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互動式電子白板於國小六年級圓面積單元教學成效之研究

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授:胡豐榮 博士

互動式電子白板於

互動式電子白板於

互動式電子白板於

互動式電子白板於國小六年級

國小六年級

國小六年級

國小六年級

圓面積單元教學成效之研究

圓面積單元教學成效之研究

圓面積單元教學成效之研究

圓面積單元教學成效之研究

研究生:郭毅玲 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

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本研究旨在探討應用電子白板教學對國小六年級學童於圓面積單元 學習成效之影響,採準實驗研究設計,實驗組與控制組前後測方式進行。 以「圓面積單元概念測驗」及「電子白板意見調查表」為工具,受試樣本 為臺中市某國小六年級學生共 55 人,實驗組 28 人接受電子白板教學,控 制組 27 人以傳統黑板教學,經實驗教學後,輔以晤談進行分析,得到以 下結論: 一、國小六年級學童在圓面積單元概念之理解情形 (一)整體受試者在「圓周長與圓周率概念」的答對率最高為89%,而以「扇 形周長概念」的答對率最低為56%。 (二) 85%的受試學生雖然能背出圓面積公式,但對於圓面積公式由來不 能清楚的說明。 (三)在圓面積保留概念測驗中,圖形經由切割、轉換位置後,學童容易 誤判。 (四)在扇形複合圖形的周長及面積計算問題的常見錯誤原因有:對圖形 無法剖析、公式誤用及計算錯誤。 二、實驗組在圓面積單元各概念的學習成效上皆優於控制組學童,尤其在 「扇形周長概念」、「扇形面積概念」的學習成效顯著優於控制組。 三、實驗組在圓面積單元各概念的學習成就皆有進步,且達顯著水準。 四、根據實驗組學生回饋問卷,顯示實驗組學生對使用互動式電子白板多 數持正面肯定的態度。 關鍵字:互動式電子白板、圓、扇形

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Abstract

The purposes of this research is to investigate the influence of mathematics teaching with interactive whiteboard(IWB) on learning “Circle Area Uint” in 6th grade elementary school students. Quasi-Experiment Research Design of pre-test and post-test was used for experimental and control groups, respectively. The 6th grade research objects studied at elementary school in TaiChung City were sampled into the experimental group and control groups with the size 28 and 27 respectively. Some students of the research objects were interviewed in order to understand students’ common errors in this uint after the experiment and the opinion of students toward IWB–integrated instruction. The research results are as follows:

1.The 6th graders elementary school students’ conception of“Circle Area Uint”: (1) The research objects had the highest pass rate in ”concepts of πand

circumference” as 89%. The research object had the lowest pass rate in ”concepts of the perimeter of the fan-shaped” as 56%.

(2) 85% of the research objects can recite the formula of circle area ,but cannot explain its reason completely.

(3)In the conservatory concept of the circle area, students easily made an error jugement for the divided graph with changing positions or directions.

(4) In counting the number of the area and the perimeter of compound fan-shaped, most students cannot solve problems comprisiing of the compound fan-shaped graphs and use an error formula to calculate problems.

2. The learning results of students in experimental group that received IWB-integrated instruction were did better than students in control group that received traditional instruction, especially in the “conceps of the perimeter of fan-shaped” and “conceps of the area of fan-shaped”.

3. The learning results of students in experimental group’s every conception of“Circle Area Uint” were did better before.

4. According the questionnaires experimental of group questionnaires, most of students conceived positive evaluation about integrating IWB into the

teaching of mathematics.

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謝誌

在論文完成的此刻,內心充滿著喜悅與感謝,回顧這兩年來研究所 的求學歷程,真的要感謝很多貴人的相助,讓我能順利完成學業,更實 現了自己的理想。 首先,最感謝胡豐榮教授的諄諄教導,在老師細心且親切的專業指 導下,使我能逐步克服瓶頸,把論文如期完成;此外,感謝辛俊德博士 及許天維院長在論文口試時的指導及提供諸多專業的意見,使得本論文 之架構及內容更臻完善。其次,感謝這兩年來研究所每一位授課教授的 指導,你們豐富的學識及認真的教學態度,讓我這兩年來獲益匪淺。另 外,也感謝這兩年來陪伴著我一起研讀、討論課業的同學們,每每遇到 問題時,大家總能互相研究,彼此鼓勵與扶持,很高興我們因唸研究所 而結緣。 感謝服務學校的同事兼好友們,你們不時的為我加油打氣,熱心的 提供進修的經驗,給予研究進行中教學上的意見,更幫助我蒐集所需的 資料和文獻,當然還有在工作上的包容與協助,這些點點滴滴都讓我倍 感溫馨;也很感謝我的室友在一旁的鼓勵與照顧。你們的這份情誼,會 永遠留存在我的心裡。 最後,要感謝我親愛的家人們-養育提攜我的父母、及弟弟妹妹們, 謝謝你們一直以來對我的支持與關心。僅以此論文完成時的喜悅和所有 關心我、愛護我的人分享。 郭毅玲 謹誌 中華民國九十九年六月

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目次

目次

目次

目次

摘 要... I Abstract ...II 謝誌... III 目次... IV 表次... VI 圖次... IX 第一章 緒 論... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與待答問題 ... 4 第三節 名詞釋義 ... 5 第四節 研究範圍與限制 ... 6 第二章 文獻探討... 7 第一節 理論基礎 ... 7 第二節 圓形概念之教材分析 ... 14 第三節 兒童圓形概念之相關研究 ... 20 第四節 互動式電子白板及其相關教學研究 ... 25 第三章 研究設計與步驟... 35 第一節 研究架構 ... 35 第二節 研究設計 ... 36 第三節 研究流程 ... 38 第四節 研究對象 ... 40 第五節 研究工具發展 ... 40 第六節 資料處理與分析 ... 46 第四章 研究結果與討論... 49

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第一節 圓面積單元概念的理解情形 ... 49 第二節 實驗組與控制組的差異情形 ... 86 第三節 實驗組實驗前後的改變情形 ... 95 第四節 實驗組學童學習回饋問卷分析與討論 ... 98 第五章 結論與建議... 113 第一節 結論 ... 113 第二節 建議 ... 118 參考文獻... 121 一、中文部份 ... 121 二、英文部分 ... 124 附錄... 127 附錄一 國小六年級圓面積單元測驗 ... 127 附錄二 教學活動設計 ... 133 附錄三 電子白板學習回饋問卷 ... 151 附錄四 第 34 題學生答題紀錄 ... 153 附錄五 電子白板學習回饋 ... 157 附錄六 「圓面積教學媒體」使用同意書 ... 162

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表次

表次

表次

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表 2-2-1 64 年版國小數學課程標準 ... 14 表 2-2-2 82 年版國小數學課程標準 ... 15 表 2-2-3 九年一貫課程綱要數學能力指標... 17 表 2-2-4 九年一貫課程綱要數學分年細目... 18 表 3-2-1 研究設計 ... 36 表 3-4-1 預試樣本人數分配表 ... 40 表 3-4-2 研究樣本人數分配表 ... 40 表 3-5-1 國小六年級圓面積單元預試測驗工具之雙向細目表... 41 表 3-5-2 預試之通過率、難度指數及鑑別度之項目分析表... 43 表 3-5-3 預試後試題修正表 ... 44 表 3-5-4 電子白板學習回饋問卷分項細目... 46 表 4-1-1 圓面積單元相關概念平均得分表... 50 表 4-1-2 圓面積單元相關概念答對率 ... 50 表 4-1-3 圓周率與圓周長概念的答對百分比... 52 表 4-1-4 圓周長與組成要素的倍增關係概念的答對百分比... 54 表 4-1-5 圓面積概念的答對百分比 ... 58 表 4-1-6 第 34 題圓面積公式由來答題情形... 67 表 4-1-7 圓面積與組成要素倍增關係概念的答對百分比... 67 表 4-1-8 扇形組成要素概念的答對百分比... 70 表 4-1-9 扇形周長概念的答對百分比 ... 72 表 4-1-10 扇形面積概念的答對百分比 ... 78 表 4-2-1 受試者「國小六年級圓面積單元測驗」前測成績差異性 t 檢定摘要 表... 87 表 4-2-2 受試者「國小六年級圓面積單元測驗」後測成績差異性 t 檢定摘要

