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資深高中數學教師教學相關知識的個案研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授:. 金鈐. 博士. 資深高中數學教師教學相關知識的個案研究. 研 究 生:曾名秀. 中 華 民 國 一 百 年 一 月.

(2) 致. 謝. 首先,我要感謝金鈐老師,在這兩年半中對我的指導。回顧過去的論文草稿, 要不是老師不辭辛勞地修改那些「恐怖」也無法形容的文章,像我這樣沒有研究 和教學經驗的人,一定沒有辦法讓這本論文順利完成。另外,還要感謝蔡文煥、 林碧珍兩位教授,他們提供寶貴的建議,讓我的文章結構更完善,在此謹致由衷 的感謝。. 感謝個案老師的協助,讓我可以順利完成教學影片的拍攝。我從來沒有想過 會遇到這麼親切的老師,除了專業知識上的幫助外,還擔心我們受舟車勞頓之苦, 為我們做部分的拍攝工作。祝福您事事順心。. 感謝我的寫作夥伴亭瑋,你的勤奮是我寫作的動力,每當你進度超前時,總 是無私的分享,讓我的論文可以更上一層樓。好在有你陪我一同完成論文,要不 然這漫長的過程將會更漫長。再來,還要感謝研究團隊中慧儒學姊的督促,益安 學長的鼓勵,祝福兩位順利完成博士學位。. 最後,感謝我的爸媽體諒我的忙碌,讓我這個學期可以專心地寫作,也感謝 晉申在我寫作時給我的建議,以及幫我解決所有電腦的疑難雜症,更重要的是草 稿的試閱,真是辛苦你了!.

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(4) 中文摘要. 本研究採用個案研究法與教室觀察法,描述一位資深高中數學教師「教學用 的數學知識(mathematical knowledge for teaching,簡稱 MKT)」內涵。依照個案教 師所教授的高二數學課程,研究的單元包括幾何、離散與統計三個主題,區分為 三個研究階段,為期一年。前導階段研究的教學單元為「空間中的直線與平面」, 第一階段的教學單元為「重複組合」,第二階段則是「數學期望值」。個人利用教 室觀察與訪談資料,並藉助 Ball, Thames 與 Phelps (2008)的 MKT 架構,分析個案 教師的數學教學相關知識及其樣貌。 研究結果顯示,個案教師 MKT 的六領域知識中有四項較為突顯,其餘二項 則因文獻較少而難以區辨。在教學過程中,個案數學教師的 MKT 兼具外顯與內 隱的特質,而且,隨著當下數學教學所需,各領域知識之間的轉換相當的快速, 他為了因應教學的不確定性,展現出流動與彈性的特質。另外,各領域知識之間 也會產生交互作用,特別是對學生理解的知識,時常影響其他領域的知識。此外, 個案教師的數學教學信念以及課堂的情境脈絡,亦會影響各領域知識的呈現。最 後,本研究個案教師的數學教學中,同時兼有「基礎數學的深刻理解(profound understanding of fundamental mathematics),簡稱 PUFM」的部分特質。. 本研究的結果,可以用來協助高中在職數學教師,進一步了解自己在教學中 用到的各類數學教學知識的內涵以及影響的因素,以幫助教師做教學決策,進而 引動數學教學專業的發展。此外,對數學師資培育者而言,了解資深高中數學教 師教學時所呈現的各領域數學教學知識,可以用來幫助中學數學科實習學生,發 展各領域的知識,以提升其教數學的功力。. 關鍵詞:教學用的數學知識、基礎數學的深刻理解、個案研究、課堂觀察.

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(6) Abstract This study uses case study and classroom observation to explore “mathematical knowledge for teaching (MKT)” of an experienced and purposeful selected senior high school mathematics teacher. This one year qualitative case study was divided into pilot, first and second stage, each explores the selected topics from geometry, discrete and statistics including 「plane and line in space」 、「combination with repetition」 and 「mathematical expectation」 units. With the aid of Ball, Thames and Phelps’s (2008) MKT theoretical framework, the author used classroom observations and interview data to analyze participant teacher’s knowledge used in teaching those selected topics. The results revealed that four domains of MKT of the teacher were highlighted, and the remaining two were not easy to distinguish. The MKT of the participant teacher had both explicit and implicit characteristics in presenting his knowledge. In the process of teaching, the four MKT domains transformed quietly and smoothly. Besides, the quick shifting showed the characteristics of mobility and flexibility in response to the uncertainties of classroom mathematics teaching. Few domains also interacted with each other. Especially, the knowledge of content and students often impacted others. The teacher's mathematics teaching belief and the context of the classroom also affected the use of the knowledge. Finally, the teacher's mathematics teaching showed some distinctive properties of “profound understanding of fundamental mathematics (PUFM)”. The results of this research might help senior high school mathematics teachers to know and be aware of their MKT in order to make proper decisions, and facilitate their professional development of mathematical teaching. In addition, for mathematics teacher educators, understanding the knowledge in practice of the experienced senior high school mathematics teachers can help student teachers to develop MKT and enhance their pedagogical power.. Key words: Mathematical knowledge for teaching, Profound understanding of fundamental mathematics, Case study, Classroom observation.

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(8) 目次 中文摘要 英文摘要 目次……………………………………………………………………..…I 附錄目次…………………………………………………………...…….III 圖目次…………………………………………...………………………IV 表目次………………………………………………….…………………V. 第一章 緒論 ................................................................................ 1 第一節 研究背景與動機........................................................................ 1 第二節 研究問題與目的........................................................................ 6. 第二章 文獻探討 ........................................................................ 7 第一節 數學教師的專業........................................................................ 7 第二節 數學教師的知識內涵................................................................ 9. 第三章 研究方法 ...................................................................... 27 第一節 研究場域和研究對象.............................................................. 27 第二節 個案研究法和教室觀察.......................................................... 28 第三節 研究設計.................................................................................. 33 第四節 資料分析.................................................................................. 37 第五節 研究限制.................................................................................. 60. I.

(9) 第四章 研究結果 ...................................................................... 65 第一節 謝師教室數學教學觀察的結果.............................................. 65 第二節 謝師數學教學活動分析的結果.............................................. 89 第三節 謝師數學教學觀點對教學實作的影響 ............................... 115 本章總結.............................................................................................. 120. 第五章 討論與省思 ................................................................ 123 第一節 謝師教學知識的 PUFM 特質............................................... 123 第二節 謝師教學知識的 MKT 內涵................................................. 126. 第六章 結論與建議 ................................................................ 135 第一節 結論........................................................................................ 135 第二節 接續研究的建議.................................................................... 136. 參考文獻 .................................................................................. 139. II.

(10) 附錄目次 附錄一:數學教學觀察系統資料........................................... 143 (1)數學教學觀察系統 ......................................................................... 143 (2)數學教學觀察系統中文對照 ......................................................... 148 (3)數學教學觀察系統登錄表 ............................................................. 151 (4)數學教學觀察系統登錄範例 ......................................................... 152 (5)前導階段教學活動中數學領域的知識統計表............................. 153 (6)第一階段教學活動中數學領域的知識統計表............................. 154 (7)第二階段教學活動中數學領域的知識統計表............................. 155 (8)對學生使用的數學統計表 ............................................................. 156. 附錄二:教學影片與訪談轉譯............................................... 157 (1)教學影片轉譯 ................................................................................. 157 (2)訪談轉譯 ......................................................................................... 190. III.

(11) 圖目次 圖 2-2-1:教師知識:在脈絡中的發展 ...................................................................... 12 圖 2-2-2:Ma 之主題的概念性理解 ............................................................................ 14 圖 2-2-3:教學內容知識的網絡 .................................................................................. 16 圖 2-2-4:學習的兩種型態 .......................................................................................... 17 圖 3-4-1:數學證明 ...................................................................................................... 47 圖 3-4-2:分析 .............................................................................................................. 47 圖 3-4-3:多重模型 ...................................................................................................... 48 圖 3-4-4:非選擇可見的具體模型去表示數學概念 .................................................. 49 圖 3-4-5:對符號與圖形做連結 .................................................................................. 50 圖 4-1-1:多重模型 ...................................................................................................... 70 圖 4-1-2:對符號、具體的圖像及圖表做連結 .......................................................... 70 圖 4-1-3:比較 .............................................................................................................. 76 圖 4-1-4:多重模型 ...................................................................................................... 79 圖 4-2-1:空間中幾何元素基本關係 .......................................................................... 92 圖 4-2-2:Cannon 整合不同理論的教師知識 ............................................................. 94 圖 4-2-3: 3 x  4 y  12  0 的圖形................................................................................ 97 圖 4-2-4: ax  by  cz  d ............................................................................................ 97 圖 4-2-5:學生的非標準解法 ...................................................................................... 99 圖 4-2-6:三類球取五個之方法一 ............................................................................ 104 圖 4-2-7:三類球取五個之方法二 ............................................................................ 104 圖 4-2-8:三類球取五個之方法三 ............................................................................ 104 圖 5-1-1:前導階段之知識包裹 ................................................................................ 124 圖 5-1-2:第一階段之知識包裹 ................................................................................ 125 圖 5-1-3:第二階段之知識包裹 ................................................................................ 125. IV.

