重複組合不同文本呈現方式對學生學習表現與認知負荷影響之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 重複組合不同文本呈現方式對學生學習表現與認知負荷影響之研究. 研究生：陳佩德. 中華民國一百零四年七月.

(2) 致謝在這三年的時光，感覺到自己成長了不多，但也發現自己的不足。首先要感謝我的指導教授左台益老師，總是不斷給予我們學習機會，處處為學生設想，不厭其煩的指導以及鼓勵，不僅教導我做學術研究應有的態度，也從老師身上學習到待人處事的方法。雖然這段期間經歷的不少挫折，感謝老師的提攜和包容，讓我順利完成學業。感謝楊凱琳教授對於統計方法的指導，總是百忙中抽空回答我的問題，解決了我不少的疑惑。感謝兩位口試委員，李源順教授和陳明璋教授，對於我論文不完善的地方，提出不少寶貴的意見，也讓我獲益良多。最後結合指導教授的建議修改，才能讓論文順利的完成修訂。感謝協助實驗的幾所學校的老師與同學們，謝謝你們提供的寶貴資料。感謝建恆學姐、政德學長、鳳琳學長，時時給予幫忙和引導我方向，感謝明德、詩穎、睿紘、俊廷、秉君等人的在研究上的幫忙和協助。感謝一路陪伴的家人，體諒我的任性與固執，謝謝你們的支持與鼓勵。感謝所有幫助過我的良師益友，沒有你們的幫助就沒有這篇論文，僅將這篇論文獻給你們，謝謝你們！.

(3) 摘要重複組合是一個困難且複雜的單元，如何幫助學生降低其認知負荷並達到學習成效是一個重要的議題。本研究目的在探討透過不同文本呈現方式對學生的學習表現與認知負荷的影響。實驗一主要是探討重複組合示例分段與否對學生在學習表現和認知負荷的影響。研究對象為 206 位公立高中高一學生，並隨機指派版本（分段版本、未分段版本）。主要研究結果為分段的呈現有助於提升低程度和未預習的學生其學習表現，且會提升一般學生的閱讀意願。實驗二主要是探討重複組合示例公式呈現順序對學生在學習表現和認知負荷的影響。研究對象為 193 位公立高中高一學生，並隨機指派版本（先呈現例子版本、先呈現公式版本）。主要研究結果為公式的呈現順序對學生的學習表現無顯著影響，但先呈現例子版本能有效降低學生的認知負荷。實驗三主要是探討重複組合示例表徵呈現順序對學生在學習表現和認知負荷的影響。研究對象為 202 位公立高中高一學生，並隨機指派版本（先呈現語意表徵版本、先呈現代數表徵版本）。主要研究結果為先呈現語意表徵有助於提升低程度和未預習的學生其學習表現，且有效提升一般學生的閱讀意願，但也增加了認知負荷。學生在閱讀不同版本情況下，學習表現和認知負荷的關連，主要研究結果如下：(1) 分段和先呈現語意表徵版本，學習表現和認知負荷幾乎沒有關連；(2) 未分段版本，學習表現越好的學生，認知負荷越低；(3) 先呈現例子版本，學生的閱讀意願、投入努力和學習表現關連甚小；(4) 先呈現公式版本，低程度和未預習的學生，學習表現越好認知負荷越低；(5) 先呈現代數表徵版本，未預習的學生的信心水準可反應其學習表現。. 關鍵字：排列組合、重複組合、示例、認知負荷、APOS、表徵理論.

(4) 目錄第壹章. 緒論........................................................................................................... 1. 第一節. 研究背景與動機.................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與研究問題 ............................................................................ 4. 第貳章. 文獻探討 ................................................................................................... 5. 第一節. 重複組合教材分析 ................................................................................ 5. 第二節. 排列組合相關文獻 ................................................................................ 9. 第三節. APOS 理論 .......................................................................................... 12. 第四節. 認知負荷理論 ..................................................................................... 15. 第五節. 表徵理論 ............................................................................................. 20. 第參章. 研究方法 ................................................................................................. 23. 第一節. 研究設計 ............................................................................................. 23. 第二節. 研究步驟 ............................................................................................. 24. 第三節. 研究對象 ............................................................................................. 26. 第四節. 研究工具 ............................................................................................. 27. 第五節. 資料收集與處理.................................................................................. 32. 第肆章. 研究結果與討論 ..................................................................................... 36. 第一節. 分段與否之學習結果分析 .................................................................. 37. 第二節. 公式呈現順序之學習成效分析 .......................................................... 69. 第三節. 表徵呈現順序之學習成效分析 .........................................................106. 第伍章. 結論與建議 ............................................................................................145. 第一節. 結論 ....................................................................................................145. 第二節. 建議 ....................................................................................................149. 參考文獻 ...............................................................................................................150 附錄 .......................................................................................................................153.

(5) 表目錄表 3-1. 重複組合實驗之實驗組與對照組版本比較 ............................................. 29. 表 3-2. 前後測問卷的編碼標準 ........................................................................... 32. 表 3-3. 不同程度各實驗的樣本分佈 .................................................................... 33. 表 3-4. 不同學習準備度各實驗的樣本分佈 ........................................................ 33. 表 3-5. 不同學習準備度和程度各實驗的樣本分佈 ............................................. 34. 表 4-1-1. 不同版本的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ..................................... 37. 表 4-1-2. 不同版本的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ................................. 37. 表 4-1-3. 不同版本的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................. 37. 表 4-1-4. 不同版本的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................. 37. 表 4-1-5. 不同版本的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ..................................... 37. 表 4-1-6. 不同版本的學生後測基礎題的共變異數分析...................................... 38. 表 4-1-7. 不同版本的學生後測近遷移題的共變異數分析 .................................. 38. 表 4-1-8. 不同版本的學生後測遠遷移題的共變異數分析 .................................. 38. 表 4-1-9. 不同版本的學生後測總分的共變異數分析 ......................................... 38. 表 4-1-10. 不同版本對不同程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ................ 39. 表 4-1-11. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ............ 39. 表 4-1-12. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........ 39. 表 4-1-13. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........ 40. 表 4-1-14. 不同版本對不同程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ................ 40. 表 4-1-15. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ................ 40. 表 4-1-16. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的共變異數分析............. 41. 表 4-1-17. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析............. 41. 表 4-1-18. 不同版本對不同程度的學生後測總分的共變異數分析 .................... 41. 表 4-1-19. 不同版本對不同學習準備度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定..... 43. 表 4-1-20. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 . 43. 表 4-1-21. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定. ................................................................................................................................ 43 表 4-1-22. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定. ................................................................................................................................ 43.

