幼兒數概念發展理論與內容

幼兒的數概念發展理論，依各學者主張之觀點異同，可區分為兩大學派，

其主要代表人物分別為 Piaget 與以 Gelman 為首的心理學者，本節分別敘述此 二學派對幼兒數概念發展的觀點，並列舉幼兒數概念內容與國內外學者的相關 研究。

一、數概念發展理論

（一） Piaget 的觀點

根據 Piaget 的核心理論，知識是由個體的認知結構與外界互動而產生，認 知結構也在個體與外界的互動中建立，基於此觀點，Piaget依知識的來源及組成 的結構將知識分為三大類：物理知識、數學--邏輯知識和社會知識（Kamii &

DeVries /陳燕珍譯，1999）。物理知識是有關外在世界看得到的物體特質，例如 形狀、顏色。因此，物理知識的來源是源自物體本身，可透過觀察的經驗得到的。

社會知識主要來自外在，是經由人們的習慣與認同創造出來的。例如節慶、假日 等，由人們透過內在的邏輯架構與外界環境互動而來的。數學--邏輯知識包含了 心理的關係，而這些關係的來源是存在於每一個體當中，透過抽象化歷程建構而 來的，換句話說，數學--邏輯知識源自幼兒本身，是幼兒組織「外在世界」的方 式（Kamii & DeVries /陳燕珍譯，1999）。根據 Piaget 的見解，如果幼兒的環境 中沒有物體可讓幼兒做關係的連結，幼兒也無法形成邏輯數學的架構。例如：兩

片雪花片，幼兒可以將雪花片看成有「相同的大小」和「2個東西」，從物體大 小的角度看，雪花片的大小是「相同的」；假如從物體的數量來看，雪花片就變 成「2」。雪花片的外觀是可以觀察到的，然而「2」這個數字卻是一種連結關係。

也就是說這種關係並不存在於外界的實體中，而是個體的內心將兩種物體形成關 係後所創造出來的（Kamii & Housman /何素娟譯，2001）。在這三種知識中Piaget 最強調的是邏輯數學知識，他認為邏輯數學知識才是成熟的知識，它的來源是內 部的、是個體內心建構出來的。

Piaget 認為數學--邏輯知識需要數目不變性的能力為其先決條件，雖然幼兒 在六歲半以前會唱數、計數，甚至簡單的加減運算，但是不具保留的心智能力，

就都不算對數目有真正的了解。因此Piaget對幼兒數概念的發展，主要論點有二 點（周淑惠，1999）：

1. 數與其他數學概念的真正理解源自於幼兒的心智發展，這些概念的發展是獨 立自發、無人教導的。亦即主張數概念的獲得須待幼兒的心智發展成熟，無 法藉由外在教導來建立。

2. 保留數目不變性的能力是數學理解的先決條件。即不受物體的物理外觀變化 所影響，幼兒仍然能辨認其數目不變，才算是具有保留概念。Piaget根據其保 留概念實驗的結果，將幼兒對數的了解階段分為三階段（周淑惠，1999）：

第一階段（四歲左右），對數概念無法了解，幼兒無法做出兩排相同數目的 排列，只能對齊兩排物體的前後，此時並無保留概念。第二階段（五至六歲），

是過渡時期，幼兒可以做出兩排相同數目的排列，但若將兩排數量一樣多的 物體排列的距離拉長或縮短，幼兒就無法正確判斷數目是否同等。此時，幼 兒仍然傾向以排列的長短線索作為判斷的依據。第三階段（六歲半以後），

才是對數概念真正理解的階段，幼兒已具有數保留概念了，不管外觀排列如 何變化，都能判斷其同等性。

根據Piaget的認知發展理論，二至六歲的幼兒屬於前運思期，處在數概念發 展的第一、二階段，不具有保留概念，對數量的判斷易受知覺的外觀影響，傾向

以物體排列的整體外型做判斷數量多寡的依據；六歲以後的幼兒進入具體運思期 後，才開始具有保留概念，也才是能夠真正了解數的階段。

（二） Gelman 等人的觀點

兒童數保留概念的提出，引起學界一片的討論與質疑聲浪，主要的爭論點多 數來自保留實驗本身。Miller和 Heldmeyer的研究指出知覺上的線索會影響保留 能力的表現，當保留實驗中的物體排列方式以直線重新拉長或縮短後，就會減少 能保留數量的幼兒人數，換句話說，「長度」是一個主要的知覺干擾因素，會誤 導幼兒（Miller & Heldmeyer, 1973/引自周淑惠，1999，頁56）。國內學者袁媛（2001）

的數保留概念實驗也有相同的研究結果。Gelman 和 Gallistel（1978）發現，經 過訓練後將近100%的幼兒具有數與長度的保留概念。表示保留概念是可以經由 訓練而提早獲得的，若能改變幼兒的思考方式，亦可讓他們明瞭數的概念，並非 如Piaget所認為的是自然發展、無法教導的。且根據 Gelman的看法， 不論幼兒 有沒有數量概念，由他們正確的數數過程中，可推知他們已經理解數數的規則；

他們也知道加入或取出會對物品的數量有影響。因此雖然 Piaget的研究發現許多 有關兒童認知發展的知識，但顯然低估了幼兒的數概念發展，事實上幼兒能學習 的數概念比 Piaget 認為的更多。