(12) 表目次 表 3-4-1:資料項目的編碼代號 .................................................................................. 38 表 3-4-2:調整後的數學教學觀察系統 ...................................................................... 43 表 3-4-3: i  i 項 Kappa 統計表 ................................................................................... 55 表 3-4-4:教學的進行方式 .......................................................................................... 57 表 3-4-5:教學形式和內容之 K 值.............................................................................. 58 表 3-4-6:數學描述之 K 值.......................................................................................... 58 表 3-4-7:教學活動中數學領域的知識之 K 值.......................................................... 59 表 3-4-8:對學生使用的數學之 K 值.......................................................................... 60 表 4-1-1:教學形式 ...................................................................................................... 66 表 4-1-2:教學的進行方式 .......................................................................................... 67 表 4-1-3:數學描述、數學解釋與數學證明(前導階段) ...................................... 68 表 4-1-4:數學描述、數學解釋與數學證明(第一階段) ...................................... 74 表 4-1-5:數學描述、數學解釋與數學證明(第二階段) ...................................... 79 表 4-1-6:數學描述、數學解釋與數學證明(跨階段) .......................................... 82 表 4-1-7:跨階段教學活動中數學領域的知識比較 .................................................. 86 表 4-2-1:引入空間平面方程式 .................................................................................. 96 表 4-2-2:表徵 ax  by  cz  d .................................................................................... 98 表 4-2-3:學生的非標準解法 .................................................................................... 101 表 4-2-4:取餐題 ........................................................................................................ 105 表 4-2-5:重複組合的三種觀點 ................................................................................ 107 表 4-2-6:解釋數學期望值的定義 .............................................................................113 表 4-2-7:解法的推廣 .................................................................................................115. V.

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(14) 第一章 緒論. 第一章 緒論 本章有兩小節,第一節敘述本研究的背景與動機,文中說明研究主題的重要 性與現有的相關研究結果,接著第二節提出本研究的研究目的和研究問題。. 第一節 研究背景與動機 何謂教學(teaching)?黃政傑(1997)認為,教學是指擁有特定知識、技能、態 度及內容的人,有意圖地把這些內容傳授給缺乏這些內容的人,為了達到這個目 的而建立的互動關係。Shulman (1987)認為,教學是教師將理解、呈現技術、期待 的態度或價值轉化成教法的表徵與行動,使原本不知道的可以知道、不了解的可 以理解和辨識、不熟練的可以到達精熟。雖然,教學是由教師對所學的了解和如 何教學開始,但是透過教學的過程,師生雙方都能夠獲得新的理解。然而,在教 學 活 動 中 , 教 師 又 必 須 具 備 什 麼 才 能 夠 進 行 教 學 呢 ? McDiarmid 和 Clevenger-Bright (2008)檢視教師能量(tacher capacity)時認為,它應該包含教師持 續發展知識(knowledge)、技能(craft skills)、性向(dispositions)的潛力,因此,對執 行教學而言,教師需要擁有相關的基本知識,對數學教師來說也不例外。以下先 說明探討教師知識(teacher knowledge,或稱教師的教學相關知識)之重要性,接著 簡述相關的數學教師知識研究及本研究的動機。. 壹、教師知識之重要性 以下從教師知識對於教學的影響以及與促進教師專業化之關聯,來說明探討 教師知識之重要性。. 1.

(15) 第一章 緒論. 一、教師知識影響教學品質. 數學教師需要具備教數學的相關知識,而教師的數學內容知識會影響教室的 教學行為,也會間接地影響學生的數學學習(Fennema & Franke, 1992)。在美國數 學教師學會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM)對學校數學 改革所提出的願景中,期待教師能夠提供學生數學豐富的環境,而數學豐富的環 境包含:提供學生機會去學習重要的數學概念和理解程序、讓學生能夠有自信的 處理教師精心挑選的數學問題、利用不同的數學主題建立知識、有時從不同的數 學觀點解決相同的問題或用不同的方式表達數學...等等(NCTM, 2000, p. 3)。如果 教師缺乏教數學的知識,則會影響建構數學豐富的學習環境,甚至會損害教學, 因為,透過教師不當的選擇問題、使用操作物、引用、譬喻、選擇表徵或是薄弱 的解釋,將無法建立概念與過程的連結,甚至犯下嚴重的數學錯誤(Charalambous, 2008)。 亞里斯多德說,教學是最高形式的理解(Teaching is the highest form of understanding),中國諺語也說,想給學生一杯水,教師自己先要有一桶水(An, Kulm & Wu, 2004, p. 23)。這說明了,老師教的絕不會超出她所理解的範圍,而且教師 需要比學生更深入的了解教學內容,因此,教師擁有深度和廣度的教學相關知識 是必須的。另外,American Council on Education (ACE, 1999, p. 5)也指出,大學程 度的透徹理解和專業實作上的良好表現對好的教學是必要的,教師提供比較多的 數學教學,學生也學得比較多。最近有更多的研究指出,教師知識在教學之中扮 演的相當重要的角色,例如 Magdalene Lampert (Charalambous, 2008, pp. 72-74)是 一位有深度數學知識的小學教師,在研究她關於函數的教學中發現,她在解釋數 學概念或程序時,總能在師生討論中提出有用的例子來澄清學生的概念。或許, 她的教學特質可能源自教學慣常的程序或對學習數學的信念,但不可否認的是, 豐富的數學知識有助於選擇有用的教學例子、表徵解釋或師生共同建構解釋。. 2.

(16) 第一章 緒論. 二、教師知識為教師專業的重要特質. 「教師是否是專業人士?」一直是個充滿爭議的問題,相較於醫生與律師需 要通過嚴格的專業訓練與檢定制度,Noddings (1992)認為教師只能算是半專業 (semi-professional)。然而,隨著教育的專業發展,社會對教師的要求一再提高, 甚至有「教師素質代表國家教育品質」的口號,在這樣的想法下,不再是人人可 為教師。國內目前的現況是,預備成為教師者必須首先經過考試以獲得進入師培 機構修習教育學程的機會,在修滿學分後須經教育實習與教師檢定合格,才能擁 有教師證照,最後,再經過各校的教師甄選才能成為正式的學校教師。不僅如此, 正式教師還需不斷進修精進自己的教學才能持續掌握時代的潮流。由此可知,目 前現況是朝著教師專業化邁進的,那麼,在這樣的環境下,我們可以更進一步的 提問,教師需具備什麼條件才能成為專門的職業?Noddings 指出專業的特色有 六,即篩選與規準(selection and regulation)、特殊的知識(specialized knowledge)、 利他主義或服務(altruism or service)、特權與分級(privilege and status hierarchies)、 合作關係(collegiality)、自主權(autonomy)。所以,Noddings 所指「特殊的知識」 就是發展教師專業的一個重要特質。. 貳、相關的教師知識研究 在高品質教學與教師專業化的需求下,教師知識成為一個重要的課題。那麼, 教師需要具備哪些知識才能執行教學呢?以數學教師而言,什麼樣的知識可以突 顯數學知識的特殊性呢?Sulman (1987)提出教師知識至少包含以下七個類別 (categories):內容知識、一般教學法知識、課程知識、教學內容知識(pedagogical content knowledge,簡稱 PCK)、有關學生及學生特性的知識、教育脈絡的知識、 教育目標與價值及其哲學歷史背景的知識。在這七類當中,最能夠突顯學科特性 也最受重視的是 PCK,Shulman 將它視為一種特殊的教學知識,它是最有用的概. 3.

