第二章 文獻探討
第二節 圓形概念之教材分析
本節針對國內「圓形概念」課程之不同課程標準及能力指標進行分 析。分別從 64 年版、82 年版及現今實施的 92 年版九年一貫課程能力指標 及分年細目分別敘述。
壹、64 年版國民小學課程標準有關「圓形概念」之內容
64 年版課程之國小數學課程標準，有關圓形概念內容(教育部，1975)，
如下表 2-2-1 所示：
表 2-2-1 64 年版國小數學課程標準
貮、82 年版國民小學課程標準有關「圓形概念」之內容
82 年版課程之國小數學課程標準，有關圓形概念內容(教育部，1993)，
如下表 2-2-2 所示：
領域 學年
圖形與空間 數與量 實測與計算
第一學年 圓的辨別
第三學年
圓的概念與 圓規的使用
第五學年 圓周率 圓與圓周
圓周長及圓 面積的求法
表 2-2-2 82 年版國小數學課程標準
一、幾何主題內涵(教育部，2003)
人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，
遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理─如直線、圖形的邊 緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦 輕而易舉，卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重 要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。
圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了 解、論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身 歐氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來 看，人類是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之 間並沒有一定的先後關係。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸 類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。
因此小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展 階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何 形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜 接國中幾何的教學，打下良好的基礎。
幾何課程可概分為四階段：
1、階段一（一年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，
學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。
2、 階段二（四年級到五年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始 結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、
邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）。
3、 階段三（六年級到七年級）：透過形體的分割、拼合、截補、變形及 變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透 過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。
中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本
生的學習目標，且使學生的學習內容得以銜接。如下表 2-2-4 所示：
另外，在九年一貫能力指標分年細目中提及「6-s-01 能利用幾何形體 的性質解決簡單的幾何問題」，在此細目中例舉「能計算複合或重疊圖形 的面積或體積」此乃為不同於 64 及 82 年版之敘述，因為除了基本圖形的 面積計算外，亦明確的提醒教師在教學過程中應加強學生「複合或重疊圖 形」的計算，然而在複合圖形的計算過程中，學生必須對於基本圖形的性 質及面積公式清楚的掌握，才能順利完成解題，因此教師在教學過程中，
對於複合圖形的面積或周長計算的每一步驟須清楚明確的引導，才能有助 於學生的完全理解。
「分年細目 5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認 識扇形」，此分年細目乃依據「S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的 性質」及「S-2-05 能理解旋轉角的意義」而來，在 64 及 82 年版未刻意強 調「旋轉角」及「圓心角」的認識，此乃 92 年版在教學目標上的另一差
異。82 年版提到「透過對2 1
圓、4 1
圓等特殊扇形的分析綜合，認識 2 1
圓、
4 1
圓等特殊扇形面積的求法」此一描述扇形的方式乃是以「幾分之幾圓」
來描述，與分年細目 5-s-03 從圓心角來認識扇形的有所不同，事實上，幾 分之幾圓的認識，可從對摺圓形來進行教學，進而引導學生發現扇形的圓 心角與該扇形是幾分之幾圓的關連，兩者是需要並進。
