幾何圖形概念與相關研究

本研究在探討直接教學法對輕度智能障礙學生幾何圖形之學習成 效，以下將說明幾何圖形概念理論與教學相關研究。

ㄧ、幾何圖形概念與理論

幾何學(Geometry)的拉丁文是 geometein，geo 意指土地，而 metein 表示測量的意思，合起來就有測量土地的意思（周筱亭、黃敏晃，

2006）；而「幾何」一詞可能是拉丁文 geometria，英文就是 geometry ㄧ字的音譯，是源自於古希臘數學家歐幾里得的著作「幾何原本」， 該 書前六卷的內容主要探討現在所謂的「幾何」，十七世紀初「幾何原本」

傳入中國之前「幾何學」尚未在中國出現過，由義大利傳教士利瑪竇 和徐光啟將前六卷內容翻譯成中文，並在書名加上「幾何」以凸顯該 書主題，因此幾何一詞就沿用至今（梁子傑，2005）。

（一）幾何圖形概念

概念(concept)是對同類事物獲得概括性的符號或名稱，可以幫 助人們簡化複雜的現象，能更有效的學習（張春興，1997）。幾何形體

分為平面幾何與立體幾何兩種，平面幾何所指的是一個圖形的所有 點，都在同一平面內，例如：正方形、長方形、三角形、圓形等；立 體幾何則是一個形體上的所有點，不全在同一個平面內，例如：立方 體、長方體、球體等。所以幾何形體的概念即是個體對平面幾何或立 體幾何的名稱、外形或性質的認識（李文貞、鐘志從，2006）。

（二）幾何圖形理論基礎

幾何圖形發展的相關理論，根據國內外相關文獻（江曉卿，2008；

宋雅筠，2012；李文貞、鐘志從，2006），大多以 Piaget 理論和 Van Hiele 理論為探討幾何概念相關理論，以下說明 Piaget 理論和 Van Hiele 理 論，以了解學生幾何概念發展順序。

1.Piaget 理論

Piaget 認為透過操作才能建立幾何觀念，而且兒童幾何概念思考發 展有其階段性順序，隨著兒童年齡增長，對空間知覺能力也跟著發展，

此概念符合其認知發展理論（引自宋雅筠，2012）。Piaget 與 Inhelder (1968)將兒童幾何概念發展成三階段（引自李文貞、鐘志從，2006）， 以下整理相關文獻（江曉卿，2008；宋雅筠，2012；李文貞、鐘志從，

2006）說明三階段的發展概念：

(1)第一階段拓樸學概念階段：此階段年齡約二到四歲，相當於 Piaget 認知發展階段的運思前期，運思前期階段的兒童開始會運用語言、文 字、圖形等較為抽象的符號從事思考活動（張春興、林清山，1989），

此時兒童已可以分辨封閉或開放的圖形，但只注意到圖形的內或外，

即封閉的曲線，而忽略正確形狀，例如將正方形或長方形畫成接近圓 的形狀（江曉卿，2008）。

(2)第二階段投影幾何學階段：此階段年齡約四到六歲，兒童到此時可

以區分正方形、圓形的不同，即能分辨直線與曲線的不同圖形，但尚 未能區分正方形、長方形、菱形等。

(3)第三階段歐幾里得幾何學階段：此階段兒童年齡約七歲左右，相當 於具體運思期，兒童在具體運思期時可以從事物的分類、比較了解期 間的關係（張春興、林清山，1989），而在此階段，兒童能夠區分直線 的封閉圖形，例如辨別五角形可以沿著圖形外圍逐步探索，統整感對 形狀的知覺（李文貞、鐘志從，2006）。歐幾里得幾何學的概念建構是 以長度與距離保留概念為基本，此時期的兒童若獲得長度保留能力之 後，就會自然而然發展出測量概念，一開始利用手或身體當作測量的 工具，之後隨著認知發展，漸漸會使用量尺工具來測量物品，到達歐 幾里得階段的兒童應該都具有對線段長短、角度大小或面的大小關係 的概念，所以面積保留概念也是在本階段發展的（江曉卿，2008）。

Piaget 的研究是透過一對一深入晤談來了解兒童如何建構幾何概 念，只探討概念的形成，以年齡分階段，重點在強調個體發展的過程，

根據 Inhelder 在 1968 年的說法可以將輕度智能障礙兒童的認知發展對 應為具體運思期，輕度智能障礙兒童對於幾何圖形的概念發展，應該 可具有基礎的長短、角度大小、面積大小等概念，因此對於輕度智能 障礙學生的教學將把握此原則，利用直接教學法教導其幾何圖形概念

（引自張英傑，2001）。

2.Van Hiele 理論

荷蘭數學家 Van Hiele 與 Hiele-Geldof 夫婦在 1957 年提出幾何學習 發展理論，是綜合完形心理學的結構論與 Piaget 的認知理論（吳德邦、

馬秀蘭，2004)，根據 Van Hiele 夫婦的理論，他們提出兒童的幾何發 展層次會先從完形、視覺階段漸漸到複雜化描述、分析與抽象的過程；

Van Hiele 夫婦在 1986 年統一了思考層次，分成層次 1 到層次 5，以下 綜合相關文獻（江曉卿，2008；宋雅筠，2012；李文貞、鐘志從，2006；