(17) 第一章 緒論. 念表徵形式、最有力的類比、圖示、例子、解釋和論證,使學科成為他人可理解 的形式的知識。因此,數學教師的 PCK 是最能夠區分數學教師與數學家、醫生、 工程師的不同。 自 1990 後,相關的 PCK 研究相當的豐富,范良火(2003)把 PCK 再分成教學 課程知識(PCrK)、教學內容知識(PCnK)和教學方法知識(PIK)。Ma (1999)研究大 陸與美國的小學教師後認為,數學教師應該要有對「基礎數學深刻的理解(或稱基 礎數學深奧的理解)(profound understanding of fundamental mathematics,簡稱 PUFM) 」, 即 教 師 對 小 學 數 學 知 識 須 有 深 度 (depth) 、 廣 度 (breadth) 、 透 徹 度 (thoroughness)。儘管如此,目前仍然較少對於高中數學教師知識與教學關連的研 究,例如,教師的知識如何支持她們提供解釋、計畫課程、選擇例子與對學生做 反應。因此,研究焦點開始轉向數學教學的實作(practice of teaching mathematics), 研究者改以在其教學中探索教師知識所扮演的角色與功用,以下簡述兩種主要的 看法。 其一是 Rowland, Huckstep 與 Thwaites (2005)於英國所進行之「教學中的數學 知識(mathematical knowledge in teaching,簡稱 MKiT)」研究。他們從 149 位參與 「學士後教育認證(Post-Graduate Certificate in Education,簡稱 PCGE)」的教師中, 利用統計資料篩選出 12 位進行數學教學活動的教室觀察,並進行編碼與分析。最 後 , 他 們 提 出 知 識 四 重 奏 (knowledge quartet) 的 概 念 架 構 , 分 別 為 基 礎 (foundation)、轉換(transformation)、連結(connection)與偶發(contingency)。基礎是 由實習教師的知識(knowledge)、信念(belief)、大學所獲得的理解(understanding) 以及師資培育時期所習得之教室角色(role)所組成,此乃教學之基礎。轉換是教師 利用表徵、類比與解釋等將自己的所理解的意義轉換為學生可理解的方式,指的 是在行動中的知識(knowledge-in-action)。連結是將各教學的單元統整使其有一致 性,亦屬於行動中的知識。最後,偶發指教師可以迅速的對學生的行為與想法做 反應,這涉及在互動中的知識(knowledge-in-interaction)。. 4.

(18) 第一章 緒論. 再者是 Ball, Thames 與 Phelps (2008)在美國所進行之「教學中的數學知識 (mathematical knowledge for teaching,簡稱 MKT)」研究。她們提出橢圓形的 MKT 架構,包含一般的內容知識(common content knowledge,簡稱 CCK)、特殊的內容 知識(specialized content knowledge,簡稱 SCK)、內容與學生的知識(knowledge of content and students,簡稱 KCS)、內容與教學的知識(knowledge of content and teaching,簡稱 KCT)、數學水平的內容知識(horizon content knowledge,簡稱 HCK) 以及內容以及課程的知識(knowledge of content and curriculum,簡稱 KCC)。她們 的研究,不只是想要探討教師的實作教學知識(in practice),還有伴隨在實作中的 思考(for practice)。. 參、研究動機 個人回憶實習時的教學經驗,時常發生「知其然」 ,但是「不知其所然」的教 學實況。即便知其所以然,亦無法將數學概念轉化為使學生容易理解的形式,因 此時常疑惑:「為什麼學生聽得懂實習輔導老師的解釋,卻不懂我的解釋?」。本 以為大學四年數學系的訓練,應當能夠勝任高中數學的教學,但是,在實際的教 學中卻時常感到力不從心。這樣的困境,讓個人開始反省本身是否缺乏某些教數 學應具備的知識技能但卻不自覺?直到就讀研究所開始閱讀教學知識相關理論與 文獻後,才了解自己教學相關知識的不足,進而想深入探討數學教師的教學相關 知識與思維。. 檢視目前已發表的前二類文獻中,多以國小教師為主要研究對象,個人認為, 國小使用的數學概念較基礎,教師多使用具體操作物幫助學生理解概念的內涵, 如果將數學內容提升至高中階段的學習,其教學所要傳達的數學概念較多且抽 象,是更高層次的心智活動。因此,數學教師對於教學相關知識的呈現,就會更 著重於數學內涵與本質的展現,或是更加多樣化,所以,個人選取高中數學教師. 5.

(19) 第一章 緒論. 為研究對象。此外,資深的數學教師對教材熟悉且經驗豐富。研究亦指出,在教 師知識與實作的關係中,專家教師的知識較生手教師更具結構化與更富連結性, 課堂上的教學穩定性也高(Leinhardt & Smith, 1985),有助於研究者的觀察。再者, Cannon (2008)將 MKT 架構用於研究實習教師,結果發現,實習教師缺乏 SCK, 因此在教學時多半只使用 CCK。由於個人想更深入了解,數學教師知識與思維如 何支持教學,並非想檢驗教師因為缺乏某類數學教學的相關知識而妨礙課堂教學 的消極結果,所以,我們選取有經驗的(experienced,或稱資深的)高中數學教師做 為研究對象。依 Berliner (1988)的觀點,教師在教學五年後約可進入精熟階段,而 一般研究的對象其教學年資皆達十年以上,因此本研究對於資深的認定,是具有 高中數學教學經驗十年以上的教師。. 第二節 研究問題與目的 根據上一節的研究背景與動機,加上個人對於自身教學相關知識的反思而發 展出的目的為:探討高中資深數學教師教學時所展現的數學知識內涵。根據上述 的研究目的,本研究所探討的問題包括: 1. 高中資深數學教師的教學具有哪些特色? 2. 高中資深數學教師於教學時呈現哪些知識與思考?. 6.

(20) 第二章 文獻探討. 第二章 文獻探討 教師專業發展是目前教育改革的重要目標,因此,我們先探討教師的專業知 識與促成教師專業化之關係,再分別檢視不同學者對教師知識的觀點,以進一步 探討數學教師應具備的知識內涵。. 第一節 數學教師的專業 何謂專業(profession)?專業是指一群人在從事一種需要專門技術之職業,這 種職業需要特殊的智力來培養和完成 ,其目的在於提供專門的社會服務。 (Car-Saunder, 1933,引自張悅歆,2008),有些職業在一般人的認知中,是顯然的 專業,例如醫生與律師,因為他們必須接受長期的專業訓練,考取證照,並且在 就業後需持續吸收新知,若沒有專業的背景而從事這類行業,必定會對他人造成 立即且明顯的重大損害。有些職業則是處於灰色地帶,例如教師,師資培育時期 較短,且和看護一樣,重視對人的關懷(direct caring),擁有愛心與耐心才是最重 要的。George Bernard Shaw 曾說: 「能者做,不能者教。」(He who can, does. He who cannot, teacher) (引自 Shulman, 1986 p. 4),他質疑教師是因為學科的學養不足,只 能選擇當教師,這嚴重的否定了教師的素質,更不用說專業。但是,Shulman 卻 將其修正為,除了會做且真正理解學科的人,才有辦法勝任教學的工作,因此, 對於教師是否為一種專業的看法仍然未定,有學者認為教師不能算是專業,而有 學者 (Noddings, 1992)認為教師只能算是半專業(semi-profession)。 聯合國教科文組織(UNESCO, 1966, p. 4)召開的「教師地位之政府間特別會 議」,提了一些「關於教師地位之建議」,其中的第六點明確指出教學應被視為一 種專業(Teaching should be regarded as a profession)。此外,教學是一種公眾服務的 型態,需要教師的專業知識以及特殊技能,但是這些都要經過長期的努力與研究. 7.

(21) 第二章 文獻探討. 才能獲得,而且教師對於學童的教育及其福祉,需產生一種個人的以及團體的責 任感。在美國九零年代的教育改革中,霍姆斯小組的報告《明天的學校》(梁恆正, 2004)指出教師教育改革的六項基本原則,並且倡導建立專業發展學校,教師的專 業發展因此受到高度的關注。由此可知,教育應該是一種高度專業的工作,教師 是可以成為具有高度專業圖像者(林志成,2004)。但是,依照目前的現況而言, 教師一職並未完全發揮專業的功能,尚須朝專業化努力,那麼,教師一職應該擁 有哪些特色,才能符合專業的要求呢? Noddings (1992)指出專業的特色有六,即篩選與要求、特殊的知識、利他主 義或服務、專業階級制度以及協會與自主權。以教師而言,他認為教師需有專門 的培養制度和管理制度,並通過證照的取得提高專業性,再來,教師需要具備有 特殊的知識,一位數學教師如果只有數學知識,那麼與數學家沒有什麼差別,因 此尚需其他與教學相關的專門知識。利他主義與服務則呼應了聯合國教科文組織 對教學的定位--教師是一種公眾服務的型態,此外,教學也是一種道德活動, 教師常被視為道德的榜樣,不僅要給與學生學科知識的支持,對於學生的生活常 規、品德、價值觀等負有道義上的責任。教師分級制度是教師依分級程度不同受 薪,此制度可鼓勵教師在教學上不斷精進,例如中國大陸教師有四級,分別包括 初級教師、中級教師、高級教師與特級教師。最後,民國八十四年所公布的教師 法(教育部,2003),給與了教師組織法源依據,且將教師組織分為三級:學校教 師會、地方教師會與全國教師會,教師組織成立可視為向專業邁進的象徵,除此 之外,教師也可參加校內外的輔導團體,以提升個人專業素養。Noddings 將自主 權分成專業、專業社群(professional subgroup)、個人專業(individual professional) 三方面,其中專業是指自我準備、位階許可和對成員行為的管理;專業社群是指 像數學系一樣的團體,可以掌握教學的內容;最後,個人專業是指能夠掌握與專 業人員與客戶間的關係,以數學教師而言,是指能夠排除行政人員或家長對於選 擇課程、教學方法、評量等干涉,而依據自己的專業來處置。. 8.

