討論

由 以 上 各 章 節 之 物 理 概 念 發 展 的 歷 史 分 析 ， 接 下 來 我 們 將 追 本 溯 源 ， 進 一 步 說 明 那 些 內 容 是 相 當 重 要 而 應 加 以 釐 清 或 強 調 的 部 份 。

一、 克 卜 勒 完 美 地 以 幾 何 數 學 破 解 了 古 代 天 文 學 之 謎

自 人 類 有 歷 史 以 來 ， 世 世 代 代 的 天 文 學 家 勤 於 觀 察 和 記 錄 ， 無 非 就 是 為 了 要 尋 找 隱 藏 在 現 象 背 後 的 原 理 或 規 律 。 首 先 是 埃 及 天 文 學 家 托 勒 密 (Claudius Ptolemy, c. 90-c.168)發 表 了 《 至 大 論 》， 他 所 提 出 的 地 心 說 融 合 了 亞 里 士 多 德 (Aristotle, 384-322 B.C.)的 宇 宙 論，並 且 可 大 致 解 釋 和 預 測 日 月 蝕 以 及 行 星 逆 行 現 象 ， 因 而 成 為 日 後 影 響 人 類 歷 史 千 年 的 著 作 。

後 來 到 了 十 六 世 紀 ， 隨 著 天 文 觀 測 技 術 的 突 破 ， 此 一 與 事 實 不 符 的 地 心 體 系 到 後 來 也 到 了 被 質 疑 其 正 確 性 的 地 步 。 首 先 是 波 蘭 天 文 學 家 哥 白 尼 (N. Copernicus, 1473-1543)基 於 數 學 上 的 簡 單 、 和 諧 原 則 在

《 天 體 運 行 論 》提 出 了 日 心 說，並 宣 稱 行 星 的 運 行 軌 道 是 完 美 的 正 圓 ， 雖 然 這 仍 與 事 實 不 符 ， 但 至 少 已 經 跨 出 突 破 的 第 一 步 。

到 了 1601 年，德 國 數 學 家 克 卜 勒 於 繼 承 丹 麥 天 文 學 家 第 谷 (Tycho Brahe, 1546-1601)累 積 了 17 年 精 確 的 天 文 觀 測 資 料 後 ， 經 過 各 種「 苦 思 冥 想 的 狂 風 暴 雨 」，鍥 而 不 捨 地 花 費 數 年 時 間，最 後 才 得 以 嚴 謹 數 學 對 行 星 的 運 動 進 行 完 美 的 分 析 ， 成 功 破 解 了 千 古 之 謎 。

二、 牛 頓 的 力 作 用 表 現 於 物 體 的 運 動 狀 態 改 變

根 據 牛 頓 的 定 律 I， 除 非 有 外 力 作 用 ， 不 然 物 體 的 運 動 狀 態 將 不 會 改 變 。 而 根 據 定 律 II， 外 力 的 大 小 正 比 於 給 定 時 間 內 物 體 的 速 度 變 化 ， 而 力 的 方 向 則 是 與 物 體 的 速 度 變 化 相 同 。 因 此 ， 我 們 可 知 物 體 的 運 動 狀 態 (快 慢 或 方 向 )改 變 時 ， 必 然 有 受 到 力 的 作 用 。

三、 克 卜 勒 的 面 積 律 與 牛 頓 的 向 心 力 彼 此 等 價 存 在

由 於 牛 頓 發 現 面 積 律 與 物 體 運 動 狀 態 的 變 化 有 關 ， 所 以 他 可 藉 由 定 律 II 而 與 力 概 念 結 合。因 此，若 不 是 克 卜 勒 成 功 發 表 了 行 星 的 面 積 律 ， 則 牛 頓 將 無 法 提 出 向 心 力 存 在 的 證 據 。 如 此 一 來 ， 牛 頓 的 力 概 念 將 無 用 武 之 地 ， 除 了 無 法 得 到 力 與 距 離 平 方 成 反 比 的 的 關 係 ， 當 然 也 無 法 由 定 律 III 推 論 得 知 ： 向 心 力 是 一 種 吸 引 力 。

