第四章 結果與討論
第一節 學童於小數概念之解題表現
壹、前測結果而言：
就423位學童的整體答題表現而言，滿分15分之試卷中，前測試卷學 童平均數為8.93分，標準差為3.7。根據測驗試題的三大類型概念表現分 析，結果發現學童在不同小數概念的表現上有所差異：在「小數意義」概 念的試題答對率為.48， 「小數符號結構」概念的試題答對率為.65，「小數 應用」概念的試題答對率為.60，三大概念中僅小數意義概念答對率低 於.50，因此小數意義概念為最需加強之概念，以下說明不同概念之表現。
一、小數意義
小數與數線試題為此概念中答對率最高的試題，答對率達.62。此試題 已標出0、0.1以及0.2三點，並將兩點之間10等份，應是兩位小數與數線最 簡單類型的題目，但答對率未盡理想，可見學童於將0.1十等份與0.01之間 的連結仍需加強。
小數的認識試題答對率為.51，也就是將近五成的答對率。解題過程中 最常犯的錯誤為寫成分數形式，表示學童在觀看題目時未注意。
小數與分數的連結試題答對率僅.31，為表現最差之試題，小數化成分 數常犯錯誤類型與Moskal和Magone (2000) 的研究相同，4.3化成分數學童 化成 3
4 、 4
3 等答案皆有所見；而 15
100 化成小數則可看到100.15這種答 案，與梁惠珍 (2003) 整理的錯誤類型「直接將分母當成整數，把分子當
成小數」相同。因此學童對於小數與分數之間的連結關係，仍十分缺乏，
需再多加強。
二、小數符號結構
小數位值是15題試題中答對率最高的試題，答對率達.93，小數位名答 對率為.69，以成人的觀點而言，位名跟位值做連結似乎是件非常直接的 事，但對學童而言卻不然：十分位代表有幾個十分之一，也就是有幾個0.1，
但學童常容易與十位搞混，百分位也常與百位搞混，或者忽略小數點把數 看成整數，此與杜建台 (1996) 、陳永峰 (1998) 的研究相符：「受到整數 知識影響，將整數位名直接套用在小數上」，因此小數位名的迷思概念與 整數概念有顯著關係，宜在教學時再多做說明。
小數符號辨識答對率僅.48，顯示學童對哪個數可稱為小數尚有疑慮，
教學時應多舉例讓學童理解。其中0.30與1.00常不被學童認為是小數，因 為平常教學時老師常會要求要將小數點末位的零省略，但學童卻主動建構 為「一定要省略才能叫小數」，因此造成迷思概念，此類型小數(末位有零 者)，老師在教學時可特別提出並說明，以釐清其概念。此與劉曼麗 (2002) 提出之三錯誤類型之「小數點右邊的數若皆為0則該數是整數不是小數」
又多出了「小數點末位為0」的情況，如：0.30，但學童並非將0.30視為整 數，而是單純的認為0.30不是小數，0.3才是小數。
小數化聚答對率僅.44，為此概念中答對率最低之試題。常犯錯誤類型 與劉曼麗 (1998)、郭孟儒 (2002)、陳文利 (2001) 的研究相符：「52個0.1 合起來」會寫成0.52，也就是直接將個數和單位合成；而「2.5是幾個0.01」
則會直接回答25個，並不會去考量小數點的關係。
小數符號寫法答對率為.64，小數符號讀法答對率為.70，顯示「讀」
出小數對學童而言比「寫」出小數容易。在小數符號讀法中以杜建台 (1996) 、劉曼麗 (1998) 發現之「忽略小數點，直接讀成整數」此種錯誤 為主，劉曼麗 (1998) 發現之「兩邊皆略讀」的錯誤類型亦有出現。小數
符號寫法則有小數點後面的零都會省略此種錯誤發生，此亦與劉曼麗 (1998) 的研究相符。
三、小數應用