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表... 87 表 4-2-3 受試者「圓周率與圓周長概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表. 88 表 4-2-4 受試者「圓周率與圓周長概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表. 88 表 4-2-5 受試者「圓周長與組成要素的倍增關係概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 89 表 4-2-6 受試者「圓周長與組成要素的倍增關係概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 89 表 4-2-7 受試者「圓面積概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 90 表 4-2-8 受試者「圓面積概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 90 表 4-2-9 受試者「圓面積與組成要素的倍增關係概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 91 表 4-2-10 受試者「圓面積與組成要素的倍增關係概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 91 表 4-2-11 受試者「扇形組成要素概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 92 表 4-2-12 受試者「扇形組成要素概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 92 表 4-2-13 受試者「扇形周長概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 93 表 4-2-14 受試者「扇形周長概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 93 表 4-2-15 受試者「扇形面積概念」前測成績差異性 t 檢定摘要表... 94 表 4-2-16 受試者「扇形面積概念」後測成績差異性 t 檢定摘要表... 94 表 4-3-1 實驗組「圓面積單元測驗」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 95 表 4-3-2 實驗組績差異性成對 t 檢定摘要表... 95 表 4-3-3 實驗組「圓周長與組成要素的倍增關係概念」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 96 表 4-3-4 實驗組「圓面積概念」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 96 表 4-3-5 實驗組「圓面積與組成要素的倍增關係概念」成績差異性... 96

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表 4-3-6 實驗組「扇形組成要素概念」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 97 表 4-3-7 實驗組「扇形周長概念」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 97 表 4-3-8 實驗組「扇形面積概念」成績差異性成對 t 檢定摘要表... 97 表 4-4-1 實驗組使用電子白板教學回饋調查:第 1 題... 104 表 4-4-2 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 2 題... 105 表 4-4-3 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 3 題... 105 表 4-4-4 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 4 題... 106 表 4-4-5 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 5 題... 107 表 4-4-6 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 6 題... 107 表 4-4-7 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 7 題... 108 表 4-4-8 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 8 題... 109 表 4-4-9 使用電子白板教學實驗組回饋調查:第 9 題...110

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圖次

圖次

圖次

圖次

圖 2-4-1 互動式電子白板工作模式圖 ... 25 圖 3-1-1 研究架構圖 ... 35 圖 3-3-1 研究流程圖 ... 39 圖 4-1-1 受試者得分長條圖 ... 49 圖 4-4-1 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 1 題... 104 圖 4-4-2 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 2 題... 105 圖 4-4-3 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 3 題... 106 圖 4-4-4 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 4 題... 106 圖 4-4-5 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 5 題... 107 圖 4-4-6 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 6 題... 108 圖 4-4-7 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 7 題... 109 圖 4-4-8 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 8 題...110 圖 4-4-9 實驗組使用電子白板教學回饋調查長條圖:第 9 題...110

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第一章

第一章

第一章

第一章

隨著時代的進步,科技日新月異,不僅影響了我們的生活,更促進教 學方法的革新,資訊設備逐漸普及於校園中,資訊融入教學也成為教學上 的新趨勢。本研究旨在針對資訊融入教學,亦即探究電子白板的教學成 效。本章共分四節:第一節為研究動機;第二節為研究目的;第三節為名 詞釋義;第四節為研究範圍與限制。茲分述如下:

第一節

第一節

第一節

第一節 研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

世界科技的快速發展,政府教育單位亦從多年前積極的提倡資訊融入 教學,教育部於九十年推動中小學資訊科技融入教學,以培育符合時代需 求之國民,因而著手規劃「中小學資訊教育總藍圖」,勾勒出未來中小學 資訊教育的願景,總藍圖的整體願景:「資訊隨手得,主動學習樂;合作 創新意,知識伴終生」,在資訊教育的總藍圖中的實施策略之一即鼓勵各 縣市發展教學資源,結合「九年一貫課程」融合資訊科技於學校各領域課 程中,發展優質的網路學習素材與教材,使各領域皆有豐富的數位化學習 資源(教育部資訊教育總藍圖,2001)。在未來的時代,資訊將成為教學方 式的主流,因此在九年一貫課程正式綱要的基本理念中亦提及各學習領域 應使用資訊科技為輔助工具,以擴充各學習領域(教育部,2003),其與總 藍圖的實施策略相互呼應。由此可見,未來教師如何適時且適當的藉由資 訊軟體或硬體設備來輔助教學,以提升學童的學習成效將是教學現場上的 一大課題。 為符合資訊融入教學的主流,推動e化的教學,這幾年來,學校逐步在 傳統教室擴充各種資訊設備,從班班有電腦、網路乃至投影幕和單槍投影 機。政府過去於民國八十六年起實施擴大內需方案,補助各縣市逐步完成 ICT教育基礎設施(ICT:Information &Communications Technology),從民

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國九十六學年度起,教育部與國科會擴大推動「資訊融入教學ICT計畫」, 教育計畫在「建構e化教學環境」方案下,補助縣市試辦互動白板導入教室 教學,並鼓勵逐步發展學科領域學習中心(Learning Center)(陳惠邦,2006)。 高互動電子白板不同於以往投影幕,教師不再是只能在教室一旁的電腦前 藉由滑鼠來操作資訊融入的教學媒材,而是可以站在講臺上,學生的面 前,執行電腦上的各種操作,以觸控的方式操作數位的教學媒體或教具, 也可立即的在白板上書寫字體或作上標記,教師講解與操作的過程可隨時 儲存下來留下教學或學習記錄,比起教師在一旁用電腦操作與示範,運用 電子白板更可以隨時留意學生的學習反應,互動性也更好。 互動式電子白板最早於1997年由英國開始大量推廣,至2004年起建立 國家電子白板網路,以提供所有地方教育機構使用,使其能夠參與並推動 電子白板(引自陳韻雯,2009),至2006年英國倫敦地區的中學教室安裝互 動白板的比率已高達97%,小學也達到70%,國外英、美、加、澳等國家 使用電子白板已愈來愈普遍(陳惠邦,2006)。有許多的研究中顯示應用互 動式電子白板可以增進教學效率、提高學生的學習動機及成效,電子白板 可以更容易將多媒體的資源具體應用在課程之中,如:寫作、圖畫、影音、 圖表、網頁,教師可以使用更多樣化的教材,豐富教學內容(Ekhami,2002; Glover et al,2005a),而與其它資訊科技溝通工具相較,電子白板在教室中 能有使教學過程中有更多的互動及討論的機會(Gerard, F.et al.,1999),由此 可知,電子白板是資訊融入教學的好工具。 綜觀國內的文獻,有許多研究皆證實資訊融入教學對於學生的學習有 顯著的成效。許乃賜(2004)的「動態幾何教學與傳統教學對五年級學童圓 教學成效之研究」結論中提到實驗組與控制組兩組在後測比較及延測比較 均有顯著差異;鄭皓元(2006)的「資訊融入國小數學科教學效益之探究以 六年級面積概念為例」的研究結果中提到實驗組學童經過媒體教學後,學

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效益之研究-以國小五年級體積與表面積為例」的結論中認為不同的教學模 式下,實驗組學童的學習成效顯著優於控制組;林儀惠(2008)「互動式 電子白板在國小數學教學之探討-以國小數學領域六年級面積單元為例」的 研究中認為教師使用電子白板融入,其學童的數學成就測驗結果優於教師 以傳統模式進行教學的學童;黃國禎(2008)「互動式電子白板融入國小 數學領域教學之行動研究」的研究結果中提到互動白板有助於引起學習動 機,提升教師教學效率,也能改善學生的數學學習態度。 在教學現場中,研究者發現有許多高年級學童在學習過「圖形面積」 的相關單元後皆能對各種圖形面積公式琅琅上口,但問及「你知道這個公 式怎麼來的嗎?」,學生往往只是搖搖頭,或是一副想說卻說不太清楚的 模樣,可見學生沒有完全理解公式的由來,導致無法完整的表達。根據許 多研究發現,學生對於面積概念學習不完整,當中亦包含面積與周長的混 淆,在不理解公式由來的情形下,學生可能會對面積概念產生各種迷思及 公式的誤用,錯誤的面積概念,將影響學生日後相關面積概念的學習(陳鉪 逸,1996;譚寧君,1998;戴政吉,2001)。 另外,在使用傳統教具的教學過程中,圖形切割再重新拼湊的過程 中,常常因圖形已切割,但為配合學生的認知能力想把圖形再回復原狀卻 十分不便,還得多準備一份同樣的圖形互相比對,操作過程中亦會耗費許 多時間,尤其每教到「圓面積」單元時,對於切割圓面積成扇形,進而拼 湊成近似長方形的過程,由於切割的等份愈多,加上圖形的變化極大,學 生在理解上常要多重複幾次,因而導致教學的效果和效率皆不佳。 綜合上述,基於資訊融入對於學習成效多為正面影響,且圓面積在教 學現場中常需圖形的切割與操作等教學上不便的問題,以及學生對於圓形 及扇形周長和面積概念理解不理想的情況下,加上國內使用電子白板進行 教學初在萌牙之階段,運用電子白板融入教學的實證研究並不多,因此研 究者在閱讀相關文獻,並熟悉電子白板教材設計及操作方式後,蒐集及自

