第壹章 緒論
第一節 研究背景與動機
重複組合是高中數學排列組合課程中，認知結構最複雜的一個單元。重複組 合至少包含了三種基本問題：從 n 個元素的集合中取出 k 個元素可重複之方法數
（語意表徵取物類型題目）、把 k 個相同物品分給 n 個人之方法數（語意表徵分 物類型題目）、方程式
x
1 x
2 ...x
n k
之非負整數解總數（代數表徵題目）（高 中數學 99 課綱），看似完全不同型態的三個問題，其內部結構是相同的，有著相 同的答案。然而，學生在學習完重複排列之後，三種基本問題之間的連結仍然不 完全緊密。楊宜蓁（民 99）指出，尤其是選物類型和分物類型的題目，甚至有 將近一半的學生認為兩者並非等價的。對於高中生而言，排列組合定位是處理日常生活常見的計數問題，並作為學 習古典機率的準備。排列組合就是在教導我們如何有系統、有策略性的數數，訓 練我們分析與統整的能力。事實上，排列組合屬於組合學的一個小部分，除了數 學之外，在物理學、化學與生物學中的許多問題都可抽象化為組合數學模型並進 行分析，組合學的應用非常廣，而機率論不論在任何學科均被廣泛運用，同時也 突顯出排列組合的重要性。
在高中數學裡，排列組合一直是一個很特殊的單元，儘管最基本的公式並不 複雜，也不需要太多的先備知識，但仍然是大多數學生懼怕的課程，學生心中有 著高度的不確定感，部分學生在其他數學單元表現優異，但是到了排列組合卻學 的很辛苦。李政豐（民 80）指出排列組合單元的學習更著重分析、理解與思考 能力，課本也比較偏向教學目標縱向的研究，而忽略了橫向的比較，學生在處理 問題時多流於方法的記憶、公式口訣的背誦，無法正確地將問題分類與統整，因 此造成學生不易發現的錯誤。排列組合的題目不像其他單元有較制式的解法，同 時它缺乏了一個穩固和可靠的驗證策略（Mashiach Eizenberg & Zaslavsky, 2003）。 解排列組合問題不需要繁複的計算，而是需要靈活的概念運用，題目敘述稍有不
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同，學生可能就會產生錯誤的判斷使用錯誤的策略。
「老師，我這麼做錯在哪裡？」、「老師，這題可以這樣思考嗎？」排列組合 亦是老師們較為棘手的單元之一，除了要教導學生正確的基本觀念和解題流程，
也需要提醒學生容易發生錯誤的地方，還需要糾正學生千奇百怪的錯誤想法，告 訴學生這麼做為什麼會錯，錯在哪裡。老師要徹底改變學生的想法，排列組合不 能只能單純記憶公式和規則，老師應該引導學生多加思考。雖然 99 年高中數學 課程綱要指出，排列組合應避免情境不合理、過深、或同時涉及太多觀念的題型，
但是坊間的參考書，甚至各校段考題目仍然充斥著這些較為艱深或情境不合理的 題目。
無疑的，對於大部分高中學生而言，相較於其他排列組合問題，重複組合問 題是個更為複雜的作業。現行的高中數學 99 課綱中，重複組合單元的教學順序 安排在排列組合課程之末，僅在二項式定理前面，不僅是因為重複組合單元最困 難，也因為它需要仰賴前面學習過的一般組合、有相同排列等等概念作為基礎。
就認知負荷理論（Cognitive Load Theory）的觀點，當學習一個教材需要同時處 理多個元素（element），表示對於學生而言它有著較高內在認知負荷。值得注意 的是，當認知負荷的量超過工作記憶（working memory）時，學生是無法產生學 習成效的。因此，如何幫助學生降低其認知負荷並達到學習成效是一個重要的議 題。
研究者試圖分析學生學習重複組合問題的過程，依據 APOS 理論，對重複組 合問題進行起源分解（Genetic Decomposition）。首先學生需瞭解高中數學 99 課 綱中的三種基本題型的解都相同，我們稱之為重複組合數，且三種題型是可以互 相轉換的，有著相同的結構，接著需要透過一一對應原理，將重複組合問題轉換 為有相同物的排列，方可得到答案。既特別又有趣的是，在學習前學生只能透過 列舉或討論來找尋規則，學習後的解法變得非常多樣性，同樣的題目，每個學生 可以先透過三種基本題型的互相轉換成自己熟悉的題型，再套入重複組合公式、
或轉換為有相同物的排列求出最後答案。
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Sweller 和 Cooper(1985)發現在代數的學習上，使用示例的學生表現優於使 用傳統問題解決的學生，我們假設在學習難度較高的重複組合上也是如此，研究 者依照認知負荷理論設計示例，演示重複組合問題的解題流程，以逐步的方式呈 現給學生解決重複組合問題所需要的程序，希望有助於學習者對於解題流程建立 相關的基模，可以有效提升學生的學習表現，並且降低其認知負荷。
重複組合是個如此複雜的數學問題，有高元素互動性，對學生產生較高的認 知負荷，學生不僅會遇到課綱的三種基本題型，還有坊間參考書、各校歷屆段考 的諸多變化題，不同的學生會有各自不同想法，我想，幫助學生學習重複組合或 許是個重要且有趣的議題，希望研究結果可以對學生有所幫助，能提供教科書重 複組合單元設計、以及教師教學重複組合課程安排的參考。
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