(6) 表 4-1-23. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定..... 43. 表 4-1-24. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的共變異數分析 ..... 44. 表 4-1-25. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的共變異數分析 . 44. 表 4-1-26. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 . 44. 表 4-1-27. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的共變異數分析 ......... 44. 表 4-1-28 不同版本對不同學習準備度和程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 46 表 4-1-29 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 46 表 4-1-30 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 46 表 4-1-31 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 47 表 4-1-32 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 47 表 4-1-33 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ............................................................................................................................ 48 表 4-1-34 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的共變異數分析 ........................................................................................................................ 48 表 4-1-35 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 ........................................................................................................................ 48 表 4-1-36. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的共變異數分析. ................................................................................................................................ 49 表 4-1-37 不同版本學生前後測相同題目成對樣本 T 檢定 ................................. 51 表 4-1-38. 學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 ............................ 52. 表 4-1-39. 不同程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差............. 52. 表 4-1-40. 不同版本對不同程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 ............ 53. 表 4-1-41. 不同版本對不同程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ................ 54. 表 4-1-42. 不同版本對不同程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 ............ 54. 表 4-1-43. 不同版本對不同程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 ............ 55. 表 4-1-44. 不同版本對不同程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 ............ 55. 表 4-1-45. 不同學習準備度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 . 56.

(7) 表 4-1-46. 不同版本對不同學習準備度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 . 56. 表 4-1-47. 不同版本對不同學習準備度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定..... 57. 表 4-1-48. 不同版本對不同學習準備度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 . 58. 表 4-1-49. 不同版本對不同學習準備度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 . 58. 表 4-1-50. 不同版本對不同學習準備度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 . 59. 表 4-1-51 不同學習準備度和程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 ........................................................................................................................ 59 表 4-1-52 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 60 表 4-1-53 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 61 表 4-1-54 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 61 表 4-1-55 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 62 表 4-1-56 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 62 表 4-1-57. 不同版本下的學生認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......... 63. 表 4-1-58 不同程度學生在分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ............................................................................................................................ 64 表 4-1-59 不同程度學生在未分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ........................................................................................................................ 65 表 4-1-60 不同學習準備度學生在分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ................................................................................................................ 66 表 4-1-61 不同學習準備度學生在未分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ................................................................................................... 66 表 4-1-62 不同學習準備度和程度學生在分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ................................................................................................... 67 表 4-1-63 不同學習準備度和程度學生在未分段版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .............................................................................................. 68 表 4-2-1. 不同版本的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ..................................... 69. 表 4-2-2. 不同版本的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ................................. 69. 表 4-2-3. 不同版本的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................. 69.

(8) 表 4-2-4. 不同版本的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................. 69. 表 4-2-5. 不同版本的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ..................................... 69. 表 4-2-6. 不同版本的學生後測基礎題的共變異數分析...................................... 70. 表 4-2-7. 不同版本的學生後測近遷移題的共變異數分析 .................................. 70. 表 4-2-8. 不同版本的學生後測遠遷移題的共變異數分析 .................................. 70. 表 4-2-9. 不同版本的學生後測總分的共變異數分析 ......................................... 70. 表 4-2-10. 不同版本對不同程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ................ 71. 表 4-2-11. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ............ 71. 表 4-2-12. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........ 71. 表 4-2-13. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........ 72. 表 4-2-14. 不同版本對不同程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ................ 72. 表 4-2-15. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ................ 72. 表 4-2-16. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的共變異數分析............. 73. 表 4-2-17. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析............. 73. 表 4-2-18. 不同版本對不同程度的學生後測總分的共變異數分析 .................... 73. 表 4-2-19. 不同版本對不同學習準備度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定..... 74. 表 4-2-20. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 . 74. 表 4-2-21. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定. ................................................................................................................................ 74 表 4-2-22. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定. ................................................................................................................................ 74 表 4-2-23. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定..... 75. 表 4-2-24. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的共變異數分析 ..... 75. 表 4-2-25. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的共變異數分析 . 75. 表 4-2-26. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 . 75. 表 4-2-27. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的共變異數分析 ......... 76. 表 4-2-28 不同版本對不同學習準備度和程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 76 表 4-2-29 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 77.

(9) 表 4-2-30 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 77 表 4-2-31 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 77 表 4-2-32 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 78 表 4-2-33 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ............................................................................................................................ 78 表 4-2-34 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的共變異數分析 ........................................................................................................................ 79 表 4-2-35 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 ........................................................................................................................ 79 表 4-2-36. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的共變異數分析. ................................................................................................................................ 79 表 4-2-37. 不同版本學生前後測相同題目成對樣本 T 檢定 ............................... 80. 表 4-2-38. 學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 ............................ 81. 表 4-2-39. 不同程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差............. 81. 表 4-2-40. 不同版本對不同程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 ............ 82. 表 4-2-41. 不同版本對不同程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ................ 83. 表 4-2-42. 不同版本對不同程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 ............ 84. 表 4-2-43. 不同版本對不同程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 ............ 85. 表 4-2-44. 不同版本對不同程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 ............ 86. 表 4-2-45. 不同學習準備度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 . 87. 表 4-2-46. 不同版本對不同學習準備度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 . 88. 表 4-2-47. 不同版本對不同學習準備度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定..... 89. 表 4-2-48. 不同版本對不同學習準備度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 . 90. 表 4-2-49. 不同版本對不同學習準備度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 . 91. 表 4-2-50. 不同版本對不同學習準備度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 . 92. 表 4-2-51 不同學習準備度和程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 ........................................................................................................................ 93 表 4-2-52 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 94.

(10) 表 4-2-53 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ............................................................................................................................ 95 表 4-2-54 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 96 表 4-2-55 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 97 表 4-2-56 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 ........................................................................................................................ 97 表 4-2-57. 不同版本下的學生認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......... 99. 表 4-2-58 不同程度學生在先例子版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......................................................................................................................100 表 4-2-59 不同程度學生在先公式版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......................................................................................................................101 表 4-2-60 不同學習準備度學生在先例子版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ..................................................................................................102 表 4-2-61 不同學習準備度學生在先公式版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ..................................................................................................102 表 4-2-62 不同學習準備度和程度學生在先例子版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .............................................................................................103 表 4-2-63 不同學習準備度和程度學生在先公式版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .............................................................................................104 表 4-3-1. 不同版本的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ....................................106. 表 4-3-2. 不同版本的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ................................106. 表 4-3-3. 不同版本的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................106. 表 4-3-4. 不同版本的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 ............................106. 表 4-3-5. 不同版本的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ....................................106. 表 4-3-6. 不同版本的學生後測基礎題的共變異數分析.....................................107. 表 4-3-7. 不同版本的學生後測近遷移題的共變異數分析 .................................107. 表 4-3-8. 不同版本的學生後測遠遷移題的共變異數分析 .................................107. 表 4-3-9. 不同版本的學生後測總分的共變異數分析 ........................................107. 表 4-3-10. 不同版本對不同程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ...............108. 表 4-3-11. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 ...........108.

