依據三個實驗結果以及研究限制等等，研究者分別針對學術研究以及教學實 務上提出以下建議。
一、 研究建議
1. 大致而言三個實驗的研究結果皆顯示出版本的呈現和學習表現的差異不大，
並未針對學生的解題過程深入探討，後續研究可以朝這方面進行，例如可以 探討不同文本的呈現方法是否會影響學生的解題策略。
2. 本實驗的研究對象來自於台北市兩所高中，PR 值皆介於 90~95 之間，學生的 整體程度較一般高中生好，且學生至少一半以上有補習或家教。可以對 PR 值較低且較無補習地區的學生進行研究，同樣的文本對這些學生產生的認知 負荷應該相對較高，或許在學習表現上較能顯現出差異。
3. 99 課綱雖然刪除了符號 H，但許多老師還是會告知學生此符號的意義以及使 用，究竟這個符號對學生的學習有什麼影響，是否會增加或減少負擔，是否 有助於重複組合基模的形成，相信也是個有趣的議題。
二、 教學建議
1. 對初學的學生而言，重複組合確實是一個複雜且困難的問題，建議教師可以 以分段的方式進行教學，並提供學生自行練習的機會，不要急著一口氣將各 種表徵連結，以降低學生的認知負荷並提高閱讀意願。
2. 研究結果顯示，以較抽象的代數表徵或公式引入都會降低學生的閱讀意願，
建議教師以具體的情境例子作為引入以提高閱讀意願，但要注意情境是否合 理，並避免產生不必要的認知負荷。
150
參考文獻
一、 中文參考文獻
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7. Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive Load Theory. New York, NY: Springer.
153
附錄
前測問卷
班級： 座號： 姓名：
1. 將 a、a、b、c，4 個字母全部排成一列，共有幾種排法？
2. 老師想要從甲、乙、丙、丁 4 人中選 3 人擔任今天的值日生，共有幾種情形？
3. 用 1、2、3、4 排成一個數字不重複的四位數，這種四位數共有幾個？
154
4. 已知 x 和 y 都是 0 或正整數，且
x y
6，則解 ( , )x y 共有幾組？
5. 將 3 顆相同的球全部分給 3 個人，共有幾種分法？
6. 將 6 顆相同的球全部分給 3 個人，共有幾種分法？
155
156
重複組合閱讀理解題本（版本 B）
假設第 1 個人取
x 顆球，
1 第 2 個人取x 顆球，
2 第 3 個人取x 顆球，
3 第 4 個人取x 顆球，
4則x1
x2
x3
x4
7，其中x x x x 為非負整數。
1, 2, 3, 4 非負整數即是 0 或正整數而我們的問題就可以改寫成：
1 2 3 4
x
x
x
x
7的非負整數解，共有幾組？用 7 個「○」表示 7，用「|」區隔每個 x 的值，就可以用圖示表示非負整數解。
例如：( ,
x x x x
1 2, 3, 4)
(3,1, 2,1) ⇒x
1
3，x
2
1，x
3
2，x
4
1 就可以用右列圖示表示： ○ ○ ○ | ○| ○ ○ | ○ (
x
1 ,x
2 ,x
3 ,x
4
) ( 3 , 0 , 2 , 2 ) ⇒x
1
3，x
2
0，x
3
2，x
4
2 就可以用右列圖示表示： ○ ○ ○ || ○ ○ | ○ ○ 上述兩個圖示都有 7 個「○」和 3 個「|」。
因此，x1
x2
x3
x4
7的非負整數解可以用：7 個「○」和(4 1)
個「|」共 10 個符號作直線排列的圖示表示。而我們的問題就可以改寫成：
7 個相同的『○』和 3 個相同的『|』的排列方法數共有幾種？
利用有相同物的排列公式，
7 個相同的「○」和 3 個相同的「|」的排列方法數為 10!
7! 3!
