小數概念認知結構之變化情形

壹、小數意義

以小數意義概念而言，前測分為兩組，後測也分為兩組，列聯表比對 如表 4­16 所示，且求得 Pearson 卡方為 49.44  (p<.001)  達顯著，顯示前後 測的潛在類別改變達顯著差異，即前測之同一群學童在後測之認知結構上 之改變不盡相同。前測時兩群人數差不多，後測類別一的人數將近是類別 二的四倍，且由表 4­6 中可知，前測類別一後測仍位於類別一之人數比率 高達 93.4%，因此，前測於類別一之學童於後測仍留於類別一之比率最高，

而會由類別一轉為類別二之比率最低。前測類別二後測類別一之人數比率 近乎類別二之兩倍，因此，類別二轉為類別一之比率高於仍位於類別二 者。再由答對機率判斷，前、後測之類別一皆為精熟群，類別二則分別為 不精熟群及認識精熟群。因此，五年級上學期學童對小數意義概念精熟與 不精熟人數各半，五年級下學期學童精熟者佔全體之五分之四，除小數認 識概念外其餘概念皆不精熟者佔五分之一，且以穩定位於精熟群之人數比 率最高。

表 4­16  小數意義概念列聯表 後測

類別一 

(精熟群) 

類別二

(認識精熟群)

總計 類別一 

(精熟群) 

198(93.4%)  14(6.6%)  212  前測

類別二 

(不精熟群) 

139(65.8%)  72(34.2%)  211 

總計  337  86  423

貳、小數符號結構

以小數符號結構概念而言，前測分為兩組，後測分為三組，列聯表如 表 4­17 所示，且求得 Pearson 卡方為 114.45 (p<.001)  達顯著，顯示前後測 的潛在類別改變達顯著差異，即前測之同一群學童在後測之認知結構上之 改變不盡相同。由表 4­17 中可知，前測類別一後測仍位於類別一之人數比 率最高，達  67.4%。前、後測類別一皆為辨識加強群，因此，穩定位於辨 識加強群之比率最高。前測類別二後測仍位於類別二之比率為  59.6%，前 測類別二為辨識、位值精熟群、後測類別二為化聚加強群，因此由辨識、

位值精熟群進步為化聚加強群的人數佔原辨識、位值精熟群中最高比率。

前測時，辨識加強群的人佔全體的四分之三，而辨識、位值精熟群的人佔 全體的四分之一；後測時，辨識加強群的人佔全體的五成五左右，化聚加 強群佔全體的三成九左右，概念全無群佔全體的百分之三點六左右。值得 注意的是，由辨識、位值精熟群轉為辨識加強群的人數有  16  人，佔原辨 識、位值精熟群人數之 15.4%，此 16 人進步之原因，及其解題表現值得深 入探討。而由辨識加強群退步為概念全無群之學童有 5 人，此 5 人之認知 結構改變原因亦值得深入了解。

表 4­17  小數符號結構概念列聯表 後測

類別一

(辨識加強群)

類別二

(化聚加強群)

類別三

(概念全無群)

總計 類別一 

(辨識加強群) 

215(67.4%)  99(31%)  5(1.6%)  319  前測

類別二 

(辨識、位值 精熟群) 

16(15.4%)  62(59.6%)  26(25%)  104 

總計  231  161  31  423

参、小數應用

以小數應用概念而言，前測分為三組，後測分為兩組，列聯表比對如 表  4­18  所示，且求得  Pearson  卡方為  156.37(p<.001)達顯著，顯示前、後 測的潛在類別改變達顯著差異，即前測之同一群學童在後測之認知結構上 之改變不盡相同。由表 4­18 中可知，前測類別一後測仍位於類別一之人數 比率最高，高達  95.3%，前、後測類別一皆為精熟群，因此穩定位於精熟 群之比率最高。前測類別二後測位於類別一與類別二之比率相差僅 10%，

顯示，由半精熟群進步為稠密、轉換加強群的有 45%，其餘之 55%則進步 為精熟群，整體而言，前測類別二之學童概念於後測皆有進步之情形。而 前測類別三後測成為類別二的比率佔  75.3%，顯示由估測精熟群進步為稠 密、轉換概念加強群之比率較高，其餘之  24.7%的人進步為精熟群。前測 時小數應用精熟者約佔全體之二分之一，後測時小數應用概念精熟者佔全 體之七成；前測半精熟群概念與後測稠密、轉換加強群人數相同，但並非 全部為原來的人。值得注意的是，從估測精熟群進步為精熟群有  20  人，

佔人數之 24.7%，亦即接近四分之一前測估測精熟群的人數，此 20 人的解 題表現值得注意。

表 4­18  小數應用概念列聯表 後測

類別一  (^精熟群) 

類別二  (^{稠密、轉換加強群)} 

總計 類別一 

(精熟群) 

203(95.3%)  10(4.7%)  213  類別二 

(半精熟群) 

71(55%)  58(45%)  129  前測

類別三 

(估測精熟群) 

20(24.7%)  61(75.3%)  81 

總計  294  129  423

肆、總結

ㄧ、小數三大子概念

小數意義、小數符號結構、小數應用於前、後測的潛在類別改變皆達 顯著差異，即前測同一群之學童在此三大子概念之後測認知結構上之變化 情形不盡相同。

二、小數意義

前後測皆為兩群，以前測位於精熟群後測仍位於精熟群之比率最高；

前測精熟與不精熟群人數各半；後測精熟群佔全體五分之四，其餘五分之 一僅小數認識子概念精熟。

三、小數符號結構

前測分為兩群，後測分為三群，其中以穩定位於辨識加強群之比率最 高；前測的辨識、位值精熟群，至後測分為化聚加強群及概念全無群。由 辨識、位值精熟群轉為辨識加強群的人數有 16 人，佔原人數之 15.4%，此  16 人進步之原因，值得深入探討。

四、小數應用

前測分為三群，後測分為兩群，其中以穩定位於精熟群之人數最多；

且精熟群後測人數多於前測人數。值得注意的是，從僅小數估測精熟群進 步為小數應用概念精熟者有 20 人，佔人數之 24.7%，此 20 人的解題表現 值得注意。