(22) 第二章 文獻探討. 上述六項專業特徵中,與教學最直接相關的是教師的特殊知識,教師如果缺 乏知識,便無法進行教學。Cooney, Wilson, Albright & Chaubot (1998)研究職前教 師對函數的理解,發現他們無法連結代數與幾何圖形,也無法舉出適當的例子來 描述函數,因此,對於數學教學也無法提供多方面的連結與示例。Ball (1990)指 出,因為數學知識的限制,實習教師無法體會教育改革的本質,也無法提升數學 教學的品質,因此,具備教學相關知識是教數學的必要條件,只有在基本條件滿 足下,才能要求數學教師要有深度的專業知識,也才有可能發展出高品質的數學 教學。Bromme (1994)認為教師應該具備五種知識,包含學校數學知識、學校數學 哲 學 知 識 、 教 學 知 識 、 學 科 特 殊 教 學 知 識 (subject-matter-specific pedagogical knowledge)及不同學科的整合知識。所以,擁有學校數學知識是教數學的基本要 件。但以教師的專業知識而言,Sulman (1986)提出的 PCK 才是能展現教師專業的 獨特之處,它是學科知識與教學法的混合物,可讓學習者更容易理解學科內容。 所以,為了達成教學的專業要求,深入探討教師知識的內涵是一個必然的方向。. 第二節 數學教師的知識內涵 教師數學教學需要具備哪些相關數學教學知識?不同的學者分別有些同與不 同的看法,以下分析幾位主要學者對數學教學知識的觀點。. 壹、Shulman 的觀點 大家都認同教師需要充足的學科知識,想要教數學,自己必須要先會做數學 才行。但是,會做數學的人不必然會教數學,因此,具備其他與教學相關的知識 也是必要的。若我們檢視過去美國教師檢定考試項目,就可以發現,檢定的標準 是上述思維的展現,首重學科知識,教學理論、教學法次之。之後,教師檢定的 重心轉移至與學生學習成效相關的一般教學法與教學技巧,如準備教學計畫與班. 9.

(23) 第二章 文獻探討. 級經營等,反倒忽略了學科內容知識,因此,Shulman (1986)提出了迷失的典範(the missing paradigm),意即失去了我們所要教學的學科內容和本質,只重視一般教學 法,這直接影響了教師的發展和培育。. 學科知識與一般教學法長期的分歧,宛若兩條平行線,教師檢定的重心則是 在這兩條線上轉換,對於教學法如何因「科」制宜,或是學科知識如何轉換成教 學的內容,也沒有太多人關心。因此,Sulman (1986)提出了融合學科與教學的 PCK,它是最有用的概念表徵形式、最有力的類比、圖示(illustrations)、例子、解 釋和論證(demonstrations),使學科成為他人可理解的形式的知識。教師為了讓學 科容易理解,需要了解不同背景與年齡學生的先備概念、迷思概念,哪些主題學 習的難易度等,這些也都包含在 PCK 中。此外,Sulman 又提出了課程知識 (curricular knowledge,簡稱 CK),其中包括了橫向(lateral)和縱向(vertical)的課程 知識,橫向課程知識強調教師連結或是同時進行討論課程或主題內容的能力,縱 向課程知識是同一學科中已經教過或是以後會教的概念或議題。最後,加上學科 內容知識(subject matter content knowledge 或 content knowledge,簡稱 SMK),成 為教師知識基礎的三種分類。之後 Sulman 於 1987 年再度修改教師的知識分類, 提出教師知識至少包含七種(p. 8):SMk、一般教學法知識、CK、PCK、有關學生 及學生特性的知識、教育脈絡的知識、教育目標與價值及其哲學歷史背景知識。 Sulman (1987)認為教學是一個教學推理(pedagogical reasoning)的過程,而教 學推理與行動包括理解(comprehension)、轉化(transformation)、教學(instruction)、 評量(evaluation)、省思(reflection)、新理解(new comprehensions)六個部分。首先, 理解是指對教學目標以及所要教的內容理解。但是,這種理解並不足以使教學成 為專業,真正關鍵之處在於,將內容轉化為讓人易於學的能力,此種能力即為轉 換,它包含了準備、表徵、選擇、編織適應學生的特質(adaptation and tailoring to student characteristics)四項。在準備的過程中,教師依個人對學科的理解檢視教學 素材,並重新構造使之適合教學,再將概念以新的類比、隱喻等形式表徵。接著,. 10.

(24) 第二章 文獻探討. 當教師透過表徵將內容具體化時,需要選擇可行的教學方法,例如講述、論證、 合作學習、發現學習等等。最後,再依照學生的能力、性別、語言、文化、動機、 先備知識等把教材修改到適合特定學生而非一般學生的特質,如同為之量身訂 做。此過程是從個人理解到使他人理解,是教學推理與行動的本質。再來,教學 是指可觀察的教學行為表現,它包含了班級經營、呈現清楚的解釋和生動的描述、 設計和確認工作、學生互動等等。教學過後,尚須確認學生的理解以得到回饋和 評量自身的教學表現,這是評量。最後,教師回顧教和學的發生過程,重新建構、 重演或重現教學事件、情緒與成就,透過這些過程,教師強化對教學目標、內容 結構的理解,此為新理解。. 教學推理與行動並非線性的途徑,它是一個循環的過程。此外,它們之間的 順序並非固定的,有時某項並不會發生。深刻的推論需要他們正在做什麼的過程 和事實、原則和經驗的適當基礎,教師擁有深厚的知識基礎有助於做教學決定, 也影響了教學品質,反之,透過教學推理與行動,教師的知識將會不斷地被重組, 也會變的更加豐富。. 貳、Frennema & Franke 的觀點 Fennema & Franke (1992)分析數學教師的相關文獻後,提出較常被研究者認 同的教師知識有:數學知識、數學表徵的知識、教師的學生知識以及教學和做決 策的一般知識。其中,數學表徵的知識涉及將複雜的學科內容轉化成適合學習的 表徵給學生,這呼應了 Shulman (1986)所提出的類比、隱喻、舉例等數學表徵。 而數學表徵與數學學習之間有密不可分的關係,許多學者(Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999;Cramer, Post, & delMar, 2002;Dreyfus & Eisenberg, 1996;Lesh, Post, & Behr, 1987)也提到,學生如果能以多重表徵說明一個相同的數學概念,並能在 不同的表徵型式之間自由轉換,就表示他們已經能夠了解數學概念(引自蔡宜芳,. 11.

(25) 第二章 文獻探討. 2007) 綜合各方理論,Fennema & Franke (1992, p. 162)提出一個整合教師知識的架 構(如圖 2-2-1),其中教師知識可區分為數學知識(knowledge of mathematics)、教 學法知識(pedagogical knowledge)及學習者數學認知的知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics) 三類。此外,他們強調教師知識是情境化的(teachers' knowledge as situated),無法獨自脫離所處的情境(situation)與脈絡(context),所有 的知識的獲得都是在活動、文化、脈絡下交互作用的結果,而且,知識也會隨著 情境的不同持續發展和改變,在背後影響著這些知識發展的則是信念(beliefs)。.  . 信念. 教學. 數學. 知識. 知識 特定知 識的脈絡. 對學習者數學 認知的知識. 圖 2-2-1:教師知識:在脈絡中的發展(資料來源:Fennema & Franke, 1992, p. 162). 參、Ma 的觀點 Ma (1999)研究 23 位美國小學教師與 72 位中國小學教師並比較其教學相關知 識的差異後,提出知識包裹(knowledge packages)的構念,其成分包括:概念的序 列(sequence)、關鍵概念(key piece)和概念結(concept knot)。概念的序列是由數個. 12.

