第二節 排列組合相關文獻 一、 學生學習的困難點：
根據高中數學 99 課程綱要，排列組合的定位為處理生活中常見的計數問題，
最基本的公式通常並不複雜，學生學習的困難常在於無法把文字敘述的題目，適 當地「翻譯」與「對應」到該用的公式，Batanero 等人（1997）的研究結果也指 出教學後學生產生的最大問題為無法對問題陳述做適當的轉換，和課綱所述雷同。
大考中心的試題報告也指出，排列組合是個困難的課題，在指定考科中，不論怎 麼出題，排列組合的答對率或得分率經常不到 25%（李國偉、單維彰，2009）。
李政豐（民 80）指出排列組合較注重分析、理解與思考，學生處理排列組合問 題時多流於方與的記憶，無法有效的將問題分類統整。
國內有許多關於重複組合類型分析的研究，劉宏輝（民 84）、蔡佳茹（民 94）、
許世育（民 96）、莊淑貞（民 96）、吳宜憲（民 98）等人指出學生在排列組合單 元常見的錯誤的類型和原因，錯誤類型包括：
1. 計數方法錯誤或計算錯誤。
2. 誤套用類似題型。
3. 忽略題目部分條件或解讀提議錯誤。
4. 符號使用與認識不清。
5. 分類錯誤、重複分類。
而錯誤原因包括：
1. 對於基本計數方法的概念不夠清楚，使用時機混淆不清。
2. 排列與組合的差異不明瞭。
3. 對重複意思不明瞭。
4. 受到題目數字或文字影響影響。
5. 考慮不夠縝密、讀題不夠用心。
6. 符號不會使用。
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7. 與生活經驗不同。
8. 計算錯誤。
其中莊淑貞（民 96）更指出學生最大的錯誤在於一開始的策略錯誤，並有 部分學生基本觀念不足，或胡亂猜測找關鍵字決定解題策略。
二、 排列組合教學建議與發現：
李國偉、單維彰（2009）和楊宜蓁（民 99）皆指出許多排列組合題目過於 注重情境，很多情境題目無法與生活連結，太多虛偽的情境只是徒增認知的負 擔。
高中數學 99 課程綱要建議，教師教學時應強調分辨「計數對象是什麼」的 重要性，亦即要分清楚「什麼跟什麼是不同的物件」。教師也需要引導學生，並 讓學生多做閱讀練習，如何將日常生活情境出現的問題抽象化成為數學的題材，
幫助其建立數學模型。
李政豐（民 80）、莊淑貞（民 96）皆指出，課本比較偏向教學目標縱向的研 究，而忽略了橫向的比較（例如排列和組合的差異）。楊宜蓁（民 99）指出，學 生在學習重複組合問題時，其思維的引動、轉換或養成都受到先前學過的重複排 列的影響。王筱惠（民 100）也發現，對排列組合的單一概念而言，相同情境的 對照性起始例有效幫助高二學生連結比較「排列」與「組合」的概念，建議教師 以情境相同但結構不同的對照性起始例（例如重複排列和重複組合），啟發學生 對排列組合題目的分類，進而採用適當的方法解決問題。
對於初次學習排列組合的中程度學校的學生，需要藉由列舉的模式觀察物件 的關係與連結，才能進行成功的排列組合解題（林世偉，民 101）。而當學生初 次面對重複組合概念時，楊宜蓁（民 99）建議教師透過單純化的教學方式，只 聚焦在特定題型上，不論是語意表徵分物類型還是選物類型皆可，並透過拋問、
討論以及反覆操作，有助於學生建立新思維，切勿一股腦將所有重複組合問題秀 出來。林世偉（民 100）發現，初次面對重複組合問題時，分物類型題目的答對
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率較選物類型題目高，且較能引發學生使用列舉。而以答對率來看，不管何種程 度的學生都是代數題型最高、分物類型次之、選物類型最末，研究者認為代數類 型是最制式的題型，學生也能輕鬆列舉所有解；而選物類型是從定義延伸出來的 題型，最容易和其他排列組合問題產生混淆，若忽略了「可重複選取」條件，容 易和一般組合產生混淆，若忽略了「不考慮順序」條件，則容易和重複排列混淆。
楊宜蓁（民 99）與林世偉（民 101）的研究結果都發現，學生在三種重複組 合基本題型間的連結不完全緊密。楊宜蓁更指出在語意表徵分物類型和選物類型 題目僅有五成多生認為兩者有相同的結構，教師宜用代數表徵題型將兩種語意表 徵題型做串連。
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三、 APOS 理論
研究者欲瞭解學生學習重複組合時，學生抽象概念的發展過程，藉此分析學 生學習重複組合時，可能發生問題的所在，並依此設計實驗，因此研究者依據 APOS 理論，對重複組合問題進行起源分解（Genetic Decomposition）。
一、APOS 理論簡介
APOS 是 Dubinsky（1991）提出的一種建構主義數學概念的學習理論，是以 Piaget 的「反思抽象」（reflective abstraction）擴展所成的理論，用以探討學生的 抽象概念發展，或以此設計課程指導學生建構數學知識。Dubinsky 認為一個人 是無法直接學習到數學概念的，人必須透過心智結構（mental structure）來使所 學習的數學概念產生意義，而教學的目的就是如何幫助學生去建立適當的心智結 構。