四、 面 積 律 、 橢 圓 律 與 定 律 II、 III 造 成 萬 有 引 力 的 提 出

牛 頓 由 克 卜 勒 的 面 積 律 得 到 向 心 力 存 在 的 證 據 後 ， 隨 即 由 定 律 II 出 發 ， 得 知 不 論 天 體 是 屬 於 正 圓 或 橢 圓 的 軌 道 運 動 ， 其 向 心 力 形 式 皆 為 距 離 平 方 反 比 力 。 之 後 他 發 現 實 際 上 天 體 的 運 行 與 地 面 上 落 體 的 運 動 其 實 都 是 同 一 種 性 質 的 力，接 著 再 結 合 定 律 III，最 後 牛 頓 才 得 以 提 出 萬 有 引 力 定 律 。

五、 f=ma 的 數 學 式 是 白 努 利 於 1736 年 首 次 寫 下 後 才 出 現

目 前 幾 乎 所 有 文 獻 皆 沿 襲 科 學 史 家 M. Jammer(1915-2010)的 說 法 ， 認 為 f=ma 最 早 是 由 歐 拉 在 1736 年 的 論 文 《 Mechanica》 中 所 寫 下

(J ammer, 1997, pp. 88-89)， 但 檢 視 該 原 始 著 作 ， 全 書 與 力 較 為 有 關 的 表 示 式 為 (Euler, 1736, p.64)

A dcnpdt

其 中 c, t, A, p 分 別 代 表 速 度、時 間、質 量、與 力，n 為 比 例 常 數 ， 因 著 不 同 的 測 量 單 位 ， 而 會 有 所 不 同 。 若 我 們 將 力 p 以 f 代 表 ， 質 量 A 以 m 代 表 ， 速 度 c 以 v 表 示 ， 則 可 將 其 改 寫 如 下 ：

dt mdv f  n1

顯 然，這 並 不 是 f=ma 的 形 式。隨 後 歐 拉 於 1750 年 探 討 在 三 維 空 間 中 質 量 為 M 物 體 所 受 之 力，他 認 為 將 它 沿 x-方 向 之 分 量 P 與 位 移 變 化 的 關 係 表 示 為 (Euler, 1752, p. 196)

2MddxPdt2

這 仍 不 是 f=ma 表 示 式 。 因 此 我 們 應 將 昔 日 多 人 認 為 牛 頓 的 f=ma 出 自 於 歐 拉 的 說 法 ， 更 正 為 f 正 比 於 mdv/dt 或 f=ma 的 定 律 II 形 式 ，

六、 功 的 概 念 發 生 於 動 能 概 念 之 前

1878 年 ， 蘇 格 蘭 物 理 學 家 馬 克 士 威 (C. Maxwell, 1831-1879)曾 在

《 物 質 與 運 動 》 一 書 中 對 功 與 能 量 的 概 念 下 了 定 義 ， 他 認 為 ：

功 是 一 種 造 成 系 統 結 構 改 變 的 作 用 ， 可 用 來 反 抗 阻 礙 改 變 的 力 ( M ax w el l, 1 8 7 8 , p . 1 0 1 ) 。

因 此 ， 他 進 一 步 主 張 功 是 從 一 物 體 或 系 統 到 另 一 物 體 或 系 統 的 能 量 轉 移 作 用 (Maxwell, 1878, p. 104)。 由 此 觀 之 ， 似 乎 是

能 量 概 念 先 於 功 概 念 之 前 。 那 麼 功 與 能 究 竟 應 孰 先 孰 後 呢 ？

牛 頓 在《 原 理 》命 題 39 問 題 27 的 討 論 中，他 就 已 經 提 出 了「 功 」 與「 動 能 」關 係 的 最 原 始 雛 型 了。若 物 體 的 初 速 度 為 零，a 為 加 速 度 ， dx 為 位 移 ， v 為 末 速 度 ， 則 我 們 可 由 伐 立 農 後 來 所 推 導 的 (15)式 得 知 ：



^adx ₂^1v2。若 再 進 一 步 將 等 式 兩 邊 再 同 乘 以 物 體 的 質 量，則 也 就 是 將 原 本 的 加 速 力 改 成 使 用 運 動 力 ， 即 f=ma， 則 將 可 得



