研究背景與動機

本章有兩小節，第一節敘述本研究的背景與動機，文中說明研究主題的重要 性與現有的相關研究結果，接著第二節提出本研究的研究目的和研究問題。

第一節 研究背景與動機

何謂教學(teaching)？黃政傑(1997)認為，教學是指擁有特定知識、技能、態 度及內容的人，有意圖地把這些內容傳授給缺乏這些內容的人，為了達到這個目 的而建立的互動關係。Shulman (1987)認為，教學是教師將理解、呈現技術、期待 的態度或價值轉化成教法的表徵與行動，使原本不知道的可以知道、不了解的可 以理解和辨識、不熟練的可以到達精熟。雖然，教學是由教師對所學的了解和如 何教學開始，但是透過教學的過程，師生雙方都能夠獲得新的理解。然而，在教 學 活 動 中 ， 教 師 又 必 須 具 備 什 麼 才 能 夠 進 行 教 學 呢 ？McDiarmid 和 Clevenger-Bright (2008)檢視教師能量(tacher capacity)時認為，它應該包含教師持 續發展知識(knowledge)、技能(craft skills)、性向(dispositions)的潛力，因此，對執 行教學而言，教師需要擁有相關的基本知識，對數學教師來說也不例外。以下先 說明探討教師知識(teacher knowledge，或稱教師的教學相關知識)之重要性，接著 簡述相關的數學教師知識研究及本研究的動機。

壹、教師知識之重要性

以下從教師知識對於教學的影響以及與促進教師專業化之關聯，來說明探討 教師知識之重要性。

一、教師知識影響教學品質

數學教師需要具備教數學的相關知識，而教師的數學內容知識會影響教室的 教學行為，也會間接地影響學生的數學學習(Fennema & Franke, 1992)。在美國數 學教師學會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)對學校數學 改革所提出的願景中，期待教師能夠提供學生數學豐富的環境，而數學豐富的環 境包含：提供學生機會去學習重要的數學概念和理解程序、讓學生能夠有自信的 處理教師精心挑選的數學問題、利用不同的數學主題建立知識、有時從不同的數 學觀點解決相同的問題或用不同的方式表達數學...等等(NCTM, 2000, p. 3)。如果 教師缺乏教數學的知識，則會影響建構數學豐富的學習環境，甚至會損害教學，

因為，透過教師不當的選擇問題、使用操作物、引用、譬喻、選擇表徵或是薄弱 的解釋，將無法建立概念與過程的連結，甚至犯下嚴重的數學錯誤(Charalambous, 2008)。

亞里斯多德說，教學是最高形式的理解(Teaching is the highest form of understanding)，中國諺語也說，想給學生一杯水，教師自己先要有一桶水(An, Kulm

& Wu, 2004, p. 23)。這說明了，老師教的絕不會超出她所理解的範圍，而且教師 需要比學生更深入的了解教學內容，因此，教師擁有深度和廣度的教學相關知識 是必須的。另外，American Council on Education (ACE, 1999, p. 5)也指出，大學程 度的透徹理解和專業實作上的良好表現對好的教學是必要的，教師提供比較多的 數學教學，學生也學得比較多。最近有更多的研究指出，教師知識在教學之中扮 演的相當重要的角色，例如Magdalene Lampert (Charalambous, 2008, pp. 72-74)是 一位有深度數學知識的小學教師，在研究她關於函數的教學中發現，她在解釋數 學概念或程序時，總能在師生討論中提出有用的例子來澄清學生的概念。或許，

她的教學特質可能源自教學慣常的程序或對學習數學的信念，但不可否認的是，

豐富的數學知識有助於選擇有用的教學例子、表徵解釋或師生共同建構解釋。

二、教師知識為教師專業的重要特質

「教師是否是專業人士？」一直是個充滿爭議的問題，相較於醫生與律師需 要通過嚴格的專業訓練與檢定制度，Noddings (1992)認為教師只能算是半專業 (semi-professional)。然而，隨著教育的專業發展，社會對教師的要求一再提高，

甚至有「教師素質代表國家教育品質」的口號，在這樣的想法下，不再是人人可 為教師。國內目前的現況是，預備成為教師者必須首先經過考試以獲得進入師培 機構修習教育學程的機會，在修滿學分後須經教育實習與教師檢定合格，才能擁 有教師證照，最後，再經過各校的教師甄選才能成為正式的學校教師。不僅如此，

正式教師還需不斷進修精進自己的教學才能持續掌握時代的潮流。由此可知，目 前現況是朝著教師專業化邁進的，那麼，在這樣的環境下，我們可以更進一步的 提問，教師需具備什麼條件才能成為專門的職業？Noddings 指出專業的特色有 六，即篩選與規準(selection and regulation)、特殊的知識(specialized knowledge)、

利他主義或服務(altruism or service)、特權與分級(privilege and status hierarchies)、

合作關係(collegiality)、自主權(autonomy)。所以，Noddings 所指「特殊的知識」

就是發展教師專業的一個重要特質。

貳、相關的教師知識研究

在高品質教學與教師專業化的需求下，教師知識成為一個重要的課題。那麼，

教師需要具備哪些知識才能執行教學呢？以數學教師而言，什麼樣的知識可以突 顯數學知識的特殊性呢？Sulman (1987)提出教師知識至少包含以下七個類別 (categories)：內容知識、一般教學法知識、課程知識、教學內容知識(pedagogical content knowledge，簡稱 PCK)、有關學生及學生特性的知識、教育脈絡的知識、