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編電子白板教材,試圖以資訊融入方式,使用電子白板來進行圓面積單元 的教學,探討以電子白板實施教學對學童在「圓周長、圓面積、扇形面積 和扇形周長」的學習成效,及學童對運用電子白板教學之看法。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的與待答問題

與待答問題

與待答問題

與待答問題

本研究主要目的在於探討資訊融入國小六年級圓面積單元的學習成 效,本節根據上述之研究動機,說明本研究之研究目的,以及自研究目的 引申而來的待答問題。 壹、研究目的 一、 探討六年級學童在圓面積單元各相關概念的理解情形。 二、 探討使用電子白板教學與傳統教學對國小學童在圓面積單元的學習 成效差異。 三、 探討實驗組學童在圓面積單元中實驗前後概念的改變情形。 四、 探討實驗組學童對運用電子白板教學的看法。 貳、待答問題 一、國小六年級學童在「圓面積單元概念」的理解情形為何? 二、實驗組與控制組兩組學童,接受不同教學法後,在圓面積單元概念的 學習上是否有顯著差異? 三、實驗組學童在實驗教學前後,於「圓面積單元測驗」的學習成就是否 有顯著差異? 四、實驗組學童,對於運用電子白板教學的看法為何?

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第三節

第三節

第三節

第三節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

為使意義更為明確,避免混淆,便於討論,茲將本研究所涉及之相關 特定名詞的界定及說明如下: 一、六年級學童 本研究中所指的六年級學童是指於臺中市九十三學年度入學,九十八 學年度升為六年級的學童。 二、圓面積單元 本研究的教學內容為南一出版社之「第十一冊第八單元圓面積單 元」,該單元包含「圓周長」、「圓周率」、「圓面積」、「扇形基本概念」、「扇 形面積」、「扇形周長」及「圓形相關複合圖形」等內容。 三、資訊融入教學 以南一出版社編輯製作的「數位教學館」和研究者利用電子白板軟體 (Note Book)所編輯的教材,及研究者於網路蒐集的圓面積教學媒體,於裝 設有電子白板的 e 化教室進行教學,教師使用電子白板操作媒體教具進行 佈題和呈現相關概念。 四、傳統教學法 教師藉由傳統教具及紙卡或揭示圖輔助,於普通教室進行教學,學生 使用課本習作附件中的紙板來學習。 五、電子白板

互動式電子白板(Interactive White Board)係指一塊高靈敏度觸控式大 型電子感應板,需搭配一臺電腦與一臺單槍投影機才能使用,表面上看來 像是傳統的白板,但接上電腦及投影機後,便可透過軟體而變成可以呈現 資訊及圖片的大螢幕,使用者可用手直接觸控,選擇或移動螢幕上的物 件,還可以數位書寫。

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第四節

第四節

第四節

第四節 研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

壹、研究範圍 本研究的樣本對象,受限於人力與時間因素,故研究對象僅於臺中市 某國小六年級學童,其它地區與其它年級學生不在本研究範圍內;此外, 研究中的教材為了配合研究對象的上課用書,因此採用的教材為教學用 書,對於其它版本的教材內容與編排順序,並不在本研究所探討之範圍內。 貳、研究限制 本研究樣本為臺中市某國小六年級學童採立意取樣的兩個班級,教材 內容為南一出版社九十八年版數學第十一冊,基於以上因素,選取樣本有 其地域性限制,以及不同版本的教材內容差異可能造成的誤差,因此本研 究不宜過度解釋,因此本研究的外在效度無法做廣泛推測。

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第二章

第二章

第二章

第二章

文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本章主要根據研究中相關理論進行探討,共分四節,各節內容分別為: 第一節為探討兒童幾何概念發展之理論基礎;第二節為圓形概念之教材分 析;第三節為兒童圓形概念及教學之相關研究;第四節為互動式電子白板 融入教學之相關研究。

第一節

第一節

第一節

第一節 理論基礎

理論基礎

理論基礎

理論基礎

本研究探討的主題是學童的圓面積單元概念,而本單元所涉及的主要 圖形為「圓形」和「扇形」,皆為幾何形體的範圍,故本節將以兒童幾何 發展之相關理論來加以分析探究。 壹、Piaget 認知發展理論 瑞士兒童心理學家 Piaget 認為兒童的思維或心智活動不同於成人,不 同年齡的兒童,採用不同概念看待事物,採用不同思維方式來解決問題。 Piaget 將個體用以了解周圍世界的認知結構(cognitive structure)稱為基模 (schema,scheme),他將基模視為人類吸收知識的基本架構,而基模會因環 境的需要與年齡的增長而改變,基模的改變不只是容量上的增加,更重要 的是質的改變(張春興,1999)。Piaget 經由多年的觀察研究,發現兒童自出 生到青少年的成長期間,個體的認知發展,在連續中呈現出階段性的特 徵,Piaget 按各階段個體基模功能特徵的不同,如表 2-1-1,分為四個年齡 期(張春興,1999)。

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表 2-1-1 皮亞傑的認知發展期 期別 年齡 基模功能特徵 感覺動作期 O~2 歲 1. 憑感覺與動作以發揮其基模功能 2. 由本能性的反射動作到目的性的活動 3. 對物體認識具有物體恆存性概念 前運思期 2~7 歲 1. 能使用語言表達概念,但有自我中心傾向 2. 能使用符號代表實物 3. 能思維但不合邏輯,不能見及事物的全面 具體運思期 7~11 歲 1. 能根據具體經驗思維以解決問題 2. 能理解可逆性的道理 3. 能理解守恆的道理 形式運思期 11 歲以上 1. 能做抽象思維 2. 能按假設驗證科學法則解決問題 3. 能按形式邏輯的法則思維問題 資料來源:引自張春興(1999)。 本研究的對象為六年級學童,依 Piaget 所提出之認知發展階段論,本 研究對象的認知發展階段約在於具體運思期與形式運思期之間,具體運思 期的兒童運用的推理歷程為 Piaget 所稱之邏輯運思(logical operations),即 兒童能將邏輯思考的歷程,應用於解決具體的問題。 貮、Piaget 和 Inhelder 空間幾何運思發展階段 Piaget 和 Inhelder 研究指出兒童幾何概念思考的發展是依照一個明確 的順序,隨著兒童年齡的成長對於空間知覺能力的進展可分為以下三個階 段: 一、拓樸學概念階段(三歲六個月~四歲) 此階段的兒童處於前運思期,兒童僅能掌握拓樸學的概念或結構 (topological concepts or structure),這個階段的兒童只注意圖形的內或外及 封閉或開放,而忽略圖形內的邊長、角度、大小等相對關係,不計較其準 確性。例如:兒童應要求畫出方形、圓形與三角形,往往將各邊長畫成凹 凸不直,亦無角度,但卻具有封閉之特性,近乎圓的形狀;但由於缺乏運 思的可逆性,兒童無法以相逆次序,重建該種次序,或當他們被遮蔽時,

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兒童便無法重繪(王文科,1991)。 二、投影及歐幾里得幾何學概念階段(四歲~十一歲) 空間運思發展的第二階段,位於運思前期與具體運思期(王文科, 1991),若依 Piaget 的認知發展階段論中的具體運思階段約處於七到十一歲 (張春興,1999),因而此階段的兒童約為四到十一歲。 投影幾何學是一種透視的幾何學,這個階段的兒童能建構出一種投射 空間,並協調不同的觀點(王文科,1991),投影幾何學階段是空間運思發 展的第二階段,恰位於運思前期與具體運思期。當兒童四到六歲時,兒童 進入投影幾何學階段,Piaget 和 Inhelder 認為此時期的兒童自己本身所在 的視覺觀點比其它的條件佔優越的地位,經由視覺辨認的事物,兒童才認 為是真實存在的,此時期的兒童相信自己的視覺感受,圖形會依視覺的感 受而變化。張英傑(2001)的研究中發現國小一、二、三年級兒童在辨認基 本造型,絕大部分都毫無困難確認出。但是研究結果中驗證他們都以視覺 觀點描述,而不是用圖形特徵去分析;並且也受到空間位置知覺與客觀知 覺的影響(張英傑,2001)。 歐幾里得幾何學涉及測量工作者,與距離、角度、平行線、直線等的 保留有關,就歐幾里得幾何學的概念中,以長度保留、距離保留與面積保 留較為基本(王文科,1991)。進入歐幾里得幾何學階段的兒童,已經不再 被視覺感受所影響,兒童在拓樸性幾何學概念階段尚未有線段和角度的保 留概念,在投影幾何概念階段雖已有線段的保留概念,但沒有角度的保留 概念,要到歐幾里得幾何概念階段的兒童才具有線段長短、角度大小以及 面的大小之完整保留概念(引自黃雅琪,2002 )。 本研究對象為六年級學童大部分在於歐幾里得幾何學概念階段,應具 備長度、面積與角度的保留概念,在本研究圓面積單元的教學內容涉及長 度測量及面積大小和扇形圓心角度測量等內容,教師可就大部分兒童應已 具備之保留概念的能力,並運用具體物操作和實物測量來引導兒童學習。