(26) 第二章 文獻探討. 概念形成一個概念發展的主軸,它位於知識包裹的中心,而其他相關的次級概念 會連結到主軸上,並且相互關連著,因此在主軸外圍形成環狀(circle)的組織。這 些相互連結的概念形成教學中學生發展知識技能的可能路徑(path)。此外,概念間 的地位並不一定是相等的,知識包裹中有一些比較核心的概念即為關鍵概念,但 它不一定在主軸上,有時也會出現在週邊的環中。概念結是由一個關鍵概念與其 所連結的概念所綁成的概念叢(cluster of concepts),中國教師們認為,第一次就徹 底的學習一個關鍵概念,就如同解開這些概念的結,對往後的學習有事半功倍之 效。教師的知識包裹能顯示其概念的組織方式,以及啟發和培育學生心智的縱向 過程(longitudinal process)。 在 Ma (1999)的知識包裹中,程序性的理解和概念性的主題(topic)是交織 (interweave)的,老師重視概念性的理解並不會忽略程序性的知識,事實上,概念 理解和程序是不可分開的。另外,她提出了概念性理解的結構(如圖 2-2-2),長 方形是大的主題,橢圓形是知識包裹中的一些概念,白色的橢圓代表程序性的主 題,淺灰色的是概念性的主題,深色的是基本的原理,被虛線連接的是一般對數 學的基本態度,通常不包含在知識的包裹中,但是,它比一些基礎的原理更有貫 穿力,因為,一個基礎的原理不能支持所有的主題,而一個基本的態度卻可以表 現在每一個主題上,因此,它對教師知識的連貫性和一致性十分重要。數個結構 連結起來會形成一個堅固的知識網絡,它是教師教學理解的一個縮圖。 Ma (1999)的研究發現,中國的小學教師展現的數學並不是一個沒有互相連 結、只有計算的組合,相反的它是智力的、有挑戰且令人興奮的領域。這些教師 所呈現的小學數學是基礎的數學(fundamental mathematics),基礎(fundamental)這 個字包含基本(foundational)、初始(primary)、入門(elementary)三個意義。研究結 果顯現了中國小學教師對基礎數學概念理解的深度(deepth)、廣度(vast)、全面性 (thorough),Ma 稱之為 PUFM。其中,深度是連結到更強而有力的概念的能力, 它越強大就有越多其它的概念支持,廣度是連結到相似概念的能力,而全面性則. 13.

(27) 第二章 文獻探討. 是貫穿一個領域中所有部分的能力。 程序性的理解. 概念性 的理解. 數 學. 的 結 構. 圖 2-2-2:Ma 之主題的概念性理解(資料來源:Ma, 1999, p. 25). 擁有 PUFM 的教師的教學會有連通性(connectedness)、多重觀點(multiple perspectives)、基本概念(basic ideas)與縱向整合(longitudinal coherence)四個特徵 (Ma, 1999, p. 122)。連通性是把數學概念和程序作連結,在教學上可避免學生發生 片段的學習;多重觀點是指理解的廣度,例如欣賞一個概念的多面向,提供多種 解題的方式並分析優缺點,使學生有彈性靈活的理解;基本概念對應的是理解的 深度,意指注意簡單有力的基礎概念和原則,強化和重新思考這些概念,藉著聚 焦於這些基礎概念,學生們不只被鼓勵去解決問題,還有實施實際數學活動;最 後,縱向整合是指對知識有著整體的了解,教師把握機會幫學生複習之前的概念, 也為之後要學的概念建立基礎,這是數學教學全面性的理解。有 PUFM 的教師就 好像精通路線的計程車司機,在心裡有一張數學教學相關知識的地圖,知道所有 的替代方案,可以依照教學的需求靈活的作調整和變化。. 14.

(28) 第二章 文獻探討. 肆、范良火的觀點 范良火(2003)在討論數學教師知識時,認為知識應該涉及三個成分:認知者, 即知識的主體(知道的人);被知體,即知識的客體(被認知的對象);和知識過程(the knowing),即主體與客體的交互作用(怎樣認知)。知識的定義是認知者和被知體之 間交互作用的結果,它可以有各種形式和類型,例如根據被知體將知識分類的話, 包括關於事實的知識和關於事物的知識、知道什麼和知道怎樣的知識。若以認知 者分類的話,可分為專業性知識和一般性知識,個人性知識和大眾性知識。 范良火(2003)認為,在 NCTM 的專業標準(1991)「懂得數學教學」中,提出 了五種教師教學時應有的能力與知識:包含關於技術在內的教學材料與資源的知 識、關於表達數學概念和過程的方式的知識、關於教學策略及課堂組織模式的知 識、關於促進課堂交流和培養數學集體意識的途徑的知識及關於評定學生數學理 解的方法的知識。由這五種教師能力與知識可知,教師教數學時需要的知識至少 包含課程的知識、教學的內容知識和一般的教學知識,因此,他將 PCK 再細分為 PCrK、PCnK 與 PIK。PCrK 是技術在內的教學材料和資源的知識,PCnK 是關於 表達數學概念和過程的方式的知識,而 PIK 是關於教學策略和課堂組織模式的知 識。他提出了教師知識來源的框架,認為教師的數學教學相關知識是源自於以前 生為學習者的經驗、教師職前培訓學習的經驗以及在職的教學經驗。. 伍、An、Kulm 和 Wu 的觀點 An、Kulm 和 Wu (2004)研究美國與中國中學數學教師的教學相關知識發現, PCK 是促成有效數學教學的知識,其中包含內容知識、課程知識和教學知識。這 個觀點與范良火(2002)的看法相同,但是差別在於,An 等人認為教學知識為這三 類知識的核心。此外,Ma (1999)認為數學教師需要有 PUFM,但是,An 等人(2004). 15.

(29) 第二章 文獻探討. 認為 PUFM 對有效教學來說是不夠的,必須要有既深且廣的教學和課程知識,或 是深刻的教學內容知識(profound pedagogical content knowledge)。有了這種知識教 師就能夠將內容、課程和教學知識連結在一個支援的網路中,在這個網路中,上 述三種類型的知識和其他知識交互作用,並能在主要的教學任務中從其中一種形 式轉換成另一種形式。最後,這個知識網路會受教師信念的影響(如圖 2-2-3)。. 信念. 教學內容知識. 課程. 教學. 內容. 提出學生的 迷思概念. 知曉學生的 思維. 使學生參與 數學學習. 建立學生的 數學想法. 促使學生 數學思考. 學生學習. 圖 2-2-3:教學內容知識的網絡(資料來源:An et al., 2004, p. 147). 16.

(30) 第二章 文獻探討. An 等人(2004)認為,教學可以被視為是發散(divergent)或是收斂(convergent) 的過程。如果教學只考慮內容和課程知識,但是忽略學生數學的思考,則表示此 教學為發散的過程。若教學中以學生為主體,教師時時關注學生的思考,則表示 此教學為收斂的過程。收斂的數學教學需考慮四個面向:建立學生數學想法、提 出學生的迷思概念、使學生參與數學學習和促進學生數學的思考。一個有效能 (effective)的數學教師會根據學生的需求準備教學,並實施符合學生理解程度的教 學活動,例如利用特殊的策略提出學生的迷思概念、促使學生參加活動和解決數 學問題、聚焦於重要的數學概念,並提供機會給學生修正或拓展他們的學習思維。. 關於教學信念的部分,An 等人(2004)認為有兩種關於學生學習的教學信念: 學習即知曉(learning as knowing)和學習即理解( learning as understanding)。當教師 抱持著知曉的學習的信念時,對學生知道或記住一些事實或技巧就滿意了,但是 不會察覺到學生對數學的想法或是迷思概念。如同發散的教學過程總是導致片段 和沒有連結的知識,這種學習通常只能達到表面的程度。若教師抱持著理解的學 習的信念時,就會明白只有知曉是不足的,尚需要理解,因為理解是由連結先備 知識,透過收斂的過程,再達到內化知識。在此過程中,教師不僅重視概念性的 理解和程序的發展,還要確定學生能領會且運用概念和技能,並持續檢視學生的 思考。圖 2-2-4 展現對學生數學思考的深刻認知,這樣的數學教師能在實質上豐 富學生的數學學習,並引導學生對數學內容的精熟。 知曉. 表面程度. 學習. 非連結和記憶的知識. 教學. 學生思維. 理解. 精熟程度 連結和內化的知識. 圖 2-2-4:學習的兩種型態(資料來源:An et al., 2004, p. 149). 17.

