教師的數學教學實施

傳統數學教育，由於受到實證論與行為學派的影響，將知識視為一種客觀存 在的事實，學習則是「刺激一反應」聯結後的行為改變。因此，課程與教學乃是 建立在教師為傳授知識的主導者、學生為被動吸收知識的學習者的觀點上，教學 過程中重視數學學習成效，而較忽略知識學習的過程。二十世紀六O年代認知心 理學興起之後，課程與教學受到認知學習論的影響，轉而重視學習者的內在思考、

記憶、理解等認知歷程。自八O年代開始，數學觀逐漸由靜態轉為動態、自成果 轉為歷程、由外在轉為內在（劉錫麒，1993），基礎理論的根據為知識的建構論。

而數學教學的方式也會依據不同的理論而發展出不同的教學方法。

一、教師的數學教學實施

(一)直接教學法

直接教學法於1966年由Engelmann與Becker提出，是一套以教師為中心，高 度結構化的課程設計。由教學者妥善安排課程，為學生訂定目標，設計有系統之 教學架構，並運用工作分析及編序方式設計教材，進行高度結構性的教學活動，

建構學習環境，且進行持續性評量與回饋，以達到精熟及提高學業成就。

1.理論基礎

直接教學法是一套包含許多理論，且系統分明、組織清楚的教學法，其理論 基礎是根據三項理論發展而成（盧台華，1994）：一為應用行為分析，此部分與 精熟學習類似，包含教師須針對教材進行工作分析、引發學生的動機及注意力、

選取適當的範例、及時修正學生的錯誤並給予回饋等原理原則；二為溝通分析，

主要包含師生間的互動、教導知識的過程、安排流暢的教學順序、教師口語表達 要清楚，為學生提供敘述清楚的教學；最後為知識系統的邏輯分析，教師利用共 同性來分析各類不同的知識，找出其相同部分，並設計相同策略來教導學生，此 為直接教學法的教學設計中最重要部分。

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由此可知直接教學法是：1.以教師為中心導向：教師是一個引導者，依據學 生的需求提供適合的教學，以淚發學生的潛能。2.適用各類型學生：直接教學法 的教學可以依據學生年、齡發屏程度來設計，所以適合任何階段的學生。3.結構 化教學：教材設計以學生需求為中心，有系統、有組織的規劃課程，並以結構化 的教學方式呈現。4.提升成效與品質：不只提升學生學習的量，更重要是有系統 的發展知識背景與新知識的連結、運用，來提升學習品質（Stein, Carnine &

Dixon, 1998）。 2.教學設計

為了使數學教學更有效用，教師必須建構課程的內容以及發展具體、明確的 教學程序，盡以迎合學生的學習需求。直接教學法教學設計內涵包含以下要素（盧 台華，1991；Silbert et al., 1990；Stein et al., 1998；Stein et al., 2006）， 教師可於設計過程中作為評估依據：

（1）分析課程重要概念（big ideas）

Stein 等人（1998）認為，直接教學法的重心在於高度精緻的課程分析，教 師應清楚指明課程的重要概念，決定並組織重要概念的教材，使學生能以自己的 知識背景解題，進而建立新學習的基礎，而且藉由重要概念的引導，能讓學生在 面對不同題型的解題過程中，得到解釋性（explanatory）、預期性（predictive）

的能力（Carnine, 1997），促使其歸納解題策略（Jone & Southern, 2003）。

（2）確定必要的先備技能（preskills）

在正式介紹解題策略之前，教師必須先將策略技能的組成要素排序出來，此 子技能即為先備技能。

（3）設計明確的教學策略

不同的學習內容應有不同的解決策略，確定最重要且所需的教學策略，並著 重於實際的問題解決策略。教師在主要策略的說明時應盡可能詳盡明確、以幫助 學生類化同類型問題。研究指出，教導學生詳盡明確的解題策略，可增加學生數

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學成就（Steinet al., 2006）。

（4）決定技能與概念的教學順序

知識與技能教學次序影響學習的難度，數學技能的學習須依困難程度來排序

（Jone & Southern, 2003），其原則為（謝芳蕙，2001；Stein et al., 2006）： 必備技巧要先教；簡單的要比複雜的先教；容易混淆的概念及策略不可連續敎。

一般而言，愈多步驟、愈異於先前介紹過的解題策略，學生愈難精熟。

（5）選擇適當教學範例

教學範例是指教師在示範教學與學生練習時建構或選擇的數學題目。良好的 教學範例能協助教師系統化教學，促使學生獲得成功的解題經驗，另外教師亦可 提供正例與反例（Hudson & Miller, 2006），以協助學生區辨。範例的選擇盡量 不要超出過去及現在所教導的內容，以免造成學生的誤認現象，但可混合過去已 教過和現在正學習的問題範圍，讓其辨別，確認學生是否真正學會該概念。

（6）提供大量練習和複習的機會

教材要提供學生足夠、分散、累積以及變化的複習，經由練習與複習的過程 能將知識深植於學生的大腦，成為本身的知能。為了讓學生保留習得的知識和技 能，必須給予大量的練習和複習（Carnine, 1997），即使學生已精熟某些技巧後，

