方率與捷術

第二卷的名稱是「方率」，方率即和算家獨創的的「角術」領域。²⁹⁵第二卷 包含方率與捷術。IV.1.1 節呈現方率，含求角中徑冪、求角中徑、求距面斜弦。

角中徑冪即正多邊形外接圓半徑的平方，接下來是角中徑，距面斜弦，面是指正 多邊形的邊，那兩個邊左右兩端的端點所形成新的弦就是距二面斜弦，距三個面 就是距三面斜弦，以此類推。IV.1.2 節呈現捷術，包含利用太陰率給出求角中徑、

求平中徑(即是正多邊形內切圓的半徑)、求距面弦等更快速的冪級數公式。²⁹⁶

IV.1.1 方率

首先是方率的求角中徑冪，原術文如下：

第一 求角中徑幂

解曰：眾角湊心之一點，名曰中，從中距角尖之線，謂之角中徑，則周

圓半徑也。

隨陽率，先設標率。

解曰：從方面求角中徑之術，甚難澀也。先由角數，以立為差率也。其

乘率以干名之、其除率以支名之，以分異之也。

角數冪一段，內減三十六，餘名曰甲，角數冪一十二段，名曰子。

假如十角者，角數自乘之，得一百，內減三十六，餘六十四，名甲。角 數冪一十二段，得一千二百，名子甲與子互相減，得紐數，一十六，

以約兩數，得甲四，子七十五 。²⁹⁷

角數冪四段內減三十六，餘名曰乙，角數冪三十段，名曰丑。

角數冪四段，得四百，內減三十六，餘三百六十四，名乙，角數冪三十 段，得三千，名丑乙與丑以紐數四約之，得

乙九十一，丑七百五十 ，後仿於此。

角數冪九段，內減三十六，餘名曰丙，角數冪五十六段，名曰寅。

295 角術的研究在關孝和之前叫做「角法」，是中國古代數學以及印度、阿拉伯數學從未涉及的一 個領域。參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 135。

296 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 392，頁 394~395。

297 徐澤林說「紐數」是最大公因數。中國古代使用「等數」表示最大公因數，例如《九章算術》

方田章「約分術曰：…以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。」關孝和《括要算法》亨 卷互約術：「六與八互減，得等數二，以約六為三」，關氏也用「等數」表示最大公因數。馮立昇 說和算家使用「紐數」是受梅文鼎《曆算全書》中《筆算》「以等數除母，子數，則皆餘盡，西 人謂之紐數」影響。松永使用「紐數」，不同於先師關氏，呼應他的數學學習歷程中曾研究過曆 算(見第 II 章)，至於他是否如同馮立昇所說，受梅氏的曆算書籍影響，筆者無法斷定。參考徐澤 林，《和算選粹》，頁 458；郭書春、劉鈍校點，《算經十書》，頁 86；劉雅茵，《關孝和括要算法 內容分析》，頁 66；馮立昇，《中日數學關係史》，頁 191。

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角數冪一十六段，內減三十六，餘名曰丁，角數冪九十段，名曰卯。

角數冪二十五段，內減三十六，餘名曰戊，角數冪一百三十二段，名曰 辰。

遞推之，立設逐干支數。

解曰：其干支者，紐數而等者，則等約之。

甲六十四、紐四 子一千二百、紐七十五 乙三百六十四、紐九十一 丑三千、紐七百五十

丙八百六十四、紐二十七 寅五千六百、紐一百七十五 丁一千五百六十四、紐三百九十一 卯九千、紐二千二百五十 戊二千四百六十四、紐一十四 辰一萬三千二百、紐七十五 置面冪，以角數冪相乘之，如三十六而一，為原數。

