小數概念

壹、小數的意義

「小數」一詞來自於拉丁文“decima”，是指小部份或是十分之一部份 的意思。劉曼麗  (1998)  提到：小數是以某單位測量長度時的餘量而產生 的，也就是比單位 1 還小的數。Hiebert 和 Wearne (1983)  也說：小數的意 義是從分數與整數概念之延伸與統整所建立起來的。因此，欲理解小數的 意義可從分數方面：部份與全體關係，以及整數方面：位值概念著手  (劉 曼麗，1996)  。

一、小數與分數─部分與全體關係 (一)相同點 

1.  表示 0 與 1 之間的一個值。 

2.  整體分割越多等份，每一份的數值就越小。 

3.  在 0 與 1 之間有無限多個數  (小數、分數)  存在。

(二)相異點 

1.  分數被分成多少等份可從分母顯示；小數則隱含在位數中。 

2.  分數佔多少等份由分子顯示；小數佔多少等份由小數點後的部份顯示。 

3.  整數被分成多少份皆可用分數表示；但分成 10 的冪次方才能以小數 表示。

二、小數與整數─位值概念 (一)相同點 

1.  從左至右，位值遞減。 

2.  每一位之值都是緊鄰其右邊的 10 倍。 

3.  0 可表示空位。

(二)相異點 

1.  小數在其數最右邊增加 0，其值不變；整數在其數最左邊增加 0，其值 不變。 

2.  小數離小數點越遠之位，其值越小；整數離小數點越遠之位，其值越 大。 

3.  小數位名從十分位開始；整數位名從個位開始。 

4.  小數位名由左到右；整數位名由右到左，但讀法皆由左到右。 

5.  小數讀法為簡讀  (位名不需讀出)  ；整數讀法為正讀  (位名需讀出)  。 劉曼麗  (2003)  及 Moskal 和 Magone (2000)  都認為小數與分數、整數 的相異點，就是干擾學童建構小數概念的原因；相對的，小數與分數、整 數的相同點，成為具有分數、整數經驗之學童在學習小數時之助益。

貳、小數的學習 

Wearne 和 Hiebert  (1988)  提出了學童學習小數知識的四個階段論─連 結、發展、精緻與熟練、抽象。此理論指引了一條教學的方向：教學不能 只求「快」，須按部就班，所以學童學習時，必須在每個階段發展完全。

而欲在每個階段發展完全，應先理解小數概念，然後熟練計算程序。唯有 具備小數的概念性知識後，才能正確的使用計算程序並能應用到非例行性 題目  (江愛華，2002)  。

許琇雅  (2004)  曾就 Wearne 和 Hiebert (1988)  提出的小數知識四個階

段整理說明如下：

一、 連結

指的是個別符號和所指事物之間的連結。有了這樣的連結過程，會使 書寫符號更具意義。數字符號和運算符號都應建立連結，例如：百格板積 木視為「1」，一條長形積木可連結小數符號「0.1」，兩條長形積木合起來 可連結運算符號「＋」。

二、發展

在指示物與符號產生連結後，能經由延伸指示物的操作結果，來建立 操作符號的程序性知識。例如：一條長形積木可連結小數符號「0.1」，將 長形積木十等份後的小積木可連結小數符號「0.01」，三條長形積木和兩個 小積木合起來可連結小數符號 0.32 的程序性知識。

三、精緻與熟練

將符號規則精緻化並熟練，屬於脫離指示物後的學習過程。此階段實 際上是兩個獨立的過程，精緻符號過程在前，熟練過程在後，但這兩個過 程是一起發生的，目的在增進小數概念運用的有效性。其中精緻是能將處 理程序延伸擴展到其他適用的情境上，而熟練指的是學習者能記憶、熟練 解題規則，直到能自動地執行這些解題程序。

