謝師數學教學活動分析的結果

以下將分別描述謝師前導階段、第一階段與第二階段的教學活動，並分析其 中展現的MKT，最後，總結三階段的分析結果。

分析教學活動中展現的 MKT 是，擷取謝師的某些重要教學片段(segment)進 行分析。在教學片段的選擇方面，個人參考Thames (2009)的標準，他認為選擇分 析的教學影片有三個準則：第一，教學片段必須要在內容上有可供分析的師生互

話，但是，這是對選擇資料的重要考量；第二，教學片段中必需要能夠呈現教師 對於設計和教學管理的推理，儘管我們可以從訪談、教學計畫中得到教師的教學 推理，但是，最好可以在教學片段中有教師的言語或行動做為其推論的證據；最 後，教學片段必須與情境關連，因為，了解脈絡有助於了解教師的教學。為了符 合國內高中數學教學中師生互動較少的現狀，個人將上述三個準則修改為：在數 學內容上，可呈現教師或是學生思維的教學片段，若有師生互動，或是教師明確 指出其數學教學的構思者為最佳。為了能夠完整呈現教師思維，因此，很多片段 都是選擇講解數學概念的部分，此外，如果只有純粹的教師講述學習的內容，則 配合教師的訪談資料來增加推論的可信度。

在分析的部分，個人則是參考 Sleep (2009)提出的三濾鏡論，亦即數學的濾 鏡、學習者的濾鏡、聚焦的濾鏡，來分析謝師課堂中的數學領域與教學活動。個 人認為，因為文化差異，國內的高中數學教師，對於教學考量，是以對教材主觀 的呈現多過對學生理解的考量，因此把上述的三個濾鏡，調整為以數學的觀點與 教學觀點來考慮。若以數學的觀點來分析謝師的教學片段，應可見 MKT 架構中 的CCK、SCK 或 HCK，若以教學的觀點來分析，則可見 KCT、KCS 與 KCC。

這樣的討論方式也比較符合MKT 橢圓型結構的分類。

壹、前導階段

一、教學活動概述

前導階段研究的教學單元是空間中的平面與直線，共計有13 堂課。原先在課 本中，「平面方程式」與「空間直線方程式」是屬於「空間向量」的兩個小節，但 是，謝師將其融合為一個教學的單元。其教學安排如下：(1)空間中直線與平面的 描述（方程式的寫法），(2)空間中幾何元素（點、線、面）基本關係的討論。而(2)

又分為點與點、點與線、點與面、線與線、線與面、面與面討論概念與例題。

第一堂課主要的教學內容是「面的描述」，即平面方程式的寫法。一開始，謝 師先交代班級事務，接下來才是進入主要的教學部分，謝師先告訴學生討論空間 中平面方程式的架構，他使用了類比手法，提出「直線：面＝面：空間」的想法，

展開了以模仿平面直線方程式，推測空間中平面方程式的討論過程。他先從斜率 的觀點，說明平面為什麼不能依照傾斜角度來定義，接著，再以向量的觀點，探 討法向量與方向向量定義平面的可能性，討論的時間為21 分鐘，佔整節課將近一 半的時間，接下來才是證明平面方程式的點向式與一般式，最後示範平面方程式 的例題。

第二堂課一開始謝師先複習昨天的課程，他沒有直接告訴同學平面方程式的 寫法，而是再次導證平面方程式的寫法，接著解說例題和學生練習。謝師在示範 例題後，會詢問同學是否有其他的解法，並討論不同方法的優缺點。第三堂課謝 師先示範例題，然後請同學當場做練習，他再統一講解，最後做一個小總結，說 明平面方程式的寫法已習得了點向式與一般式，那對照平面直線方程式，還少了 截距式，因此引進截距與截距式的概念，並利用點向式改寫成截距式。

第四堂課一開始是昨天的例題回顧，接著，介紹直線方程式，同樣的，謝師 依循之前討論的脈絡，說明為何不以斜率定義，再轉入向量觀點，又因法向量已 用來定義平面，故以方向向量來描繪直線。在交代完討論架構後，他證明了直線 的參數式與對稱比例式，並接著示範例題和進行學生練習。第五堂課一開始是複 習，然後，謝師再補充說明參數式的方程式與圖形上點的位置的關連，接下來就 是大量的例題與學生練習。以上五節課，完成了空間中直線與平面的描述(方程式 的寫法)，接下來是空間中幾何元素（點、線、面）基本關係的討論。

式進行，他指出任兩幾何元素的相互關係，並以表格表示，如圖 4-2-1 中是討論 直線與直線的關係。表格的第一列呈現了直線與直線的關係有重合、平行、相交、

成歪斜四種，並以圖形表示，再依照代數和幾何觀點，討論圖形和方程式之間的 關連，表格第二列的第一行表示兩直線重合方程式有無限組解；第三列第一行表 示這兩條直線的方向向量會平行。在整個表格的概念講解完後，接著就是做與表 格中概念相關的例題，可能是謝師講解，也可能讓學生操作。這部分其餘的幾何 元素討論都是依照這種模式進行的。