120
因此，將 7 顆相同的球全部分給 4 個人的分法有 120 種示例：將 7 顆相同的球全部分給 4 個人，共有幾種分法？
157
158
重複組合閱讀理解題本（版本 D）
用「○」代表一顆球，「|」區隔不同人取得的球數，就可以用圖示來表示分法。
例如：分給 1、2、…、n 號 n 個人，1 號拿 2 顆，2 號拿 2 顆，…，n 號拿 1 顆 就可以用右列圖示表示： ○ ○ | ○ ○ | … | ○
分給 1、2、…、n 號 n 個人，1 號拿 3 顆，2 號拿 0 顆，…，n 號拿 2 顆 就可以用右列圖示表示： ○ ○ ○ | | … | ○ ○
上述兩個圖示都有 k 個「○」和 (n 1)
個「|」。 因此，將 k 顆相同的球任意分給 n 個人的分法，可以用：k 個「○」和 (n 1)
個「|」共[k+(n-1)]個符號作直線排列的圖示表示。利用有相同物的排列公式，
k 個相同的「○」和 (n 1)
個相同的「|」的排列方法數為 [k (n 1)]! 1 k!(n 1)!n k
C
k
因此，將 k 顆相同的球任意分給 n 個人的分法有Cn kk 1種因此，將 k 顆相同的球任意分給 n 個人的分法有Cn kk 1種 由示例 1 推出來的公式，其中k7，n=4代入
因此，將 7 顆相同的球任意分給 4 個人分法有 4 7 17 710 10!
C 120
7! 3!
C
種示例 1：將 k 顆相同的球任意分給 n 個人，共有幾種分法？
示例 2：將 7 顆相同的球任意分給 4 個人，共有幾種分法？
159
160
認知負荷感受量表
班級： 座號： 姓名：
這份量表主要是用來了解您在閱讀這份教材時，對這份教材的感受。量表的調 查結果除了有助於瞭解各位的學習狀況，也作為日後設計與改進教材的參考，請 您依照您自身的感受確實填答。
請注意：每題細分九個等級，只能勾選一個等級，由於每個人的感受不同，並 沒有標準答案。
一、 這些示例讓你想讀下去的意願為何？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 □ 非常不願意 非常願意 二、 你覺得這些示例的困難度如何？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 □
非常容易 非常困難
三、 你覺得理解這些示例需要花費的心力如何？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 □
非常輕鬆 非常費力
四、 你有多少把握看懂這些示例？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 □ 非常沒把握 非常有把握 五、 你投入多少努力來了解這些示例？
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 □
非常少 非常多
六、對於這次實驗的建議（越多越好）
161
後測問卷
班級： 座號： 姓名：
1. 將 k 顆相同的球全部分給 n 個人，共有幾種分法？
2. 將 6 顆相同的球全部分給 3 個人，共有幾種分法？
3. 老師買了 5 枝相同的筆，全部分給 4 個同學，共有幾種分法？
162
4. 已知 , ,
x y z 都是 0 或正整數，且 x y z
10，則解 ( , , )x y z 共有幾組？
5. 阿明想把 ABCD 等 4 種飲料，任意倒進 6 個相同的空杯，每杯恰好一種飲料，
請問杯子裡飲料的情形共有幾種？
例如：「6 杯 B 飲料」算一種情形
「1 杯 A 飲料、3 杯 B 飲料、2 杯 D 飲料」也算一種情形
6. 5 個相同的「●」和 3 個相同的「○」排成一列，共有幾種排法？
163
前後測學生實際作答情況
（一）前測第一題
使用有相同物排列公式，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
（二） 前測第二題
使用一般組合公式，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
（三）前測第三題
使用直線排列公式，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
164
（四）前測第四題
使用列舉，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
（五）前測第五題
使用列舉，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
（六）前測第六題、後測第二題
165
使用討論，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
使用公式( 1)!
( 1)! !
n k
n k
，隔板數未減一，列式不完全正確給予 1 分，答案錯誤 給予 0 分（七）後測第一題
使用公式
H ，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分
kn（八）後測第三題
轉換為球與隔板模式，再套用有相同物排列公式，列式完全正確給予 2 分，
答案正確給予 1 分
166
（九）後測第四題
轉換為球與隔板模式，再套用有相同物排列公式，列式完全正確給予 2 分，
答案正確給予 1 分
使用討論，列式不完全正確給予 1 分，答案錯誤給予 0 分
（十）後測第五題
轉換為代數模式，再套用
H 公式，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予
kn 1 分167
轉換為代數模式，再套用( 1)!
( 1)! !
n k
n k
公式，列式完全正確給予 2 分，答案錯 誤給予 0 分（十一）後測第六題
使用有相同物排列公式，列式完全正確給予 2 分，答案正確給予 1 分