(11) 表 4-3-12. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 .......108. 表 4-3-13. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 .......109. 表 4-3-14. 不同版本對不同程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ...............109. 表 4-3-15. 不同版本對不同程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ...............109. 表 4-3-16. 不同版本對不同程度的學生後測近遷移題的共變異數分析............110. 表 4-3-17. 不同版本對不同程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析............110. 表 4-3-18. 不同版本對不同程度的學生後測總分的共變異數分析 ...................110. 表 4-3-19. 不同版本對不同學習準備度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定....112. 表 4-3-20. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 112. 表 4-3-21. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定. ...............................................................................................................................112 表 4-3-22. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定. ...............................................................................................................................112 表 4-3-23. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定....112. 表 4-3-24. 不同版本對不同學習準備度的學生後測基礎題的共變異數分析 ....113. 表 4-3-25. 不同版本對不同學習準備度的學生後測近遷移題的共變異數分析 113. 表 4-3-26. 不同版本對不同學習準備度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 113. 表 4-3-27. 不同版本對不同學習準備度的學生後測總分的共變異數分析 ........113. 表 4-3-28 不同版本對不同學習準備度和程度的學生前測總分的獨立樣本 T 檢定 ...........................................................................................................................115 表 4-3-29 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................115 表 4-3-30 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................116 表 4-3-31 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................116 表 4-3-32 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的獨立樣本 T 檢定 ...........................................................................................................................116 表 4-3-33 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測基礎題的共變異數分析 ...........................................................................................................................117 表 4-3-34 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測近遷移題的共變異數分析 .......................................................................................................................117.

(12) 表 4-3-35 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測遠遷移題的共變異數分析 .......................................................................................................................118 表 4-3-36. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生後測總分的共變異數分析. ...............................................................................................................................118 表 4-3-37 不同版本學生前後測相同題目成對樣本 T 檢定 ................................121 表 4-3-38. 學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 ...........................122. 表 4-3-39. 不同程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差............122. 表 4-3-40. 不同版本對不同程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 ...........123. 表 4-3-41. 不同版本對不同程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ...............124. 表 4-3-42. 不同版本對不同程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 ...........125. 表 4-3-43. 不同版本對不同程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 ...........126. 表 4-3-44. 不同版本對不同程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 ...........126. 表 4-3-45. 不同學習準備度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 128. 表 4-3-46. 不同版本對不同學習準備度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 129. 表 4-3-47 不同版本對不同學習準備度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 .....130 表 4-3-48. 不同版本對不同學習準備度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 130. 表 4-3-49. 不同版本對不同學習準備度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 131. 表 4-3-50. 不同版本對不同學習準備度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 132. 表 4-3-51 不同學習準備度和程度學生在不同版本下的認知負荷之平均數與標準差 .......................................................................................................................133 表 4-3-52 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在閱讀意願的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................134 表 4-3-53 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在困難度的獨立樣本 T 檢定 ...........................................................................................................................135 表 4-3-54 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在花費心力的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................136 表 4-3-55 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在信心指數的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................137 表 4-3-56 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在投入努力的獨立樣本 T 檢定 .......................................................................................................................137 表 4-3-57. 不同版本下的學生認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .........139.

(13) 表 4-3-58 不同程度學生在先語意版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......................................................................................................................140 表 4-3-59 不同程度學生在先代數版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .......................................................................................................................141 表 4-3-60 不同學習準備度學生在先語意版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ..................................................................................................142 表 4-3-61 不同學習準備度學生在先代數版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 ..................................................................................................142 表 4-3-62 不同學習準備度和程度學生在先語意版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .............................................................................................143 表 4-3-63 不同學習準備度和程度學生在先代數版本下的認知負荷與學習表現之 Pearson 積差相關 .............................................................................................144.

(14) 圖目錄圖 2-1. 語意表徵分物類型題目物件的建構過程................................................. 14. 圖 2-2. 重複組合基模建構過程 ........................................................................... 14. 圖 2-3. 建構模式循環模式 ................................................................................... 20. 圖 2-4. 建構模式之認知表徵系統........................................................................ 21. 圖 3-1. 重複組合不同文本呈現實驗設計 ............................................................ 23. 圖 3-2. 研究流程圖 ............................................................................................... 25. 圖 4-1-1. 不同版本對低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率............... 42. 圖 4-1-2. 不同版本對高程度學生在各學習表現調整後的平均答對率............... 42. 圖 4-1-3. 不同版本對未預習學生在各學習表現調整後的平均答對率............... 45. 圖 4-1-4. 不同版本對已預習學生在各學習表現調整後的平均答對率............... 45. 圖 4-1-5. 不同版本對未預習低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ... 49. 圖 4-1-6. 不同版本對已預習低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ... 50. 圖 4-1-7. 不同版本對已預習高程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ... 50. 圖 4-1-8. 不同版本對不同程度學生在閱讀意願的平均分數 .............................. 53. 圖 4-1-9. 不同版本對不同學習準備度學生在閱讀意願的平均分數 .................. 57. 圖 4-1-10. 不同版本對不同學習準備度和程度學生在閱讀意願的平均分數 ..... 60. 圖 4-2-1. 不同版本對不同程度學生在閱讀意願的平均分數 .............................. 82. 圖 4-2-2. 不同版本對不同程度學生在困難度的平均分數 .................................. 83. 圖 4-2-3. 不同版本對不同程度學生在花費心力的平均分數 .............................. 84. 圖 4-2-4. 不同版本對不同程度學生在信心指數的平均分數 .............................. 85. 圖 4-2-5. 不同版本對不同學習準備度學生在閱讀意願的平均分數 .................. 88. 圖 4-2-6. 不同版本對不同學習準備度學生在困難度的平均分數 ...................... 89. 圖 4-2-7. 不同版本對不同學習準備度學生在花費心力的平均分數 .................. 90. 圖 4-2-8. 不同版本對不同學習準備度學生在信心指數的平均分數 .................. 91. 圖 4-2-9. 不同版本對不同學習準備度和程度學生在閱讀意願的平均分數 ....... 94. 圖 4-2-10. 不同版本對不同學習準備度和程度學生在困難度的平均分數 ......... 95. 圖 4-2-11. 不同版本對不同學習準備度和程度學生在花費心力的平均分數 ..... 96. 圖 4-3-1. 不同版本對低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率..............111.

