第四章 第四章
第四章 研究結果與發現 研究結果與發現 研究結果與發現 研究結果與發現
在本章，研究者根據實際教學的情境與記錄，將整個研究結果分 為三個面向：學習篇、教學篇、回饋篇，加以闡述分析實施檔案評量 的歷程、結果與發現。
第一節 學習篇－一步一腳印
在本研究中，研究班學生藉由數學日記的撰寫、討論與欣賞，從 原本的生疏到日漸熟悉，甚至到後來的欲罷不能；藉書面形式的數學 日記做為教學活動的題材，學生的表現與成長點滴更是讓教學者覺得 可貴。藉由檔案評量之數學日記當作營造數學學習氣氛的工具，善用 數學日記做發表與討論的媒介；學生的數學概念學習更加多元，對於 數學的態度也有正面影響。
在本節，研究者將以四個面向來呈現學生們的表現與成長：數學 日記的撰寫、數學日記的討論、數學學習態度的差異、數學學習成就 的差異。
壹壹
壹壹、、、、 數學日記的撰寫內容數學日記的撰寫內容數學日記的撰寫內容數學日記的撰寫內容－－－－多元化呈現多元化呈現多元化呈現 多元化呈現
學生對於數學概念的學習成效，根據數學日記來觀察。由於研究 班級的學生，共進行了三個時期的數學檔案評量，前兩個時期分別是 一年級上學期及下學期各三個單元進行數學檔案評量，目的在讓教學 者與研究班級學生能對檔案評量有所經驗；第三時期二年級上學期為 正式研究階段，進行一整個學期共九個單元的教學研究。
由於一年級的書寫與表達能力未臻成熟，所以數學日記之題材以 封閉引導式題目為主，目的在引起學生對數學日記的興趣，內容設計 以生活化且簡單易懂為主，而大多數學生在前兩時期（一年級）對數 學日記持著“很有趣、好玩“的看法（鄭惠芬，2004）。
主要研究階段（二年級上學期），因為學生的書寫、表達能力，
經過一年的訓練，較一年級成熟許多，因此數學日記的題材與內容可 以加深加廣，也不再局限於封閉式的題型。因而從開放式的數學日記 撰寫內容，可以觀察到學生較多元的呈現。研究者根據（林碧珍等，
民 89）將二上的數學日記素材分為以下五項：解題活動、擬題活動、
數學意義的解釋、回顧上課內容、上課的心得或感想。依據這五個面 向，觀察研究學生數學概念的呈現與學習成效。
一一
一一、、、、 解題活動解題活動解題活動解題活動
以生活情境或學生之興趣佈題，刺激學生主動思考，讓學生能投 入進行解題活動。以下選錄三則有關解題活動的數學日記，共有八位 學生作答內容（圖 4-1-1~圖 4-1-8），並進行分析：
（一）數學日記 8-2 的解題活動：解決「2~10 的幾倍是多少」
圖 4-1-1 數學日記內容（ㄧ）－S5
二、 擬題活動
圖 4-1-2 數學日記內容（一）－S24
以上數學日記內容（一）－S5、S24 是數學日記 8-2 兩位學生（S5、
S24）的作答記錄。此篇數學日記第二題的活動目標：解決「2~10 的 幾倍是多少」的問題，並用乘法算式把做法記下來。是希望學生能熟 練累加和乘法並列這兩者之間的關係，進而脫離累加記錄，熟練乘法 算式。
由數學日記內容（一）－S5 可看出 S5 能正確用累加方法解決以 乘法算式記錄的倍數問題，但尚未完全熟練累加與乘法算式的關係，
所以仍以累加方法解決乘法問題。班上共有 7 位學生和 S5 一樣以累 加方法解決這個問題，而數學能力大多屬於中等。S5 是屬於數學理 解力好的學生，只是平時較不用心，九九乘法仍未熟練，所以沒能以 乘法算式解題，不過在此題他仍得到滿分五分。
數學日記內容（一）－S24 中可看出 S24 用乘法算式解決乘法算式記 錄的倍數問題，並能分解二位數乘數，分解成整十與個位數分別 與被乘數相乘。可知 S24 除了已熟練九九乘法外，也熟練「個位數×
10」非九九乘法以內的乘法規律。班上共有 17 位學生以 S24 同樣的 方法解決此題，而數學能力高的學生也幾乎都用此方法；可以推測他 們以能熟練累加與乘法算式的關係，所以能脫離累加記錄，以熟練乘 法算式解決單位量≥10 單位數≥10 乘數問題。
（二）數學日記 7-2 的解題活動：面積的複製與合分
圖 4-1-3 數學日記內容（二）－S16
圖 4-1-4 數學日記內容（二）－S15
圖 4-1-5 數學日記內容（二）－S07
以上數學日記內容（二）三則是數學日記 7-2 三位學生（S16、
S15、S07）的作答記錄。此篇數學日記的活動目標：面積的複製與合 分。因為低年級學生尚未完全具備面積保留概念，所以部份學生會認 為圖形位置變換後的面積不同，因此在此篇數學日記可明顯看出學生
在此概念發展的程度差異。此設計主要讓學生認識面積相等的各種圖 形，有如另類的拼圖活動。
由數學日記內容（二）－S16、S15 兩位學生的作答記錄，可明 顯看出兩位學生之間的差異，對於兩三角形的圖形拼合活動，S16 與 S15 兩人的想法雷同，都能將三角形進行翻轉、倒置再拼合。而在第 二題正方形的分解活動中，兩人均可分解出正方形是由兩個三角形拼 合而成，且 S15 比 S16 多想出一組構成正方形的圖形：長方形。可見 S15 在面積的複製與合分方面的能力比 S16 好。
