結語

幕府藉著強大的實力與巧妙的策略強制推行封建制度，提供一個穩定的環境。

德川實施鎖國，以朱子學說鞏固封建，積極地吸收中國的文化。基於政治社會的 安定與經濟的繁華，德川幕府提倡禮教文治，教育得到普及，算學知識得到傳播，

社會大眾熱衷於學習各類藝能，各類專門學藝蓬勃發展，和算也以藝道化的形式 發展與生存。日本學術界稱此期為「文藝復興」，此時各類名家如林，有小說家、

俳人、儒者、天文曆學家、和算家等。社會對算學出版物的歡迎，武士階層計算 數學維生或消遣。八代將軍吉宗喜好天文曆算學，頒布緩解令，對書籍傳入日本 有所鬆綁，下令推行改曆，松永也與曆法有著不解之緣。總之，當時的政治經濟、

社會文化、教育等都提供和算繁榮發展的便利條件。

《方圓算經》的成書時間是元文四年閏十月，即西元 1739 年，此時期和算 已經走上純理論發展的學術位階。當時的和算發展歷程中，有兩種獨特的現象，

就是遺題承繼與算額奉納。遺題承繼類似於我們現在的數學問題徵解，「算額奉 納」就是將解題方法刻在匾額上獻給神社、寺院的做法。遺題承繼與算額奉納等 都帶有追求更高層次數學的競技性質，推動日本和算發展。江戶時期社會上的各 種文藝皆以藝道化的模式發展，和算在日本江戶社會文化的藝道氛圍中生存與發 展，也有「家元—免許制度」。「家元—免許制度」即家元制與分段免許制的合稱，

由上下師承關係構成，以家元為支點，樹狀組織結構的分段免許傳藝制度。

江戶前期有不少中國數學書傳入日本，其中以《算學啟蒙》(朱世傑，1299)、

《楊輝算法》(楊輝，1378)、《算法統宗》(程大位，1593)三本書影響日本和算最 深。元祿文化時期和算家們吸收中國數學，經由關孝和、建部賢弘等數學家們的 開拓(江戶前期和算家的研究內容整理於表 II.4-1)，和算日益增強，並形成自己 的知識體系，不再依賴中國數學而獨步發展。

表 II.4-1 江戶前期和算家的研究內容 和算家 研究內容

關孝和 傍書法；垛積術；弧長冪表示成矢的多項式函數；多邊形邊長、內切圓 半徑、外接圓半徑之間的代數關係，列出方程式求解；發展松茂村清的 碎抹法(無窮小分割)，利用增約術使圓內接正多邊形周長加速逼近圓周 長；演段術、剪管術；橢圓、阿基米德螺線等複雜曲線和形體做計算等。

建部賢 弘

弧背冪的無窮級數展開式；開方綴術，通過建立弧內接多邊形的邊長與 矢的代數關係，利用牛頓二項級數展開式，再推演出無窮級數展開式；

無窮小分析法；以導函數求多項式函數極值的算法；累遍增約術。

其他和 算家

島田尚政的演段消元法；田中由真使用傍書法和行列式展開法。享保年 間的其他和算家還提出不知段數術、極數術、整數術等。

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從表 II.4-1 大概可以歸納出三個當時的算學特色：(一)和算家對幾何問題很 有興趣(二)無窮小算法(三)精緻化的算法與卓越的計算能力。總之，和算在中算 家的算學基礎上有許多創新與超越。

對於在江戶時代中期的松永良弼(1692？~1744)正是在和算有極大發展的環 境中成長，師事關孝和的弟子荒木村英，也繼承關孝和、建部賢弘等人的一些學 術成果，受久留島義太、中根元圭等和算家的影響，當時幕府推行的改曆活動也 豐富了他的學習。總之，松永不僅學習了先師關孝和、建部賢弘等人開創的和算 知識，也學習了一些西方的天文知識，曾接觸過三角學知識刺激。松永良弼被視 為關流的「第二代宗統傳人」，他與弟子山路主住制定關流別傳、印可免許，進 一步建立了完善的關流五段免許制度，也就是說，他將關孝和時代只有「算法許 狀」和「算法印可」兩種免許狀，擴展見題免許、隱題免許、伏題免許、關流別 傳、印可免許等五段免許，讓關流免許狀制度確立。松永熱衷於數學知識的整理 與撰述，一生多達 38 本著作，豐富的數學研究成果對和算的發展有重要貢獻。¹⁵⁰ 松永算學著作中，最傑出的是《方圓算經》，此書以漢文著述，此書給出許多無 窮級數公式，內容包括首卷、第一圓率、第二方率、第三圓充方、卷尾。總結序 文的討論，松永一方面評論世人使用不同的圓周率近似值中以「

」最為精確，

另一方面對關孝和與關流數學流派做過多辯護與推崇。松永提出精確圓周率存在 的信念，透露出《方圓算經》中將呈現圓周率的研究成果。松永寫《方圓算經》

的動機很可能是為了展示「方圓之實旨」，目的是要將他的數學成果傳承下去，

並且提到「然學算之徒，由是以發憤悱，毀墻而直登隸首之堂，則於其成功之謝 恩不敢固辭云爾。」¹⁵¹期望能對後人有所啟發，以及鼓勵後人能鑽研數學知識。

綜合《方圓算經》的編寫方式。此書的體例大概是先給題名，部分有名詞解 釋，偶而附圖說明，然後給公式，其中穿插例子的演算細草，偶而用圖表呈現演 段，最後給出例子的計算答案，有時附加說明。至於其內容安排順序，先求周數 冪，再求周數；先求背冪，再求背數；先求角中徑冪，再求角中徑等都是先求平 方，其中可能的意涵詳見第 III、IV 章分析。