(15) 圖 4-3-2. 不同版本對高程度學生在各學習表現調整後的平均答對率..............111. 圖 4-3-3. 不同版本對未預習學生在各學習表現調整後的平均答對率..............114. 圖 4-3-4. 不同版本對已預習學生在各學習表現調整後的平均答對率..............114. 圖 4-3-5. 不同版本對未預習低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ..119. 圖 4-3-6. 不同版本對未預習高程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ..119. 圖 4-3-7. 不同版本對已預習低程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ..120. 圖 4-3-8. 不同版本對已預習高程度學生在各學習表現調整後的平均答對率 ..120. 圖 4-3-9. 不同版本對不同程度學生在閱讀意願的平均分數 .............................123. 圖 4-3-10. 不同版本對不同程度學生在困難度的平均分數 ...............................124. 圖 4-3-11. 不同版本對不同程度學生在花費心力的平均分數 ...........................125. 圖 4-3-12. 不同版本對不同程度學生在投入努力的平均分數 ...........................127. 圖 4-3-13. 不同版本對不同學習準備度的學生在閱讀意願的平均分數............129. 圖 4-3-14. 不同版本對已預習學生在困難度的平均分數 ...................................130. 圖 4-3-15. 不同版本對已預習學生在花費心力的平均分數 ...............................131. 圖 4-3-16. 不同版本對已預習學生在投入努力的平均分數 ...............................132. 圖 4-3-17. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在閱讀意願的平均分數 134. 圖 4-3-18. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在困難度的平均分數 ....135. 圖 4-3-19. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在花費心力的平均分數 136. 圖 4-3-20. 不同版本對不同學習準備度和程度的學生在投入努力的平均分數 138.

(16) 第壹章緒論第一節研究背景與動機重複組合是高中數學排列組合課程中，認知結構最複雜的一個單元。重複組合至少包含了三種基本問題：從 n 個元素的集合中取出 k 個元素可重複之方法數（語意表徵取物類型題目）、把 k 個相同物品分給 n 個人之方法數（語意表徵分物類型題目）、方程式 x1  x2  ...  xn  k 之非負整數解總數（代數表徵題目）（高中數學 99 課綱），看似完全不同型態的三個問題，其內部結構是相同的，有著相同的答案。然而，學生在學習完重複排列之後，三種基本問題之間的連結仍然不完全緊密。楊宜蓁（民 99）指出，尤其是選物類型和分物類型的題目，甚至有將近一半的學生認為兩者並非等價的。對於高中生而言，排列組合定位是處理日常生活常見的計數問題，並作為學習古典機率的準備。排列組合就是在教導我們如何有系統、有策略性的數數，訓練我們分析與統整的能力。事實上，排列組合屬於組合學的一個小部分，除了數學之外，在物理學、化學與生物學中的許多問題都可抽象化為組合數學模型並進行分析，組合學的應用非常廣，而機率論不論在任何學科均被廣泛運用，同時也突顯出排列組合的重要性。在高中數學裡，排列組合一直是一個很特殊的單元，儘管最基本的公式並不複雜，也不需要太多的先備知識，但仍然是大多數學生懼怕的課程，學生心中有著高度的不確定感，部分學生在其他數學單元表現優異，但是到了排列組合卻學的很辛苦。李政豐（民 80）指出排列組合單元的學習更著重分析、理解與思考能力，課本也比較偏向教學目標縱向的研究，而忽略了橫向的比較，學生在處理問題時多流於方法的記憶、公式口訣的背誦，無法正確地將問題分類與統整，因此造成學生不易發現的錯誤。排列組合的題目不像其他單元有較制式的解法，同時它缺乏了一個穩固和可靠的驗證策略（Mashiach Eizenberg & Zaslavsky, 2003）。解排列組合問題不需要繁複的計算，而是需要靈活的概念運用，題目敘述稍有不 1.

(17) 同，學生可能就會產生錯誤的判斷使用錯誤的策略。「老師，我這麼做錯在哪裡？」、「老師，這題可以這樣思考嗎？」排列組合亦是老師們較為棘手的單元之一，除了要教導學生正確的基本觀念和解題流程，也需要提醒學生容易發生錯誤的地方，還需要糾正學生千奇百怪的錯誤想法，告訴學生這麼做為什麼會錯，錯在哪裡。老師要徹底改變學生的想法，排列組合不能只能單純記憶公式和規則，老師應該引導學生多加思考。雖然 99 年高中數學課程綱要指出，排列組合應避免情境不合理、過深、或同時涉及太多觀念的題型，但是坊間的參考書，甚至各校段考題目仍然充斥著這些較為艱深或情境不合理的題目。無疑的，對於大部分高中學生而言，相較於其他排列組合問題，重複組合問題是個更為複雜的作業。現行的高中數學 99 課綱中，重複組合單元的教學順序安排在排列組合課程之末，僅在二項式定理前面，不僅是因為重複組合單元最困難，也因為它需要仰賴前面學習過的一般組合、有相同排列等等概念作為基礎。就認知負荷理論（Cognitive Load Theory）的觀點，當學習一個教材需要同時處理多個元素（element），表示對於學生而言它有著較高內在認知負荷。值得注意的是，當認知負荷的量超過工作記憶（working memory）時，學生是無法產生學習成效的。因此，如何幫助學生降低其認知負荷並達到學習成效是一個重要的議題。研究者試圖分析學生學習重複組合問題的過程，依據 APOS 理論，對重複組合問題進行起源分解（Genetic Decomposition）。首先學生需瞭解高中數學 99 課綱中的三種基本題型的解都相同，我們稱之為重複組合數，且三種題型是可以互相轉換的，有著相同的結構，接著需要透過一一對應原理，將重複組合問題轉換為有相同物的排列，方可得到答案。既特別又有趣的是，在學習前學生只能透過列舉或討論來找尋規則，學習後的解法變得非常多樣性，同樣的題目，每個學生可以先透過三種基本題型的互相轉換成自己熟悉的題型，再套入重複組合公式、或轉換為有相同物的排列求出最後答案。 2.

(18) Sweller 和 Cooper(1985)發現在代數的學習上，使用示例的學生表現優於使用傳統問題解決的學生，我們假設在學習難度較高的重複組合上也是如此，研究者依照認知負荷理論設計示例，演示重複組合問題的解題流程，以逐步的方式呈現給學生解決重複組合問題所需要的程序，希望有助於學習者對於解題流程建立相關的基模，可以有效提升學生的學習表現，並且降低其認知負荷。重複組合是個如此複雜的數學問題，有高元素互動性，對學生產生較高的認知負荷，學生不僅會遇到課綱的三種基本題型，還有坊間參考書、各校歷屆段考的諸多變化題，不同的學生會有各自不同想法，我想，幫助學生學習重複組合或許是個重要且有趣的議題，希望研究結果可以對學生有所幫助，能提供教科書重複組合單元設計、以及教師教學重複組合課程安排的參考。. 3.