(31) 第二章 文獻探討. An 等人(2004)的觀點突顯了以學生為主體的數學教學,同樣是研究中國與美 國的數學教師,Ma (1999)對於教師知識的描述則是偏向以教師為主體,強調教師 知識必須有深度、廣度、全面性和彈性,以便引導學生對數學理解,但是,較少 提及對學生的理解。雖然,她的研究符合中國以前講述式教學的情境,但是,以 目前逐漸強調學生思考的現況來說, 「對學生的理解」在教師數學教學相關知識地 圖上的位階,也越來越重要了。. 陸、Ball 等人的觀點與相關的實徵研究 一、Ball 和 Bass 的觀點. PCK 增進我們對教師教學所需相關知識的了解,例如,如何產生概念性的理 解、使用教學表徵和了解學生的迷思概念等,但是,如果將實際教學置於特定脈 絡下,教師擁有學科教學的相關知識不見得就會在教學中展現出來,因此,知識 與教學實作間便有了落差。為了搭起內容和教學之間的橋樑,Ball 和 Rowan (2004) 不從檢視課程、諮詢專家或與教師面談得到數學教學所需要的相關知識著手,轉 而直接研究教學實作中所用的數學(mathematics in and for practice)。她對核心教學 活動進行數學的分析(mathematical analyses of core activities),例如選擇與使用數 學概念的表徵,評估、選擇和修改教科書以及引導出豐富的討論等等。透過這樣 的分析,可以了解教學中需要的數學知識,還有這些知識如何被使用。以數學教 師設計問題為例,她們關注的是:當選擇乘法的例題時,舉 0.2×0.5 或 0.7×0.3 或 2.3×3.7 為例的不同在何處?此外,為了設計數學問題,需要什麼樣的數學概念、 洞察力和推論?. 這種研究數學教學知識的方法,反映了數學教學實作是一種具有規則性 regularity)與固有不確定性(endemic uncertainty)的活動(Ball, Lebienski, S. T., &. 18.

(32) 第二章 文獻探討. Mewborn, 2001, p. 453)。規則性是指,教師可以準備特定類型的知識來進行可預 測的教學活動,例如某些對學生而言較困難的主題,教師可以透過設計課程,依 循某種樣式,使用特定的表徵、典範例和發展方法,減輕學生的學習困難。這種 知識其實就是 PCK,它是把數學、學生、學習和教學的知識綑綁(bundles)在一起 的特殊的知識形式。事實上,教師在特殊脈絡的情境下整合不同的知識已是一大 挑戰。但是,擁有這種綑綁的知識的教師,尚不能夠應付充滿不確定性的教學實 境,因為教師無法完全預知學生的反應,倘若學生在教師預定的學習軌道中脫軌 演出,那麼,預備那些綑綁在一起的知識是否還能合用?教師是否能在複雜的教 學實作中展現彈性(flexibility)與適應性(adaptiveness)?為了符合教學所需的彈性 與適應力,教師們就必須擁有教學上有用且準備好的(pedagogically useful and ready)數學理解。Ball 等(2001)稱之為「教學上有用的數學理解(pedagogically useful mathematical understanding,簡稱 PUMU)。」. 為了使教師的數學知識能成為在教學實作中有用的知識,第一步就是教師要 解壓縮(decompress)自己的教學知識,教師的數學知識是被修飾過的(polished)且壓 縮的(compressed),此種形式的知識不利於學生初步的學習;再來,教師要把數學 任務(mathematics task)重組(decompose),並考慮教師引動學生行為與學生行為間 可能多變的軌道;最後,老師要鬆綁(unpack)自己高度壓縮過(highly compressed) 的學習理解,這是指教學法上的鬆綁,亦即能夠聽見他人的觀點,理解學生的錯 誤或欣賞學生非傳統表達的數學眼光,而這種理解是專家知識的指標(Ball & Bass, 2000)。. 承襲了上述的看法,Ball 等人(2008)更進一步從質與量兩個途徑來研究教師 教學的相關知識。質的方面是「Mathematics Teaching and Learning to Teach Project(MTLTP)」計畫,她們建立了一個接受美國自然科學基金會資助的資料庫, 此資料庫收集了 1989-1990 期間美國一所小學 3 年級的數學教學資料,包括課堂 的錄影帶、錄音帶、學生課堂作業以及教師的教案、省思札記等。同時也組成了. 19.

(33) 第二章 文獻探討. 一支經驗豐富、具有多專業學科背景的研究團隊,從教學實作中分析教學所需。 量的方面研究則是來自「Learning Mathematics for Teaching Project(LMTP)」計畫, 為了補充質性分析的不足,她們發展了上述各類知識的檢測方法,撰寫了不同類 型的選項由不同的老師作答,再利用因素分析確定研究假設。最後,她們提出教 學用的知識(MKT)有六大類(見圖 2-2-5):. 圖 2-2-5:教學用的知識與其結構(資料來源:Sleep, 2009, p. 220) (一)一般的內容知識 CCK. 這是指,在教學工作之外也會用到的數學知識和技能,教師必須要知道她們 所要教的教材、識別學生的錯誤答案、教科書上不精確的定義,還有在黑板上書 寫時,正確使用專業術語和符號。這種知識在其他工作中也需要,但並不是教學 所特有的,可是如果教師如果缺乏這類知識,教學也會受到阻礙。. 20.

(34) 第二章 文獻探討. (二)特殊的內容知識 SCK. 這是指,為了教學所需的一種獨特的知識,例如教師時常需要分析學生的錯 誤,這種分析與數學家分析自己的研究中的數學錯誤有些不同。教師是為了教導 學生而做錯誤分析,而且,在課堂上需要做出即時且迅速的判斷,但是,數學家 卻沒有這樣的限制。如果學生的方法不合理,教師要能了解原因,如果學生創造 出了一種新方法,教師還要考慮這個方法是否正確、是否有推廣性,而數學家大 致不需要做這些工作。. 教師要教給學生的內容都是經過壓縮(compress)的,教師要使用解壓縮後 (decompressed)的數學知識來教學,才能幫助學生理解,例如辨別數學語言和生活 語言的差異、如何選擇和使用有效的數學表徵、解釋和驗證學生的數學概念,這 些都是教師藉由鬆綁(unpack)數學知識,讓其成為看的見、適合學生學習的狀態。 會計師和工程師的工作並沒有這樣數學知識上的需求。 (三)內容與學生的知識 KCS. 它指結合知道學生和關於知道數學的知識,例如預先想到學生的思考、學習 時會卡住的地方,選擇例子時會思考學生是否有興趣,設計問題時會猜測學生的 反應等。KCS 和 SCK、CCK 不同,後兩者是數學內容知識,它並不需要涉及學 生和教學的層面,而 KCS 是從教學行動的知識抽離出來的,它重視的是教師對於 學生如何學習特定知識的理解,例如,如何才能最佳地建立學生的數學思考或是 如何才能糾正學生的錯誤。另外,KCS 也不需要使用到課程教材的知識(Hill, Ball, & Schilling, 2008)。 (四)內容與教學的知識 KCT. 它指結合知道教學和知道關於數學的知識,例如,教師要為了教學將內容排 序、選擇起始例引入教學、教師應評估概念表徵在教學上的優劣,識別不同的數 21.

(35) 第二章 文獻探討. 學方法和過程所提供的教學意義。許多教學決策需要用到 KCT,例如在課堂討論 中,教師要決定何時暫停來做澄清、何時用學生的談論形成學習的數學要點、何 時提出新問題或新的任務加深學生的學習,這些教學決策都需要在數學和教學選 擇與目標之間達成協調。 (五)數學水平的內容知識 HCK. 這是某種的 SMK,一種對數學主題如何在課程中跨越的察覺,例如,了解目 前所學和之後要學的相關性、數學概念間的連結等等。它主要是一種數學的周遭 所見(peripheral vision),一種較大數學景致的視野(a view of the larger mathematical landscape),一種更深、更廣的數學素養,卻不一定展現在教學之中 (Ball & Bass, 2009)。例如,當一個數除以越來越小的分數,所得的數值將會越來越大,這樣的 說法是否是對的?這種現象是否有其背後的意義或是只是有趣的結果(Ball, 2010)?回答這類問題的基礎,就與 HCK 有關連。 (六)內容與課程的知識 KCC. 這是某種的 PCK,目前的定義尚不明確,僅有數個舉例。例如,什麼年級的 學生應該要教到分數的除法?在學校的課程中,如何將分數的除法關聯到整數的 除法(Ball, 2010)? MKT 的架構是建立於 Sulman (1986)的 PCK 之上,但是,它與 Sulman 知識 類別的差別在於「MKT 的架構是高度數學取向的」。Sulman 原本的 SMK 被細分 為 CCK、SCK 與 HCK,而一般教學法知識、有關學生及學生特性的知識和課程 知識則被 KCT、KCS、KCC 取代。此外,MKT 的架構可以展現教師知識的彈性, 特別是 SCK。當數學教師在課堂中遇到學生錯誤的數學想法時,她必須要在短暫 的時間內找出錯誤的原因,例如,學生宣稱兩點即可以決定一平面,接著,她在 兩個點中間畫出中垂面。這時,數學教師需要使用教學推理來分析學生的迷思概. 22.