仍需系統地複習這些技巧。

（7）測驗評量

當學生的學習到一個段落時，教師應評量學生的學習狀況，以了解其精熟程 度，作為日後教學的參考。教師必須根據學生錯誤的類型作立即且直接的不同修 正，而其修正程序為，示範、測驗、再測驗，透過延後測驗可以更精確的瞭解學 生學習是否達到精熟（Watkins & Slocum, 2003）。

（二）合作學習

合作學習的概念由美國的強森兄弟Johnson 與 Johnson（1984）所提出，而 對於合作學習的定義，各家學者給予的都不全相同：Slavin（1985）認為合作學

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習是一種有系統，有結構的教學方法。在學習中教師將不同能力、性別、種族背 景的學生，分配到四至六人的異質性分組中一起學習，同一小組學生共同分享經 驗，接受肯定與獎賞。Sharan和Shachar（1988）認為合作學習是學習任務再設 計，鼓勵學生在小組內分工合作，結合學習活動和社會互動。Nattiv（1994）認 為合作學習是一種教學方法，學生分成小組一同進行學習任務，每個成員都必須 為自己的學習負責。黃政傑與林佩璇（1996）認為合作學習是把學生，按照不同 的特質，採異質性分組，而其每個學生的關係是互相幫助、彼此合作與分享來達 成小組的目標，每個成員都必須為小組做出貢獻。

1.合作學習的理論基礎

透過合作學習，學生彼此討論、分享、交流、辯論，主動建構知識，重點轉 移到學生的「學」。合作學習的理論基礎，主要是建立在社會學以及心理學上。

將理論基礎分述如下：

（1）社會互賴論（social interdependent perspective）

社會互賴論 （social interdependent perspective）是起源於1900年代完 形心理學派創始人Kurt Kafka，認為團體是一個動態的整體，且團體中的成員彼 此間的互賴是有差異性。1930年代後Lewin主張團體的本質是其成員基於共同目 標而形成的互賴，此一互賴促使團體成為一個整體，若團體中任何成員或次團體 的狀態改變，將會影響其他成員或其他次團體產生改變。到1940年代Morton Deutsch則由目標結構建立了合作和競爭理論。其後的Johnson兄弟將其發展成在 教室中的三種學習型態：合作（cooperative），是一種積極的互動，團體彼此協 助，有效溝通，協助團體發展並促進其他小組成員的成長。競爭（competitive）， 是一種消極的互動關係，學生之間並不互相鼓勵與分享，且有互相阻礙的情形。

個別（individualistic），學生之間沒有互動，個人的成就也無關他人的成就

（Johnson & Johnson, 1983）。

合作學習就是建立在社會互動論中的合作關係上，教師在實施合作學習的教

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學時，應鼓勵學生互相幫助，互相分享資源，形成組員與組員之間的互賴。這種 合作關係的學習形式，適用於任何教學，而且越抽象越複雜的工作，就越需要學 生彼此之間的合作（黃政傑、林佩璇，1995）。

（2）認知發展論（The cognitive development perspective）

由皮亞傑（Piaget）的認知發展理論而來，這項理論認為當學生在進行合作 學習的時候，在合作的情境之下，經由與他人的互動與討論，會產生認知上的衝 突，這能夠刺激個人認知的發展。合作學習的小組互動中，透過學生的討論、辯 論、解釋、說明等活動讓學生能發現自己不當之處，進而反思並從團體中學得解 決之道。因此，教師們在課室活動安排中應讓學生接觸一定難度的問題，交由學 生來討論與解決，刺激學生思考，同時也能增進學生之間的互動，來提升學生的 認知發展。

維高斯基（L.S. Vygotsky）曾提出「近側發展區」（zone of proximal development，ZPD）之理論，這個理論認為學生是透過與他人的互動，與社會的 互動，來產生知識。也就是知識是先經由外化而內化，例如思考、注意、邏輯等，

都是源於將社會關係內化成為內在的功能與結構（Vygotsky, 1978）。

（3）行為學習論（The behavioral learning theory perspective）

行為學習理論在教育上主張獎勵與處罰兼施，強調外在的控制，不重視內在 的動機，著眼於團體增強物和報酬對學習者的影響，認為學習行動若受到外在報 酬和增強便會反覆出現；個體行為在接受外在的增強之後，會逐漸學會許多本領，

並作出適當的反應。因此，提供合適的刺激環境、增強、回饋以及酬賞是建立學 習行為的重要因素，而合作學習的表揚部分就是藉由這種正增強來激勵學生與小 組的學習。

2.合作學習的教學方法

根據林佩璇和黃政傑（1996）以及Slavin（1995）的歸納整理，介紹合作學

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習幾種不同的教學形式。

（1）學生小組成就區分法（Student’s Team Achievement Division, STAD）

這是應用最廣泛的一種方法，學生採異質性分組，這個方法總共由五個要素 所構成，第一個要素先向學生介紹教材的內容。第二個為分組學習，教師按照學

這是應用最廣泛的一種方法，學生採異質性分組，這個方法總共由五個要素 所構成，第一個要素先向學生介紹教材的內容。第二個為分組學習，教師按照學