第四章 研究結果與討論
第一節 圓面積單元概念的理解情形
上的人數有 20 人佔實驗組人數的 71%，控制組 25 分以上有 15 人佔控制
增關係概念」實驗組與控制組的答對率相等之外，在其它各概念方面，實 驗組的答對率皆高於控制組，以下依圓面積單元各概念進行分析與討論。
貮、圓周率與圓周長概念的表現
研究者欲藉由此一概念了解學童在圓周長意義、圓周率意義、圓周率 為定值、圓周長測量公式的理解情形。
一、筆試題目與整體答對百分比
( )1.關於圓周率的說法，哪一個正確？
① 圓周長÷直徑=圓周率 ② 圓周長÷半徑÷2=圓周率
③ 圓周長÷半徑=圓周率 ④ 圓面積÷直徑=圓周率
( )2.右圖的圓周長最接近下列哪一個長度？
① 60 公分 ② 90 公分 ③ 120 公分 ④ 150 公分
( )5. 下列哪一個敘述是圓周長的描述？
① 圓的大小 ② 圓內最長的線段
③ 一個圓的圓心到周界的距離 ④ 圍一個圓所需用到的長度
( )7.老師給小美一張長 20 公分，寬 16 公分的色紙，請她在紙上剪一個最大的圓形，請問 這個圓形的圓周長大約是多少公分？
① 50.24 ②62.8
③ 72 ④ 80
( )10. 哥哥拿 1 條長 150.72 公分的繩子，剛好可繞圓形鍋蓋 2 圈，鍋蓋的半徑大約是多少 公分？
① 9 ② 12 ③ 18 ④ 24
( )15.當半徑改變，下列何者不變？
①圓周長 ②圓周率
③圓面積 ④直徑
( )31. 有一個圓盤的周長是 28.26 公分，則此圓的直徑是多少公分？
① 3 公分 ②4.5 公分 ③ 9 公分 ④18 公分
20 公分
16 公分 40 公分
表 4-1-3 圓周率與圓周長概念的答對百分比
答對百分比 圓周率與圓周
長概念
題號
(代號) 實驗組 控制組 全體受試者 圓周率意義 1 96% 85% 91%
知直徑求圓周長 2 89% 89% 89%
圓周長意義 5 93% 93% 93%
知直徑求圓周長 7 93% 96% 95%
知周長求半徑 10 86% 59% 73%
圓周率為定值 15 96% 96% 96%
知周長求直徑 31 96% 74% 85%
平均答對百分比 C1 93% 85% 89%
由表 4-1-3 可知，就全體受試學童而言，在圓周率與圓周長概念的答 題情形，其中第 1、5、7、15 題的答對率有九成以上，顯示學童分別在「圓 周率意義」、「圓周長意義」、「知直徑求圓周長」、「圓周率為定值」方面的 理解情形不錯，尤其是「圓周率為定值」的答對率高達 96%。綜觀此概念 含括的題目不論是實驗組或控制組，以第 10 題的答對率最低，全體受試 者的答對率只有 73%，以下就第 10 題答錯的學童進行晤談，以了解其錯 誤類型及其迷思概念。另外，控制組在第 31 題「知直徑求圓周長」中的 答對率為 73%亦偏低，將選擇答錯的控制組學生進行晤談。
二、質性資料分析
【學生以編號表示，E 表示實驗組學童，C 表示控制組學童，例如：ES05 代表實驗組班級 5 號的學生，CS01 代表控制組班級 1 號的學生；T 代表研 究者】
(一)第 10 題晤談摘要及分析
1.ES05－忘記圓周長除以 3.14 後是直徑，若要求半徑還要再除以 2。
T：說一下你第 10 題怎麼算的？
T：那請你算算看？
ES05：
(算式左：後測、算式右：晤談) T：你原本為什麼沒有把 48 除以 2？
ES05：原本以為除以 3.14 後就是半徑了。
2.ES19－沒看到題目是要繞 2 圈。
T：請問你第 10 題怎麼算的？
ES19：用 150.72 除以 3.14 T：那請你算算看？
ES19：
(晤談時寫的) T：那你原本為什麼會選？
ES19：沒注意到題目是說要繞 2 圈。
(二)第 31 題晤談摘要及分析
1.CS12－對於直徑、半徑、圓周長及圓周率的關係不清楚，將圓周長除以 3.14 後，又再除以 2。(此學生的答案選的是 4.5)
