幾何理論相關研究

壹、空間能力的探討

在一個幾何世界中，每個人透過知覺動作瞭解空間的各種事物，隨著 時間及經驗的累積，不斷的同化、調適，進而內化對空間有更多的認識與 瞭解。在劉秋木(1996)；Lean and Clements(1981)；Johoson and Meade (1987)；Ben-Chaim(1988)等相關研究的研究結果中，空間能力和幾何學 習成就兩者之間有密切的關係。在此將國內外學者對於空間能力的定義整 理如表 2-1-1：

表 2-1-1 空間能力的定義

研究者 空間能力定義

Kelly(1928) 對視覺形式的認知及記憶，或者是對視覺形狀之心 理操作情形(引自蔣家唐，1995)

Thurstone(1938) 能將心中記住一個空間的圖像，在腦海中扭轉、移 轉或者旋轉這個圖像至一個新的位置，再將此變動 過的圖像與研究者所提供的圖像進行比對。

(引自蔣家唐，1995) Guiford and

Lacey(1957)

能夠在心理將想像物體旋轉，及在平面上將想像物 體展開後的平面圖或摺起後的立體圖形，或是瞭解 空間中物體位置改變之關係的能力。

表 2-1-1 空間能力的定義(續)

研究者 空間能力定義

French(1951) 能瞭解物體在三度空間中移動之意象的能力 (Revo,1983)

Shepard and Metzler(1971)

能夠透視圖像變化的能力(引自蔣家唐，1995)

Lohman(1979) 能夠類化、保留及轉換抽象視覺圖像的能力

Gardner(1983) 空間智慧之核心能力乃是精確地知覺視覺世界、對於 個體之原有之決進行轉換與修改、重建個體之視覺經 驗與某些層面，即使再有關的物理刺激不在時，亦能 進行這些操作。(引自劉秋木,1996)

蔣家唐(1995) 辨識圖形及操控圖像的能力

李琛玫(1996) 能夠正確的辨識、觀察、透視圖形，且能將圖形記憶 於心中，然後在心中「想像」性的操弄、變化圖形的 能力

廖焜熙(1999) 對於物體在二度及三度空間的辨認能力，著重在兩者 之間的轉換過程，這些過程包括：移動、轉動、旋轉。

洪蘭(2000) 能夠將東西轉化成圖形顯現在腦海裡，正確的將形 狀、位置、大小比例轉換出來。

表 2-1-1 空間能力的定義(續)

研究者 空間能力定義

劉俊祥(2000) 能正確辨識、觀察、透視圖形，並將物體圖形記憶在腦海 儲存區中，然後透過想像性地操弄，將圖形在心中作位移 旋轉的能力。

簡慶郎(2000) 物體以圖像方式經由感官(知覺)、記憶、邏輯思考等方式 在腦海內轉化思考。

林佳蓉(2004) 能夠正確辨識、觀察、透視圖形，並將物體以圖像方式在 腦海中想像性地操作、轉換、思考的能力。

陳世玉(2007) 係指個體能夠正確觀察、辨識物體、並根據視覺所吸收的 圖像記憶於腦中，進一步透過思維想像的方式，在 2D 或 3D 立體之間任意的移動、旋轉或翻轉，展現出再認、保留 與回憶圖像的思考能力。

劉秋木(1996) 1. 能夠知覺物體形成心像(image) 2. 能夠將心像與其他符號轉換 3. 能夠操弄心像

黃啟文(2010) 指在生活認知中能分辨方向及位置，且能針對所接觸的空 間視覺做推理性的思考，能夠正確辨識、記憶、維持、轉 換、類比及歸納物體圖形的抽象思考能力。

由上表所述，就「柱體與錐體」這個單元而言，空間能力是指受試者 能夠將柱體與錐體的文字題、立體圖、透視圖及展開圖這些圖形在心中形 成圖像，並能夠將圖像加以操弄，用以解決問題的能力。