教育目標與價值及其哲學歷史背景的知識。在這七類當中，最能夠突顯學科特性

念表徵形式、最有力的類比、圖示、例子、解釋和論證，使學科成為他人可理解 的形式的知識。因此，數學教師的PCK 是最能夠區分數學教師與數學家、醫生、

工程師的不同。

自1990 後，相關的 PCK 研究相當的豐富，范良火(2003)把 PCK 再分成教學 課程知識(PCrK)、教學內容知識(PCnK)和教學方法知識(PIK)。Ma (1999)研究大 陸與美國的小學教師後認為，數學教師應該要有對「基礎數學深刻的理解(或稱基 礎數學深奧的理解)(profound understanding of fundamental mathematics，簡稱 PUFM) 」， 即 教 師 對 小 學 數 學 知 識 須 有 深 度 (depth) 、 廣 度 (breadth) 、 透 徹 度 (thoroughness)。儘管如此，目前仍然較少對於高中數學教師知識與教學關連的研 究，例如，教師的知識如何支持她們提供解釋、計畫課程、選擇例子與對學生做 反應。因此，研究焦點開始轉向數學教學的實作(practice of teaching mathematics)，

研究者改以在其教學中探索教師知識所扮演的角色與功用，以下簡述兩種主要的 看法。

其一是Rowland, Huckstep 與 Thwaites (2005)於英國所進行之「教學中的數學 知識(mathematical knowledge in teaching，簡稱 MKiT)」研究。他們從 149 位參與

「學士後教育認證(Post-Graduate Certificate in Education，簡稱 PCGE)」的教師中，

利用統計資料篩選出12 位進行數學教學活動的教室觀察，並進行編碼與分析。最 後 ， 他 們 提 出 知 識 四 重 奏(knowledge quartet) 的 概 念 架 構 ， 分 別 為 基 礎 (foundation)、轉換(transformation)、連結(connection)與偶發(contingency)。基礎是 由實習教師的知識(knowledge)、信念(belief)、大學所獲得的理解(understanding) 以及師資培育時期所習得之教室角色(role)所組成，此乃教學之基礎。轉換是教師 利用表徵、類比與解釋等將自己的所理解的意義轉換為學生可理解的方式，指的 是在行動中的知識(knowledge-in-action)。連結是將各教學的單元統整使其有一致 性，亦屬於行動中的知識。最後，偶發指教師可以迅速的對學生的行為與想法做 反應，這涉及在互動中的知識(knowledge-in-interaction)。

再者是 Ball, Thames 與 Phelps (2008)在美國所進行之「教學中的數學知識 (mathematical knowledge for teaching，簡稱 MKT)」研究。她們提出橢圓形的 MKT 架構，包含一般的內容知識(common content knowledge，簡稱 CCK)、特殊的內容 知識(specialized content knowledge，簡稱 SCK)、內容與學生的知識(knowledge of content and students，簡稱 KCS)、內容與教學的知識(knowledge of content and teaching，簡稱 KCT)、數學水平的內容知識(horizon content knowledge，簡稱 HCK) 以及內容以及課程的知識(knowledge of content and curriculum，簡稱 KCC)。她們 的研究，不只是想要探討教師的實作教學知識(in practice)，還有伴隨在實作中的 思考(for practice)。

參、研究動機

個人回憶實習時的教學經驗，時常發生「知其然」，但是「不知其所然」的教 學實況。即便知其所以然，亦無法將數學概念轉化為使學生容易理解的形式，因 此時常疑惑：「為什麼學生聽得懂實習輔導老師的解釋，卻不懂我的解釋？」。本 以為大學四年數學系的訓練，應當能夠勝任高中數學的教學，但是，在實際的教 學中卻時常感到力不從心。這樣的困境，讓個人開始反省本身是否缺乏某些教數 學應具備的知識技能但卻不自覺？直到就讀研究所開始閱讀教學知識相關理論與 文獻後，才了解自己教學相關知識的不足，進而想深入探討數學教師的教學相關 知識與思維。

檢視目前已發表的前二類文獻中，多以國小教師為主要研究對象，個人認為，

國小使用的數學概念較基礎，教師多使用具體操作物幫助學生理解概念的內涵，

如果將數學內容提升至高中階段的學習，其教學所要傳達的數學概念較多且抽 象，是更高層次的心智活動。因此，數學教師對於教學相關知識的呈現，就會更

為研究對象。此外，資深的數學教師對教材熟悉且經驗豐富。研究亦指出，在教 師知識與實作的關係中，專家教師的知識較生手教師更具結構化與更富連結性，

課堂上的教學穩定性也高(Leinhardt & Smith, 1985)，有助於研究者的觀察。再者，

Cannon (2008)將 MKT 架構用於研究實習教師，結果發現，實習教師缺乏 SCK，

因此在教學時多半只使用CCK。由於個人想更深入了解，數學教師知識與思維如 何支持教學，並非想檢驗教師因為缺乏某類數學教學的相關知識而妨礙課堂教學 的消極結果，所以，我們選取有經驗的(experienced，或稱資深的)高中數學教師做 為研究對象。依Berliner (1988)的觀點，教師在教學五年後約可進入精熟階段，而 一般研究的對象其教學年資皆達十年以上，因此本研究對於資深的認定，是具有 高中數學教學經驗十年以上的教師。