II. 3《方圓算經》簡介與重要性
IV.3 捷術補、捷術立表、圓充方立表
0.00030563846271 寸。
繼續仿此，求逐差數，原數+一差+二 差+三差+四差+五差+…=距斜弦。
做到五差的五斜距三弦 5.281063641601 寸。
整理求距斜弦術文的說明，距斜弦=原數+一差+二差+三差+四差+五差+…，
142
方圓算經捷術補
第一、求角面置圓徑、以圓周法乘之、以角數除之、為原數。
解曰：假如圓徑一尺、充內容十角者、置徑、以周法三一四一五九二六 五三五八九七九三乃周法位數隨用而止焉乘之、得圓周、如角數一十而一、得原數。
原數三寸一四一五九二六五三五八九七九三 置角數冪、以周法冪除之、為恒法。
置角數冪一百、以周法冪除之、得一十○個一三二一一八三六四二三三 七七七、名曰恒法。
置原數、以恒法除之、又以六除之、得一差。
一差○寸○五一六七七一二七八○○四九九七376 置一差。以恒法除之、又以二十除之、得二差。
二差○寸○○○二五五○一六四○三九八七 置二差。以恒法除之、又以四十二除之、得三差。
三差○寸○○○○○○四二○○五九九二六377 置三差。以恒法除之、又以七十二除之、得四差。
四差○寸○○○○○○○○○五七五八○九378 置四差。以恒法除之、又以一百一十除之、得五差。
五差○寸○○○○○○○○○○○○五一六379 遞推之、得逐差數、陰減陽加於原數、得角面。
十角面三寸○九○一七○一二二七○八六四380。381
這段術文是對卷三圓充方的求角面給出捷術(較簡易)，圓充方的角面是圓內 接正多邊形的邊長。假設圓直徑為 d，圓周法為 ，382角數為 n，恒法 =p。松永
376 徐澤林，《和算選粹》第 442 頁寫「一差○寸五一六七七一二七八○○四九九七」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，故校改之為「一差○寸○五一六七七一二七八○○四九九七」。
377 徐澤林，《和算選粹》第 442 頁寫「三差○寸○○○○○○四二○○五九九二六」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，建議改為「三差○寸○○○○○○五九九二六四五二九」。
378 徐澤林，《和算選粹》第 442 頁寫「四差○寸○○○○○○○○○五七五八○九」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，建議改之為「四差○寸○○○○○○○○○八二一四五八八六六 一」。
379 徐澤林，《和算選粹》第 442 頁寫「五差○寸○○○○○○○○○○○○五一六」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，建議改為「五差○寸○○○○○○○○○○○○七三七○四三○
九」。
380 徐澤林，《和算選粹》第 443 頁寫「十角面三寸○九○一七○一二二七○八六四」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，故校改之為「十角面三寸○九○一六九九四三七四九四七三五三九 六五一」。
381 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 442~443。
382 筆者假設圓周法為 ，是因為松永在上面術文中提到說「以周法三一四一五九二六五三五八
九七九三乃周法位數隨用而止焉」，他在這一題的例子中圓周率只取到小數點下 15 位，但他在雙行夾註中表示，
圓周率位數的使用可視情況調整。
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假定圓直徑為 1 尺(即 10 寸)，圓內接正 10 邊形，圓周法為 。筆者將松永求得 原數與各差數的公式以及計算的結果呈現於表 IV.3-1。
表 IV.3-1 差數名稱 各差數的公式
(恒法為 p= )
將松永求得原數與各差數的公式以 及計算的結果
原數 3.141592653589793 寸 一差 原數
0.0516771278004997 寸 二差 一差
0.000255016403987 寸 三差 二差
0.00000059926452932 寸 四差 三差
0.00000000082145886611 寸 五差 四差
