第貳章 文獻探討
研究者根據研究目的，首先對重複組合進行教材分析，接著整理排列組合相 關文獻，最後以 APOS 理論、認知負荷理論以及表徵理論做為教材設計的依據。
本章共分為五節來討論。
第一節 重複組合教材分析
重複組合是一種排列組合的計數法則，依照字面上來看，可分為「重複」與
「組合」兩個部分，重複表示集合中元素可重複選取，組合表示選取的元素不討 論順序，重複組合的定義：從 n 個元素的集合中每次取出 k 個元素，允許重複取 出同樣的元素，不同取法的總數。
依照現行的高中數學 99 課程綱要，重複組合單元屬於高中一年級下學期的 課程，其中包含三個基本問題：從 n 個元素的集合中取出 k 個元素可重複之方法 數（語意表徵取物類型題目）、把 k 個相同物品分給 n 個人之方法數（語意表徵 分物類型題目）、方程式
x
1 x
2 ...x
n k
之非負整數解總數（代數表徵題目），其中這三個基本問題的解都相同為重複組合數
1 n k
Ck ，三個問題彼此是可以互相 轉換的。
在較早的高中數學 95 暫綱，重複組合屬於高中二年級下學期的課程，一般 而言與 99 課綱差異不大，最大的差別是 95 暫綱的教科書有使用符號Hkn，99 課
綱的教科書則將此符號刪除。研究者推測原因是Hkn的使用會讓學生多流於公式 的背誦，而非瞭解背後的運算規則。
高中數學 99 課綱，將原 95 課綱第四冊之「排列組合」與「古典機率」以及 第五冊之「條件機率」、「貝氏定理」、「相關係數」、「最小平方法」調整到第二冊，
理由為：（1）儘早提供學生在各學科進行量化分析所需要的數學基礎；（2）與生 活關聯性較高，應較早學習；（3）調整後不會發生邏輯順序錯置的教學問題。此 外 99 課綱還弱化了排列組合問題，認為情境不合理或太難的題型會降低學習效
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的取法？」引入，將其轉換為「
x y z
4非負整數解」，先利用窮舉法將 答案一一列出，並將「x y z
4的非負整數解總數」對應到「4 個○和 2 個 | 的排列數」。接著將其一般化，「x
1 x
2 ...x
n k
的非負整數解」對應 到「k 個相同的○和 n-1 個相同的 | 的排列數」。最後給予一般化結論：「n 種不同的物件選取 k 個，可重複選取，其組合總數為Ckn k 1」、「n 元一次方程 式x
1 x
2 ...x
n k
的非負整數解有1 n k
Ck 組」。
綜合以上所述，可發現不同版本的編排順序不盡相同，三民版和南一版是分 別以語意表徵分物類型題目和選物類型題目的單一例子作為起始例，先利用窮舉 和討論求得解，再用一一對應原理轉換成有相同物的排列問題；龍騰版則是一口 氣呈現三種基本問題，並未使用窮舉，而是直接轉換成有相同物的排列問題。最 後結論的部分，三民版和龍騰版皆呈現三種基本題型的一般化公式，唯有南一版 僅呈現語意表徵選物類型題目和代數表徵類型題目的一般化公式。而三個版本都 是先以實際例子引入，再逐漸推導出一般化的公式。
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第二節 排列組合相關文獻