(36) 第二章 文獻探討. 念,到底錯誤在何處?這種教學推理使用的不是 PCK,因為,尚未找出錯誤來源 時,無法轉換成概念表徵的形式或使用類比或圖示等向學生解釋。也不是 SMK, 因為,會求兩點中垂面的人不必然能找出錯誤來源。那麼,這種知識是是某種形 式的 PUFM 嗎?以其特色來看,這種知識並不具有連結、多重觀點、基本概念與 縱向整合的特性。所以,分析學生數學構思所使用的數學知識是相當特殊的 (specialized),因此,Ball 等人從 SMK 中分出 CCK 和 SCK。在有師生互動的數學 教學活動中,這種分析構思概念的情況會時常出現,因此,以 MKT 的架構來分 析教學活動中所蘊含的數學知識,應是十分合適的。. 二、Charalambous 的研究. 研究教師知識的目的是想要了解它對教學的影響。Charalambous (2008)檢視 職前教師(preservice teacher)的 MKT 與教學實作表現之間的關聯。首先,她們利 用 LMT 的檢測題,發展出評定 MKT 分數(MKT-score)的試題。接著,她們在參 與「Elementary Masters of Art with Certification program」的 20 位大學生中,觀察 他們在 MKT 分數與教學表現之間的關係,然後挑選出 7 位做更深入的分析,其 中包含了二位具有高 MKT 分數與高教學表現、二位低 MKT 分數和低教學表現、 一位教學表現比 MKT 分數好、二位 MKT 分數比教學表現好的職前教師。研究結 果顯示,如果職前教師的 MKT 分數較高,他們在選擇與使用任務(selecting and using task)、提供解釋(providing explanations)、使用表徵 (using presentations)、分 析學生的工作與貢獻(analyzing student’ work and contributions)與回應學生直接或 間接的求助(responding to students’ direct or indirect requests for help)五種教學表現 會比較良好。除此之外,她們也發現信念和對教學的印象(images of teaching)也會 對教學表現產生影響。. 23.

(37) 第二章 文獻探討. 三、Sleep 的研究. MKT 的結構是用在分析教學實作中的數學知識,由於教學活動複雜,各領域 知識界線模糊,對分類造成了困難。Sleep (2009)利用數學的濾鏡(mathematical lens)、學習者的濾鏡(learners lens)和聚焦的濾鏡(focusing lens)來分析課堂中的數 學 領 地 (mathematical terrain) 與 教 學 活 動 (instructional activity) 中 的 數 學 要 點 (mathematical point)。除此之外,她使用拉近(zoom in)與拉遠(zoom out)濾鏡縱觀 與微觀的功能來分析教學活動,此架構的詳細內容請見圖 2-2-6。 圖 2-2-6 中,若以數學濾鏡看數學領地,則能看見 SCK、CCK 和 HCK,看 教學活動會出現 SCK 和 HCK;以學習者濾鏡看數學領地,則有 KCS 和 SCK, 看教學活動會出現 KCS、KCT 和 SCK;最後,以聚焦的濾鏡看數學領地則有 KCC 和 HCK,教學活動會出現 KCC。此外,她對教學活動做定位(orienting the instructional activity)。此定位包括具體說明問題的細節和建構活動使學生聚焦在 預定要學的數學、準備特定教師行動,使學生聚焦在預定要學的數學、計畫如何 使用預期中學生的反應去讓學生更深入致力於預定要學的數學,較為具體的例子 有策略性的選擇例子、發展策略性的問題、決定何時加強學生解釋、選擇學生的 反應繼續後續的教學,這些都屬於 KCT(Sleep, 2009, p. 225)。 Sleep (2009)的三種濾鏡顯示出,數學教學活動中同一事件的不同面向,也釐 清了許多分類的界線。值得思考的是,Ball, Charalambous, Thames & Lewis (2009) 指出,她們在分析教學時,都是擷取有學生互動的部分。但是,以目前國內的高 中數學教學現況,大多是講述式的教學,與學生的互動較少,如果在整堂課中都 沒有出現學生的聲音,那麼,教師對於學生的思考就不會展現。為了因應國內現 況,可改以教學者或教學的濾鏡來分析教學,以突顯數學教師的教學思維。. 24.

(38) 第二章 文獻探討. 圖 2-2-6:數學目標工作的主要組成(資料來源:Sleep, 2009, p. 211). 柒、研究者對教師知識的立場 個人對教師知識的立場有三點。第一,在教學活動中,有些知識可直接觀察 到,有些則是隱藏在教學活動的背後,因此知識有外顯與內隱兩個面向。第二, 信念會影響教師知識的展現,雖然信念在教學中不見得能夠直接觀察到,但是它. 25.

(39) 第二章 文獻探討. 卻是持續的滲透在教學中。最後,MKT 架構或是 PUFM 特質都可以用來描繪教 師知識的樣貌。對一個老師而言,她可能具有部分的 PUFM 特質,也可能具有部 分的 MKT 領域知識。有些老師可能在某些教學單元中比較適合利用 MKT 架構來 分析,而 PUFM 特質較不彰顯,反之亦然。因此 MKT 與 PUFM 兩種理論架構的 分界並不明顯,兩者之間或許是有所重疊的。. 26.

(40) 第三章 研究方法. 第三章 研究方法 本研究目的是,探討資深高中數學教師在教學過程中,呈現哪些知識與思考, 以及教師教學相關知識和思考如何反應在課堂教學中,著重於「是什麼」 、 「如何」 以及「為什麼」的問題。這種研究涉及了解人類行為的建構歷程,與探討行為背 後所代表的意義,因此適合質化取向的個案研究法。此外,為了客觀的描述教師 在教學中使用的知識,個人藉由教學觀察系統來分析數學教學活動,利用量化的 數據,有系統的呈現教學活動與教師知識的關聯,並且提高研究的可信度。因此, 本研究將採用個案研究法,搭配教室觀察來進行。本章將詳細說明研究的方法與 程序,包含研究場域和對象、個案研究法和教室觀察、研究設計、資料分析及研 究限制。. 第一節 研究場域和研究對象 本節說明研究的場域、場域中參與的人員、選取個案教師的方法,以說明本 研究的背景。. 壹、研究場域 本研究屬於國科會「資深高中數學教師 MKT 的初探研究」計畫的一部分, 目的是想了解高中資深數學教師的 MKT 內涵。研究小組成員包括一位師資培育 者(計畫主持人) 、兩位數學教育博士生、一位資深高中退休教師(諮詢專家)以 及兩名數學教育碩士生(即研究者與一名現任高職教師)。. 本研究的場域是北部某公立高中的高二數理資優班,該校位居市區,每年級 有 19 個班級。此班級每週有七節數學課,並另有三堂專題研究課,學生需依科目. 27.

(41) 第三章 研究方法. 分組進行專題研究。該班教師對於教學內容安排有極大的自主權,平常上課使用 自編教材,教學內容相較於一般學校課程更具深度與廣度,進度也較一般班級快 速。此外,教師並採用坊間的講義作為學生之課後作業。在成績的評量方面,也 跟一般的班級不同,此班級的學生需參加學校既定的段考和教師自行出題的段 考,期末總成績則為兩者合併計算。值得注意的是,個案教師認為此班學生並非 都是數理資優生,多數只是「績優」的學生。. 貳、研究對象 個案教師(之後皆稱謝師)於民國七十九年畢業於國立台灣師範大學數學系, 之後獲得碩士學位。謝師擁有豐富的高中教學經驗,畢業後在國中任教,近十幾 年則任教於公立高中,累計共有十六年的教學年資。謝師於研究所階段專研數學 史,他為了促進數學史在教學上的應用,曾經多次設計融合數學史的創新數學課 程,並著有數學史的文章刊登於科教月刊,甚至參與翻譯相關科普書籍的工作。 除了教學與史料方面的相關著作之外,他也多次指導高中學生參加科展與學科能 力競賽,屢獲佳績。 本研究採用立意取樣(purposeful sampling),由於謝師有國中教學經歷,和超 過十年的高中教學經驗,不只對教材熟悉,若與初任數學教師相比,教學構思應 該更為周全且穩固。由於任教數理資優班,他對於數學知識的深度與廣度,較不 受限於學生程度以至於無法發揮,因此,本研究藉由觀察謝師的數學教學,來探 討其教學相關知識的內涵。. 第二節 個案研究法和教室觀察 本節分兩部分說明個案研究法與教室觀察的意義,並說明選用這兩種研究方 法的適切性。 28.