(19) 第二節研究目的與研究問題研究者希望透過認知負荷理論以及實驗的驗證，提供教科書重複組合單元設計、以及教師教學重複組合課程安排的參考。因此，本研究的研究目的為：探討重複組合不同文本呈現方式，對學生在認知負荷以及學習表現之影響。. 實驗假設：學生使用問題解決（problem solving）的方式解決重複組合的作業較為困難，希望透過示例（worked example）的方式解決學生學習重複組合問題。. 學生要讀懂重複組合示例的問題，大致可分為幾個面向：複雜度、公式的呈現順序、表徵的多元性、學生的認知結構。複雜度可能來自高元素互動性，學生內在認知負荷較高，我們嘗試以分段來降低其認知負荷。具體數字或抽象的代數符號也可能是造成學生問題的所在。三種基本題型有著不同表徵，牽涉到教學時呈現順序。衍生下列三個研究問題： 1. 示例的分段與否，對於學生有什麼影響？ 2. 示例中，具體例子與一般化公式的呈現順序，對於學生有什麼影響？ 3. 示例中，不同表徵的呈現順序，對於學生有什麼影響？基於三個研究問題分別設計三個實驗，分別檢驗不同程度、不同學習準備度的學生，其學習表現和認知負荷的影響，以及學習表現和認知負荷的關連。. 4.

(20) 第貳章文獻探討研究者根據研究目的，首先對重複組合進行教材分析，接著整理排列組合相關文獻，最後以 APOS 理論、認知負荷理論以及表徵理論做為教材設計的依據。本章共分為五節來討論。. 第一節重複組合教材分析重複組合是一種排列組合的計數法則，依照字面上來看，可分為「重複」與「組合」兩個部分，重複表示集合中元素可重複選取，組合表示選取的元素不討論順序，重複組合的定義：從 n 個元素的集合中每次取出 k 個元素，允許重複取出同樣的元素，不同取法的總數。依照現行的高中數學 99 課程綱要，重複組合單元屬於高中一年級下學期的課程，其中包含三個基本問題：從 n 個元素的集合中取出 k 個元素可重複之方法數（語意表徵取物類型題目）、把 k 個相同物品分給 n 個人之方法數（語意表徵分物類型題目）、方程式 x1  x2  ...  xn  k 之非負整數解總數（代數表徵題目）， n  k 1. 其中這三個基本問題的解都相同為重複組合數 Ck. ，三個問題彼此是可以互相. 轉換的。在較早的高中數學 95 暫綱，重複組合屬於高中二年級下學期的課程，一般而言與 99 課綱差異不大，最大的差別是 95 暫綱的教科書有使用符號 H kn ，99 課綱的教科書則將此符號刪除。研究者推測原因是 H kn 的使用會讓學生多流於公式的背誦，而非瞭解背後的運算規則。高中數學 99 課綱，將原 95 課綱第四冊之「排列組合」與「古典機率」以及第五冊之「條件機率」、「貝氏定理」、「相關係數」、「最小平方法」調整到第二冊，理由為：（1）儘早提供學生在各學科進行量化分析所需要的數學基礎；（2）與生活關聯性較高，應較早學習；（3）調整後不會發生邏輯順序錯置的教學問題。此外 99 課綱還弱化了排列組合問題，認為情境不合理或太難的題型會降低學習效 5.

(21) 率。重複組合數 H kn 是一種記數的方法，形成了一個演算的法則，其計算方法為. H kn  Ckn  k 1 . (n  k  1)! 。一般而言，包含教科書和坊間的參考數，計算重複組 (n  1)!k !. 合數 H kn ，是透過一一對應原理，將其轉換為「k 個相同的球和 n-1 個相同的隔板的排列數」，再利用有相同物的排列公式得到答案。顏國勇的機率論修訂三版提供了另一種方法，除了原有的 1 至 n 號球，另外加入 k-1 顆球分別標以 n+1,n+2,…,n+k-1。從這 n+k-1 顆球中取 n 顆球，方法數 n  k 1. 恰好為 Ck. 。若所得之球為 1 至 n 號，仍以原號稱之；若抽得 n + 1 號，則以. 該樣本中最小數再稱之；若抽得 n+2 號,則以該樣本中次小數再稱之（若 n+1 號己被抽取，先化為最小數）。依此類推，若抽得 n+k−1 號，則該樣本中其他各數中最大者再稱之。例如：投擲四個相同的公正骰子，可能出現的點數情況有 H 46  C49 種。除了原先 1 至 6 點外，另外加入 7、8、9 點，從 1 至 9 點中取出 4. 個點數，若抽到（1,2,7,8）則代表（1,1,1,2）；若抽到（1,7,8,9）則代表（1,1,1,1）；若抽到（1,2,8,9）則代表（1,2,2,2）；若抽到（1,2,3,8）則代表（1,2,2,3）。重複組合問題種類非常多，除了課綱中的三種基本題型外還有許多種題型，但是代數結構都是相同的，皆可以轉換成方程式 x1  x2  ...  xn  k 的非負整數解（或正整數、奇數、偶數解）總數，只要滿足這個結構，就可以視為重複組合問題。舉例來說，104 年學測數學選填題 C「小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種 8 盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有. 種」，其結構就是. 「 x1  x2  x3  x4  8 的正整數解總數」（可再轉換成 x1  x2  x3  x4  x5  8 ，其中 x1, x2 , x3 , x4 為正整數， x5 為非負整數）；102 年學測數學選擇題 5「將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都 6.

(22) 裝奇數顆。請選出分裝的方法數。」，其結構就是「 x1  x2  x3  24 的解總數，其中 x1 為正偶數、 x2 和 x3 為正偶數」。解決重複組合問題需要透過一一對應原理，將其轉換為有相同物的排列問題，而有相同物的排列又需要直線排列的基礎。而計算重複組合數 H kn ，則要轉換成. Cknk 1 ，綜合以上所述，學習重複組合之前我們必須學習直線排列、有相同物排列以及一般組合，將此三項視為重複組的的先備知識。正因為重複組合的三種基本問題牽涉到教學順序，研究者針對三民、龍騰、及南一共三個版本的教科書重複組合的部分做整理，試圖比較其差異： 1. 三民版：以簡單情境「5 件相同的文具分給 3 個人，分法有幾種」引入，簡化題目為「3 枝相同的鉛筆分給 3 個人，分法有幾種」，利用分類討論求解為 10 種，告知其分法同等於「3 枝鉛筆和 2 個分隔線的排列情形」、「5 個位置選 3 個位置放鉛筆」、「5 個位置選 2 個放分隔線」。接著導出一般情形：將 k n  k 1. 個相同物分給 n 個人的分法為 Ck. 。最後呈現公式，三種基本題目的解都. n  k 1. 是 Ck. 。. 2. 龍騰版：一開始即提出三個重複組合基本問題，說明兩種語意表徵的題目都可以完全轉換成代數表徵題目，亦即這三個問題答案是完全一樣的。接著以語意表徵分球類型題目為例，利用一一對應原理，將「7 個相同球分三人的分法」對應到「7 個○和 2 個 | 的排列數」，再來給予一般化的定義：「從 n 類事物中選取 k 個為一組（每類均至少有 k 個且可以重複選取）」的組合方式 n  k 1. 稱為 n 中取 k 的重複組合數 Ck Ckn k 1. 。最後呈現公式，三種基本題目的解都是. 。. 3. 南一版：以簡單情境「有藍、綠、紅三種色球，每一種色球至少有 4 個，從這三種色球中任取 4 個做組合，若同色球可以重複選取，總共有多少種可能 7.