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參、van Hiele 幾何概念發展研究 荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦對於兒童到成人提出一個幾何概念思 考模型,此理論受到許多兒童幾何研究學者的注意,美俄等先進國家也以 此理論為依據設計幾何教材。van Hiele 夫婦認為幾何認知發展具有一定的 發展層次,在教與學的過程中,理論內容包含幾何認知層次模型、幾何認 知層次之特性及五階段學習理論,分述如下: 一、五個幾何認知層次模型 荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦(1986)認為一個人的幾何認知層次可 以分成五個發展層次,依序由基本層次發展至高層次,經由教師的引導及 學習,可以協助學生提升認知的層次,以下就每個層次其發展的特徵略述 如下(吳德邦,1998;劉好,1998a;van Hiele,1986): (一)層次一:視覺期(Visualization) 此階段的學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形,他們透過視覺 觀察具體實物,以實物的整體輪廓來辨認圖形,如:像門的形狀是長方形、 像盤子的形狀是圓形。雖然知道這些物件的形狀何者稱為「正方形」、「三 角形」、「圓形」、「長方形」,但不能瞭解真正的定義。因此,此階段的學 童宜多安排感官操作的活動,讓學童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描 繪、著色等活動獲得概念。 (二) 層次二:分析期(Analysis) 此階段的學童從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖 形,並且可以利用實際操作(如摺疊、尺量、以格子觀察或設計特別的圖 樣)的方式,發現某一群圖形有共同的性質或規則,試圖分析幾何概念, 但無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在,例如:能察覺到長方形有四 個邊、四個角,且有兩個長邊,兩個短邊,對邊相等,但不能解釋性質間 的關係(例如:菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係),雖然

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此,此階段的學童宜安排一些製作及檢驗的活動,使其從製作與檢驗中獲 得圖形的性質。 (三) 層次三:關係期(Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction) 此階段的學童可以透過非正式的論證,有邏輯的去分析幾何性質與先 前學到的幾何性質作連結,已經了解構成各種圖形的要素,並根據圖形的 性質及構成要素,進一步探索各種幾何圖形的內在屬性及了解圖形之間的 包含關係,例如:四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形,而不必將所有屬 性均描述出來才能確認其圖形,在了解圖形內在關係後,可以建立長方形 是平行四邊形的一種;可以知道 n 多邊形的內角和為(n-2) ×180 度等概念。 (四) 層次四:形式演繹期(Formal Deduction) 達此階段的人,可以用演繹邏輯證明定理,並建立相關定理的網路結 構,可以在一個公設系統中建立幾何理論,他們不只記憶圖形的性質,而 且能夠證明,並了解一個證明的可能性常不只一種方法,可以理解一個定 理的充分或必要條件之內在關係,知道幾何圖形之充分必要條件及發現正 逆命題間的差異性,例如:正五邊形邊長均相等,內角亦均相等;但邊長 均相等,內角均相等的五邊不一定是正五邊形。 (五) 層次五:嚴密性(Rigor)或公理性(Axiomatic) 達此階段的人,可以在不同的公理系統中建立定理,並且分析或比較 這些系統的特性。例如能區別歐幾里德幾何與非歐幾何的差異,也可以瞭 解抽象的幾何推理,甚至可以自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難 達到,即使是以數學為專業者亦不易達成。 二、幾何認知層次之特性 van Hiele(1986)指出:幾何認知層次具有某些固定的特性,許多學者 對這些特性有不同的描述,綜合學者們的說法,將 van Hiele 幾何思考層次 的特性分述如下:(吳德邦,1998;譚寧君,1993;Crowley,1987;van Hiele, 1986)

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(一)序列性(Fixed Sequential)

幾何認知層次的發展層次依照一定的順序前進,每一個層次的觀念包 括前一個層次的觀念,且以前一層次為基礎,故想要在某一層次中成功發 展,則必須擁有前一層次的各項概念與策略。

(二)內因性和外因性(Intrinsic and Extrinsic)

每一個幾何認知層次中,前一層次的內在元素會變成下一個層次的外 在元素。例如:在層次二中,學童能從圖形的構成要素以及構成要素間的 關係來分析幾何圖形,並能發現某一群圖形有共同的性質,但無法解釋, 而幾何圖形性質間的關係在這一層次就是屬於內在的特性;若學童達到層 次三時,他們就能解釋幾何圖形性質間的關係,此時幾何圖形性質間關係 在這一層次變成是外在特性。 (三)語言性(Linguistics) 每一層次都有屬於自己的特定語言符號和這些符號關係間的網路,因 此在一層次中的正確語言或符號,可能到了另一個層次就必須修正,例 如:長方形是平行四邊形的一種,所以長方形可稱成平行四邊形,分析層 次的學童無法理解這兩個圖形間的關係,但到了非形式演繹層次的學童, 即能理解兩圖形間的關聯。 (四)不配合性(Mismatch) 層次之間有其不配合性存在,意指位於不同層次的人,彼此間無法溝 通或了解。在教學時,若學生位於第一層次,而教學設計卻在另一層次,, 那麼學習的效果就不會發生。教師使用高於學童認知層次的教學內容、語 彙的使用或教具的選擇,學生將會無法理解。 (五)進展性(Advancement): 一個層次到另一個層次的轉變並非是自然的過程,是要在教與學的課 程計畫下才能產生(van Hiele,1986),即學童幾何認知層次的發展,並非

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升學童的幾何認知概念,但是無法讓學生跳過某一層次。 根據 van Hiele 的研究顯示,上述五個層次有其次序性,學習者需具備 前一層次的概念與策略,教師才能依據該能力,適當的引導或教學,而有 效進行下一層次的教學活動(Growley,1987)。國小低年級的學童大都在層 次一:視覺期,常藉由實物的操作、觀察、描述與比較,具備豐富的經驗 後才進入較高層次,中年級大約達到第二層,高年級學童大約在第一層和 第二層的過渡時期。 兒童在建構基本幾何概念時的認知過程除了常以符合其屬性的例子 或不相關屬性的非例子等去界定概念外,還常涉及其它有關概念心像的認 知發展。比如起始的「原型現象」(the prototype phenomenon),常存在學習 的概念心像之中,而致學習者常用原型例子去判斷其它例子是否符合此概 念。為避免影響此種「原型判斷」(the prototypical judgment) 的迷思,幾 何的教學宜提供一個豐富的視覺和分析的學習環境,以克服知覺的限制性 (張英傑,2001)。 綜合上述可知,本研究對象國小六年級學童應已達 van Hiele 幾何概念 認知層次的層次二:分析期,已具備從圖形要素來分析圖形的能力,且有 部分進入層次三:關係期,他們了解構成各種圖形的要素,並根據圖形的 性質及構成要素,進一步探索各種幾何圖形的內在屬性及了解圖形之間的 包含關係。另外,也可看出 van Hiele 夫婦的研究重視教學的設計和過程, 需配合學生的幾何認知發展層次,教師在授課時,需先了解學生的先備知 識是屬於哪一認知幾何發展層次,設計適當的教材,準備適合的教具,運 用適當的語彙及問題來引導學童學習,因學童容易受知覺因素影響其對圖 形的了解,以心中既有的心像概念去判斷圖形,因此在本研究「圓面積單 元」中,仍須輔以許多具體圖形,在教學過程中可利用電子白板提供視覺 化的學習,配合圖形的特徵加以分析說明,並先複習學童在中年級已學有 關圓的舊經驗,再進入本單元的概念學習。