(42) 第三章 研究方法. 壹、個案研究法 以下說明本研究為何採用質性研究取向中的個案研究法,以及個案研究的意 義與本研究的研究設計。. 一、質性的研究取向. 社會科學研究方法有兩大取徑,一是量化途徑,二是質化途徑。量化是以數 據資料為基礎,利用統計原理檢驗假設或理論。質性研究的目標則是想更加理解 人類行為和經驗,尋求掌握人們建構其意義的歷程,並描述這些意義的內涵。這 類方法不同於量化研究,它是在搜集人類行為的事實至一定數量後,即形成一個 理論,再用於預測人類的行為與經驗。 質性研究有五大特色(Bogdan & Biklen, 1998,黃光雄譯,2001)1。首先,質 性研究的場域是自然的,即研究者要在實際場域收集資料,因為「背景脈絡」對 於所要研究的行動而言相當重要,所以,瞭解行動的最好方式就是在行動發生的 場域來做觀察。此外,這些場域總是附屬在某些機構中,連帶的,研究者對這些 機構的歷史脈絡也需保持高度的敏感性。接著,研究者蒐集到的資料是描述性的 (descriptive),資料可以是照片、錄影帶、實地札記等文字或是圖像呈現,而不只 是 將 之 化 約 為 數 字 。 因 為 質 性 研 究 對 人 事 物 採 用 多 元 而 厚 實 的 描 述 (thick description),不易以統計處理,所以,蒐集的資料被稱為軟的(soft)資料。第三,. 1. 本文中引用的中譯本,會在第一次列出原作者、原作出版年份、譯者以及譯本出版日期。當. 文中再次引用時,將不再寫出譯者,而僅列出原作者、原著出版年份與中譯本出版年份。. 29.

(43) 第三章 研究方法. 研究者亦重視歷程之轉變,並非只有結果。第四,研究者在蒐集資料的過程中, 以極近挑剔(nitpicking)的方式來接近和觀察這個世界。研究者不可以「理所當然」 的眼光看待資料,而是假定任何事物都有可能發展成線索,以歸納的方式,如同 漏斗般,使頂端開放的資料處理到最後,變成更具體和更特定的研究方向,而不 是尋求證據來證實或否證在研究之前所持的假設。最後,在質性研究中,關心所 謂的參與者觀點(participant perspectives),即研究者透過參與者的觀點來了解不同 的人如何建構他們生活的意義。. 本研究是希望探討高中數學教師在教學中呈現了哪些知識和思考,因此,以 直接觀察課堂教學的資料為主要來源,除了使用影片紀錄外,研究者利用訪談了 解謝師的背景與教學前構思,還有教學中與學生互動時的思考,以便更精確掌握 謝師建構教學的歷程與其獨特性。分析資料時,個人以開放中立的角度歸納謝師 教學相關知識的特徵,並將教師知識呈現的歷程,給予厚實的描述,因此,本研 究適合質性的研究設計。. 二、個案研究的意義. 個案研究是對一個場域、單一個體、文件資料儲存庫、或某一特定事件做鉅 細靡遺的檢視(Yin, 1994,尚榮安譯,2001)。其本質是試著闡明一個或一組決策: 為什麼他們會被採用、如何來執行、以及會有什麼樣的結果(Schramm, 1971, 引自 Yin, 1994/2001)。Yin (1994/2001)認為,決定研究策略須依照研究問題的類型、研 究者在實際事件上所作的操控、研究重點在當代的或歷史的現象,視情況選擇適 當的研究法。在數種社會科學的研究方法中,實驗研究法必定對事件進行操控, 而歷史研究法通常是無法操控且非當時發生的,調查研究法處理的是關於什麼 人、是什麼、在哪裡、有多少的問題,但不著重當時的事件。什麼樣的時機會使 用個案研究法呢?如果是要回答「如何」或「為什麼」的問題、研究者對事件較. 30.

(44) 第三章 研究方法. 少操控權,或是研究重點是在當時真實生活脈絡中發生的現象時,則會採用個案 研究法。. 本研究探討的是,個案教師在高中數學教學中呈現了哪些知識和思考,且這 些知識與思考如何影響謝師在課堂的數學教學。教學活動充滿不確定性,數學教 師會隨著學生反應不同而做不同決策,深度的訪談可了解謝師教學概念的構思、 與學生互動時的思考。因此,本研究涉及「什麼」知識、 「如何」呈現這些知識及 「為什麼」呈現知識的問題,是對單一個體的知識作詳盡的分析探討。此外,研 究重點是當時真實教學脈絡中發生的現象,研究者並無意圖對教學事件進行操 控,只是從旁觀察。所以,本研究適合個案研究法。. 三、個案研究的設計. 研究設計是進行研究的藍圖,它是從想要探討的初始問題,到達回答問題的 行動方案。此外,它也是一種求證的邏輯模式,即幫助研究者推論出研究變項間 的因果關係,並且,決定這種因果關係是否具有普遍性與推論性,其設計的主要 目的是,要避免所蒐集到的資料不足以回答研究的問題。Yin (1994/2001)認為, 個案研究法的設計中,包含研究問題與命題、分析單元、連結資料及命題的邏輯 和解釋研究發現的準則。 Yin (1994/2001)依照個案與分析單位,將個案研究策略分成四種類型,分別 是單一個案整體性的設計、單一個案嵌入式的設計、多重個案整體性的設計、以 及多重個案嵌入式的設計。研究進行之初,即需決定採用單一還是多重個案,選 取單一個案有數個可能原因。第一個可能原因是,此個案是用來測試一個成熟 (well-formulated)理論的關鍵性個案,它可用來確認、挑戰、或擴充理論。第二是 該個案代表一種極端或獨特的個案,因為發生狀況稀少,無法進行多重個案研究, 第三是此個案是揭露式個案,目的是為了揭開無法接觸的普遍現象。多重個案相. 31.

(45) 第三章 研究方法. 較於單一個案所得的證據,被認為較強而有力,且整體研究較穩健(robust) (Herriott & Firestine, 1983),其目的是為了預測類似的結果(原樣複現,literal replication)或 是由可預測的理由產生不同的結果(理論複現,theoretical replication)。而整體與嵌 入式的差別在於,同一個個案包含一個以上的分析單元,稱嵌入式設計,若檢視 一個計畫或組織的本質,則是使用整體性的設計。. 本研究目的是,想了解高中資深數學教師教學時所展現的相關數學知識與構 思,並探討教師的知識如何支持他們提供解釋、計畫課程、選擇例子與對學生做 反應等教學決策。由於,每位教師的教學思維、背景不同,因此,呈現的教學相 關知識也會有所不同,再加上謝師擔任數理資優班教師和其特殊的背景,其教學 經驗也不同於一般公立高中教師,因此具有獨特性。再者,研究者考量教師知識 會因不同的教學單元而有不同的風貌呈現,因此,選取了不同屬性之三個教學單 元進行分析。故本研究採用的是單一個案嵌入式的設計。. 貳、教室觀察 教室觀察的使用範圍相當廣泛,凡舉教室內的布置、教材或教具的使用、學 生學習活動的形式、教師的教學法與班級經營,或是師生間互動的形式,都是可 以觀察的要素。在諸多要素交互作用形成的教室生活是相當複雜的,因此觀察者 無法關注教室中所有事件。此外,不同的觀察者對於同一事件可能產生不同的理 解,因此,對於客觀的教室行為可能產生主觀的描述,為了避免觀察者忽略教室 中事件或是個人偏見,觀察者會依照研究問題與目的,事先定義好觀察規則,選 取所需觀察的事件,再進行分類與分析,因此,教室觀察的目的是在於透過非參 與的觀察過程,對於教室中發生的事件提供客觀證據(McIntyre, 1980)。 Rosenshine & Furst (1973)指出,教室觀察系統超過上百種,依照其登錄程序、 觀察項目和編碼形式的不同而各有型態上的差異。在登錄程序中,經常會記錄事. 32.

參考文獻

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