小數估測答對率為.85，小數估算答對率為.70，為此概念答對率最高 的兩個試題。其中小數估算常見因題目為兩位小數故選擇兩位小數選項的 錯誤，此與劉曼麗 (2002) 之研究：六年級易受算則影響而估算錯誤相符。
小數大小比較答對率為.67，最常出現的錯誤為看數字的長短判斷大 小，也就是使用了整數法則，此與Moskal和Magone (2000) 的研究相符。
小數稠密性答對率為.54，顯示有近五成的學童未具備小數之間仍有小數的 概念，此可能與教學方法有關：0.1→0.2→0.3→……，0.01→0.02→0.03
→……，所以學童容易主動認知為0.1之後就是0.2，而無法產生兩小數中 間還有其他小數的概念，此與杜建台 (1996) 、陳文利 (2001)、陳永峰 (1998) 「學童大多缺乏稠密性概念」的研究結果相符。
小數單複名數轉換答對率僅.42，為此概念得分最低的試題，顯示多階 之間的變化對學童而言較困難，學童常將小數點作為大單位和小單位的區 隔，此與陳文利 (2001) 、郭孟儒 (2002) 、劉曼麗 (2002) 的研究相符。
而小數加減答對率為.45，表現亦不佳，雖然小數的加減法重點為「對齊小 數點」計算，但仍為最常出現錯誤之類型，與艾如昀 (1994) 、陳文利 (2001) 、陳永峰 (1998) 、劉曼麗 (1998) 的研究相符。
四、總結
研究者發現五年級上學期學童之小數概念解題表現為：
(一)小數符號結構概念表現最好，答對率達.65；小數意義概念表現最差，
答對率為.48，為最需加強之概念。
(二)小數與分數的連結為小數意義概念中最需加強之概念；小數化聚為小 數符號結構中最需加強之概念；小數單複名數轉換為小數應用概念中 最需加強之概念。
(三)各試題之解題表現錯誤類型大多與先前研究文獻相符。小數與分數的 連結與梁惠珍 (2003) 、Moskal和Magone (2000) 的研究相符：「直接將分 母當成整數，把分子當成小數」或「直接將分子當成整數，把分母當成小 數」；小數位名與杜建台 (1996) 、陳永峰 (1998) 的研究相符：「受到整數 知識影響，將整數位名直接套用在小數上」；小數符號辨識與劉曼麗 (2002) 的研究相符：「小數點右邊的數若皆為0則該數是整數不是小數」；小數化 聚與劉曼麗 (1998)、郭孟儒 (2002) 、陳文利 (2001) 的研究相符：「直接 將個數和單位合成」；小數符號讀法與杜建台 (1996) 、劉曼麗 (1998) 研 究相符：「忽略小數點，直接讀成整數」及「兩邊皆略讀」；小數符號寫法 與劉曼麗 (1998) 的研究相符：「小數點後面的零都會省略」；小數估算與 劉曼麗 (2002) 的研究相符：「易受算則影響而估算錯誤」；小數大小比較 與Moskal和Magone (2000) 的研究相符：「運用整數法則比大小」；小數單 複名數轉換與陳文利 (2001) 、郭孟儒 (2002) 、劉曼麗 (2002) 的研究相 符：「將小數點作為大單位和小單位的區隔」；小數的加減法與艾如昀 (1994) 、陳文利 (2001) 、陳永峰 (1998) 、劉曼麗 (1998) 的研究相符：
「未對齊小數點」。
貳、後測結果而言：
就423位學童的整體答題表現而言，滿分15分之試卷中，後測試卷學童 平均數為10.35分，標準差為3.23。根據測驗試題的三大類型概念表現分 析，結果發現學童在不同小數概念的表現上有所差異：在「小數意義」概 念的試題答對率為.60，「小數符號結構」概念的試題答對率為.71，「小數 應用」概念的試題答對率為.73，以下說明不同概念之表現。
