第六章 結論與建議
第二節 接續研究的建議
首先，是關於如何精進研究設計方面。由於本研究是採取單一個案（教師），
對高中二年級不同的教學單元做分析，因此，可以進一步觀察同一教師對同一概 念（或單元）知識展現情形，在初次教學與初次複習時的內涵是否有差異？尤其 是複習某數學概念（或單元）時，與其它概念的連結情形？如此應該可以觀察到 教師對於數學概念的整體理解，並了解教師知識內涵的多樣面貌。另外，也可以
觀察、比對兩個以上的資深高中數學教師的數學教學相關知識內涵，相信可以得 到更豐富、更廣泛的結果。
在教室觀察系統方面，有兩方面可以再作改進，第一是，本研究的教室觀察 是個人先將課堂的分析片段決定好後，再交給另一位登錄者登錄，故分析單位並 不會產生不一致的情形。未來可考慮讓兩位登錄者各自決定分析片段，在能夠接 受的誤差範圍中都算為一致，接著再開始對教學影片作分析。第二點是分各類的 細項可以進一步細分。以「數學描述」、「數學解釋」與「數學證明」為例，在實 際教學片段中，並非只有單純的作解釋、描述或是證明，事實上，可能在解釋中 夾雜著描述，或是在證明中包含解釋與描述。因為，這三個細項涉及SCK 與 CCK，
若能將這些細項作更精確的分類，例如以理解的層級來分類，有助於了解SCK 與 CCK 的實質內涵與其間的關係。另外，「分析」這個細項描述的是教師自身數學 概念的特殊理解，涉及SCK 與 Ma (1999)所提出「知識包裹」的組成，若能將這 類細項再細分為「對題目的分析」，或是「對課程架構的分析」，應該能有助於了 解KCC，還有 PUFM 與 MKT 的關係。「多觀點」的部分，也可以再細分為「對 概念的不同觀點」與「一題多解」兩種類型，這樣的區分，應該有助於提高K 值。
其次，是有關MKT 架構中各領域知識的實質內涵與界線的釐清方面。MKT 架構中各領域知識實質的內涵尚未完全發展，還有許多可以探討的議題。此外，
在文化差異的影響下，美國中學數學教師的數學教學相關知識是否會與台灣數學 教師相似？調查國內中學數學教師 MKT 的特色，就是個可以深入研究的方向。
另外，各領域知識的界線模糊，像是HCK 與 SCK，雖然 HCK 已有專篇描述，例 如Ball (2009)，但是，由於呈現出的相關數學教學實例很少，因此，現階段似乎 難以分辨SCK 與 HCK 的界線。以先前提過的例子「判斷『當一個數除以越來越 小的分數，所得的數值將會越來越大。』是否正確？」為例，它似乎應該較符合 SCK 的特徵，而「考慮規則隱含的意義」才比較像是 HCK。此外，KCC 目前有
個例子「學生比較熟悉哪些分數和分數除法的模型？」(Ball, 2010)為例，它似乎 同時與 KCT、KCS 和 KCC 有關聯。以個人的觀點而言，它應該比較傾向 KCS 的特徵，所以，接續的研究可以再深入探討如何分辨或釐清 MKT 各領域之間的 界線。
最後，如果能將研究對象擴展到不同時期的教師，包含實習教師、初任教師 與專家教師，探討他們的MKT 特質與差異，可以幫助中學術學師資培育者思考：
期待未來中學數學教師在教學中，展現什麼樣的教學相關知識？並且，在師資培 育的過程當中，如何協助他們發展MKT？此外，對於在職高中數學教師，也能夠 幫助他們清楚掌握自己教學中用到的各類數學教學知識，以促進教學的反思，進 而引動數學教學專業的發展。
參考文獻
一、中文部分
1. 林志成(2004)。教師會組織運作與學校文化。現代教育論壇，10，529-551。
2. 林清山(1992)。心理與教育統計學。台北：東華書局。
3. 范良火(2003)。教師教學知識發展研究。上海市：華東師範大學出版社。
4. 崔懷芝。量表信度的測量︰kappa 統計量之簡介。查詢日期︰99 年 10 月 1 日，檢自http://www2.cmu.edu.tw/~biostat/online/teaching_corner_011.pdf。
5. 張悅歆
。
教師專業化與特殊教育。查詢日期︰99 年 9 月 10 日，檢自 http://assist.batol.net/academic/academic-detail.asp?id=308。6. 教育部(2003)。教師法。台北市：教育部。
7. 梁恆正(2004，5 月)。師範校院面對組織變革的新思維。發表於九十三年度現 代教育論壇─學校經營與管理研討會。屏東市：國立屏東師範學院。
8. 陳碧鳳(2005)。兩位國中數學教師幾何教學概念的個案研究。國立台灣師範 大學碩士論文，台北市。
9. 黃政傑(1997)。課程改革的理念與實踐。台北：漢文。
10. 蔡宜芳(2007)。資訊科技融入國小六年級分數與小數常識教學之研究。國立 嘉義大學數學教育研究所碩士論文。
11. 饒見維(1996)。教師專業發展－理論與實際。台北市：五南。
12. Bogdan, R. C.,＆Biklen, S. K. (2001)。質性教育研究理論與方法(黃光雄主 譯)。嘉義市︰濤石文化。(1998)
13. Irving S. (2009)。訪談研究法(李政賢譯)。台北市：五南。(2006)
14. Robert, K. Y. (2001)。個案研究法(尚榮安譯)。台北市︰弘智文化。(1994) 15. Strauss, A.,＆Corbin, J. (2001)。紮根理論研究方法(吳芝儀、廖梅花譯)。嘉義
市︰濤石文化。(1998)
二、英文部分
1. American Council on Education (ACE). (1999). To touch the future:
Transforming the way teachers are taught. An action agenda for college and university presidents. Washington, DC: American Council on Education.