研究者研讀了 Ilana Arnon 等人（2014）編著的 APOS Theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education，進行整理。
根據 APOS 理論的觀點，數學概念的形成，一般要經過四個階段：行動
（Action）、過程（Process）、物件（Object）、基模（Scheme）。行動是重複認知 的過程，是可重複性的，而這樣重複認知的過程會被膠囊化，成為一個心智的物 件，最終成為個體心智基模的一部份。
1. 行動（Action）：個體在最初接收外在訊息時的轉換，透過外在的提示一步一 步的引導而完成。行動是學習者理解概念的一個必要條件，通過操作讓學生 親身體驗解決問題。
2. 過程（Process）：透過行動的重複操作，學習者可以對行動進行反思，此時行 動已經被內化成為一個「過程」。和行動不同的是，過程是內在化的，並不需 要透過外部提示，而且是基於特定目的完成的。
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3. 物件（Object）：個體反省特定過程的一些行動時，能夠把過程視為一個物件，
了解到這個過程形成的整體能夠再度進行其他變換，則我們稱為這個過程已 經壓縮（encapsulated）為一個認知的物件。
4. 基模（Schema）：當過程與物件能夠內化為各種形式，並且與其他概念、圖 形作連結，形成一個心智結構圖，我們稱為基模。當個體確實的掌握了數學 問題，能將解決問題的行動、過程以及物件組合成基模，並用此基模解決問 題。而基模能再組織成更高層次的基模。
二、重複組合起源分解
研究者依據 APOS 理論，針對重複組合進行的起源分解（Genetic Decomposition）：
1. 行動階段：學生透過一步步的指令，將符合題目的情況有條理的一一列舉出 求得答案，並將所有情況一一轉換為球與隔板的圖示。題目中的數字為特定 且較小的數字。
2. 過程階段：當行動不斷重複，學生已不需要透過外在指令，而且能開始思考 一一對應原理轉換的過程，成功將一般形式的題目轉換有相同物的排列求得 答案。
3. 物件階段：學生已不再需要思考過程的細節，可將題目視為一個物件，猶如 套入公式般的獲得答案，但並非單純記憶公式。
4. 基模階段：學生將物件視為整體後，並建立起物件和物件之間的關係，組織 成為一個完整的概念。學生能在不同表徵的基本題型之間任意互相轉換，並 瞭解其結構皆相同，此時重複組合概念是一心智結構圖，存在腦海中，包含 著具體的重複組合實例、抽象的過程、完整的定義、以及和其他排列組合概 念的區別與聯繫。
綜合以上所述，根據研究者設計的重複組合起源分解，以語意表徵分物類型 題目為例，以圖 2-1 呈現重複組合物件的建構過程，以圖 2-2 呈現重複組合基模
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的建構過程，並且分析學生學習重複組合的困難點，可能來自於複雜度、表徵的 多元現、以及學生的認知結構。
圖 2-1 語意表徵分物類型題目物件的建構過程
圖 2-2 重複組合基模建構過程
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四、 認知負荷理論
排列組合對高中生而言，有別於以往學習的其他數學單元，較有較制式的解 法，同時也缺乏了一個穩固和可靠的驗證策略（Mashiach Eizenberg & Zaslavsky, 2003）。此外，排列組合題目還有一項特色，過於注重情境，太多人工的虛偽的情 境只是徒增認知的負擔（李國偉、單維彰，2009）。其中重複組合又是高中數學排 列組合課程中，認知結構最複雜的一個單元，有著較高的元素互動性，和不同表徵 的題型，會使學生產生認知上的負荷，一旦負荷超出學生可承擔的，便無法產生學 習成效。因此本研究採用認知負荷理論做為教材設計的理論依據，希望藉由降低學 生的認知負荷並幫助其成功形成基模達到學習成效。
John Sweller 於 1980 年代提出「認知負荷理論」（Cognitive Load Theory），
是從心理、生理與認知層面評估任務對執行者的影響與合適與否。認知負荷理論的 主要目的，設計良好的教學程序去減少外在認知負荷，從而降低工作記憶體資源，
使其不再處理於學習無關的信息，能讓學習者將認知資源投入學習以建立基模以及 基模自動化，最終與長期記憶的知識結合。
研究者研讀了 John Sweller 等人（2011）編著的 Cognitive Load Theory，進 行整理。
認知負荷指的是將一特定工作加諸於學習者時，其認知系統時所產生的負荷，
也就是工作記憶（working memory）的負荷。學者論述認知負荷大體而言有兩層含 意，其一為討論學習內容所造成的學習負擔，另一則是與工作記憶體所能負荷的記 憶寬度有關。
一、認知負荷理論的基本假設
1. 工作記憶（working memory）的容量有限。工作記憶只能儲存平均約 7±2 個元素
（element），且工作記憶運作或保留的時間極短，若未經複誦大約 20 秒隨即消