總結

經前三節詳細分析與討論，概括出以下幾點：

一、松永在卷首「方圓算經率引」闡述《方圓算經》的數學思想，其中使用象數 易學論述數的啟發，對於我們要分析解讀《方圓算經》的數學公式無關。

二、在「第四章率原」(見 III.1.4 節)，松永良弼給各種數列的規律，包括陽率(奇 數乘偶數)、應率(偶數平方)、陰率(偶數乘奇數)、唱率(奇數平方)。另外，

松永給出非對稱模式的賈憲三角，但沒能在《方圓算經》中找到他直接使用 非對稱模式賈憲三角形的證據。

三、太陰率(即分數數列，

或 、

、

、

、

、…)，伯努利數列與太陰率 數列有互相推導關係。松永使用太陰率將方垛( 寫成 n 的多項式，r N。) 由關孝和的十乘垛推廣到二十乘垛，從數學具體內容看太陰率程序性演段解 方垛具合理性，似乎是觀察歸納關孝和《括要算法》垛積公式而來。表面上 松永只用太陰率解方垛超越關氏使用賈憲三角並搭配伯努利數，然而，松永 的方法卻不會比關氏簡便。松永太陰率演段中的「得各級數與空級」所產生 的效果類似賈憲三角各列的項次，太陰率出發得到的效果類似伯努利數。總 之，松永於太陰率知識及程序性演段解方垛方法上都有所拓廣與創新。

四、《方圓算經》第一卷的內容，整理於表 III.4-1、表 III.4-2、表 III.4-3。

表 III.4-1 圓率的兩個公式 圓率各公

式

用現今數學符號表示(其中 d 為直徑) 松永的數據為圓徑一十 寸，計算至五差的結果 周冪=原

數+一差+

二差+三 差+四差+

五差+…

周冪 986.9469696969 (筆者用現代數學算得圓 周長平方約等於

986.960440108935861883 44909998762)

293 以精確到小數點下第五位而言，松永只要做六次(共加六項，即做到第五差)，但劉徽要做八 次(即做到 S8)。

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*筆者用現代做法求弧長，背 0.6435011088(背冪 0.6435011088)

*長遠地看四個弧背公式，收斂速度由快至慢的次序是中元率、外元率、求背冪、內元 率。(詳見附錄三)

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也許他是想「炫耀」成果，僅管如此，他不斷精進數學問題的精神，符應當 時和算藝道化的風潮。

八、太陰率、周冪、周數、弧背、矢、弦等數學方法多元發現、承襲先人數學、

影響後人深化 (見表 III.4-4)。

九、以《方圓算經》第一卷的內容來說，松永其他的著作(《方圓雜算》、《圓周 率》等)中也有許多相關的研究成果，經過詳細分析探究，發現松永撰寫時，

有擷取的標準，他將較一般化、計算較準確、有較好的研究成果放入《方圓 算經》。儘管松永弧背冪、求背術中元率、求弦、求矢等公式可能曾參考其 他和算家，但這不足以影響我們對他在和算圓理上貢獻的評價，他在前人的 基礎上對公式(見表 III.4-4)做推廣與精進。松永做為具代表性的和算家，他 對數學的不斷精進與追求，正符應江戶時代和算的藝道化氛圍。

表 III.4-4 松永承襲前人的數學並創造拓展無窮級數公式

章名 公式 出現相同的公式 筆者解讀

圓率 周數冪 中國清代算學家徐有壬(?~1860) 數學多元發現 圓率 周數 久留島義太《久氏弧背草》(年代不詳) 數學學術交流

梅瑴成(1681~1763)《赤水遺珍》翻譯的 杜氏三術第一術

數學多元發現 弧背率 背冪 建部賢弘《綴術算經》(1722 年)半背冪 松永承襲先人

久留島義太(與松永常有學術往來的和 算家)《久氏弧背草》(年代不詳)

數學學術交流 明安圖《割圓密率捷法》(1774)第八術 數學多元發現 弧背率 背數內元率 間重富《算法弧矢索隱》(1801) 影響後人深化 弧背率 背數中元率 鐮田俊清《宅間流圓理》(1722) 承襲先人或數

學多元發現 安島直圓(1732~1789)《弧背術解》 影響後人深化 弧背率 求矢 梅瑴成(1681~1763)《赤水遺珍》翻譯杜

氏三術的第三術

數學多元發現 弧背率 求弦 鐮田俊清(1678~1744)《宅間流圓理》 承襲先人或數

學多元發現 明安圖的《割圓密率捷法》(1774)杜氏

三術的第二術

數學多元發現

小出兼政(1797~1865)《圓理算經》 影響後人深化 太陰率 太陰率之解

方垛

關孝和《括要算法》(1712)從圭垛到十 乘垛(松永《方圓算經》做到二十乘垛)

拓廣數學知識 與創造新方法 十、有待考察的部分：(一) 與 公式、弧背冪與弧背是否實際存在推導關係；(二)

《方圓雜算》術文的解讀仍有待考察；(三)松永《圓周率》有求弦長，兩個

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求弦的公式，是否使用幾何線段的比例關係；(四)太陰率之解方垛演段是否 依據觀察歸納而來；(五)太陰率演段程序性解方垛融入伯努利數有合理性，

雖然如此，但我們還是不知道其中的數學推導滿足程序性，是如何而來，有 待考察。

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第 IV 章、《方圓算經》內容分析(下)