Gelman 的數概念理論著重的是兒童所具備的數字能力與知識。他認為除了 重視幼兒數保留概念的發展過程以外，更應該關心幼兒在過程中基本數能力的發 展。研究證實，三歲以前幼兒開始體會到數詞表示某種數量，所以他們了解 2 表示比 1多，4歲六個月以前幼兒能體會到 3比 2大，在他們進入幼稚園時，許 多幼兒已經能相當精確地判斷至少 1到 5的數字大小（Baroody & Ginsburg, 1982）。 Gelman 和 Gallistel（1978）認為，幼兒的數概念是透過有意義的計數 逐漸發展出來的，甚至能表現出複雜的計數技能和數概念。換言之，幼兒是在日 常的數數遊戲與解決問題的情境當中，藉由遊戲與思考解決問題的方法的過程，

逐漸發明並發展更複雜、更有效率的計數技能，而建構出屬於自己的數學知識。

成人傾向於將幼兒的數學技能視為理所當然，然而這些看似不重要的技能，對二 至五歲的幼兒來說，卻是極重要的數學成就（Baroody & Ginsburg, 1982）。

Gelman以及 Gallistel對幼兒數概念發展與 Piaget不同的地方在於，他們認為 關注學前幼兒是否通過保留概念的測驗是沒有意義的；即使通過測驗，也不能肯 定幼兒已真正具有數概念。研究已證實知覺線索的安排可以幫助也可以干擾幼兒 的數保留能力；但幼兒的解題策略與行為與其數的能力有著密切相關，是循著幼 兒自己的邏輯思考模式的（周淑惠，1999）。

雖然此二學派的學者對幼兒數概念發展的觀點如此不同，研究者仍認為此二 學派的觀點對幼兒數概念的發展都具有相當大的啟示， Piaget以認知發展的理論 來解釋幼兒的數概念思考，雖然有某些論點受到後來的學者質疑並推翻，但也解 開了幼兒邏輯數學思考的奧秘；且經過時間的考驗，一再證明孩子對數概念的真 正理解是需要經由內在心智統合建構而來的，孩子藉由將環境中的事物以各種

「關係」連結起來，建構出許多邏輯數學知識，再以簡單的邏輯數學知識為基礎，

學習更複雜的邏輯數學知識。因此Piaget強調幼兒數學的學習須重視幼兒自發的 行動，在自發性的操作與發現中理解數概念並培養邏輯思考的能力。而Gelman 更以正面樂觀的態度來看待幼兒的數學能力發展，強調幼兒實際所具有的數能力 遠比其呈現出來的還要豐富，而透過日常生活中的互動與教導可以更強化幼兒的 數能力。如同 Gelman的看法，我們應關注的是幼兒可以達到的能力，而不是將 焦點放在幼兒無法達到的能力，身為父母、教師應該先了解幼兒的數能力，並以 幼兒已經擁有的能力為基礎，提供適當的學習環境與機會，幫助幼兒發展更穩固 的數能力，這也是本研究的主要目的之一，希望藉由瞭解幼兒數概念發展的現 況，作為數學活動設計的參考。

二、數概念內容及其相關研究

近年來許多研究顯示，即使尚未進入學校的幼兒也已發展令人驚訝且複雜的

非正式數學知識（Baroody, & Ginsburg, 1982）。至於幼兒的這些非正式數學的技 能是如何發展的？ Baroody 和 Ginsburg進一步指出是幼兒在未進入正式學校 教育之前，在日常生活中與環境互動而習得的基本數概念與技能，並且認為幼兒 若缺乏這些非正式數學知識，將會在學校的數學教育中處於不利的地位，由此可 見幼兒的非正式數學知識是學習正式數學知識的基礎。研究結果顯示，即使是來 自低社經家庭和中等社經家庭的白人和黑人幼兒、華盛頓郊區被剝奪環境的幼 兒，在感知能力測驗方面的表現仍與核心區域的幼兒相當。跨文化的研究也顯示 兒童的非正式數學技能是極普遍的，遍及各種社會階層、種族與文化，例如西非 的幼兒、象牙海岸的文盲社會成員，在感知能力的測驗中也能表現優異（Baroody,

& Ginsburg, 1982）。Baroody和 Ginsburg也特別強調，非正式數學知識是幼兒在 還未學會使用符號系統之前，用許多非正式技能去處理生活中的簡單數學問題；

這個階段的表現方式不包含正式的書寫公式、數學運算的原理原則，只是幼兒自 己發明的非正式計數方法。幼兒可以利用這些非正式數學技能來輔助日後學校數 學知識的學習，因此，瞭解幼兒非正式數學能力的優劣是發展有效教學策略之關 鍵。

大部分的學者都同意非正式數學的重要性，但對其所包含內容的看法卻不盡 相同，在分類上也有所差異。從許多有關數學知識結構的著作中歸納出來，學前 階段之數學知識大抵分成「數」、「量」、「空間」與「邏輯關係」四方面（簡

大部分的學者都同意非正式數學的重要性，但對其所包含內容的看法卻不盡 相同，在分類上也有所差異。從許多有關數學知識結構的著作中歸納出來，學前 階段之數學知識大抵分成「數」、「量」、「空間」與「邏輯關係」四方面（簡