(23) 的取法？」引入，將其轉換為「 x  y  z  4 非負整數解」，先利用窮舉法將答案一一列出，並將「 x  y  z  4 的非負整數解總數」對應到「4 個○和 2 個 | 的排列數」。接著將其一般化，「 x1  x2  ...  xn  k 的非負整數解」對應到「k 個相同的○和 n-1 個相同的 | 的排列數」。最後給予一般化結論：「n n  k 1. 種不同的物件選取 k 個，可重複選取，其組合總數為 Ck. 」、「n 元一次方程. n  k 1. 式 x1  x2  ...  xn  k 的非負整數解有 Ck. 組」。. 綜合以上所述，可發現不同版本的編排順序不盡相同，三民版和南一版是分別以語意表徵分物類型題目和選物類型題目的單一例子作為起始例，先利用窮舉和討論求得解，再用一一對應原理轉換成有相同物的排列問題；龍騰版則是一口氣呈現三種基本問題，並未使用窮舉，而是直接轉換成有相同物的排列問題。最後結論的部分，三民版和龍騰版皆呈現三種基本題型的一般化公式，唯有南一版僅呈現語意表徵選物類型題目和代數表徵類型題目的一般化公式。而三個版本都是先以實際例子引入，再逐漸推導出一般化的公式。. 8.

(24) 第二節排列組合相關文獻一、學生學習的困難點：根據高中數學 99 課程綱要，排列組合的定位為處理生活中常見的計數問題，最基本的公式通常並不複雜，學生學習的困難常在於無法把文字敘述的題目，適當地「翻譯」與「對應」到該用的公式，Batanero 等人（1997）的研究結果也指出教學後學生產生的最大問題為無法對問題陳述做適當的轉換，和課綱所述雷同。大考中心的試題報告也指出，排列組合是個困難的課題，在指定考科中，不論怎麼出題，排列組合的答對率或得分率經常不到 25%（李國偉、單維彰，2009）。李政豐（民 80）指出排列組合較注重分析、理解與思考，學生處理排列組合問題時多流於方與的記憶，無法有效的將問題分類統整。國內有許多關於重複組合類型分析的研究，劉宏輝（民 84）、蔡佳茹（民 94）、許世育（民 96）、莊淑貞（民 96）、吳宜憲（民 98）等人指出學生在排列組合單元常見的錯誤的類型和原因，錯誤類型包括： 1. 計數方法錯誤或計算錯誤。 2. 誤套用類似題型。 3. 忽略題目部分條件或解讀提議錯誤。 4. 符號使用與認識不清。 5. 分類錯誤、重複分類。而錯誤原因包括： 1. 對於基本計數方法的概念不夠清楚，使用時機混淆不清。 2. 排列與組合的差異不明瞭。 3. 對重複意思不明瞭。 4. 受到題目數字或文字影響影響。 5. 考慮不夠縝密、讀題不夠用心。 6. 符號不會使用。 9.

(25) 7. 與生活經驗不同。 8. 計算錯誤。其中莊淑貞（民 96）更指出學生最大的錯誤在於一開始的策略錯誤，並有部分學生基本觀念不足，或胡亂猜測找關鍵字決定解題策略。. 二、排列組合教學建議與發現：李國偉、單維彰（2009）和楊宜蓁（民 99）皆指出許多排列組合題目過於注重情境，很多情境題目無法與生活連結，太多虛偽的情境只是徒增認知的負擔。高中數學 99 課程綱要建議，教師教學時應強調分辨「計數對象是什麼」的重要性，亦即要分清楚「什麼跟什麼是不同的物件」。教師也需要引導學生，並讓學生多做閱讀練習，如何將日常生活情境出現的問題抽象化成為數學的題材，幫助其建立數學模型。李政豐（民 80）、莊淑貞（民 96）皆指出，課本比較偏向教學目標縱向的研究，而忽略了橫向的比較（例如排列和組合的差異）。楊宜蓁（民 99）指出，學生在學習重複組合問題時，其思維的引動、轉換或養成都受到先前學過的重複排列的影響。王筱惠（民 100）也發現，對排列組合的單一概念而言，相同情境的對照性起始例有效幫助高二學生連結比較「排列」與「組合」的概念，建議教師以情境相同但結構不同的對照性起始例（例如重複排列和重複組合），啟發學生對排列組合題目的分類，進而採用適當的方法解決問題。對於初次學習排列組合的中程度學校的學生，需要藉由列舉的模式觀察物件的關係與連結，才能進行成功的排列組合解題（林世偉，民 101）。而當學生初次面對重複組合概念時，楊宜蓁（民 99）建議教師透過單純化的教學方式，只聚焦在特定題型上，不論是語意表徵分物類型還是選物類型皆可，並透過拋問、討論以及反覆操作，有助於學生建立新思維，切勿一股腦將所有重複組合問題秀出來。林世偉（民 100）發現，初次面對重複組合問題時，分物類型題目的答對 10.

(26) 率較選物類型題目高，且較能引發學生使用列舉。而以答對率來看，不管何種程度的學生都是代數題型最高、分物類型次之、選物類型最末，研究者認為代數類型是最制式的題型，學生也能輕鬆列舉所有解；而選物類型是從定義延伸出來的題型，最容易和其他排列組合問題產生混淆，若忽略了「可重複選取」條件，容易和一般組合產生混淆，若忽略了「不考慮順序」條件，則容易和重複排列混淆。楊宜蓁（民 99）與林世偉（民 101）的研究結果都發現，學生在三種重複組合基本題型間的連結不完全緊密。楊宜蓁更指出在語意表徵分物類型和選物類型題目僅有五成多生認為兩者有相同的結構，教師宜用代數表徵題型將兩種語意表徵題型做串連。. 11.

(27) 三、. APOS 理論. 研究者欲瞭解學生學習重複組合時，學生抽象概念的發展過程，藉此分析學生學習重複組合時，可能發生問題的所在，並依此設計實驗，因此研究者依據 APOS 理論，對重複組合問題進行起源分解（Genetic Decomposition）。. 一、APOS 理論簡介 APOS 是 Dubinsky（1991）提出的一種建構主義數學概念的學習理論，是以 Piaget 的「反思抽象」（reflective abstraction）擴展所成的理論，用以探討學生的抽象概念發展，或以此設計課程指導學生建構數學知識。Dubinsky 認為一個人是無法直接學習到數學概念的，人必須透過心智結構（mental structure）來使所學習的數學概念產生意義，而教學的目的就是如何幫助學生去建立適當的心智結構。. 研究者研讀了 Ilana Arnon 等人（2014）編著的 APOS Theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education，進行整理。根據 APOS 理論的觀點，數學概念的形成，一般要經過四個階段：行動（Action）、過程（Process）、物件（Object）、基模（Scheme）。行動是重複認知的過程，是可重複性的，而這樣重複認知的過程會被膠囊化，成為一個心智的物件，最終成為個體心智基模的一部份。 1. 行動（Action）：個體在最初接收外在訊息時的轉換，透過外在的提示一步一步的引導而完成。行動是學習者理解概念的一個必要條件，通過操作讓學生親身體驗解決問題。. 2. 過程（Process）：透過行動的重複操作，學習者可以對行動進行反思，此時行動已經被內化成為一個「過程」。和行動不同的是，過程是內在化的，並不需要透過外部提示，而且是基於特定目的完成的。 12.