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第二節

第二節

第二節

第二節 圓形概念之教材分析

圓形概念之教材分析

圓形概念之教材分析

圓形概念之教材分析

本節針對國內「圓形概念」課程之不同課程標準及能力指標進行分 析。分別從 64 年版、82 年版及現今實施的 92 年版九年一貫課程能力指標 及分年細目分別敘述。 壹、64 年版國民小學課程標準有關「圓形概念」之內容 64 年版課程之國小數學課程標準,有關圓形概念內容(教育部,1975), 如下表 2-2-1 所示: 表 2-2-1 64 年版國小數學課程標準 貮、82 年版國民小學課程標準有關「圓形概念」之內容 82 年版課程之國小數學課程標準,有關圓形概念內容(教育部,1993), 如下表 2-2-2 所示: 領域 學年 圖形與空間 數與量 實測與計算 第一學年 圓的辨別 第三學年 圓的概念與 圓規的使用 第五學年 圓周率 圓與圓周 圓周長及圓 面積的求法

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表 2-2-2 82 年版國小數學課程標準 領域 年級 圖形與空間 量與實測 一 年 級 1.複製實物的面,分辨出類似 三角形、四邊形及圓等圖形 板的圖形。 2.觀察實物與圖形,辨 別直線與曲線。 四 年 級 1.透過製作的活動,瞭解圓 心、半徑、直徑、圓周。 2.圓規的使用。 五 年 級 1.透過對圓周長的分析綜 合,認識圓周長的求法。 2.圓周長求法公式的應用。 3.透過對圓的分析綜合,認識 圓面積的求法。 4.圓面積求法公式的應用。 5.認識圓周率的意義。 6.以圓周率進行實測及估測 的活動。 六 年 級 透過對2 1 圓、4 1 圓等特殊扇 形的分析綜合,認識2 1 圓、 4 1 圓等特殊扇形面積的求 法。 參、92 年版九年一貫課程有關「圓形概念」之內容 92 年版九年一貫課程將數學領域共分為數與量、幾何、代數、統計與 機率五大主題,而本研究主題「圓形概念」主要範圍在於「幾何」主題上, 而面積與周長的計算部分則牽涉到「數與量」。以下先就現行 92 年版九年 一貫課程中「幾何」主題內涵加以說明,再列舉有關「圓形概念」之相關 能力指標及其分年細目。

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一、幾何主題內涵(教育部,2003) 人是視覺的動物,為了生存,人類天賦的「形」或「幾何」直覺, 遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理─如直線、圖形的邊 緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等,對人類大腦 輕而易舉,卻是電腦處理的重大挑戰。因此,幾何不但是數學教育中的重 要課題,而且也是較易學習、較有趣的教學單元。 圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了 解、論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時,最要避免的是來自本身 歐氏公設幾何訓練的干擾,處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來 看,人類是先由應用、操作、實踐中,認識各種幾何要素與性質,彼此之 間並沒有一定的先後關係。歐氏幾何的價值,首先是對這些先民知識的歸 類與整理,其次才是作為知識典範的演繹系統。 因此小學的幾何教學,可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展 階段,盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺,在操作中,認識各種簡單幾何 形體與其性質,再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係,為以後銜 接國中幾何的教學,打下良好的基礎。 幾何課程可概分為四階段: 1、階段一(一年級到三年級):較強調幾何形體的認識、探索與操作, 學生對幾何形體中的幾何要素,也許能指認,但尚不清楚其結構意義。 2、 階段二(四年級到五年級):由於數與量的發展逐漸成熟,學生開始 結合「數」與「形」兩大主題,學習運用幾何形體的構成要素(如角、 邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)。 3、 階段三(六年級到七年級):透過形體的分割、拼合、截補、變形及 變換等操作,來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透 過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。

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中,最終目標是學會推理幾何證明,學習內容採漸進式安排,由基本 幾何概念進入較深入的幾何推理領域中,學習方式最開始可由填充式 推理幾何,慢慢養成完整能力,讓學生有能力及信心,快樂地學習幾 何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形,如三角形、四 邊形、多邊形、圓形;認識點、線、角、符號及幾何相關名詞;使用 基本性質描述某一類形體;能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練 定義的相關操作;體會邏輯概念:包含關係、敘述及逆敘述、推理幾 何;求角度問題、長度問題、面積(表面積)問題、體積問題;推理 證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關 性質。 二、92 年版九年一貫課程能力指標有關「圓形概念」之內容 在 92 年版九年一貫課程能力指標中,有關「圓形概念」內容,如下 表 2-2-3 所示: 表 2-2-3 九年一貫課程綱要數學能力指標 領域 階段 能力指標 第一階段 S-1-01 能由物體的外觀,辨認與分類簡單幾何形體,並 認識該形體的常用名稱 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 第二階段 S-2-01 能認識簡單幾何形體的組成要素,並透過組成要素 間的關係,作不同形體的分類 S-2-03 能透過操作,認識簡單平面圖形的性質 S-2-05 能理解旋轉角的意義 第三階段 S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-03 對曲線圍成的平面區域,能以適當的正方形單位, 估算其面積(同 N-3-15) S-3-04 能認識圓面積與圓周長的公式,估計 π 的值,並計 算簡單扇形面積(同 N-3-16) 為使教師對能力指標能更加掌握,以利於教學,92 年版九年一貫課程 針對各能力指標編排分年細目表,使各學年教師在施教時能更明確了解學

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生的學習目標,且使學生的學習內容得以銜接。如下表 2-2-4 所示: 表 2-2-4 九年一貫課程綱要數學分年細目 綜合以上國內三個有關「圓形概念」的課程標準及能力指標之編排作 以下分析與討論。在圓形相關概念的學習內容及順序上變化並不大,大致 是從認識圓的形狀,再認識圓的基本構造,如:「圓心」、「圓周」、「半徑」 與「直徑」,接著再學習「圓周率」的意義,及「圓周長」與「圓面積」 之意義及如何求得「圓周長」與「圓面積」,最後再進一步認識「扇形」, 並求得「扇形周長」及「扇形面積」。三個年版之中,以 64 年版的描述較 為簡略。 領域 年級 分年細目 對應 指標 一年級 1-s-02 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立 體形體 S-1-01 三年級 3-s-01 能使用圓規畫圓,認識圓的「圓心」、「圓 周」、「半徑」與「直徑」 S-1-04 五年級 5-s-03 能認識圓心角,理解 180 度、360 度的 意義,並認識扇形 S-2-03 S-2-05 6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何 問題 S-3-01 6-s-03*能以適當的正方形單位,對曲線圍成 的平面區域做算其面積(同 6-n-11*) N-3-15 S-3-03 6-s-04 理解圓面積與圓周長的公式,並計算簡 單扇形面積(同 6-n-12) N-3-16 S-3-04 六年級 6-a-05 能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與 柱體的體積公式 S-3-04

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另外,在九年一貫能力指標分年細目中提及「6-s-01 能利用幾何形體 的性質解決簡單的幾何問題」,在此細目中例舉「能計算複合或重疊圖形 的面積或體積」此乃為不同於 64 及 82 年版之敘述,因為除了基本圖形的 面積計算外,亦明確的提醒教師在教學過程中應加強學生「複合或重疊圖 形」的計算,然而在複合圖形的計算過程中,學生必須對於基本圖形的性 質及面積公式清楚的掌握,才能順利完成解題,因此教師在教學過程中, 對於複合圖形的面積或周長計算的每一步驟須清楚明確的引導,才能有助 於學生的完全理解。 「分年細目 5-s-03 能認識圓心角,理解 180 度、360 度的意義,並認 識扇形」,此分年細目乃依據「S-2-03 能透過操作,認識簡單平面圖形的 性質」及「S-2-05 能理解旋轉角的意義」而來,在 64 及 82 年版未刻意強 調「旋轉角」及「圓心角」的認識,此乃 92 年版在教學目標上的另一差 異。82 年版提到「透過對2 1 圓、4 1 圓等特殊扇形的分析綜合,認識 2 1 圓、 4 1 圓等特殊扇形面積的求法」此一描述扇形的方式乃是以「幾分之幾圓」 來描述,與分年細目 5-s-03 從圓心角來認識扇形的有所不同,事實上,幾 分之幾圓的認識,可從對摺圓形來進行教學,進而引導學生發現扇形的圓 心角與該扇形是幾分之幾圓的關連,兩者是需要並進。 在各版本的學習內容上,64 年版和 92 年版將認識圓的「圓心」、「圓 周」、「半徑」與「直徑」與「圓規的使用」之課程安排在三年級, 82 年 版則是將此內容安排在四年級;而「圓周率」、「圓周長」及「圓面積」在 64 年版和 82 年版皆安排於五年級,但在 92 年版則是安排於六年級;至於 「扇形面積」,此三個年版皆編排於六年級。雖此三個年版學習的內容在 各年級的編排有些許的差異,但在順序上仍是不變,難易程度上亦是相同。