^fdx ₂^1mv2

^{或 功 ＝ 末 動 能}

這 可 說 是 先 有 力 作 功，造 成 物 體 開 始 運 動 後 才 具 有 末 動 能。因 此 ， 功 概 念 的 發 生 應 是 先 於 動 能 ， 這 即 為 「 功 能 定 理 」 的 意 義 。 馬 克 士 威 的 主 張 顯 然 是 從 已 知 的 能 量 概 念 返 回 定 義 功 ， 他 如 此 做 可 能 是 為 了 方 便 性，但 卻 也 模 糊 了 此 兩 概 念 發 展 過 程 的 實 情 (姚 珩、李 秉 書，2016a)。

七、 動 能 具 有 係 數 1/2 的 原 因

牛 頓 為 了 要 發 現 受 向 心 力 作 用 ， 沿 直 線 下 落 的 物 體 ， 於 任 意 位 置 與 速 度 間 的 對 應 關 係 。 則 必 然 他 需 要 能 夠 知 道 運 動 物 體 的 速 度 增 量 ， 其 中 所 使 用 最 重 要 的 關 鍵 式 即 為

v v x a  

此 處 a 與 v 分 別 表 示 物 體 的 加 速 度 與 速 度 ， Δx 與 Δv 分 別 表 示 物 體 的 位 移 增 量 與 速 度 增 量 。 上 式 基 本 上 是 由 加 速 度 定 義 a=Δv/Δt 及 其 與 位 移 Δx 之 乘 積 ， 重 組 後 所 得 ， 即 aΔx=(Δv/Δt)Δx=vΔv。

後 來 牛 頓 進 一 步 發 現 可 將 上 式 左 邊 的 量 ， 累 積 起 來 ， 則 便 是 加 速 度 － 位 置 關 係 線 下 的 面 積 ， 而 也 將 會 與 同 式 右 邊 累 積 起 來 之 值 ΣvΔv 相 等 。 若 物 體 初 速 為 零 ， 則 Σ vΔv 之 累 積 值 即 為 自 原 點 斜 率 為 1 的 斜 線 下 的 三 角 形 面 積 v²/2，如 圖 20。此 值 乘 上 質 量 後 ，便 是 日 後 所 言 之 物 體 「 動 能 」， 而 這 也 說 明 了 一 般 中 學 生 常 困 惑 為 何 動 能 需 要 係 數 1/2 的 原 因 (姚 珩 、 李 秉 書 ， 2016a)。

八、 普 遍 性 功 概 念 的 數 學 表 示 法 與 其 蘊 涵 的 物 理 意 義

在 《 原 理 》 命 題 40 定 理 13 中 ， 當 力 與 位 移 方 向 不 同 時 ， 牛 頓 就 不 再 論 及 力 － 位 置 關 係 線 下 的 面 積 了 ， 而 是 首 次 開 始 考 慮 「 沿 位 移 方 向 之 力 分 量 」。 這 是 因 為

力 與 運 動 路 徑 垂 直 的 分 力 ， 絕 不 會 改 變 物 體 的 速 率 ， 而 只 會 把 物 體 拉 離 開 直 線 路 徑 ， 使 之 偏 離 於 軌 道 切 線 方 向 ； 至 於 力 在 沿 物 體 運 動 方 向 的 分 力 ， 則 是 完 全 用 於 加 速 ( 即 速 率 改 變 )

因 此 ， 對 於 在 平 面 上 運 動 的 物 體 ， 根 據 定 律 II， 力 F 若 要 對 物 體 產 生 速 度 增 量 ， 則 僅 有 在 沿 著 速 度 方 向 、 或 路 徑 的 切 線 (或 位 移 )方 向 上 之 分 量 值 F/ /，才 可 能 產 生 貢 獻 效 果；而 此 分 量 與 位 移 的 乘 積 就 可 代 表 速 度 增 量 Δv 的 大 小 。 即