假如以角面五寸求之者，置角面，自之，得二十五寸，以角數冪一百相 乘之，得二千五百寸，如三十六而一，為原數。

原數六十九寸四四四四四四四四四四四 甲乘子除原數，²⁹⁸得一差。

置原數，以甲相乘之，得數以子除之，得一差。

一差三寸七○三七○三七○三七○三七

乙乘丑除原數，²⁹⁹內減一差，餘甲乘，子除，得二差。

置原數，以乙乘之，以丑除之，得八寸四二五九二五九二五九，內減一 差，餘四寸七二二二^連二，以甲相乘之，以子除之，得二差。

二差○寸二五一八五一八五一八五一八

丙乘寅除原數，³⁰⁰內減一差，餘乙乘，丑除，得內減二差，餘甲乘，子 除，得三差。

置原數，以丙相乘之，以寅除之，得一十寸七一四二八五七一四二八五，

內減一差，餘七寸○一○五八二○一○五八二，以乙乘之，以丑除之，得○

寸八五○六一七二八三九五○六一七二八三，內減二差，³⁰¹餘○寸五九八七 六五四三二○九八七六五，以甲相乘之，以子除之，得三差，後仿於此。

三差○寸○三一九三四一五六三七八六

丁乘卯除原數，³⁰²內減一差，餘丙乘，寅除，得內減二差，餘乙乘，丑 除，得內減三差，餘甲乘，子除，得四差。

四差○寸○○五○一七八九八四九一○

戊乘辰除原數，³⁰³內減一差，餘丁乘，卯除，得內減二差，餘丙乘，寅

298 徐澤林的《和算選粹》第 423 頁的句讀錯誤，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校改之。

299 徐澤林的《和算選粹》第 423 頁的句讀錯誤，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校改之。

300 徐澤林的《和算選粹》第 423 頁的句讀錯誤，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校改之。

301 徐澤林的《和算選粹》第 423 頁的寫「乙內減二差」，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校 改之為「內減二差」。

302 徐澤林的《和算選粹》第 424 頁的句讀錯誤，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校改之。

303 徐澤林的《和算選粹》第 424 頁的句讀錯誤，經筆者上下文對照後，發現有誤，故校改之。

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除，得內減三差，餘乙乘，丑除，得內減四差，餘甲乘，子除，得五差。

五差○寸○○○八八○七五九三九六四

遞推之，得逐差，以疊減於原數，為角中徑冪。

置原數，起於一差，逐遞減之，到於五差，得泛角中徑冪六十五寸四五 一○五六○七四六二二七七、平方開之、得泛角中徑，八寸○九○一八二六 九七二二，合於真數五位。³⁰⁴

松永介紹角中徑是正多邊形外接圓半徑：「眾角湊心之一點，名曰中，從中 距角尖之線，謂之角中徑，則周圓半徑也。」，他應該有外接圓的概念。松永接 著分別用天干與地支為各乘除率命名並計算各率，筆者用現今的數學符號整理成 表 IV.1-1，其中假設角數為 n。上述「其干支者，紐數而等者，則等約之。」中

「紐」是動詞，「等」是名詞，即「等數」，現在的最大公因數。³⁰⁵甲紐是甲用甲 子的等數來約分，乙紐、丙紐…等，以此類推；子紐是子用甲子的等數來約分，

丑紐、寅紐…等，以此類推。

表 IV.1-1

乘率 甲 乙 丙 丁 戊 …

n²-36 4n²-36 9n²-36 16n²-36 25n²-36 … n=10 時 64 364 864 1564 2464 …

除率 子 丑 寅 卯 辰 …

12n² 30n² 56n² 90n² 132n² … n=10 時 1200 3000 5600 9000 13200 … 紐數 (甲，子)=16 (乙，丑)=4 (丙，寅)=32 (丁，卯)=4 (戊，辰)=176 … 約分 甲紐=

