第四章 研究結果與發現
第一節 學生在課前預習的表現
本研究是以探討學生在課前透過 iTS5 教學平臺進行線上觀課與課前學習，
並以數學日記記錄學習結果，雖然每個學生在數學日記上呈現的內容重點不盡同，
但都可以將其內容分成概念、計算、應用三部份，以下就針對這三個部份探討學 生透過線上自主學習且課前預習在這三方面的表現。
參與研究的學生書寫數學日記的手法不盡同，有的學生僅將教學影片中的題 目與作法寫下來，有的學生除了書寫題目與作法外，亦會將解題概念一併呈現在 數學日記上。所以統計學生數學日記之概念、計算、應用次數時，有些只會在計 算或應用上計 1 次，有些則會在概念及計算或應用上各計 1 次，以這種方式統計 以得知學生書寫數學日記時，會將學習重心放在那一個向度上，統計結果如表 4-1-1。
表4-1-1
學生數學日記在概念、計算、應用呈現次數統計表
向度 S1 S2 S4 S5 S6 S7 S8 S9 概念理解 10 25 19 23 12 15 12 11 計算能力 15 18 18 7 22 8 13 15 應用解題 44 53 35 23 59 36 37 40
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從表 4-1-1 中可以發現學生數學日記在應用解題部份呈現的次數較多、計算 能力部份較少，這是因為線上教學的影音檔中，多數是以應用問題進行教學，計 算題的題型並不多，所以學生在數學日記上呈現的應用解題會比計算題的次數多。
從平時的教學現場觀察學生的學習可以發現，能正確解題的同學對題目的概念是 正確的，但要學生對其解題時的想法加以說明時，並不是每個能解題的同學都能 表達的很好，所以在概念的表達這件事上，對學生而言是較難且複雜。也因如此，
在本研究中的教學影片都有做些概念的說明，但學生在數學日記的書寫時，卻較 少著墨於概念的說明，大部的學生都是以書寫解題過程來完成數學日記（如圖 4-1-1），這樣概念的說明就少了些，僅有 S5 的數學日記寫法較不一樣（如圖 4-1-2），他是先說明概念或注意的重點再記錄解題過程，幾乎每一題在解題前都 有做概念說明，所以他的概念書寫次數比其他同學還多。在本次進行教學的四個 單元中，學生的數學日記普遍著重於應用解題上，也就是說學生在課前預習的重 點大多放在應用解題上。
圖 4-1-1 S1 數學日記紀錄方式
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圖 4-1-2 S5 的數學日記
以下針對學生在課前預習的學習重點，分別以概念、計算、應用三個向度進 行說明。
一、概念雖清楚，但仍有部份迷思
在研究期間學生透過線上自主學習並於課前預習的範圍包含分數的乘法、扇 形、小數的乘法、比率和百分率四個單元，其中「分數的乘法」單元關注的是能
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解決各種分數相乘的問題，「扇形」單元關注的是能認識不同的扇形並能運用解 題，「小數的乘法」單元關注的是小數相乘的問題，「比率和百分率」單元關注的 是識認百分率與其應用。學生在觀看線上教學影片後將影片內容記錄在數學日記 中，在數學日記中學生會將教學影片內容詳實記錄，解題過程的說明、算式的書 寫都是完整的，如分數與小數乘法中被乘數、乘數和積三者間的關係、認識扇形 與圓心角、比率與百分率的計算問題等內容，學生的紀錄都很完整，如此可以看 出學生在書寫時能掌握重點，且大部份的概念是清楚的（如圖 4-1-3）。
圖 4-1-3 S8 將教學影片詳實記錄在數學日記
除此之外，有些學生在書寫數學日記時，會再以自己的概念補充說明重點、
解釋計算過程或舉例說明，雖然補充的內容並不是很多，但從這些地方卻可以發 現學生在課前預習後的概念是否清楚。「分數的乘法」和「小數的乘法」概念較 雷同，都是在學習並解決乘法的問題，學生的概念都算清楚，而「比率和百分率」
雖是以分數與小數為基礎，但從以下學生在「比率和百分率」單元的數學日記紀 錄中可以發現，學生已經具備解決大部份百分率應用題的概念，但若同時混合著 加成與打折概念時，仍有部份不清楚。
（一）加成與打折觀念不夠清楚
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生活中常有買賣的交易行為，而在買、賣的過程中常會應用到百分率中的「打 折」與「加成」的概念，故在「比率和百分率」單元其中一個教學目標即設定為
「能應用百分率來解決生活中『打折』的問題」。在正確解決打折問題之前，學 生要能理解「定價」與「售價」的定義與關係。定價= 成本價× �1 + 加成數�，
售價=定價× 打折數，也就是要先決定成本要加幾成後成為商品的定價，但當商 品要售出時則可以依定價再打折賣出。
圖 4-1-4 S9 書寫加成與打折的數學日記內容
圖 4-1-4 的數學日記是 S9 所寫，在打折與加成的數學日記內容中，發現學 生的概念是清楚的，不但能清楚解釋打折與加成的意義，也能將計算過程完整寫
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出。但在定價那部分的內容中可以看到學生把定價的定義寫為「成本+原價」，