Δv  F_{/ /}．Δt   F_{/ /}．Δx

… 這 是 因 為 於 極 短 時 間 下 ， 作 用 時 間 Δt 與 位 移 Δx 互 成 正 比

為 求 得 位 移 與 受 力 方 向 不 同 時 的 速 度 增 量 ， 牛 頓 所 言 ： 「 沿 位 移 方 向 之 力 分 量 」 與 位 移 之 乘 積 ， 即 為 現 今 所 稱 ： 功 為 物 體 所 受 外 力 與 其 位 移 的 「 內 積 」 。 在 他 之 前 或 同 時 代 的 專 家 ， 皆 未 曾 知 道 或 使 用 過 此 種 描 述 與 論 證 。 因 此 ， 不 論 力 與 位 移 方 向 是 否 相 同 ， 只 要 將 功 視 為 力 與 位 移 內 積 ， 而 非 乘 積 ， 則 「 功 能 定 理 」 依 然 成 立 ， 亦 可 求 得 物 體 在 各 個 位 置 時 的 速 度 (姚 珩 、 李 秉 書 ， 2016a)。

九、 位 能 的 描 述 不 需 外 在 拉 力

十、 位 能 存 在 的 意 義

由 於 牛 頓 在《 原 理 》命 題 40 定 理 13 及 其 推 論 II 中 ， 其 實 已 經 明 確 提 到：在 向 心 力 的 作 用 下，無 論 物 體 是 走 何 種 路 徑 (直 線 或 任 意 曲 線 )，

則 物 體 的 瞬 時 速 率 完 全 是 由 物 體 的 起 點 與 終 點 之 位 置 所 決 定 。 因 此 ， 牛 頓 應 是 首 位 提 出 「 在 向 心 力 － 位 置 曲 線 下 的 面 積 (相 當 於 今 日 的 功 ) 所 造 成 的 瞬 時 速 率 ， 其 實 是 僅 由 終 點 與 起 點 之 位 置 所 決 定 ， 而 與 路 徑 無 關 」 之 物 理 學 家 。 但 牛 頓 始 終 未 曾 寫 下 由 單 一 位 置 所 決 定 的 位 置 函 數 。

後 來 克 來 若 提 出 全 微 分 函 數 的 成 立 條 件 ， 並 經 由 拉 格 朗 日 應 用 微 分 法 則 進 一 步 沿 伸 後，可 知 若 力 為 F，物 體 的 位 置 為 r，位 能 為 V，則 ：

dV

Fdr 或 ² _{1 2}

1 2

1Fdr dV V V

W 







 

因 此 ， 我 們 可 知 向 心 力 的 作 功 ， 可 藉 由 初 位 能 減 末 位 能 得 知 ， 且 由

dr F dV

可 知，向 心 力 可 由「 位 能 函 數 對 位 置 微 分 負 值 」來 表 示。而 當 時 ， 牛 頓 或 拉 格 朗 日 所 言 之 的 向 心 力 ， 我 們 現 在 稱 之 為 守 恆 力 或 保 守 力 (conservative force)。

十一、 力 學 能 守 恆 與 向 心 力 作 功 的 關 係

有 了 清 晰 的 位 能 概 念 後 ， 就 可 很 自 然 地 建 立 起 力 學 能 守 恆 定 律 。 例 如 ： 當 兩 物 體 之 間 ， 如 石 塊 與 地 球 ， 彼 此 只 受 向 心 力 － 即 萬 有 引 力 作 用 ， 而 無 任 何 其 他 外 在 拉 力 或 推 力 參 與 其 中 的 隔 離 系 統 ， 則 地 球 引 力 對 石 塊 所 作 的 功 ， 等 於 初 位 能 與 末 位 能 之 差 ， 即

V V W 

₀



另 一 方 面 ， 由 功 能 定 理 ， 地 球 引 力 對 石 塊 所 作 的 功 ， 也 等 於 石 塊 之 末 動 能 與 初 動 能 之 差 ， 即

T

0

T W  

合 併 上 述 二 式 ， 遂 可 得 動 能 與 位 能 之 和 維 持 不 變 之 力 學 能 守 恆 定 律 。 即

 定值





 V T

₀

V

₀

T

因 此 ， 當 斜 向 拋 射 之 石 塊 只 受 重 力 ， 而 不 受 其 他 拉 力 作 用 時 ， 石 塊 便 會 滿 足 力 學 能 守 恆 定 律 ； 衛 星 與 行 星 的 運 動 亦 然 。 在 光 滑 斜 面 與 曲 面 上 的 運 動 物 體 ， 雖 然 受 到 重 力 與 表 面 之 正 向 力 作 用 ， 然 正 向 力 處 處 與 物 體 運 動 路 徑 垂 直，並 不 作 功，彷 彿 與 僅 受 重 力 作 用 的 情 況 一 樣 ， 故 仍 遵 守 力 學 能 守 恆 定 律 。 而 我 們 由 上 述 力 學 能 守 恆 的 推 導 可 得 知 ， 這 必 然 是 只 有 符 合