貳、空間能力的類型：

空間能力是一種對心像操弄的能力(丁振豐，1994)，許多學者採用分 析智力的方式，對空間能力的因素加以分析歸類，以下是相關學者的分析：

(一) Lohman(1988)的分類(引自陳世玉，2007)

將空間能力歸納出十種不同的類型，其中主要分類為空間視覺、空間 關係和空間定位，各分類說明如下：

1. 空間視覺：能在腦中形成有關刺激的心像並做轉換的能力。

2. 空間關係：能將眼前的刺激物，在腦中做快速的旋轉能力。

3. 空間定位：能設想從不同角度去觀察物件的能力。

(二) McGee(1979)的分類(引自陳世玉，2007)

1. 空間視覺(spatial visualization)：能將 2D 或 3D 的外在刺激物進行 心理操作、轉動、翻轉的能力。

2. 空間定位(spatial oriention)：涉及一個視覺刺激物形式中成份重排 後的理解，亦能正確辨識刺激物，即使物件或圖形改變方位後仍能保持 清晰不亂的能力。

(三) Linn and Peter(1985)的分類(引自陳世玉，2007)

1. 空間知覺(spatial perception)：個體能辨識空間關係之能力。

2. 心智旋轉(mental rotation)：個體能想像旋轉空間中圖象之能力。

3. 空間視覺(spatial visualization)：個體能操作一連串複雜影像折疊 與移動之能力。

(四) Thurstone(1938)的分類(引自丁振豐，1994)

Thurstone 所主張的智力群因論(primary mental abilities)中，主 張之力為七種基本的心理能力(primary mental ability)。這七種能力中 的空間關係(space，S)，就是指運用視覺判斷三度空間的能力。由於其實 驗過程中要受試者以左圖為基準，比較右邊的四個選項中與左邊的相同，

所以其空間因素為方位(orientation)或關係(relation)。

(五) Guillford(1959)的分類(引自張春興，1991)

美國心理學家 Guillford 認為智力是人類思考的表現，因此提倡智力 結構論(structure-of-inetllect theory)，其中將思考整個過程分成內 容(content)、運作(operation)及產物(product)三個向度，其中在思考 內容中，原本由 Guillford(1959)所分的四大類形狀、符號、語意、行為 四大類，1982 年 Guillford 又將形狀分成視覺與聽覺兩類，由原本的四項 刺激改成五項刺激(張春興，1991)。學者丁振豐(1994)認為思考內容中的 一項為視覺圖形，依 Guillford 的理論將有 1*5*6=30 種空間因素。

(六) Gardner(1985)的分類(引自張春興，1991)

在美國心理學家 Gardner 所倡智力多元論(multipl-e-intelligence theory)中，在所述的七種能力中，將「空間能力」視為認識環境、辨別 方向的能力，所以其空間分類因素為關係或方位。

(七) Pellerino and Kail(1982)的分類(引自丁振豐，1994)

Pellerino and Kail(1982)在整理所編製空間能力測驗及結果，繪 製了空間能力模式圖，如圖 2-1-1 空間能力模式圖(引自林秀娟，1993)：

圖 2-1-1 Pellerino & Kail(1982)的空間能力模式圖 (八) Burt 的分類(1963)(引自李琛玫，1996)

2. 三度空間能力：在三度空間中觀察(透視)圖形關係。

(九) Piaget and Inhelder(1967)

1. 圖畫式的思考能力：能辨認靜止圖形型態的能力。

2. 操作性的思考能力：能移動或者操控圖形與物件的能力。

(十) Krutestkii(1976)的分類(引自丁振豐，1994)

Krutestkii(1976)在所著『中小學生數學能力心理學』中提出學生各 類思考風格，如下所述：

1. 分析型(analytic)：擅長語文─邏輯的成分，而拙於視覺─圖像的成 分。空間概念弱。

2. 幾何型(geometric)：擅長視覺─圖像的成分，而拙於語文─邏輯的成 分。空間概念很強。

3. 調和型(harmonic)：擅長語文─邏輯及視覺─圖像，空間概念強。

(十一) Bishop,A.J.(1983) (引自劉秋木，1996)