顯示在對定價的認知上就出現了迷思概念，接下來應用題解題時也同時出現錯誤。
按題意而言，加成後再打折時，應是以定價×打折數，但學生在計算時卻把成本 乘以 0.4（即原本在成本中要加入的 4 成）後的金額再打 6 折，並以此計算出的 答案當成是售價，完全忽視自己在前面所寫的打折與加成定義。由此可以知道，
當單一個概念出現在題目中時，學生可以清楚的瞭解其定義與解題方法，但當二 個概念同時出現在一個題目中時，學生的概念就容易被混淆而產生迷思概念。
從上面可以得知，學生在課前觀看數學教學影片，若只將影片內容如實記載 在數學日記中，教學者會無法正確掌握學生學習的成效，所以教學者才會在學生 書寫數學日記前，就先要求學生在數學日記中除了記錄教學影片的內容外，還要 再加上概念說明或者自己統整的內容，從這樣的數學日記才能看出學生的迷思概 念，有助於教學者瞭解學生學習狀況。
二、計算過程中容易出現的錯誤
數學計算能力是一項基本的數學能力，在計算時，不僅要會運用四則運算的 方法，還要對數字有一定程度的靈敏度，才能判斷解題過程與結果是否有出錯。
（一）對於「等號」的定義不夠嚴謹
在數學算式中，等號左右邊算式的數值要相等才能使用「=」，若是數值不 相等則要使用「≠」，但學生在計算過程中會少寫一些符號或單位，使得原本在 等式左右二邊的算式是等值的，最後因少寫等號或單位反而變成不等值，而此時 學生並未發現自己所犯的錯誤。例如「要將 2.5 公斤換算成公克時」，有些學生 會寫成2.5Kg = 2500，有些學生甚至連單位都不寫，直接寫成 2.5= 2500 的情形；
或者是在連續的計算過程中，有個數字會在中間的算式中不寫，等到最後要使用 到它時才出現，例如32 × (8 − 5) − 17 = 32 × 3 = 96 − 17 = 79，17 這個數字 還未用它來運算時就没寫在算式中，當要運算時才會被寫在算式中。或許學生在
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整個解題過程中，其解題概念與計算過程都是正確的，但不理解等號真正涵意的 算式，卻是必需再加強的概念。
S2 S2
S4 S2
圖 4-1-5 S2、S4 把左右算式寫成不等值，使等號無法成立
再從圖 4-1-5 中可發現，在比率和百分率單元中，學生在百分率的換算與計 算過程中，「%」符號常會漏寫，又或像是在算式中少寫× 5，但最終答案卻是正 確，因為學生總是認為最後答案的「數字」是對的就好，中間的過程並不是很重 視，所以類似的現象層出不窮。
（二）計算時粗心發生錯誤
不論在書寫習作、練習卷、評量卷，又或者是平時的課堂練習，都會發現學 生在計算時常常發生計算錯誤的現象，有時是九九乘法背錯，有時是自己書寫時 字體太亂，使得自己誤判數字，有時是直式計算時位置没寫好，有時是在做換算 時換算錯誤，林林總總的原因會讓學生在計算時出現錯誤。雖然教學的老師一再 叮嚀學生要記得檢查、記得驗算，但粗心大意的學生依然存在。
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S6
S7
S9
S9
圖 4-1-6 S6、S7、S9 在計算過程中發生錯誤
從學生的數學日記中還是可以看到學生在計算方面的錯誤，如圖 4-1-6 中的 9 ÷ 360 =14、2500 × 65% = 1645、0.004 × 1200 = 48、30.1 × 30.1 = 93.01，
除了0.004 × 1200 = 48這個算式是在最後小數點移位時犯錯外，其餘都是在計 算時不夠細心而計算錯誤。學生在四則運算的過程中發生錯誤，雖然不能說是運
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算能力不佳，但計算不夠細膩、没有仔細驗算的缺點卻是顯而易見的。
從上面可知，在計算題的演算過程中，算式書寫的完整性與計算時的用心度，
都考驗著學生的細心與耐心，在評量中若常因計算錯誤而被扣分，會打擊學生的 自信心。所以該如何讓學生降低犯錯的機率，是師生雙方都要努力的課題。
三、應用題解題能力尚佳，用心度卻待加強
應用題的解題過程比計算題複雜，也考驗著學生的數學能力，因為學生在解 應用題時，不僅要熟悉計算的過程，也要能閱讀應用題的語意，理解問題的要求 及其提供的條件來解決問題。Mayer （1992）曾提出解題四步驟：問題轉譯、問 題整合、解題計畫及監控、解題執行，每個步驟環環相扣，若其中有任一步驟發 生問題，解題過程與結果就無法完全正確。
（一）大都能理解應用題題意，但解題時卻不夠仔細
學生的閱讀理解能力會影響數學的解題能力，在看到應用題時，學生需將應 用題的文字內容轉譯成數學概念並決定解題方法，但若無法正確瞭解題目的意思，
認真思考解題方法，解題就容易犯錯。在平時練習或學習評量中，會發現學生在 解題時不認真看題目內容，或是讀題不完整，使得解題時方向錯誤，例如在一大 題下會有幾題的子題或多個選項的題型，在作答前原本應將所有題目都看過再解
認真思考解題方法，解題就容易犯錯。在平時練習或學習評量中，會發現學生在 解題時不認真看題目內容，或是讀題不完整，使得解題時方向錯誤，例如在一大 題下會有幾題的子題或多個選項的題型，在作答前原本應將所有題目都看過再解