0.000000000000737043095 寸
… … …
「遞推之、得逐差數、陰減陽加於原數、得角面。」大概意思是說繼續仿此 求得逐差數，再將原數減去一差加上二差減去三差加上四差減去五差加上後面逐 差數的陰差減去後面逐差數的陽差等於角面。所以十角面約等於3.09016994 3749473539651 寸。將這個算式用現今的數學符號寫成，角面=原數-一差+二差-三差+四差-五差+…=
，將p= 代入，角面=
=
。383
383 角面=
)，其中 ，正好是 的泰勒展開式，捷術補求角面公式變成 。《第五屆漢字文化圈及近鄰地區數學史 與數學教育國際學術研討會會議論文》第 78 頁，孫成功的〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉
中也有類似公式。
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觀察公式捷術補求角面公式，它恰好是 乘以 的泰勒展開式。用三角函 數來看，以圖 IV.3-1 為例，OA 為正十邊形的外
接圓半徑，半徑長為 ，OK 為等腰三角形 AOB 中角 AOB 的角平分線(K 為 AB 的中點且 OK 垂 直 AB)，AB 線段為 a(角面)。令角 AOK 為 x(x )，則a
2= ，推得a= 。此 公式恰好對應到三角函數的泰勒展開式，但松永 僅解釋捷術是「較簡易」，如果對照圓充方角面 公式(見 IV.2.1 節)，確實在操作上較簡易，此外松 永沒有評價或說明，因此無法斷定他是否知道此
公式的正確性。384 圖 IV.3-1
《方圓算經》卷尾第一部分，捷術補求距面弦的原術文如下：
第二、求距面弦
置圓徑、以周法相乘、又以距數乘之、得數以角數除之，為原數。
解曰：假如圓徑一尺、內容十角、求距三面弦。
原數九寸四二四七七七九六○七六九○七九385
置角數冪、以周法冪除之、得數又以距數冪除之、為恒法。
得恒法一個一二五七九○九二九三五九三○八五。386 置原數、以恒法除之、得數又以六除之、得一差。
一差一寸三九五二八二四五○六一三四九。
置一差、以恒法除之、又以二十除之、得二差。
二差○寸○六一九六八九八六一六九○一。
置二差、以恒法除之、又以四十二除之、得三差。
三差○寸○○一三一○五九一五二五五八。387 置三差、以恒法除之、又以七十二除之、得四差。
四差○寸○○○○一六一六八七七四八五。388
384 儘管當時和算家中根元圭有三角學的著述(見 II.2.2 節)，限於資料，筆者無法確定此三角學的 冪級數展開式是否是松永自創。中國是在十八世紀末之後，明安圖、戴煦等研究正弦、正矢、正 切等與弧度間的相互關係，給出三角函數的冪級數展開式。年代都比松永晚。參考李儼、錢寶琮，
《科學史全集第五卷》，頁 352。
385 徐澤林，《和算選粹》第 443 頁寫「原數九寸四二四七七七九六○七六九○七九」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，建議改之為「原數九寸四二四七七七九六○七六九三七九」。
386 徐澤林《和算選粹》第 443 頁寫「得恒法一個一二五七九○九二九三五九三○八五」，經筆者 對照上下文與計算，發現有誤，建議改之為「得恒法一個一二五七九○九二九三五九三○八七」。
387 徐澤林，《和算選粹》第 443 頁寫「三差○寸○○一三一○五九一五二五五八」，經筆者對照 上下文與計算，發現有誤，建議改之為「三差○寸○○一三一○五九一五二五五六」。
K
I H
J G
D
F
C E
B
A O
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置四差、以恒法除之、又以一百一十除之、得五差。
五差○寸○○○○○○一三○五六四九七。
遞推之、得逐差數、以陽減陰加於原數、得所求距面弦。
十角距三弦八寸○九○一六九九四三。389
這段術文是卷三圓充方的求距面弦的捷術。我們假設圓直徑為 d，圓周法為 ，390距數為 m，角數為 n，恒法為 p。松永假定圓直徑為 1 尺(即 10 寸)，內容十 角(圓內接正 10 邊形)，求距三面弦(即 m=3)。筆者將松永求得原數與各差數的公 式及計算結果呈現於表 IV.3-2。
表 IV.3-2 差數名稱
各差數的公式(恒法 p= ) 代入計算結果