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第三節

第三節

第三節

第三節 兒童圓形概念之相關

兒童圓形概念之相關

兒童圓形概念之相關研究

兒童圓形概念之相關

研究

研究

研究

學童在最初學習幾何圖形時,圓形概念比其它 圖形,如:三角形、四 邊形是年幼的學童最容易學習的概念(Wu,D.B.&Ma,H.L.,2005),但是到了 高年級,在圓面積單元,許多學童卻會產生許多學習困難及迷思概念,以 下從多位學者針對兒童圓形概念的教與學提出的研究結果加以探討,作為 本研究教學設計與教學的參考。 壹、譚寧君(1995 a,1997,1998a) 的研究 譚寧君(1995a)在「面積概念探討」一文中提到,學生只知道圓面積的 公式是「半徑×半徑×3.14」,但卻不知道圓面積指的是圓形內部區域的大 小。譚寧君(1997)在「面積與體積教材分析」中提到面積概念的建立須透 過豐富的操作、點數、切割、比較、拼湊,才能從具體到心像再到抽象的 結果,進而覺察公式的由來。譚寧君(1998a)在「國小兒童面積迷思概念分 析研究」中提到學童對面積公式的來源及意義瞭解不夠,常以記憶公式來 解決面積問題,而造成公式的誤用,又若提供多餘資訊,則學童在應用上 更加困難;兒童解題習慣往往憑直覺,對題意不求甚解,若問題恰有公式 可套用,則通過率可達近九成,但題型稍變化則通過率未達二成,即使提 醒亦不易進行反思。 貮、吳德邦(1998)的研究 吳德邦(1998)在「臺灣中部地區國小學童范氏幾何思考層次之研究- 筆試部分」中發現,在圓形部分,學童達到 van Hiele 層次幾何圖形的通 過率分別為:層次一(視覺的)95.1%、層次二(描述的)73.5%、層次三(理論 的)37.6%。由以上數據可知,層次二意指學童可以從圖形的構成要素及構 成要素之間來分析圖形,層次三則為能根據圖形的性質及構成要素,進一 步形成抽象的定義,可見學童對於圓形達到層次二的兒童約有四分之三, 而層次三則約只有三分之一強。

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參、張英傑(2001)的研究 張英傑(2001)在「兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究」中,四 到六年級大部分學生(89%)皆有正確的圓心和半徑概念,及直徑是半徑的 兩倍之概念。 肆、王選發(2001)的研究 王選發(2001)在「國小六年級學童面積學習」的研究中指出,六年級 學童,會將「具有面積」的圖形與「自己能否算出面積」的圖形混淆,因 此會誤認非圓形之曲線所圍成的封閉圖形不具有面積。六年級學童有 87 %已具備面積保留概念,部分學童會受圖形切割或變形後,邊長或排列的 位置不同所干擾,而影響保留性的判斷。有不少學童未能掌握所給單位量 的大小,將每一單位方格均視為 1 平方公分來計算面積。 伍、沈佩芳(2002)的研究 沈佩芳(2002)在「國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究」的研 究中發現,五年級學童對於圓形幾乎都有迷思,在圓形的視覺辨識上,認 為半圓形是圓形的一半,所以也是圓形;橢圓雖然不是正的,但沒有任何 直線或角,所以也是圓形的一種。六年級學童的迷思概念大都是對於半徑 的認識不清,認為一個圓的半徑有四條,或是半徑就是圓的一半;看到圓 形就想到半徑×半徑×3.14,顯示學生會把面積公式當成圓形的決定性準 則。 陸、王建興(2003)的研究 王建興(2003)在「國小教師數學單元教學之探討-以圓周率為例」中 提及,圓周率單元教學主要的困難是如何將抽象的圓周率概念教給學生、 學生要如何去瞭解圓周率的意義。影響教師教學成效的因素包含學生先備 知識的不足、程度的差異與安親班的教學方式。學生學習困難的原因是學 生對於圓相關概念的認識不足、缺乏曲線長度測量的能力、與教師的引入 圓周率概念方法、圓周率意義的說明所造成的。

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柒、侯雪卿(2004)的研究 侯雪卿(2004)在「國小高年級學童圓概念教學模組補救教學之個案研 究」中發現學童對於圓的組成要素在視覺上容易掌握,但在文字或語言上 較無法完整描述其定義及關係,並將圓的迷思概念歸成三種類型: 一、「圓的組成要素與關係」的迷思:缺乏圓心到圓周上任一點等距的概 念;缺乏一個圓的半徑有無限多條的概念;缺乏辨識直徑性質的能 力;缺乏一個圓的直徑是半徑 2 倍之概念。 二、「圓周率概念」的迷思:缺乏圓周率固定不變的值之概念;在直徑、 圓周長及圓周率之關係中,無法正確求出直徑長和圓周長。 三、「圓面積概念」的迷思:缺乏圓面積是指平面區域中所佔的大小;點 數圓面積時,缺乏不完整正方形面積之單位量的概念,和當正方形單 位面積改變時無法成功解題;缺乏圓面積等於半徑×半徑×圓周率之概 念;缺乏解決複合圖形的面積問題;缺乏在同一個圓中,圓面積與直 徑的倍增關係、圓面積與半徑的倍增關係。 捌、許乃賜(2004)的研究 許乃賜在「動態幾何教學與傳統教學對五年級學童圓教學成效之研 究」中發現,學童對於圓保留方面,大都以視覺處理,常犯直觀規律中 More A More B,也就是學生會認為「圓周長在經過切割搬移組成新圖形 後,面積變小,所以周長也會變小」與 Same A Same B,認為因面積不 變,所以周長也不會變。而在圓測量方面,主要的迷思概念為一、二維單 位量轉換混淆、量感不足,而導致視覺估測錯誤、面積與周長的混淆使用、 公式不了解與誤用、單位概念不足及直觀律中的 Linear A Linear B,意指 半徑變為 3 倍,所以直徑、圓周長與圓面積都會變成 3 倍。Linear A Linear B 迷思概念尚需時間內蘊及持續的測量活動來破除迷思概念,而其中學童 對於由長方形公式導出圓面積公式之概念連結尤其重要,學童必須真正的

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玖、朱莉文(2005)的研究 朱莉文在「國小五年級學童平面圖形學習表現之研究」中發現,大多 數學童(85%以上)對圓形性質中直徑與半徑的關係了解情況不錯,對直徑 是半徑的兩倍絕大多數很清楚,但部分學童對半徑是直徑的幾倍關係之逆 運思理解不夠清楚。在圓周長與直徑關係方面,部分學童(約 31%)表現略 差,在圓周長與直徑的倍數關係操作表現方面,大多數學童(80%)能答出 圓周長是直徑的 3.14 倍或 3 倍;部分學童(36.7%)能夠完全正確量出直徑、 圓周長、再算出圓周長是直徑的幾倍,多數學童對圓周長與直徑關係的操 作過程不清楚。 拾、柯宏松(2006)的研究 柯宏松(2006)在「國小學童圓形概念分析之研究」中發現學童圓形概 念的發展其順序性為:圓形的組成要素概念→圓周率與圓周長概念;直徑 與半徑的關係概念→圓周率與圓周長概念;圓形的組成要素概念→圓面積 概念;圓形的組成要素概念→圓面積與組成要素之倍增關係概念。圓形圖 形的初步概念及圓周長與直徑長的倍增關係概念,分別為獨立概念,與其 它概念無關聯性。 拾壹、林秉輝(2007)的研究 林秉輝(2007)在「國小六年級學童圓形相關概念分析之研究」中發現 學童的圓形相關概念其上下位關係為:基本扇形面積概念→扇形周長概 念;圓面積與組成要素的數量關係概念→扇形周長概念;圓面積概念→扇 形周長概念;圓周長與組成要素的數量關係概念→扇形周長概念;圓面積 概念→複合扇形面積概念;圓周率與圓周長概念→扇形周長概念;圓面積 概念→基本扇形面積概念→複合扇形面積概念;圓心角概念→扇形周長概 念;圓心角概念→基本扇形面積概念;扇形的組成要素概念→基本扇形面 積概念;扇形的組成要素概念→扇形周長概念;圓形的組成要素概念是上 述所有概念的下位概念。