在各版本的學習內容上，64 年版和 92 年版將認識圓的「圓心」、「圓 周」、「半徑」與「直徑」與「圓規的使用」之課程安排在三年級， 82 年 版則是將此內容安排在四年級；而「圓周率」、「圓周長」及「圓面積」在 64 年版和 82 年版皆安排於五年級，但在 92 年版則是安排於六年級；至於
「扇形面積」，此三個年版皆編排於六年級。雖此三個年版學習的內容在 各年級的編排有些許的差異，但在順序上仍是不變，難易程度上亦是相同。
第三節 第三節 第三節
第三節 兒童圓形概念之相關 兒童圓形概念之相關 兒童圓形概念之相關研究 兒童圓形概念之相關 研究 研究 研究
學童在最初學習幾何圖形時，圓形概念比其它 圖形，如：三角形、四 邊形是年幼的學童最容易學習的概念(Wu,D.B.&Ma,H.L.,2005)，但是到了 高年級，在圓面積單元，許多學童卻會產生許多學習困難及迷思概念，以 下從多位學者針對兒童圓形概念的教與學提出的研究結果加以探討，作為 本研究教學設計與教學的參考。
壹、譚寧君(1995 a，1997，1998a) 的研究
譚寧君(1995a)在「面積概念探討」一文中提到，學生只知道圓面積的 公式是「半徑×半徑×3.14」，但卻不知道圓面積指的是圓形內部區域的大 小。譚寧君(1997)在「面積與體積教材分析」中提到面積概念的建立須透 過豐富的操作、點數、切割、比較、拼湊，才能從具體到心像再到抽象的 結果，進而覺察公式的由來。譚寧君(1998a)在「國小兒童面積迷思概念分 析研究」中提到學童對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記憶公式來 解決面積問題，而造成公式的誤用，又若提供多餘資訊，則學童在應用上 更加困難；兒童解題習慣往往憑直覺，對題意不求甚解，若問題恰有公式 可套用，則通過率可達近九成，但題型稍變化則通過率未達二成，即使提 醒亦不易進行反思。
貮、吳德邦(1998)的研究
吳德邦(1998)在「臺灣中部地區國小學童范氏幾何思考層次之研究－
筆試部分」中發現，在圓形部分，學童達到 van Hiele 層次幾何圖形的通 過率分別為：層次一(視覺的)95.1%、層次二(描述的)73.5%、層次三(理論 的)37.6%。由以上數據可知，層次二意指學童可以從圖形的構成要素及構 成要素之間來分析圖形，層次三則為能根據圖形的性質及構成要素，進一 步形成抽象的定義，可見學童對於圓形達到層次二的兒童約有四分之三，
而層次三則約只有三分之一強。
參、張英傑(2001)的研究
張英傑(2001)在「兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究」中，四 到六年級大部分學生(89%)皆有正確的圓心和半徑概念，及直徑是半徑的 兩倍之概念。
肆、王選發(2001)的研究
王選發(2001)在「國小六年級學童面積學習」的研究中指出，六年級 學童，會將「具有面積」的圖形與「自己能否算出面積」的圖形混淆，因 此會誤認非圓形之曲線所圍成的封閉圖形不具有面積。六年級學童有 87
％已具備面積保留概念，部分學童會受圖形切割或變形後，邊長或排列的 位置不同所干擾，而影響保留性的判斷。有不少學童未能掌握所給單位量 的大小，將每一單位方格均視為 1 平方公分來計算面積。
伍、沈佩芳(2002)的研究
沈佩芳(2002)在「國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究」的研 究中發現，五年級學童對於圓形幾乎都有迷思，在圓形的視覺辨識上，認 為半圓形是圓形的一半，所以也是圓形；橢圓雖然不是正的，但沒有任何 直線或角，所以也是圓形的一種。六年級學童的迷思概念大都是對於半徑 的認識不清，認為一個圓的半徑有四條，或是半徑就是圓的一半；看到圓 形就想到半徑×半徑×3.14，顯示學生會把面積公式當成圓形的決定性準 則。
陸、王建興(2003)的研究
王建興(2003)在「國小教師數學單元教學之探討－以圓周率為例」中 提及，圓周率單元教學主要的困難是如何將抽象的圓周率概念教給學生、
學生要如何去瞭解圓周率的意義。影響教師教學成效的因素包含學生先備 知識的不足、程度的差異與安親班的教學方式。學生學習困難的原因是學 生對於圓相關概念的認識不足、缺乏曲線長度測量的能力、與教師的引入 圓周率概念方法、圓周率意義的說明所造成的。
柒、侯雪卿(2004)的研究
侯雪卿(2004)在「國小高年級學童圓概念教學模組補救教學之個案研 究」中發現學童對於圓的組成要素在視覺上容易掌握，但在文字或語言上 較無法完整描述其定義及關係，並將圓的迷思概念歸成三種類型：
一、「圓的組成要素與關係」的迷思：缺乏圓心到圓周上任一點等距的概 念；缺乏一個圓的半徑有無限多條的概念；缺乏辨識直徑性質的能 力；缺乏一個圓的直徑是半徑 2 倍之概念。
二、「圓周率概念」的迷思：缺乏圓周率固定不變的值之概念；在直徑、
圓周長及圓周率之關係中，無法正確求出直徑長和圓周長。
三、「圓面積概念」的迷思：缺乏圓面積是指平面區域中所佔的大小；點 數圓面積時，缺乏不完整正方形面積之單位量的概念，和當正方形單 位面積改變時無法成功解題；缺乏圓面積等於半徑×半徑×圓周率之概 念；缺乏解決複合圖形的面積問題；缺乏在同一個圓中，圓面積與直 徑的倍增關係、圓面積與半徑的倍增關係。
捌、許乃賜(2004)的研究
許乃賜在「動態幾何教學與傳統教學對五年級學童圓教學成效之研 究」中發現，學童對於圓保留方面，大都以視覺處理，常犯直觀規律中
許乃賜在「動態幾何教學與傳統教學對五年級學童圓教學成效之研 究」中發現，學童對於圓保留方面，大都以視覺處理，常犯直觀規律中