原數 9.424777960769379 寸 一差 原數
1.39528245061349 寸 二差 一差
0.06196898616901 寸 三差 二差
0.0013105915256 寸 四差 三差
0.00001616877486 寸 五差 四差
0.00000013056497 寸
… … …
「遞推之、得逐差數、以陽減陰加於原數、得所求距面弦。」大概意思是說 繼續仿此求得逐差數，再將原數減去一差加上二差減去三差加上四差減去五差加 上後面逐差數的陰差減去後面逐差數的陽差等於所求距面弦。所以十角距三弦 約等於8.090169943*009189 寸。391將這個算式用現今的數學符號寫成，距面弦=
原數-一差+二差-三差+四差-五差+…=
388 徐澤林，《和算選粹》第 443 頁寫「四差○寸○○○○一六一六八七七四八五」，經筆者對照 上下文與計算，發現有誤，建議改之為「四差○寸○○○○一六一六八七七四八六」。
389 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 443。
390 筆者計算時使用松永求角面時所用的周法，即取到小數點下 15 位的圓周率近似值。
391「*」之前的數字是松永的原術文，「*」之後的數字是筆者依據松永的逐差算到五差的結果。
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置圓徑、以恒法除之、又以四除之、得原數。
原數二寸二二○六六○九九○二四五一○
置原數、以恒法除之、又以一十二除之、得一差。
一差○寸一六四三七七八四一一二四七395 置一差、以恒法除之、又以三十除之、得二差。
二差○寸○○四八六七○三二七九二二五396 置二差、以恒法除之、又以五十六除之、得三差。
三差○寸○○○○七七二○○二一三三八397 置三差、以恒法除之、又以九十除之、得四差。
四差○寸○○○○○○七六一九三五五六
置四差、以恒法除之、又以一百三十二除之、得五差。
五差○寸○○○○○○○○五一二六八二398
遞推之、得逐差數、以陽減陰加於原數、得所求距弦矢。
十角距三矢二寸○六一○七三七三八五二○。399
上面的卷尾捷術補求距面矢是針對卷三圓充方求距面矢的捷術。我們假設圓 直徑為 d，圓周法為 ，400距數為 m，角數為 n，恒法為 p。松永假定圓直徑為 1 尺(即 10 寸)，內容十角(圓內接正 10 邊形)，求距三面矢(即 m=3)。筆者將松永 求得原數與各差數的公式及計算結果呈現於表 IV.3-3。
表 IV.3-3 差數名稱
各差數的公式(恒法 p= ) 代入計算的結果 原數
2.22066099024510 寸 一差 原數
0.164377841119878673 寸
七」。
395 徐澤林，《和算選粹》第 444 頁寫「一差○寸一六四三七七八四一一二四七」，經筆者對照上 下文與計算，發現有誤，建議改之為「一差○寸一六四三七七八四一一一九八七八六七三」。
396 徐澤林，《和算選粹》第 444 頁寫「二差○寸○○四八六七○三二七九二二五」，經筆者對照 上下文與計算，發現有誤，建議改之為「二差○寸○○四八六七○三二七九二四七四九七」。
397 徐澤林，《和算選粹》第 444 頁寫「三差○寸○○○○七七二○○二一三三八」，經筆者對照 上下文與計算，發現有誤，建議改之為「三差○寸○○○○七七二○○二一三二八九二三五」。
398 徐澤林，《和算選粹》第 444 頁寫「五差○寸○○○○○○○○五一二六八二」，經筆者對照 上下文與計算，發現有誤，建議改之為「五差○寸○○○○○○○○五一二七二七四四七」。
399 徐澤林，《和算選粹》第 444 頁寫「十角距三矢二寸○六一○七三七三八五二○」，經筆者對 照上下文與計算，發現有誤，建議改為「十角距三矢二寸○六一○七三七三八五一二六九二六」。
另外，此段轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 443~444。
400在計算時筆者使用前面求角面時松永所用的周法，取到小數點下 15 位的圓周率。
148
0.00486703279247497 寸 三差 二差
0.000077200213289235 寸 四差 三差
0.00000076193556 寸 五差 四差
0.00000076193556 寸 五差 四差