四、抽象

此過程是以符號和規則作為一個常見系統的指示物，持續地重複前面 三個階段，以建立更抽象、更複雜的系統。

從學習的角度，Hiebert (1992)  將小數知識具體的分為三種：

一、計數系統知識：有關小數符號的知識。

二、運算規則知識：根據規則操弄小數符號以進行運算的知識。

三、數量表示知識：將小數表示數量的知識。

如果希望學童對小數概念是真正內化與了解，  Hiebert  提出小數教學

就必須加強「記數系統知識」、「運算規則知識」與「數量表示知識」彼此 的連結。

參、小數概念相關研究

從文獻可發現，學童學習小數時，會產生各種迷思概念，因而影響學 習效果。相關文獻說明如下  (詳見附錄一)  ：

一、小數意義 (一)小數的認識

根據周筱亭  (1990)  的研究發現，要國小學童說明小數的意義有其困 難，且杜建台  (1996)  更發現四到六年級中，年級越低錯誤率越高。

劉曼麗  (1998)  的研究發現，中年級學童不理解純小數與  1  的關係，

容易忽略整數部份，或把小數當整數處理。

(二)小數與數線 

Hiebert 和 Wearne (1986)  的研究中發現：若要求學童在十等份數線上 表示出位置，學童較容易有正確反應，若為五等份或一等份，則有些困難。

杜建台  (1996)  的研究則發現：年級越高越能正確反應小數與數線對應的 關係，但未能引用分數思考，將小數與分數視為獨立系統。在 Chien (1998)  的研究中亦發現：六年級學童具有穩固的小數數線概念性知識。Martinie  和  Bay­Williams  (2003)  研究六年級學童小數表徵，發現數線表示法對學 童而言是最困難的一種。

(三)小數與分數的連結

根據艾如昀  (1994)  、郭孟儒  (2002)  、梁惠珍  (2003)  、Hiebert  和  Wearne  (1986)  、Resnick  et  al.  (1989)  的研究發現，在分數化小數的題目 上，學童主要有三種迷思概念： 

1.  不管分母是多少，直接把分子當成小數部份。

2.  直接將分母當成整數，把分子當成小數部份。 

3.  直接將分子當成整數，把分母當成小數部份。

陳永峰  (1998)  的研究發現，分母是  10、100、1000  時化成小數表現 不錯，但分母是 5 化小數有困難。Irwin  (2001)  的研究發現分數、小數互 換有「不管分母是多少，直接把分子當成小數部份」之迷思。

當面對小數化分數的題目時，艾如昀  (1994)  、郭孟儒  (2002)  的研究 發現，學童會依題目中小數數字的個數決定分母：題目有 2 個小數則分母 寫 10，題目有 3 個小數則分母寫 100。Moskal 和 Magone (2000)  的研究則 發現學童有將 3.4 化為 3 

4 之錯誤類型。

二、小數符號結構 (一)小數符號辨識

阮麗蓉、曹雅玲  (2005)  的研究發現：四年級學童答對機率高於五、

六年級，顯示越高年級學習越多的小數概念之後，反而對小數辨識能力降 低。

根據劉曼麗  (2002)  的研究發現，學童主要有三種迷思概念： 

1.  學童認為只要有小數點就是小數，且小數點不限個數，例如：203…5  學童會認為此數是小數，因為其具有小數點。 

2.  小數點右邊的數若皆為  0，則該數是整數不是小數。此概念受「小數 點右邊末位的 0 要省略」這句話的影響，因此認為小數點右邊的數若 皆為 0 一定要省略，則此數為整數，不為小數。 

3.  小數應該比 1 小，所以 18.40 不是小數。

(二)小數符號寫法

劉曼麗  (1998)  的研究發現，在序列小數如遇進位時容易出錯，如 0.9  後就 0.10；寫小數時，也容易將小數點後面的 0 都會省略，如三百零七點 零五，會寫成 307.5，自行將小數點後面的 0 省略。

(三)小數符號讀法

杜建台  (1996)  、劉曼麗  (1998)  的研究發現，學童在讀小數時，會將 小數點後的數字讀成整數，且杜建台(1996)  的研究發現年級越低錯誤率越 高，劉曼麗  (1998)  的研究發現部份學童讀小數時將小數點兩邊皆略讀之 情形。