在數學日記內容（二）－S07 的第一題作答記錄，可看出 S07 可 將兩直角三角形拼合成鈍角三角形，而這個圖形是 S16 及 S15 都沒想 到的拼合方法。S07 的面積複製與合分能力又比 S16 及 S15 好，從第 二題的作答記錄也可看出 S07 對於正方形的分解概念也很清楚。且從 全班作答記錄看來，S07 在此篇數學日記的作答是最完整的。
（三）數學日記 2-3 的解題活動：液量保留概念及液量的複製
圖 4-1-6 數學日記內容（三）－S08
圖 4-1-7 數學日記內容（三）－S04
圖 4-1-8 數學日記內容（三）－S21
以上數學日記內容（三）三則是數學日記 2-3 三位學生（S08、
S04、S21）的作答記錄。此篇數學日記的活動目標：經驗液量保留概 念及液量的複製；在學生的實際經驗中對於液量的保留概念來自於裝 水入瓶的體驗，將水倒來倒去，所以對於液量的保留概念班上大部分 學生都以能達成。所以設計此份數學日記：如何在三個不同形狀的杯 子裡倒入一樣多的果汁；主要讓學生說明想法，了解其概念及表達能 力。
S8 的想法是將在甲杯液面綁上橡皮筋，再再利用甲杯為其他兩 杯倒入與甲杯一樣多的果汁。S8 已達到液量保留概念，只是表達未 臻完善，推測與他的語文能力較低落有關。
S4 的想法是先以甲杯為基準，在液面做記號，倒入乙杯又再乙 杯做記號，在倒入丙杯；但又多了一個步驟：又再丙杯做記號。雖然
表達得比 S8 還清楚，可是整個流程看來，S8 的想法應該比 S4 還完 善。
S21 的將她的想法表達得很清楚；很謹慎仔細的表達：我會先看 甲的水到哪裡，然後再套上橡皮筋，再把甲杯的果汁倒入乙杯，再將 乙杯的水那邊套上橡皮筋，然後再將乙杯的水倒入丙杯。那些水就送 丙杯，再看甲杯和乙杯的橡皮筋再哪裡，在倒入適當的水。由於 S21 是班上語文能力極佳的學生，所以相同的想法，她能表達得比其他同 學清楚明確。
而班上學生大多都與 S21 的方法相同，分別都在甲、乙兩杯做記 號。而 S8 只在甲杯做記號的方法，全班只有 S8 一人如此。這點頗令 教學者意外，因為在課堂上曾實際進行此類活動，老師並未介紹 S21 所想之方法。不過也讓教學者頗欣喜，因為學生能表達出自己的想 法，這也是增加他們思考空間的機會。
學生的想法表達或許不似成人般精熟，但尊重學生的想法，可讓 學生更勇於表達，而且對於學習數學更有信心。劉祥通、周立勳（1997）
就提出：珍視學生粗糙或自然的想法，以增進學生對數學的信心。
二 二 二
二、、、、擬題活動擬題活動擬題活動 擬題活動
給予算式、運算方法或規定一種運算方法，讓學生擬出符合規定 的題目。以下選錄二則有關擬題活動的數學日記，五位學生作答內容
（圖 4-1-9~圖 4-1-13），並進行分析：
（一）數學日記 3-3 的擬題活動：理解加法和減法的相互關係
圖 4-1-9 數學日記內容（四）－S04
圖 4-1-10 數學日記內容（四）－S05
數學日記內容（四）兩則是數學日記 3-3 三位學生（S04、S05）
的作答記錄。此篇數學日記的活動目標：在解題過程中理解加法和減
法的相互關係。在此單元的前幾個教學活動，學生已能經驗加法交換 律，學生對於加法交換律的概念也都能達成，可是加法與減法的相互 關係對學生來講似乎是比較抽象的數學概念。所以設計此份數學日 記，目的在藉由擬算式的活動，讓學生能察覺出加法與減法的相互關 係，在充分經驗後能達到理解的程度。
S04 能確實掌握住題目所給的三個數，正確列出加法與減法各兩 條算式，並且發現其共同特色。
而 S05 也發現可以利用三個數列出加減法各兩條算式，在實際列 式方面他能正確以三個所給定的數列出減法算式，但在加法算式方面 卻無法超出所給的三個數範圍；在其他學生的記錄上也發現此情況。
（二）數學日記 1-2 的擬題活動：能解「減數未知」的算式填充題
圖 4-1-11 數學日記內容（五）－S33
圖 4-1-12 數學日記內容（五）－S01
圖 4-1-13 數學日記內容（五）－S07
數學日記內容（五）三則是數學日記 1-2 三位學生（S33、S01、
S07）的作答記錄。此篇數學日記的活動目標：能解「減數未知」的 算式填充題，並用算式記錄解題過程。學生在充分的解題經驗下，大 部分已熟練減數未知的算式填充題其解法，為了確定學生懂得此算式 填充題的意義，所以設計擬題活動式的數學日記。
由 S33 的擬題內容，發現此生將算式中的減數未知改成差數未知 型的算式在擬題，有幾位學生也是如此；發現他們都是看到算式就急
由 S33 的擬題內容，發現此生將算式中的減數未知改成差數未知 型的算式在擬題，有幾位學生也是如此；發現他們都是看到算式就急