緻算法 的追求，精益求精的算學風格，實屬當時和算的風潮。
松永未於術文中給出圓充方立表的求逐差推導過程，筆者觀察捷術補圓充方 的求角面、距面弦、距面矢，發現逐差與捷術補都有倍數關係，距面弦(矢)則要 多乘以距數做調整。(詳見 IV.3 節)松永在圓充方立表中推出新的算法，但比較表 IV.4-4 中捷術補與圓充方立表的計算結果，發現兩者結果不會差太多。新的算法 (捷術立表)只需用一組數據，代入相對而言操作較簡單的公式。捷術補的各差要 算 或 ，立表只要算 或 ，圓充方立表的公式操作上較好計算。
筆者也驗證松永卷三圓充方求距面斜弦、卷三弧中截斜求距斜弦與卷尾捷術 補求距斜弦級數公式的收斂速度，發現卷尾捷術補求距斜弦非常快。但如果拿圓 充方求距面斜弦、卷三弧中截斜求距斜弦兩公式比較，則要將弧中截斜求距斜弦
465 儘管當時和算家中根元圭有三角學的著述(見 II.2.2 節)，松永很有可能有機會接觸中國的三角 學知識或至少曾有過三角知識的刺激。限於資料，筆者無法確定此三角學的冪級數展開式是否是 松永自創。中國是在十八世紀末之後，明安圖、戴煦等研究正弦、正矢、正切等與弧度間的相互 關係，給出三角函數的冪級數展開式。年代都比松永晚。參考李儼、錢寶琮，《科學史全集第五 卷》，頁 352。
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的通弦用直徑替代，此時矢就等於半徑，(如果徑 d 等於 1 則矢 c 等於 0.5，就大 於 0.25)時，卷三弧中截斜求距斜弦收斂速度比卷三圓充方求距面斜弦慢。松永 卷三弧中截斜求距斜弦(演算例題取徑一尺，矢二寸，松永的 c 為 0.2)，矢 c 小於 0.25 時卷三弧中截斜求距斜弦比卷三圓充方求距面斜弦快。466由此具體的數學對 照，大概可以想像松永為何要在卷三介紹圓充方求距面斜弦和弧中截斜求距斜弦，
因為將弧中截斜的公式將通弦用直徑取代，計算時會比直接用圓充方求距面斜弦 來得慢。圓充方求距面斜弦問題是的特例，而弧中截斜公式可以看成圓充方求距 面斜弦的推廣。從距面斜弦公式又見識到松永不斷研究精進數學方法的風格。
因為將弧中截斜的公式將通弦用直徑取代，計算時會比直接用圓充方求距面斜弦 來得慢。圓充方求距面斜弦問題是的特例，而弧中截斜公式可以看成圓充方求距 面斜弦的推廣。從距面斜弦公式又見識到松永不斷研究精進數學方法的風格。