=4 乙紐= =91 丙紐=

=27 丁紐

= =391

戊紐

=

=14

…

約分 子紐

=

=75

丑紐

= =750

寅紐

=

=175

卯紐

= =2250

辰紐

=

=75

…

算出各率後，再算原數與逐差數。令面為 a、角數為 n，假設面 a 為 5、角 數 n 為 10，原數=

69.44444444444 寸。一差=原數 ^甲_子 3.7037037037037 寸。

304 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 422~424。

305 前面術文「^{甲與子互相}_{減，得紐數}」的「紐數」是最大公因數，然而這邊的「紐」是動詞，松永仍是用「等數」

表示最大公因數概念，可見松永對於最大公因數概念用「紐數」或「等數」上並沒有特別的用意，

他只是在過程中帶過「紐數」而已。

111

二差=^甲

子 (原數 ^乙

丑 一差 0.2518518518518 寸。三差=^甲

子 (^乙

丑 (原數 ^丙

寅 一差 二差 0.0319341563786 寸。四差=^甲

子 (^乙

丑 (^丙

寅 (原數 ^丁

卯 一差 二差 三差 0.0050178984910 寸。五差=^甲

子 (^乙

丑 (^丙

寅 (^丁

卯 原數 ^戊

辰 一差 二差 三差 四差 0.0008807593964 寸。繼續仿此求得逐差，角中徑冪=原數-一差-二差-三差-四差-五差-…。寫成一般式為：

…，³⁰⁶其中角數 n，面 a，角中徑 R。泛角中徑冪 65.45105607462277 寸，開平方根後，得角中徑 8.09018269722 寸，準確到小 數點下第四位。³⁰⁷

方率的第二個是求角中徑，原術文如下：

第二 求角中徑 隨陰率，先設標率。

解曰：隨陰率，由角數先立為差率也。其乘率以干名之，其陰率以支名 之。

角數冪一段，內減三十六，餘名曰甲，角數冪二十四段，名曰子。

假如十角者，角數冪一百，內減三十六，餘六十四，名曰甲。角數冪二 十四段，得二千四百，名曰子甲與子，以其紐數三十二

約之，得甲二、乙七十五。

角數冪九段，內減三十六，餘名曰乙，角數冪八十段，名曰丑。

角數冪九段，得九百，內減三十六，餘八百六十四，名曰乙。角數冪八 十段，得八千，名曰丑乙與丑，以其紐數三十二約

之，得乙二十七，丑二百五十，後仿於此。

角數冪二十五段，內減三十六，餘名曰丙，角數冪一百六十八段，名曰 寅。

角數冪四十九段，內減三十六，餘名曰丁，角數冪二百八十八段，名曰 卯。

角數冪八十一段，內減三十六，餘名曰戊，角數冪四百四十段，名曰辰。

遞推之，立設逐干支數。

甲六十四、紐二 子二千四百、紐七十五 乙八百六十四、紐二十七 丑八千、紐二百五十

306 此公式參考徐澤林，《和算選粹》，頁 394。《第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育 國際學術研討會會議論文》第 76 頁，孫成功的〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉中也有相 同的式子。

307 筆者用三角函數求得面為 5 寸、角數為 10 的角中徑為

8.090169943749474241022 寸 再將對照，確實精確到小數點下第四位。

112

丙二千四百六十四、紐一十一 寅一萬六千八百、紐七十五 丁四千八百六十四、紐三十八 卯二萬八千八百、紐二百二十五 戊八千六十四、紐二百五十二 辰四萬四千、紐一千三百七十五 置角面，以角數乘之，如六而一，為原數。

假如角面五寸者，以角數十乘之，得五十寸，以六除之，為原數。

原數八寸三三三三三三三三三三三三三 甲乘子除原數，得一差。³⁰⁸

置原數，以甲相乘之，得數以子除之，得一差也。

后悉同求角中徑術，改不作解。

一差○寸二二二二二二二二二二二二二

乙乘丑除原數，³⁰⁹內減一差，餘甲乘，子除，得二差。

二差○寸○一八○七四○七四○七四○

丙乘寅除原數，³¹⁰內減一差，餘乙乘，丑除，內減二差，餘甲乘，子除，

得三差。

三差○寸○○二三九八○二四六九一三

丁乘卯除原數，內減一差，餘丙乘，寅除，內減二差，餘乙乘，丑除，

內減三差，餘甲乘，子除，得四差。³¹¹ 四差○寸○○○三八四六二一五六三七

戊乘辰³¹²除原數，內減一差，餘丁乘，卯除，內減二差，餘丙乘，寅除，

內減三差，餘乙乘，丑除，內減四差，餘甲乘，子除，得五差。

五差○寸○○○○六八三○三一八七九

遞推之，得逐差，以疊減於原數，得角中徑。

起於一差，逐疊減於原數，而到五差，得泛角中徑八寸○九○一八六○

八七五九三九，合真數五位也。³¹³

以天干地支對各乘除率命名，隨後給出各率的計算過程與結果，用現今的數

以天干地支對各乘除率命名，隨後給出各率的計算過程與結果，用現今的數

在文檔中 松永良弼《方圓算經》之內容分析 (頁 112-134)