2. An, S., Kulm, G., & Wu, Z. (2004). The pedagogical content knowledge of middle school, mathematics teachers in china and the U.S. Journal of Mathematics
3. Artzt, A., & Thomas, E. (1999). A cognitive model for examining teachers’
instructional practice in mathematics: A guide for facilitating teacher reflection.
Educational Studies in Mathematics, 40, 211-235.
4. Ball, D. L. (1990). The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. Elementary School Journal, 90(4), 449-466.
5. Ball, D. L. (2010). Knowing mathematics well enough to teach it: From teachers' knowledge to knowledge for teaching. Presented at the Institute for Social Research Colloquium, Ann Arbor, MI.
6. Ball, D. L., & Bass, H. (2000). Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler (Ed.), Multiple perspectives on mathematics teaching and learning (pp. 83-104).
London: Ablex Publishing.
7. Ball, D. L., & Bass, H. (2009). With an eye on the mathematical horizon:
Knowing mathematics for teaching to learners’ mathematical future. Paper presented on a keynote address at the 43rd Jahrestagung für Didaktik der Mathematik held in Oldenburg, Germany, March 1-4, 2009.
8. Ball, D. L., Charalambous, C.Y., Thames, M., & Lewis, J.M. (2009). Teacher knowledge and teaching: Viewing a complex relationship from three perspectives.
In Tzekaki, M., Kaldrimidou, M., & Sakonidis, H. (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the psychology of Mathematics Education (PME 33), Vol. 1 (pp.121-125). Thessaloniki, Greece.
9. Ball, D. L., Lubienski, S. T., ＆ Mewborn, D. S. (2001). Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teachers’ mathematical knowledge. In Virginia, Richardson (Ed.), Handbook of Research on Teaching Edition (4th ed.) (pp. 433-456). Washington D.C.:AERA.
10. Ball, D. L., & Rowan, B. (2004). Introduction: Measuring instruction. The Elementary School Journal, 105(1), 3-10.
11. Ball, D. L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching:
What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.
12. Berliner, D. C. (1988). In pursuit of the expert pedagogue. Educational Researcher, 15(7), 5-13.
13. Bromme, R. (1994). Beyond subject matter: A psychological topology of teachers’
professional knowledge. In R. Biehler, R. Scholz, R. Strasser ,& B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp. 73-88). Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers.
14. Cannon, T. (2008). Student teacher knowledge and its impact on task design.
Unpublished master’s thesis. Brigham Young University, Provo, Utah.
15. Carroll & Mumme (2007). Developing mathematical knowledge for teaching.
Retrieved October 20, 2009 from http://www.teachersdg.org/Assets/Carroll_
Mumme_TDG09.ppt
16. Charalambous, Y. C. (2008). Preservice teachers' mathematical knowledge for teaching and their performance in selected teaching practices: Exploring a complex relationship. Unpublished doctoral dissertation, State University of Michigan, East Lansing, MI.
17. Cooney, T. J., & Wilson, P.S., Albright, M., & Chaubot, J. (1998, April).
Conceptualizing the professional development of secondary preservice mathematics teachers. Paper presented at the American Educational Research Association annual meeting, SanDiego, CA.
18. Fennema, E., ＆ Franke, M. L. (1992). Teachers’ knowledge and its impact.
Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 147-164). New York：Macmillan.
19. Frick, T., ＆Semmel, M. I. (1978). Observer agreement and reliabilities of classroom observational measures. Review of Educational Research, 48(1), 157-184.
20. Hartmann, D. P. (1977). Consideration in the choice of interobserver reliability estimates. Journal of Applied Behavior Analysis, 10(1), 103-116.
21. Herriott, R. E., ＆Firestone, W. A. (1983). Multisite qualitative policy research:
Optimizing description and generalizability. Educational Research, 12, 14-19.
22. Hill, H. C., Ball, D. L., ＆ Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 372-400.
23. Learning Mathematics for Teaching (LMT) Project, Learning Mathematics for Teaching (LMT) Project. Retrieved October 20, 2009 from http://sitemaker.umich.edu/lmt/faq_about_video_codes
24. Leinhardt, G., & Smith, D. A. (1985). Expertise in mathematics instruction:
Subject matter knowledge. Journal of Educational Psychology, 77(3), 247-271.