(28) 3. 物件（Object）：個體反省特定過程的一些行動時，能夠把過程視為一個物件，了解到這個過程形成的整體能夠再度進行其他變換，則我們稱為這個過程已經壓縮（encapsulated）為一個認知的物件。. 4. 基模（Schema）：當過程與物件能夠內化為各種形式，並且與其他概念、圖形作連結，形成一個心智結構圖，我們稱為基模。當個體確實的掌握了數學問題，能將解決問題的行動、過程以及物件組合成基模，並用此基模解決問題。而基模能再組織成更高層次的基模。. 二、重複組合起源分解研究者依據 APOS 理論，針對重複組合進行的起源分解（Genetic Decomposition）： 1. 行動階段：學生透過一步步的指令，將符合題目的情況有條理的一一列舉出求得答案，並將所有情況一一轉換為球與隔板的圖示。題目中的數字為特定且較小的數字。 2. 過程階段：當行動不斷重複，學生已不需要透過外在指令，而且能開始思考一一對應原理轉換的過程，成功將一般形式的題目轉換有相同物的排列求得答案。 3. 物件階段：學生已不再需要思考過程的細節，可將題目視為一個物件，猶如套入公式般的獲得答案，但並非單純記憶公式。 4. 基模階段：學生將物件視為整體後，並建立起物件和物件之間的關係，組織成為一個完整的概念。學生能在不同表徵的基本題型之間任意互相轉換，並瞭解其結構皆相同，此時重複組合概念是一心智結構圖，存在腦海中，包含著具體的重複組合實例、抽象的過程、完整的定義、以及和其他排列組合概念的區別與聯繫。綜合以上所述，根據研究者設計的重複組合起源分解，以語意表徵分物類型題目為例，以圖 2-1 呈現重複組合物件的建構過程，以圖 2-2 呈現重複組合基模 13.

(29) 的建構過程，並且分析學生學習重複組合的困難點，可能來自於複雜度、表徵的多元現、以及學生的認知結構。. 圖 2-1. 語意表徵分物類型題目物件的建構過程. 圖 2-2. 重複組合基模建構過程. 14.

(30) 四、認知負荷理論排列組合對高中生而言，有別於以往學習的其他數學單元，較有較制式的解法，同時也缺乏了一個穩固和可靠的驗證策略（Mashiach Eizenberg & Zaslavsky, 2003）。此外，排列組合題目還有一項特色，過於注重情境，太多人工的虛偽的情境只是徒增認知的負擔（李國偉、單維彰，2009）。其中重複組合又是高中數學排列組合課程中，認知結構最複雜的一個單元，有著較高的元素互動性，和不同表徵的題型，會使學生產生認知上的負荷，一旦負荷超出學生可承擔的，便無法產生學習成效。因此本研究採用認知負荷理論做為教材設計的理論依據，希望藉由降低學生的認知負荷並幫助其成功形成基模達到學習成效。 John Sweller 於 1980 年代提出「認知負荷理論」（Cognitive Load Theory），是從心理、生理與認知層面評估任務對執行者的影響與合適與否。認知負荷理論的主要目的，設計良好的教學程序去減少外在認知負荷，從而降低工作記憶體資源，使其不再處理於學習無關的信息，能讓學習者將認知資源投入學習以建立基模以及基模自動化，最終與長期記憶的知識結合。. 研究者研讀了 John Sweller 等人（2011）編著的 Cognitive Load Theory，進行整理。認知負荷指的是將一特定工作加諸於學習者時，其認知系統時所產生的負荷，也就是工作記憶（working memory）的負荷。學者論述認知負荷大體而言有兩層含意，其一為討論學習內容所造成的學習負擔，另一則是與工作記憶體所能負荷的記憶寬度有關。. 一、認知負荷理論的基本假設 1. 工作記憶（working memory）的容量有限。工作記憶只能儲存平均約 7±2 個元素（element），且工作記憶運作或保留的時間極短，若未經複誦大約 20 秒隨即消 15.

(31) 失。若待處理的訊息或材料本身的內部元素互動性高，要相互參照才能瞭解時，則很耗費工作記憶容量，產生更大的認知負荷。 2. 長期記憶（long-term memory）的容量無限。長期記憶的多寡是專家和生手差別的主要來源。專家的長期記憶儲存了豐富的知識且能熟練的使用，面對問題情境時，專家可從長期記憶中迅速的提出出對應策略，這是生手無法辦到的。 3. 知識與技能是以基模（schema）形式儲存於長期記憶。基模建構（schema construction）的過程是由簡而繁，基模在長期記憶中具有組織與儲存知識的功能，個體將許多訊息融合成一個複雜的基模，使之成為一個元素，以降低工作記憶的負荷。 4. 基模運作的自動化（schema automation）是建構基模的重要過程。訊息處理的模式有兩種，一是透過意識，另一是透過自動化。意識處理會佔用許多運作記憶的空間。而自動化處理則少佔用極少的運作記憶的空間。大部分知識技能初期都是經由意識處理，經不斷反覆練習後才轉換成自動化處理。基模自動化後，可以節省許多工作記憶的負荷，進而能同時處理更多訊息或更加深入。. 二、內在認知負荷與外在認知負荷（一）內在認知負荷（intrinsic cognitive load）內在認知負荷主要受到教材本身元素互動的複雜性的影響，是受到教材內在本質而產生的負荷。由於負荷的來源是教材本身的特性造型的，不易由教學設計來改變。近年來學者提出「分段」的教學策略，以分段的方式阻隔內在元素互動，每個元素都單獨處理，它不承擔其他任何相關的元素，元素互動性和內在認知負荷可減少。對於複雜的學習教材，教導個別的步驟再教導全部，有效的降低初學者的認知負荷，並提高學習效率。實驗一即是以此為設計依據。. （二）外在認知負荷（extraneous cognitive load）外在認知負荷主要受到教材呈現方式的影響，可以透過教學活動的設計而改 16.