W  V  V

的 力 作 功 ， 也 就 是 向 心 力 (或 稱 守 恆 力 )作

十二、 梅 爾 與 焦 耳 各 自 獨 立 提 出 熱 功 當 量 的 量 化 關 係

目 前 在 中 學 或 大 學 的 物 理 教 科 書 中 ， 於 提 到 熱 功 當 量 時 通 常 都 只 提 到 焦 耳 一 人 。 因 為 無 論 從 實 驗 器 材 、 步 驟 或 數 據 分 析 來 看 ， 焦 耳 所 發 表 的 論 文 都 說 明 得 非 常 完 整，而 且 最 後 他 於 1849 年 所 進 行「 由 作 功 造 成 吸 熱 」 的 實 驗 結 果 相 當 精 確 (與 目 前 公 認 值 的 誤 差 不 超 過 1%)。

然 而 ， 亥 姆 霍 玆 於 1881 年 提 到 關 於 梅 爾 的 研 究 時 ， 他 評 論 道 ：

梅 爾 在 當 時 的 情 況 下 ， 幾 乎 不 能 做 研 究 ， 因 為 他 不 但 受 到 著 名 物 理 學 家 的 反 對 ( 在 多 年 後 也 是 一 樣 ) ， 又 經 過 了 種 種 因 難 ， 才 發 表 受 壓 抑 的 第 一 篇 論 文 。 由 當 時 他 處 境 可 知 ， 眾 人 反 對 的 結 果 ， 使 他 發 狂 。 因 為 這 觀 念 是 絕 對 的 新 穎 ， 以 致 於 他 不 容 易 於 使 他 那 時 代 的 人 明 白 。 在 我 看 來 ， 焦 耳 也 是 經 過 長 時 間 的 奮 鬥 ， 才 使 得 他 的 發 現 獲 得 承 認 。 …

最 近 形 而 上 學 思 想 家 把 能 量 守 恆 律 ， 當 作 以 前 就 已 知 曉 的 定 律 ， 因 而 尊 稱 梅 爾 為 純 思 想 學 派 英 雄 。 正 是 因 為 這 定 律 在 以 前 就 很 重 要 ， 他 們 就 把 這 種 形 而 上 的 證 明 ， 當 成 是 梅 爾 在 工 作 的 最 高 峰 。 但 是 正 統 的 科 學 工 作 者 ， 卻 把 這 當 成 是 解 釋 的 弱 點。由 此 我 們 可 明 白 為 何 當 初 梅 爾 的 工 作 在 科 學 界 許 久 沒 人 注 意 。 而 這 也 只 有 從 另 一 方 面 ， 特 別 是 藉 由 焦 耳 傑 出 的 工 作 ， 才 使 得 人 們 建 立 正 確 的 觀 念 ， 而 開 始 注 意 到 梅 爾 的 工 作 ( H el m ho l tz , 188 9, pp . 5 7 - 5 8 ) 。

因 此 ， 雖 然 梅 爾 其 實 是 比 焦 耳 更 早 發 表 熱 功 當 量 的 等 價 關 係 ， 但 是 由 於 當 時 大 環 境 的 限 制 － 也 就 是 熱 質 說 佔 據 科 學 主 流 的 地 位 ， 以 及 他 並 不 是 專 業 的 物 理 學 家 ， 其 實 驗 以 及 解 釋 的 理 論 被 認 為 不 夠 科 學 ，

因 此 ， 雖 然 梅 爾 其 實 是 比 焦 耳 更 早 發 表 熱 功 當 量 的 等 價 關 係 ， 但 是 由 於 當 時 大 環 境 的 限 制 － 也 就 是 熱 質 說 佔 據 科 學 主 流 的 地 位 ， 以 及 他 並 不 是 專 業 的 物 理 學 家 ， 其 實 驗 以 及 解 釋 的 理 論 被 認 為 不 夠 科 學 ，

在文檔中 古典力學中主要基本原理形成過程的探討－從克卜勒行星運動定律到能量守恆定律 (頁 122-141)