T：請問你第 31 題是怎麼算的？
CS12：就把 28.26 除以 3.14 再除以 2。
周長倍增」問題，整體受試者的答對率分別為 76%、95%，高於第 21 題「半 徑與圓周長倍增」問題的 67%，可以發現學童在圓周長與組成要素的倍增 關係概念中，對「直徑與圓周長倍增的關係」理解情形較「半徑與圓周長 倍增的關係」的理解情形佳。研究者就答對率最低的第 21 題答錯學童進 行晤談，以了解其錯誤類型及其迷思概念。
二、質性資料分析
(一) 第 21 題晤談摘要及分析
1.ES05－對於半徑和圓周長的倍增關係，會習慣將半徑乘以 2 倍換為直徑 之後，再計算的其倍數關係，但誤認為半徑變為原來 4 倍，直徑 會變成 4 乘以 2，得到 8 倍，因此認為圓周長會變成原來的 8 倍，
顯示學童知道「直徑變為原來的 8 倍，圓周長亦會變為原來的 8 倍」，對於「直徑與圓周長的倍增關係」的理解較「半徑與圓周 長的倍增關係」好。
T：這一題呢？
ES05：4 倍(想了很久)。
T：為什麼？
ES05：咦……錯了錯了，不是 4 不是 4。(s 手寫 8×3.14)，8 倍才是，咦 4 倍……變為原來 2 倍。
T：8 倍，確定？為什麼？
ES05：嗯，因為它說半徑變為原來 4 倍，那直徑是 8，然後圓周長會變為原來的 2 倍，4 乘 2 是 8 是直徑。
2. ES15－先將半徑轉換為直徑，認為半徑變為原來的 4 倍，直徑會變為原 來的 8 倍。後來學生再以列舉數據的方式來重新解題，類推到直 徑會變為原來 4 倍，而且直接就認為圓周長也會變為原來的 4 倍 了。
T：這一題你現在認為答案是多少？
ES15： 4 倍。
T：4 倍，為什麼？
ES15： 嗯，如果一個圓的半徑變成原來的 4 倍的話，那直徑也是原…嗯不，因為半徑是 變成 4 倍的話，那直徑就要乘以 2，所以這 4 倍也要跟著乘以 2，然後這乘以 2 後
就是這個直徑，再用這個 3.14 乘以直徑就是圓周長，那這個圓周長就會變成原本 那個圓周長的 8 倍。
T：所以你還是認為答案是 8 倍？
ES15：(想很久)4 倍。
T：那 4 倍可不可以解釋一下？
ES15：如果半徑，原本那個圓，它的半徑設為 1 等分 1 好了，那這個半徑變為原來的 4 倍，
就把它看成 4，如果小圓的半徑是 1 等分，那要變成直徑就是 2 等分，那大的圓半 徑是 4 等分，那直徑也就是 8 等分，那再用 8 除以小圓的直徑 2 就是 4 倍，
T：所以你現在認為是 4 倍。
ES15：對。
T：那如果半徑變為原來的 3 倍，你認為圓周長會變成原來的幾倍？
ES15：還是 3 倍。
綜合以上晤談資料分析，可以發現在教學過程中，不論是在一開始的 實際測量，乃至最後歸納的結果為「圓周長＝直徑×3.14」，在「圓周長」
的導入過程中「直徑」始終扮演重要角色，所以直徑與圓周長倍增的關係 對學童較不困難，但在半徑對圓周長的倍增關係，還是會被「半徑是直徑 兩倍」這句話混淆，導致答題時容易出錯，而且學童容易認為半徑變為原 來的 n 倍，直徑會變成原來的 2n 倍。但對於「直徑變為原來的 n 倍，圓 周長即變為原來的 n 倍」理解得較好，另外發現部分學生會自己列舉數字 來解題。
這三題當中又以第 16 題的答對率最高，比較第 16 題與第 11 題兩題 測驗的概念皆為「直徑與圓周長倍增的關係」，但第 16 題答對率比第 11 題高了 19%，由題目中發現第 11 題的題幹敘述較偏向於抽象描述，而第 16 題則具體的將圓周長的長度寫出，學生在答題時，也可運用題目實際提 供的數據來推理出答案，因而在教學過程中圓周長與圓組成要素關係的概 念，藉由「舉例」來引導學童理解此一關係應有所幫助，另外，為了讓學 童能對定義性的敘述能理解，也可培養學童自己舉例的能力，而非只是死 背。
肆、圓面積概念的表現
研究者欲藉由第 3、6、9、12、18、24、30 題來了解學童圓面積概念 的理解情形。