25. Ma, L. (1996). Profound understanding of fundamental mathematics: What is it ,why is it important, and how is it attained? Unpublished doctoral dissertation, Stanford University, Stanford.
26. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. New Jersey:
27. McDiarmid, G. W., ＆ Clevenger-Bright, M. (2008). Rethinking teacher capacity.
Handbook of research on teacher education edition (3), pp.134-156.
28. McIntyre, D. I. (1980). Systematic observation of classroom activities.
Educational Analysis, 2(2), 3-30.
29. National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author
30. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
31. Noddings, N. (1992). Professionalization and mathematics teaching. In D.A.
Grovws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics (pp. 197-208). New York: Macmillan.
32. Rosenshine, B., & Furst, N. (1973). The use of direct observation to study teaching. In R. M. W. Travers (Ed.), Second handbook of research on teaching (pp.
122-183). Chicago: Rand McNally.
33. Rowland, T., Huckstep, P. & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers’
mathematics subject knowledge: The knowledge quartet and the case of Naomi.
Journal of Mathematics Teacher Education, 8, 255-281.
34. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching.
Educational Researcher, 15(2), 4-14.
35. Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform.
Harvard Educational Review, 57(1), 1-22.
36. Sleep, L. (2009). Teaching to the Mathematical Point: Knowing and Using Mathematics in Teaching. Unpublished doctoral dissertation, State University of Michigan, East Lansing, MI.
37. Thames, M. H. (2009). Coordinating mathematical and pedagogical perspectives in practice-based and discipline-grounded approaches to studying mathematical knowledge for teaching (K-8). Unpublished dissertation. University of Michigan, Ann Arbor.
38. United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (1966, October).
Recommendation concerning the Status of Teachers. Adopted by the Special Intergovernmental Conference on the Status of Teachers, Paris, Paris.
附錄一：數學教學觀察系統資料
附錄一（１）數學教學觀察系統 (Learning Mathematics for Teaching project, 2006)
附錄一（２）數學教學觀察系統中文對照
A：課程
8.樣式、函數及代數 9.金錢、時間和行事曆 10.百分比、比率和比例
數學的使用為了 教學的平等
1.真實世界的問題或範例的表示 2.明確的數學任務及工作
3.明確的談論意義以及使用數學語言 4.明確的談論推理方式
5.明確談論數學實作
6.教學時間在數學上的花費
7.教師鼓勵對數學能力不同的配置
8.教師強調學生的努力並傳達出努力終將會有收穫的訊息 9.教師鼓勵並給予學生機會去自主工作
10.表達希望每個人都能夠做好工作
附錄一（３）數學教學觀察系統登錄表
附錄一（４）數學教學觀察系統登錄範例
附錄一（５）前導階段教學活動中數學領域的知識統計表
附錄一（６）第一階段教學活動中數學領域的知識統計表
附錄一（７）第二階段教學活動中數學領域的知識統計表
附錄一（８）對學生使用的數學統計表
附錄二：教學影片與訪談轉譯
附錄二（１）教學影片轉譯
由於此筆資料繁多，故僅附三個階段第一節課的教學影片轉譯。
單元：空間中的平面與直線 時間：98/09/22
T：同學要記得齁，就像我們在平面上講什麼東西一樣，就像我們在平面上呢，
談那個直線的幾何學一樣，其實幾何元素就點跟線，那我們其實有很多方法可 以處理一些量的問題，但是我們現在是，可以用向量觀點就盡量用向量觀點，
其實嚴格來講，嚴格來講，我們現在其實就要用什麼方式？其實是用代數的方 法，就用代數的方法，其實就是算啦，記不記得，就是一直算啦，算了半天齁，
但是老師還是要提醒同學，算了半天你要常常知道自己在算什麼，知不知道？
齁，那，所以，我們常常有一個比喻阿說，你們其實在現在這一版的高中裡面，
其實沒有幾何學，沒有幾何學，知不知道，因為你們現在有的只是解析幾何，
解析幾何很多人通通都還是落在解析，就是那個代數的部份，其實還滿頭痛的 知道嗎？所以希望同學們要以什麼，你們要記得喔，我們是用來解決問題的，
那我們說，談論，我們已經有一次經驗了齁，你們知道，談論這個，就是我上 一節課講的，如果你呢，移植這個經驗就知道，我們第一個要談什麼？它的幾 何元素是什麼？點、線，還有什麼？面，對不對？(寫下點線面)我們第一個動 作當然是要對他們做什麼？是描述，對不對？了不了？最簡單的方式當然是命
那我們說，談論，我們已經有一次經驗了齁，你們知道，談論這個，就是我上 一節課講的，如果你呢，移植這個經驗就知道，我們第一個要談什麼？它的幾 何元素是什麼？點、線，還有什麼？面，對不對？(寫下點線面)我們第一個動 作當然是要對他們做什麼？是描述，對不對？了不了？最簡單的方式當然是命