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綜合以上所述,可以發現高年級的學童對於「圓形的組成要素」大部 分都能掌握(張英傑,2001;朱莉文,2005),但對於「圓形各組成要素間 的關係」的理解較不佳(吳德邦,1999;侯雪卿,2004;朱莉文,2005), 因此教師在進入「圓面積單元」時,應先複習過去學生在中年級所學的圓 形基本概念的先備知識,並加強學生對於圓形組成要素之間的關係及定 義,而非只有名詞與位置的解釋。在圓周率教學部分,因圓周率為一抽象 概念,學童常有學習上之困難,及其迷思概念(王建興,2003;侯雪卿, 2004;朱莉文,2005)教師必須在課堂上藉由多次實際測量,並引導學童 歸納,才能使學童理解圓周率的意義,但測量上往往有誤差,此為研究者 在教學經驗中常可發現的問題,而誤差常造成學童心中的疑惑,最後也只 能由教師以解釋誤差的方式來告訴學童,而流於死背 3.14,因此為使圓周 長的測量誤差減低,且方便教學上測量不同直徑的圓形的直徑及圓周長, 本研究擬在實驗組以實體教具測量之後,再以數位教具,在電子白板上與 學童共同進行測量與歸納,以利學童對於圓周率的學習。 圓面積教學部分,學童常流於公式的背誦,卻不了解圓面積的意義及 由來,且缺乏不完整正方形面積之單位量的概念,及圓面積與直徑的倍增 關係、圓面積與半徑的倍增關係的問題(譚寧君,1995;王選發,2001;沈 佩芳,2002;侯雪卿,2004),因而在面積的教學過程中,教師須透過豐富 的操作、點數、切割、比較、拼湊,才能使學生從具體操作的過程中進而 了解公式的由來,因此本研究將把圓以不同等分的分割及組合,配合六年 級學童的保留概念雖已大部分具備,但部分學童會受圖形切割或變形後, 邊長或排列的位置不同所干擾,而影響保留性的判斷(王選發,2001),因 此藉由數位教具在電子白板上重複的操作及呈現,期望能讓學童真正了解 圓面積的概念。 由柯宏松(2006)及林秉輝(2007)的研究中可知圓形教學中,各個圓形子

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童的概念學習順序,另外也可作為編寫教案進行教學時的參考。因扇形乃 為圓等分後的一部分,學童需對圓形學習有確切的了解後,才能對扇形概 念加以掌握。

第四節

第四節

第四節

第四節 互動式電子白板及其相關教學研究

互動式電子白板及其相關教學研究

互動式電子白板及其相關教學研究

互動式電子白板及其相關教學研究

壹、互動式電子白板介紹 互動式電子白板是一種觸感式電子白板,作為整個系統的一部分,電 子白板需要與電腦和投影機配合使用。電子白板訊號傳輸線兩端分別連接 到電子白板及電腦的 USB 埠上,電腦將螢幕影像傳送到投影機,投影機再 將影像投射到互動式電子白板上,即完成安裝。螢幕互動式電子白板既是 一個顯示器也是一個輸入設備,只需要用手指觸摸互動式電子白板就能操 控各種應用程式或檔案,當互動式電子白板變成能直接操作的大螢幕,便 構成一互動式的教學環境,如圖 2-4-1 (嘉穎科技,2009)。 圖 2-4-1 互動式電子白板工作模式圖

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一、互動式電子白板的功能 互動式電子白板具有以下的的功能(網奕資訊,2007): (一)互動功能 透過電腦與投影機所組成的互動式控制環境,整個電子白板相當於大 型的觸控螢幕,可完全地控制電腦,彼此間的操作反應可互相同步顯示, 操作與講解過程也可錄製保存。 (二)書寫功能 利用手指或手寫筆在電子白板上可隨意書寫或擦除(板擦功能),而且 可任意調整筆的粗細和顏色。 (三)可累積素材庫 應用軟體提供大量的教學素材庫,例如背景圖、頁面樣板、多媒體素 材等等,內容豐富、涵蓋領域廣泛,且內容可自行新增或刪除。 (四)照相機功能 可以捕捉任何軟體的全部或局部畫面,甚至可以利用錄製的功能,把 操作或書寫過程,以及老師講解的聲音錄製成一段影片,做為課後補救教 學的數位內容。 (五)匯出功能 根據老師的需求,可以將書寫的內容轉換成圖片、 HTML、PPT、PDF 等檔案格式,上完課就擁有現成的電子筆記。 (六)特殊功能 具有放大/縮小、自動辨識基本圖形等功能,老師若可以取得其他的應 用軟體,隨時都可以擴充進電腦,讓電子白板發揮更大的效益。

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二、互動式電子白板之優點 根據國內外學者的研究顯示,互動式電子白板有許多教學上的優點, 玆分述如下: (一)提高教學效能 利用電子白板上課,可延續老師邊講解、邊書寫的授課習慣,亦可讓 數位化內容得以具體有效率的呈現(Levy,2002),而不必像以往傳統黑板的 教學,必須在投影幕與黑板切換,可促進學習的連貫性,避免學生因此而 分散注意力,其創造性及展示效果比教室其它資源更能吸引學生和老師的 注意力(Kennewall,2004;Smith et al.,2005)。教師可以站在講台中央,與學 生面對面,利於與學生互動。在部分研究中發現,利用電子白板,老師更 容易利用各種多媒體教材資源,如:圖片、影像、聲音、圖表、動畫、網 站等(Ekhami,2002;Johnson,2002;Levy,2002)。另外,相較於全面性裝置 個人電腦之教室,透過單片電子白板與單台電腦就可以讓全班學生一起學 習,相對成本較低且效益更高(網奕資訊,2007)。在數學的課堂中,使用 電子白板可以快速展示圖形,替老師省去許多佈題的時間,因而使教學的 步調變快(Ball,2003),教師也可以藉由網路共同分享電子白板的素材,降 低工作量(Glover & Miller,2001a)。

(二)便於結合多媒體資源 科技時代的來臨,教師常在教學過程中會引入多媒體資源,來豐富課 程,電子白板是一個極佳的教學展示工具,授課者可以在白板上執行各種 多媒體資源,可顯示數位相機拍攝的照片或影片,並隨時標記或點出重點 (網奕資訊,2007)。研究晤談中顯示,使用電子白板的教師認為,使用電 子白板相較其它資訊設備更容易應用各種多媒體,因而也使教學更具多樣 性與豐富性(Levy,2002)。

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(三)提高學生學習動機 互動式電子白板是一種色彩化、具象化的學習工具,教師在課堂中將 相關的學習重點或概念,運用電子白板中的圖片展示、色彩標示、放大或 是播放多媒體等功能,亦可經由網路整合各種教學資源,使電子白板以生 動的方式呈現豐富的教學內容,在教學過程中有利於保持學生的注意力, 並提升學習的動機(Glover et al,2005b) (四)即時記錄與存檔 電子白板能夠透過軟體中的錄製功能即時儲存教學歷程,利用已建立 的教學素材連貫課程學習(Walker,2002)。教師或學生只須要開啟相關檔 案,便能複習該節教學活動,教師亦可透過錄製的內容來作教學省思。另 外,也可上傳或下載教學設計,增加網路教學資源的分享(陳韻雯,2009)。 (五)提供多元的學習型態,增進學習成效 互動式電子白板使教師可以運用多媒體教材,將抽象的概念具體化, 多元的輔助方式可以幫助學生理解(Edwards et al.,2002 ; Miller, 2003)。觸覺 型學習者可以直接接觸白板或在白板上標記;聽覺型學習者透過白板討 論;視覺型學習者可以看到白板操作的變化(網奕資訊,2007)。另外,教 師在教學活動結束後,電子白板的錄影功能自動地將教師的教學活動存成 數位檔,上傳到特定的分享空間,可供學生回家下載與複習功課之用途, 學生在家即可複習在課堂中學到的內容 (Fletcher, 2006)。 (六)符合健康環保 相較於傳統黑板,互動式電子白板不會製造粉筆灰,老師和學生可以 不必忍受隨處飄揚的粉筆灰(網奕資訊,2007)。另外在教具及圖卡方面也 可不必再像傳統的黑板教學時需用紙張印刷,可以於教學過程中運用電子 白板以數位化方式呈現,數位教具也可重複使用,既能清楚展現於學生眼 前,亦能節省紙張,十分符合環保的概念。