張英傑、周菊美譯，2005）說明這五個層次所代表的意義：

(1)層次 1：視覺層次

此層次的學生可以透過視覺的方式來分辨、稱呼、比較圖形，從圖 形的整體外表、輪廓以及特徵來辨識。可以為此層次的兒童多安排感 官操作的活動，使其透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等 活動獲得概念（劉好，黃敏晃，2001）。

(2)層次 2：分析層次

此階段的學生開始有能力去分析和分類形狀，可從圖形的構成要素 以及構成要素之間的關係分析圖形，產生對形狀初步的理解，並能描 述圖形的定義，可以利用實際操作、摺疊、尺量、以格子觀察或設計 特別圖樣來發現某一圖形的共有性質，此時的學生具有豐富的視覺辨 識經驗，能察覺長方形有四個邊、四個角，但未能解釋性質間的關係

（劉好、黃敏晃，2001）。

(3)層次 3：非形式演繹層次

此層次的學生可以透過觀察圖形的性質而形成定義，並進一步探索 圖形之間的關聯性，並進一步探索圖形內在屬性關係及各圖形的包含 關係，但尚未能理解定義的重要性（李文貞、鐘志從，2006）。

(4)層次 4：演繹層次

此階段的學生具有能力去了解更多不同形狀的屬性，在各種圖形關 係中作邏輯推理與假設，並能歸納與整理，此時學生抽象思考能力慢 慢被開發，邏輯思考逐漸取代直觀思考（宋雅筠，2012）。

(5)層次 5：邏輯法則層次

此層次為幾何發展最高階的表現，此階段可以了解抽象的幾何概 念，並理解系統間的關係，而不只在一個系統中作推論，並可用公理 系統來建立定理。

根據 Van Hiele 理論有其三點特色，(1)每一階段都有順序性、階層 性，學生必須熟悉前一階段的大部分概念，才能進入到下一階段。(2) 若某一階段的概念不清楚，到下一個階段則會豁然開朗。(3)因年齡、

認知發展的不同，在語言理解上也有所差異，所以每階段有其適合的 語言系統；Van Hiele 的理論沒有特別強調年齡的階段，主要是強調幾 何概念的順序性，其發展仍需由簡單到複雜，具體到抽象（宋雅筠，

2012），因此輕度智能障礙學生的幾何圖形學習不會因為其年齡限制而 有學習困難，若能把握由簡到難及具體化的概念，也是可以透過直接 教學法來教導輕度智能障礙學生學習幾何圖形概念。

（三）幾何圖形教學原則與理論

幾何圖形的發展有其順序性及階層性，以下提出如何配合兒童幾何 發展順序進行教學。

為了幫助教師能有效的教導學生學習幾何圖形，Van Hiele 夫妻又 提出五階段的學習模式，以下根據相關文獻（吳彥瑾，2012）說明五 階段學習理論：

1.學前諮詢：教師在教學前必須透過觀察和發問，來了解學生的先備知 識，做為教學參考。

2.引導方向：教師引導學生學習，透過具體事物的操作，使學生了解幾 何概念。

3.解說：教師引導學生表達自己所觀察到的幾何圖形關係與性質。

4.自由探索：教師給予學生不同任務，讓學生可以自行思考與解答幾何 圖形。

5.統整：教師協助學生將幾何圖形概念和知識內容做統整與總結。

另外，法國數學教育家 Duval 在 2002 年研究中提出了四種幾何圖 形認知模式，分別為知覺性理解、構圖性理解、論述性理解及操作性 理解，在幾何圖形教學方面則主張下列三項教學概念（劉仁宏，2013）： 1.幾何認知發展過程如視覺、構圖或推理的過程，應該獨立發展。

2.不同視覺過程與不同推理過程的區分是教學不可或缺的。

3.三種認知過程視覺、構圖或推理的整合，只有在區分活動趨於成熟後 才有可能。

Duval 在 2002 年強調幾何教學，需給予學生充分的操弄圖形獲得 經驗後，才有可能發展出圖形論證的能力。由此可知，進行幾何圖形 概念教學需要多給予學生具體圖形，並多給予操弄圖形的機會，輕度 智能障礙學生抽象思考概念也較弱，教學時同樣也需要將抽象概念具 體化，幫助輕度障礙學生理解（引自劉仁宏，2013）。

二、幾何圖形概念相關研究

（一）兒童幾何圖形概念相關研究

張英傑（2001）透過半結構式晤談且採用活動實作方式初步探究 兒童幾何圖形概念，晤談對象從幼稚園到國小三年級，研究顯示兒童 在說明圖形時多以舉例方式說明，僅有少部分說出圖形的性質，研究 建議提到幾何圖形教學，需有豐富的視覺與分析學習環境，才能克服 知覺的缺陷。謝貞秀與張英傑（2003）探討國小三四年級兒童平面幾 何圖形的概念，研究方法採紙筆測驗和個別晤談，研究發現兒童在描 述圖形方面，大多以形容詞來描述圓形，利用「邊的性質」來說明正

方形、長方形、菱形、正三角形、等腰三角形；另外，描述平行四邊 形、梯形、箏形對兒童來是較困難的，因此兒童會舉生活中實例來說 明；兒童在辨識圖形上，可能會受到圖形的大小、方位、邊數角數、

邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思 概念。四年級時開始學特殊四邊形，使得兒童對一般四邊形產生迷思

邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思 概念。四年級時開始學特殊四邊形，使得兒童對一般四邊形產生迷思