一、小數意義
小數意義概念的三個試題答對率介於.58.62之間，差距不大，顯示小
數意義概念之三個試題對學童而言難易度差不多。
小數與數線試題答對率為.60，此試題題目將9與10之間100等份，部分 學童忽略了題目標出的9和10兩數字，將長數線視為1，短數線視為0.1而作 答成2.3。
小數的認識試題答對率為.62，解題過程中最常犯的錯誤為寫成分數形 式，表示學童在觀看題目時未注意。
小數與分數的連結試題答對率為.58，0.31用分數表示學童會表示成 31
10 ，此與郭孟儒 (2002) 的研究結果相符：小數化分數認為小數點後有 2個數字分母是10。
二、小數符號結構
小數符號結構概念的六個試題，除小數符號辨識試題答對率偏低外，
其餘五題答對率皆在.63以上，顯示小數符號辨識為此概念中最需加強之概 念；小數位值、位名答對率在.80以上；小數符號寫法答對率為.65，小數 符號讀法答對率為.79，學童於小數符號讀法表現明顯優於寫法；小數化聚 答對率為.63，為小數符號結構答對率次弱之試題。
小數符號辨識答對率為.49，最常發生之錯誤與前測完全相同，亦即 27.0、0.30皆常不被視為小數，此與劉曼麗 (2002) 提出之三錯誤類型之 「小 數點右邊的數若皆為0則該數是整數不是小數」結果相符。
小數符號寫法則常出現只要出現「零」就自動省略，或小數點後面的 零都會省略等錯誤類型，此與劉曼麗 (1998) 的研究相符。小數符號讀法 則常出現小數點兩邊皆略讀如：200.03讀作「二零零點零三」或兩邊皆讀 成整數如：4.23讀作「四點二十三」 ，與杜建台 (1996) 、劉曼麗 (1998) 發 現之「忽略小數點，直接讀成整數」 ，及劉曼麗 (1998) 發現之「兩邊皆略 讀」相符。
小數位值答對率為.87，小數位名答對率為.81，位名最常見的仍為十
分位與十位混淆及百分位與百位混淆，或忽略小數點直接將其視為整數，
此兩種錯誤皆是受整數位名影響，此與杜建台 (1996) 、陳永峰 (1998) 的 研究相符：「受到整數知識影響，將整數位名直接套用在小數上」 。
小數化聚答對率為.63，0.5化為幾個0.01，最常化為5個，此與直接將 個數和單位合成有關，學童未注意0.1與0.01的不同，此與劉曼麗 (1998)、
郭孟儒 (2002)、陳文利 (2001) 的研究相符。
三、小數應用
小數應用概念的六個試題除小數單複名數轉換的答對率僅.36，為表現 最差的試題外，其餘試題答對率皆在.69以上，顯示小數單複名數轉換為此 概念是最需加強之概念；小數估測表現最佳答對率達.91；小數大小比較答 對率為.82，顯示三個小數比大小，雖小數位數不同，但對多數學童並不算 困難；小數估算答對率為.79，最常出現之錯誤為兩位小數乘以整數所以答 案為兩位小數，與劉曼麗 (2002) 受算則影響之錯誤類型相符；小數加減 答對率為.75，因此僅四分之ㄧ的學童會發生錯誤；小數稠密性答對率 為.69，顯示0.91之間仍有三成的學童無法舉出中間仍有其他小數的存在。
四、總結
研究者發現五年級下學期學童之小數概念認知情形為：
(一)小數應用概念表現最好，答對率達.73；小數意義概念表現最差，答對 率為.60。
(二)小數與分數的連結為小數意義概念中最需加強之概念；小數符號辨識 為小數符號結構概念中最需加強之概念；小數單複名數轉換為小數應
(二)小數與分數的連結為小數意義概念中最需加強之概念；小數符號辨識 為小數符號結構概念中最需加強之概念；小數單複名數轉換為小數應