(四)小數位值 

Carpenter et al. (1981)  、Zawojewski (1983)  、NEAP 第四次調查報告  (Kouba  et  al.,  1988)  的研究均發現學童缺乏小數位值概念，但學者 Chien  (1998)  的研究發現，國小六年級學童具有穩固的位值概念。Moskal  和  Magone (2000)  的研究發現學童會將 5.0 視為 5 的十倍， 此錯誤為忽略小數 點的存在，直接將其視為整數位值所致。

周筱亭  (1990)  指出，因學童對位值概念的模糊，導致往後在學習小 數運算時產生學習上之困擾。艾如昀  (1994)  的研究也發現，五年級學童 在小數題型中犯錯的原因，是因為學童對小數位數與其位值大小知識之缺 乏。杜建台  (1996)  、吳昭容  (1996)  的研究發現，在小數位值上，深受整 數位值的影響，吳昭容  (1996)  亦發現，四到六年級學童所犯之小數錯誤，

以位值概念為主。

(五)小數位名

杜建台  (1996)  、陳永峰  (1998)  的研究發現，學童缺乏小數位名概 念，會受到整數知識的影響，將整數的位名直接套用在小數上。Moskal  和 Magone  (2000)  的研究發現，學童將.023 的位值視為 0 為百分位、2 為 十分位、3 為個位，亦為受到整數知識影響所產生之錯誤類型。

陳永峰  (1998)  的研究亦發現，實驗班有五成以上之學童此小數位名 概念存有迷思概念。

(六)小數化聚

劉曼麗  (1998)  、郭孟儒  (2002)  、陳文利  (2001)  的研究發現，學童

不清楚小數與整數的關係，直接將個數與單位合成，例如：36 個 0.1 就是  0.36。陳永峰  (1998)  的研究則發現，遇到小數化聚問題時，傳統班使用計 算，實驗班使用單位小數來解決問題。

三、小數應用 (一)小數加減

艾如昀  (1994)  、陳文利  (2001)  、陳永峰  (1998)  、劉曼麗  (1998)  的 研究發現，學童在小數加減之迷思概念以小數點未對齊為主，周筱亭  (1990)  則發現部份學童寫成直式容易因模糊而錯誤，陳文利  (2001)  也發現四年 級學童在面對小數文字題時，有可能受關鍵字影響。

(二)小數單複名數轉換

學童在小數單複名數轉換上，常將小數點作為大單位與小單位的區隔  (陳文利，2001；郭孟儒，2002；劉曼麗，2002)  。陳永峰  (1998)  的研究 發現：複名數換單名數，傳統班表現不佳。

(三)小數估測

劉曼麗  (2002)  的研究發現，學童認為測量的餘量就是 0.1，只要測量 物不是剛好整數長，不管多出來的部分有多長，都認為多了 0.1。

(四)小數大小比較

國內外學者研究發現  (艾如昀，1994；杜建台，1996；吳昭容，1996；

陳永峰，1998；郭孟儒，2002；劉曼麗，1998；Hiebert & Wearne , 1986； 

Irwin 2001；Resnick et al., 1989)  ，學童對於小數大小比較主要有三種迷思 概念： 

1.  整數法則：忽略小數點，認為位數越多者，該數越大。 

2.  分數法則：小數點後越多位者越小。 

3.  零法則：小數點後出現零就是最小。

杜建台  (1996)  的研究發現，三個小數比大小較不容易理解，而吳昭 容  (1996)  的研究亦發現，學童使用小數越久，越能正確發展大小比較概

念。Moskal 和 Magone (2000)  的研究發現學童有使用整數法則來判斷的迷 思概念。郭孟儒  (2002)  的研究發現，五年級學童會因小數與分數錯誤的 連結或受到位值板畫法及分數分割概念交錯的影響，而產生迷思概念。

(五)小數稠密性

學童大多缺乏稠密性概念，很難體會兩個小數間還有其他的小數  (杜 建台，1996；阮麗蓉、曹雅玲，2005；陳文利，2001；陳永峰，1998)  。 唯 Chien (1998)  研究發現六年級有穩固的稠密性概念。

學童大多缺乏稠密性概念，很難體會兩個小數間還有其他的小數  (杜 建台，1996；阮麗蓉、曹雅玲，2005；陳文利，2001；陳永峰，1998)  。 唯 Chien (1998)  研究發現六年級有穩固的稠密性概念。