(32) 變，此負荷對於教學目標而言是不需要且多餘的。外在認知負荷主要來自於不良的教學設計或教材呈現方式，若訊息需要透過多重來源相互參照才能瞭解時，不論在時間還是空間上的呈現都會影響無效的認知負荷，學習者需要同時選取兩種以上的訊息來源，而減少了去組織訊息的認知資源。. 認知負荷有二，一為內在認知負荷來自教材的內在本質，另一為外在認知負荷來自教材的呈現方式，工作記憶需要同時分配處理這兩種認知負荷。工作記憶中，處理教材本身的資源，我們稱為有效的資源（germane resources），過去我們用「增生認知負荷」（germane cognitive load）來稱呼它，這個術語是不恰當的，和內在、外在認知負荷不同，並不會因為學習教材而增加。而工作記憶中用來處理外在認知負荷的資源，稱為外在資源（extraneous resources）。內在認知負荷與外在認知負荷是可加的，它們的總和即是受到教材影響的全部的認知負荷，同時也決定了工作記憶需耗費多少資源來處理，當內在與外在認知負荷的總和超出工作記憶的資源所能處理，則導致失敗的學習。. 三、示例效應（worked example effect）示例指的是一步一步的完整展示如何處理任務或解題過程的工作範例。示例效應是根據認知負荷理論所提出的教學原則之一，Sweller 和 Cooper（1985）發現在代數的學習上，使用示例的學生表現優於使用傳統問題解決的學生。示例以直接告知、逐步的方式呈現給學習者解決問題所需要的程序，適當的呈現示例有助於降低學習者的外在認知負荷，並有助於學習者對於解題流程建立相關的基模。研究者即是依此設計了不同版本的重複組合閱讀理解題本。. 四、整體－模組效應（Molar-Modular effect）整體－模組（Molar-Modular）形式多用於示例。整體形式（molar）是傳統教學的解題形式，以整體的觀點，著重於問題的類別和整體解決方案及其相關的 17.

(33) 程序（Gerjets, Scheiter, & Catrambone, 2006）。在傳統的教學，數學問題通常被教導以整體形式解決，在這些過程中，多重的解題步驟被綜合成為單一的公式，這個公式使得學習者可以很容易的透過代入正確的數值來解決問題。Gerjets等人（2006）將複雜機率問題的整體形式解題步驟分為四個步驟：確定任務性質、使用公式、代入數值、推測機率。但是這種整體化形式有著高度的內在認知負荷，工作記憶必須同時處理的訊息量太大。模組（modular）形式是將複雜的解決過程，分解成數個較小且有意義又能分開傳達與被理解的解決過程元素（Gerjets, Scheiter, & Catrambone, 2006），亦即將過程分割成數個子過程，分開達成然後統合，以引導的方式去讓學習者逐步推導出數個結果，然後再歸納彙集成最後結論。Gerjets 等人（2006）將複雜機率問題的模組形式解題過程，分解為一系列更為簡單的過程，也就是單個事件的過程。 Gerjets等人建議在最初的理解上，先使用模組化形式，而後再切換至整體化形式使理解繼續發展，其實驗結果也顯現了模組形式的優越性；學習者花費較少的時間學習、學習教材施加的認知負荷也較低。但是實驗的教材是機率問題而非重複組合問題，學生使用重複組合公式時有可能兩個數值代入相反，機率公式則沒有這個現象，重複組合問題是否也滿足整體－模組效應值得探討。研究者設計了實驗二探討公式的呈現順序對學生的影響，其中先呈現公式版本為傳統的模組形式，先呈現例子版本為模組形式。. 五、認知負荷對數學學習的相關研究呂鳳琳（民 99）的研究中，探討幾何證明不同文本呈現方式對學生認知負荷與閱讀理解的影響。其中實驗一主要探討不同文本呈現之集合證明對專家與生手在認知負荷與閱讀理解之影響。呂鳳琳以幾何證明不同文本的呈現方式（切割 vs. 未切割），以及學習者的數學程度（專家 vs. 生手）作為自變項，檢測受測者的認知負荷與閱讀理解表現，研究對象為 33 位八年級學生（生手）及 28 位數 18.

(34) 學系學生（專家），研究結果發現：(1)對專家而言，將集合證明切割成幾個局部證明有助於降低其認知負荷，但不影響其閱讀理解表現。(2)對生手而言，不論切割與否，其認知負荷與閱讀理解表現並無顯著差異。. 19.

(35) 五、. 表徵理論. 一、表徵理論簡介事實上，從一個真實問題到數學問題的轉化即是數學建模的核心，重複組合情境問題的認知過程也可以視為一個數學建模過程。Blum（2002）說明數學建模的歷程保含了四個層面：理想化、數學化、數學操作和詮釋評估，而且數學建模是在這四個層面中循環，請參考圖 2-2。. 圖 2-3. 建構模式循環模式. 資料來源：左台益、胡政德（2009）引自 Blum（2002）. 首先將起始情境理想化、結構化或簡化成為一個真實世界的具體模式。接著將其數學化，轉換成數學結構，形成一個起始情境的數學模式。再來操作數學模式（例如解方程式、證明）產生數學結果。最後於真實情境中解釋數學結果之意義，並檢查是否合理。. 接著我們從認知的觀點來探討數學建模的過程。Kaput（1989）從多重表徵的認知觀點分析個體建構情境模式的認識過程，並說明個體是透過建構認知表徵系統的過程來建立現實情境的模式，請參考圖 2-4。. 20.

(36) 圖 2-4. 建構模式之認知表徵系統. 資料來源：左台益、胡政德（2009）引自 Kaput（1989）. 在一個作業中，可以透過多種不同表徵來表徵情境（C），在這裡我們以文字表徵（B）描述此情境。個體透過閱讀解析此表徵，轉化成為表徵之內在認知結構（Bcog），再經由表徵詮釋建立此情境的認知表徵（Ccog）。在此情境中，某些特徵中蘊含著數量的關係，在些數量特徵喚起相關的數學形式之認知表徵（Acog），然後個體將其投射於一個外在的形式表徵（A）用來表徵情境（C）。這樣過程通常重複著循環的模式。（左台益、胡政德，2009）. 二、重複組合問題建構過程在這裡我們以一個重複組合語意情境分物類型的問題為例，首先我們用文字描述情境「老師買了 5 枝相同的筆，全部分給 4 個同學，共有多少種分法？」，學生透過閱讀轉化為內在認知結構，再經由表徵詮釋此情境的認知表徵，這時學生可能以簡單的圖示描述此情境，例如畫出 5 枝筆和 4 個人並用線段連接筆和人。當學生瞭解了每個人取得的筆個數是關鍵之後，接著學生可能透過假設未知數的方式來形成數學形式的認知表徵，將其投射形成外在的形式表徵，即方程式. 21.

(37) x1  x2  x3  x4  5 的非負整數解個數，最後檢查此方程式是否合乎起始的情境問題。將語意表徵的情境問題最終轉換成代數表徵是數學建模的過程，各版本教科書的編排順序大致上也是如此安排，但是文獻中並未提及另一個方向的認知過程，因此研究者試圖透過實驗三，瞭解表徵呈現順序對學生的影響。. 22.