《方圓算經》重要性的討論可概括成兩點：(一)松永將《方圓算經》冠以「算 經」為書名，很可能是特別凸顯此書的價值。(二)眾多數學家對圓理做出貢獻，

而《方圓算經》扮演了承先啟後的角色。

150 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 391；也參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發 展模式》，頁 174。。

151 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 404~405。

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第 III 章、《方圓算經》內容分析(上)

本章第 III.1 節討論《方圓算經》卷首「方圓算經率引」 (含太陰率)與卷尾

「太陰率之解方垛」。第 III.2 節討論《方圓算經》第一卷的圓率，第 III.3 節討論

《方圓算經》第一卷的弧背率。第 III.4 節做總結。

III.1 方圓算經率引與太陰率之解方垛

在中國很多歷代的哲學家會藉《易》─象數，¹⁵²闡發自己的哲學思想。II.1 節討論過江戶時期的文化人將易學融入自己的領域。譬如建部賢弘等《大成算經》

(1688~1711)用陰陽說與象數學闡述整數的規律，¹⁵³松永在卷首率引描述對數目的 啟發，也許是受到社會風氣和關流前人著作的影響。僅管如此，拜讀完徐澤林與 孫成功有關《方圓算經》「率引」哲學思想的論文資料，筆者認為「率引」中哲 學論述與《方圓算經》的數學公式無關，因此，筆者在 III.1 節的論述不著眼於 考證下列問題：象數易學、數目的啟發、松永在率引中是否引用象數易學的研究、

和算家思想體系是否與宋代理學思想有連繫等問題。

III.1.1 四原

在「第一章四原」中，松永良弼使用象數學的「來、往、始、終、初、無、

空、虛」等概念，他可能是在說明數的源起演化與無窮大、無窮小等。¹⁵⁴ 原文 如下：

第一章 四原

渺哉，數也。先天後天，其先惟初，其後惟無，太虛間初，無極入空¹⁵⁵， 徹初者微，至無者妙。初、無定位，空、虛以通是，此四原，來、往、始、

終。

解曰：有象曰之天，¹⁵⁶先天者初也，後天者無也；先於天而生者謂之初，

152 象數是易學的基礎，從上古、《易經》、《易傳》、漢代至清代對象數的認識都不同，形成一個 發展的過程。上古、《易經》的象數是筮法範疇和占卜相關，《易傳》開始才將它提升為易學範疇 (介於占筮與哲學之間)。漢代的象數形成經學和哲學兩種型態，象數學以象數為核心解釋《周易》

以及宇宙事物存在方式、變化規律的理論系統。象數學包含卦爻、五行、干支、河圖洛書、太極 圖等象數符號及解《易》體例。參考張其成，《象數易學》，頁 6、頁 87~88、頁 91。

153 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 510。

154 參考徐澤林，《和算選粹》，頁 457；孫成功，〈松永良弼《方圓算經》中之級數論〉，《第五屆 漢字文化圈及近鄰地區數學史與數學教育國際學術研討會會議論文》，頁 79。

155 宋代周敦頤在《太極圖說》中講「無極」是為了講「太極」，「無極」是無實體，是太極元氣 的根源，宇宙的本原。張載則以「太虛」為太極本。參考張其成，《象數易學》，頁 166~171。

156 「象」作為名詞，指一切現象、形象。參考張其成，《象數易學》，頁 32。

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後於天而生者謂之無，其中間謂之一也，太虛間初也者，天之先初，而初前 是何物？無極入空也者，天之後無，而無之極是何物？徹初者、微也者，知 無間者，而能徹數之初也；至無者、妙也者，得神化者，而能至數之無也。

以位言之，初為始、無為終、虛為往、空為來，初來於虛，無往於空、其中 間是一也、空虛以通也者，以用言之、初、無、虛、空相根柢，而不殊也。

是此初、無、虛、空四源，或來或往，或始或終，所以為變化也。¹⁵⁷ 小出兼政(Koide Kanemasa，1797~1865)《圓理算經》使用前述的兩儀四源

「虛、初、無、空」說明無窮大與無窮小問題。¹⁵⁸在此，筆者不做考證說明，有 關「第二章太素」亦然。¹⁵⁹

III.1. 2 贊數

《周髀算經卷上》周公和商周的對話，¹⁶⁰「數之法出於圓方。圓出於方，

方出於矩，矩出於九九八十一」，¹⁶¹由此可見，在中國自古代就將數和方圓做連 結。松永在「第三章贊數」闡述有關直線「方」與曲線「圓」度量性質的想法，

162原文如下：

第三章 贊數

數之為也，亦猶天乎，抑高舉下，奪強與弱，損盈益歉，斷長補短，是 數之為亦猶天哉，其正惟方，其極惟圓。知方者智，知圓者聖。

解曰：理有定勢，氣主變化，氣之所行，數即從之。然氣是活物，理與 數皆死物爾，何有為乎？人之所以知其數者，謂之術也。天者，自然運行之 物也，凡有物有數，其物其數皆自然也，抑高者必增卑者，取諸強以與諸弱，

有盈於此，必有歉於彼，斷所長以補所短、有餘、不足，皆使平均，是謂之 常理，其術皆由自然，非有意為之也，方者，則堂堂正正；圓者，則循循隆 隆。方者，損歉之極，智能守之；圓者，長盈之極，聖能處之。故方圓者，

有盈於此，必有歉於彼，斷所長以補所短、有餘、不足，皆使平均，是謂之 常理，其術皆由自然，非有意為之也，方者，則堂堂正正；圓者，則循循隆 隆。方者，損歉之極，智能守之；圓者，長盈之極，聖能處之。故方圓者，