表 4-1-5 圓面積概念的答對百分比
答對百分比 圓面積概念 題號
(代號) 實驗組 控制組 全體受試者 圓面積的單位量 3 86% 82% 83%
已知半徑求圓面積 6 96% 85% 91%
圓面積保留概念 9 43% 44% 44%
圓面積的意義 12 96% 93% 95%
複合圖形的圓面積
(分解) 18 82% 78% 80%
複合圖形的圓面積
(合成) 24 75% 48% 62%
圓面的測量公式 30 93% 74% 84%
平均答對百分比 c3 82% 72% 77%
由表 4-1-5 中可知，第 12 題「圓面積的意義」，全體受試學童答對率 有 95%，顯示九成以上受試學童對於圓面積意義的理解情形相當不錯。
第 6 題已知半徑求面積的問題答對率 91%，顯示學童在已知半徑的情況 下，使用圓面積公式來計算出面積的能力不錯，但較人不解的是第 30 題 圓面積的公式的知識性問題，學生的答對率卻比第 6 題還低，從全部 55 份試卷中發現第 6 題和第 30 題皆錯的共有 2 位，表示這兩位皆為控制組 的學生對於圓面積公式不理解，也不知如何運用，而其中有 7 個只錯第 30 題，研究者針對這 7 位學童進行晤談，此 7 位學生皆能用半徑套用公式，
計算正確答案，也表示未將第 30 題的選項看清楚，才導致錯誤，因而不 再列舉晤談內容。以下就第 3、18、24、9 題答對率較低的題目進行晤談。
另外，第 34 題為一問答題，研究者欲藉由此題了解學生對於圓面積公式 由來的理解情形，一併在以下針對學生的答題情形進行分析探討。
二、質性資料分析
(一) 第 3 題晤談摘要及分析
T：請問這一題，你怎麼算的？
ES05：拿筆開始點數，點數結果
T：所以你還是認為答案是 18。
ES05：對。
此一學童將黑點的那兩格看成完整的格子。
2. CS13－圓的四個角落的塗色部分，沒有點數。
綜合以上晤談資料，發現答錯的學生多半在於「不完整格子數的點數 錯誤」。
(二) 第 18 題晤談摘要及分析
1. ES29－在後測時列出 4×4×3.14，認為即是答案；晤談時學童才發現 8×8×3.14－4×4×3.14 的答案不等於 4×4×3.14
T：現在這題你會嗎？
ES29：會啊，可是算不出來。
T：那你把你的想法說一下。
ES29：先算出大圓的圓，再算出這塊白色，再把兩塊相減。
T：那大圓的圓面積你會怎麼算？
ES29：8×8×3.14 T：那小圓呢？
ES29：小圓就 4×4×3.14
T：那兩個相減的結果會和這個一樣嗎？
ES29：(搖頭)
2.ES30－只會計算小圓面積，而無法提供算出灰色部分的解題策略。
T：這題你怎麼算？
ES30：4×4×3.14 T：4 是什麼意思？
ES30：(想了很久)白色圓的半徑。
T：所以算出來的是？
ES30：白色的圓面積。
T：那灰色怎麼算？
ES30：(想了一下)不知道。
2. CS30－題目看錯，誤認為要算大圓的半徑是 12。
T：這題你要怎麼算？
CS30：就先算大圓，再算小圓，然後再用大圓減小圓。
T：那大圓怎麼算？
CS30：12×12×3.14
T：你原本寫在這裡 12×12×3.14 是因為這題而寫的嗎？
CS30：嗯，那時候看錯了。
T：那你列一下大圓和小圓的面積？
CS30：
T：那小圓的 4 是哪個部分，請你標示出來。
經由晤談結果分析後，發現答錯學童在第 18 題的題目中會直接以 4 為半徑而代入圓面積公式來解題；亦或是誤判大小圓半徑的長度。
(三) 第 24 題答題摘要及分析 1.選擇的錯誤類型
CS09－只計算半個圓再加長方形。
ES26－誤用公式，將圓面積公式用成圓周長公式。
2.選擇的錯誤類型－算出了一個圓面積又再乘以 2，被「兩個」半圓混淆。
ES30
ES07
2.選擇的錯誤類型－公式誤用，直接用直徑 10 公分來代入圓面積公式，
2.選擇的錯誤類型－公式誤用，直接用直徑 10 公分來代入圓面積公式，