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三、互動式電子白板的限制 綜合各學者所提出的互動式電子白板限制(Smith et al.,2005;陳惠邦, 2007),茲分述如下: (一)硬體本身,可能有觸控感應不佳及投影機購買及維護的問題。 (二)互動式電子白板的設置常因照明設備以及座位安排而產生困境,可移 動式的白板設備的建置和維護是一大問題。 (三)電子白板進入教室之後,當學生使用電子白板愈熟悉,新鮮感和好奇 心可能無法持久,動機會逐漸減弱。 (四)無法代替教師教學能力或改變其教學信念。 (五)無法直接改變學生學習習慣與方法。 (六)應用程度與方式因教師、情境、學科而異。 (七)IWB 本身也有技術上的限制(如可應用教學資源、中文書寫辨識、前 投反光、單點輸入與反應)。 貳、互動式電子白板的應用層次 傳統黑板在教室中已行之有年,教室中師生對於傳統黑板已十分熟悉 且習慣使用,所以互動式電子白板的導入對於師生來說將是一大革新,互 動式電子白板的導入絕對不只是教學硬體上的改變,更是深刻影響了教師 教學方式及學生學習方式,因而教師與學生在使用互動式電子白板時,必 須經過一段轉變過程,以下就國外 Beauchamp(2004)及國內陳惠邦(2006) 所提出的互動式電子白板應用層次來闡述。 一、國外 Beauchamp(2004) Beauchamp(2004)透過教室觀察及半結構式的晤談,歸納出五個階段, 內容分述如下: (一)階段一:黑板/白板交替期(Black/Whiteboard Substitute) 此時期互動式電子白板只由教師操作,教師大部分只使用書寫、畫圖

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及電子白板軟體本身所提供之功能。 (二)階段二:練習期(Apprentice User) 教師開始自編教材,並將使用過的檔案儲存下來,亦能簡單使用網路 上的教學資源,可以使用電腦的圖庫來豐富教學;學生則學習如何在電子 白板上書寫、拖曳物件等操作技巧。 (三)階段三:創始期(Initiate User) 教師漸漸熟悉電子的板的操作,能使用更多的程式或功能,可以同時 開啟或切換使用多個程式,能使用已儲存的頁面,可以放大或縮小檔案, 使用更多的資源,如圖片、聲音等;學生也能到電子白板前選取工具將內 容輸入電子白板中。 (四)階段四:進階期(Advance User) 教師能在電子白板中加入之前的課程內容、學生作業、教科書內容 等,提供全班學生使用,教師也可以使用影片、聲音檔案或同事所開發之 教材等,教師能很自然的讓學生示範或表達意見;學生對電子白板也能操 作自如。教師使用修正過且強調學生學習的教材設計來進行教學活動,著 重的是學生的學習而非科技設備。 (五)階段五:進階期(Synergistic User) 師生在電子白板的操作與使用上具備高層次的使用能力,教師能展現 出與科技互動的教學,促進教學的流暢,師生皆能建構有意義的教學活動。 二、國內陳惠邦(2006) 陳惠邦(2006)提到互動白板原為辦公式簡報訓練等用途而設計,引進 教室中使用互動白板的應用層次為: (一)代替傳黑板的展示或教學呈現功能: 將互動白板當成傳統白板使用,在上面進行板書講解,或將互動白板

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(二)以教師為主導媒體操作平台: 教師透過互動白板操控 PC,開啟相關的學習材料或媒體,配合講解。 (三)以教師為中心的展示平台: 教師應用互動白板軟體功能如圖像化、動態化等,或引用互動白板資 料庫中的教材、遊戲等進行教學。 (四)師生互動學習的平台: 教師應用互動白板相關軟體功能(拉幕、聚光燈、超連結、捷徑、部件 與方塊、書寫辨識或語音辨識)及其資料庫中的教學素材,並經網際網路擷 取相關的教學資源,設計符合師生互動的教學活動。 綜合以上兩位學者論述,互動式電子白板導入教學,是循序漸進的, 兩者在各層次內容中有關教師的使用情形大致相同,略微差異的是 Beauchamp(2004)所提的五階段,每一階段會同時提到學生在該階段對電子 白板的使用程度。兩者的論述,都是從傳統的黑板與電子白板的交替時期 開始,而且都是由教師先以主導的身份,將電子白板從原本是由教師操控 的教學工具,逐漸轉移成是可以由學生操作的學習工具,且都在最後強調 師生藉由電子白板促進彼此的互動學習。國外學者 Fletcher(2006)亦提到電 子白板融入教學,應以學生學習為主要考量,引導學生進行問題解決活 動,資訊設備並不是主導教學活動的主要因素,且應著重於教師運用科技 融入教學時課程設計之能力,才能設計出符合學生學習及教學目標之教學 活動。 參、互動式電子白板教學相關實證性研究 近年來有關互動式電子白板的研究文獻隨著互動式電子白板的普及 化日益增加,文獻中有關於電子白板的研究以教學居多,教學的領域有語 文、數學、自然與生活科技等。為了進一步了解互動式電子白板導入數學

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領域教學的相關研究,以下就國內有關互動電子白板應用於教學中的實證 研究加以整理描述: 一、陳彥至(2007)的研究 陳彥至(2007) 在「電子白板於國小數學科教學之行動研究」中採行動 研究法,教學內容為數學科幾何部分的面積、線對稱圖形、柱體與錐體等 三個單元。研究結果發現,使用電子白板有助於學習氣氛的提升,部分電 子白板內建的工具如尺規、幾何繪圖工具等,能讓學生更專注於學習;在 電子白板上直接拖曳、旋轉、縮放圖形等功能有助於學生瞭解幾何單元的 概念,讓學生更瞭解抽象概念的基本原理;而學生也普遍喜歡使用電子白 板來進行幾何概念的學習。然而,在使用電子白板的教學過程中也遭遇到 一些問題,包括:教師需要花費更多的時間進行教學的準備,某些電子白 板的功能不符教學需求,及學生須另外花時間學習電子白板的操作。 二、顏菀廷(2007)的研究 顏菀廷(2007)在「應用互動式電子白板融入國小數學教學成效之探究」 中以準實驗方法應用互動式電子白板融入國小數學教學成效之探究。採用 合作學習的教學策略。控制組以單槍投影為教學的工具,實驗組是以互動 式電子白板當成教學互動的工具,透過小組合作的方式讓學生與互動式電 子白板產生互動,或是教師與互動性電子白板互動時,都對學生學習產生 影響。研究結果發現實驗組的學習成效和數學學習動機有其顯著的差異。 使用互動式電子白板教學能讓學生對學習數學產生興趣的原因,除了互動 式電子白板本身外,其次主要的原因是在教師的教學策略實施下,能讓學 生與互動式電子白板產生互動,增加學生學習的興趣。

數據

表 2-1-1 皮亞傑的認知發展期  期別  年齡  基模功能特徵  感覺動作期  O~2 歲  1.  憑感覺與動作以發揮其基模功能  2.  由本能性的反射動作到目的性的活動  3
表 2-2-2 82 年版國小數學課程標準    領域 年級  圖形與空間  量與實測  一  年  級  1.複製實物的面,分辨出類似 三角形、四邊形及圓等圖形板的圖形。 2.觀察實物與圖形,辨  別直線與曲線。  四  年  級  1.透過製作的活動,瞭解圓 心、半徑、直徑、圓周。 2.圓規的使用。  五  年  級  1.透過對圓周長的分析綜     合,認識圓周長的求法。 2.圓周長求法公式的應用。  3.透過對圓的分析綜合,認識  圓面積的求法。  4.圓面積求法公式的應用。  5.認識圓周率的意
表 3-5-2 預試之通過率、難度指數及鑑別度之項目分析表  題目  P H  高分群 通過率  P L 低分群 通過率  難易度 指數  鑑別度  各題與總 分之間的 相關係數  刪除後的 信度  1  .93  .5  .72  .43  .346** .832  2  .89  .42  .66  .47  .367** .831  3  .56  .31  .44  .25  .227* .837  4  .56  .39  .48  .17  .162 .839  5  .86  .62  .74
表 4-1-3 圓周率與圓周長概念的答對百分比  答對百分比 圓周率與圓周 長概念  題號 (代號)  實驗組  控制組  全體受試者  圓周率意義  1  96%  85%  91%  知直徑求圓周長  2  89%  89%  89%  圓周長意義  5  93%  93%  93%  知直徑求圓周長  7  93%  96%  95%  知周長求半徑  10  86%  59%  73%  圓周率為定值  15  96%  96%  96%  知周長求直徑  31  96%  74%  85%  平均
+7

參考文獻

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