1. 解釋圖形資訊的能力(IFI)：對於幾何作業、圖畫、圖表以及 各種圖解 中所呈現之視覺表徵與空間詞彙的理解。

2. 視覺處理歷程(VP)：對視覺想像的能力以及將抽象關係與非圖形資訊轉 換成視覺用語的能力。

(十二) Spearman(1927) (引自林浚傑，2007)

主張空間能力為智力普通因素 G(General factor)的一環，就如同語 言能力(Verbal ability)力屬於智力普通因素，也就是個人天生具備的基 本能力。

(十三)Clements and Battisa(1992)(引自劉秋木,1996) 1. 空間導向：理解及操作物體位置之關係

2. 空間的視覺想像(visualization)：理解及想像平面或立體空間裡之物 體的運動。

國小課程中安排了「柱體與錐體」這樣的單元，希望能夠由文字題、

立體圖、透視圖及展開圖讓學童瞭解柱體與錐體的構成要素及要素間的關 係，進而培養的空間認知能力。

參、兒童幾何概念發展

國內外學者對於兒童幾何概念的學習有許多不同看法，以下針對 Piaget 認知發展理論及 Piaget and Inhelder(1975)的研究兩方面探討之。

一、 Piaget 認知發展理論：

瑞士心理學家 Piaget(1970)對兒童心智活動提出解釋，他認為兒童隨 著年齡增長，而產生了思維方式的改變，這種改變並非僅是知識量的增 加，而更是質的改變。因此，Piaget 提出「基模」為人類吸收知識的基本 架構，透過基模與外在環境之間的交互作用，而形成自我的認知能力。張 春興(1994)指出基模隨著年齡的增長，將由小而大與由簡而繁地隨時變 化。進一步說明，也就是當個體基模能夠輕易同化環境中的新知識經驗 時，在心理上它自會感到平衡，而當個體基模不能夠同化環境中新知識經 驗時，在心理上就會感到失衡，而當心理失衡時，便會驅使個體改變或調 適既有的基模，而達到平衡。

Piaget 多年的觀察研究，發現自出生到青少年成長期間，個體的認知 發展在連續中出現階段性的特徵，並依各階段個體基模功能特徵不同，分 為四個年齡期，四階段說明如表 2-1-2：

表 2-1-2 Piaget 各階段認知發展特徵

階段 年齡 認知發展特徵

感 覺 動 作 期 (Sensorimotor stage)

0~2 歲 靠感覺與動作以了解環境，吸收知識，此 時期結束時，一般嬰兒已具備了物體恆存 性的概念。

表 2-1-2 Piaget 各階段認知發展特徵(續)

(Formal operational stage)

二、Piaget and Inhelder 的研究(1967)

在 Piaget 學派研究結果中，大部分幾何概念必遵從下列兩項基本原 理：

(二) 空間的表徵不是來自於瀏覽空間情境，而是來自於孩子在主動操弄該 空 間 情 境 時 建 議 的 經 驗 ( 李 震 甌 (2004);Clements and Battista(1992)；Marilyn Nickson(2004))

(二) 拓樸優先論，意指幾何概念的發展遵循一定的程序，先由拓樸關係的

(Topographical space)

兒童發展出有關接近、分離、順序範圍和 連續性等概念。

投影空間

(Projective space)

兒童逐漸領會物體位置與物體間的關係，

但這種認知無法擺脫視覺的影響。

歐氏空間

(Euclidian space)

兒童的空間理解能裡已成熟，已能從視覺 迷惑中超脫，將所有物體及物體間的空間 關係統整為整體概念。

※資料來源：整理自丁振豐(1994，三個心理學派對空間能力研究的比較，p239) 從上所述，Clements and Battista(1992)指出，孩子形成空間表徵 是經由他自己的運作與內化活動逐步組織得來的。國內學者劉秋木(1996)

境時，能夠遵循邏輯法則思維，進行簡單的邏輯思考，並能理解可逆性的 問題。