圖4-2-1：空間中幾何元素基本關係

二、教學活動中展現的 MKT

（一）引入空間平面的方程式

01 T：我們在平面上怎麼描述直線？也許它的方法就直接可以被我們 02 替用到哪裡去？空間中怎麼描述平面對不對？平面上怎麼描述直 03 線？我們怎麼寫直線方程式？

04 S：點向式跟參數式。

05 T：是ㄚ，但是更早之前，我們在第一冊，有一個什麼的想法，是 06 斜率的概念？對不對？ㄟˊ，平面上可不可以定義斜率？...我們可以

07 以誰當地面？XY 當平面，對不對？是不是？要怎麼定義它的傾斜

量。若以數學的觀點來分析此教學片段，可以知道謝師對於平面中直線與空間中 平面的方程式必然是清楚理解的，這部分屬於CCK。在討論以斜率來定義平面是 否可行時，他認同學生使用斜率定義平面是可行的，但是，他也提出使用斜率定 義的缺點(L.18-L.30)，這類似於評價學生解題的方法，並判斷學生創新的方法是 否可行(appraise students’ methods of solving problems, assess novel approaches that students propose)(Charalambous, 2008, p. 43)，這部分屬於 SCK。若將討論三種定 義的可行性(斜率、方向向量與法向量)視為一整體來看，則屬於選擇和發展可行 的定義(choosing and developing workable definitions)(Charalambous)，這部分也是 SCK。此外，謝師將許多數學概念串連在一起引出法向量。個人認為，謝師對概 念有特殊的組織方式，此種對概念的特殊理解呈現了PUFM 中連通性與廣度的特 質，若以數學觀點看待這種特殊的理解，它並不是其他職業會使用到的數學，而 是教師專門化的數學知識，因此應屬於SCK 的範疇。此結果也與 Cannon (2008) 對SCK 中含有 PUFM 的看法一致（見圖 4-2-2）。

圖4-2-2：Cannon 整合不同理論的教師知識（資料來源：Cannon, 2008, p. 19）

若以數學教學的觀點來分析此教學片段，個人則是利用訪談時，詢問謝師是 基於何種考量而採用「二維類推三維性質」的教學策略，他表示：

我是希望他們能夠像做研究的人一樣，譬如現在他在考慮說現在他開始 寫平面，會開始從一次的經驗去找，然後就一次的經驗發現說一次的經 驗怎麼樣，然後發現去檢核，對呀，其實我在做的就是這種示範。

(D1,981005)

個人認為，謝師按照其對數學概念的特殊理解(二維與三維數學概念的連結)來教 學，這類知識即為 KCT，因為 Ball 等人(2008)對於 KCT 的第一個描述便是：教 師為了教學將內容排序。此片段的教學目標在於寫出平面方程式，謝師可以直接 陳述如何利用法向量寫出平面方程式，但是，他為了給學生示範如何探索新概念 的性質，因此將平面中直線的性質排序並逐一討論，又因為他採用回顧課程的手 法，所以這部分還涉及了KCC。事實上，個人無法得知謝師是否為了教學才將概 念做排序，還是原本他對於平面方程式的理解即是以斜率、方向向量與法向量來 呈現的，若為前者，此段知識即代表KCT，若為後者，則表示 KCT 是 SCK 的展 現。但是，由於在訪談中，謝師有提到他對講義安排的想法，他說：是說我是覺 得每個人的邏輯架構都不一樣 (D1,980922)。因此個人認為，謝師利用「二維類 推三維」的手法教學，應該比較可能是源自他的SCK 與 KCC 影響教學表現形式 (KCT)的結果。

另外，在訪談中謝師曾提到，先介紹空間中直線與平面的方程式寫法，再討 論點與點、點與線、點與面、線與線、線與面、面與面的關係，是考量到：

其實喔，你們聽有沒有發現，我現在這種上課的方式邏輯上是有點行不 通，為什麼我這樣講，因為我講兩面式。理論上來講應該先講平面的相 對關係，不然你會發現直線不太容易出現，但是後來為什麼決定說，這 個，就是說小朋友不太會察覺這種。……那為什麼後來現在採取的方式 是說我會用這種想法，還是先講平面跟直線的方式，然後到時候再用這 種工具去處理所有的問題，現在基本的想法是說，我現在是想教他們工 具，然後用這個工具去處理結論的問題，那個工具的建立也是從座標那 邊開始架起。(D1,981005)

SCK。但是，當他在教學的時候，則是先呈現平面與直線，再討論兩面式（即面 與面的關係），此種知識則為 KCT。從謝師對於數學概念的排序與實際教學時的 排序方式不同，可以清楚的分辨出SCK 與 KCT，在此 SCK 是隱藏的知識，可視 為教師的思維，而KCT 是外顯的知識，代表教學實作知識。能夠釐清這兩類知識 的重要原因是謝師「利用工具處理問題」的教學目的。

表4-2-1 為「引入空間平面方程式」教學片段中出現的 MKT 各領域知識，若 某領域知識沒有出現，則以NA 表示。

表4-2-1：引入空間平面方程式

CCK 了解斜率、方向向量、法向量、兩平面交線等概念

SCK 評價學生解題的方法，並判斷學生創新的方法是否可行；

SCK 評價學生解題的方法，並判斷學生創新的方法是否可行；