謝師教學知識的 MKT 內涵

本節首先個別討論謝師在教學中出現的MKT，接著對 MKT 各領域知識做綜 合的描述，再來，利用Ma 與 Ball 理論的整合，以圖形呈現謝師的 MKT 樣貌，

最後，再討論MKT 各領域知識關係的釐清。

壹、MKT 各領域知識的個別描述

以下分三部討論謝師在數學教學中所展現的數學教學知識及其形式。第一部 分為其教學中常出現的CCK、SCK、KCS 和 KCT，第二部分為較少出現的 KCC 與HCK。

一、CCK、SCK、KCS、KCT

課堂教學觀察結果的分析顯示，謝師比較突顯 CCK、SCK、KCS 與 KCT。

相較於數學實習教師在準備教學工作時，主要呈現 KCS、CCK、pedagogical knowledge 和 KCT (Cannon, 2008) 是不同的。謝師的 CCK 常無法直接觀察，但可 推測他對教學的數學內容充分掌握，儘管有少部分的計算錯誤或是疏忽，但是皆 非CCK 不足所致。另外，謝師的 SCK 主要出現在解釋數學概念時，其次，還有 解釋題意、選擇和發展可行的定義、二維類推三維、對概念做組織連結、判斷非 標準化解法正確與否、選擇合適的例子、解釋和評估不同的解法等教學情況。

Hill 等人(2008)指出，測量 KCS 試題有四種類型。首先是一般的學生錯誤，

指對錯誤的識別和提供解釋，知道什麼樣的內容會出現什麼錯誤。二是學生對數 學內容的理解，指解釋學生的產出充分的顯示是否理解、決定學生哪種想法代表 有比較好的理解。三是學生發展的序列，指識別哪種題型、主題或數學活動對哪

個年紀的學生是比較容易或困難的，學生是先學哪些知識，還有在各年級學生應 該要會的知識。最後是一般的學生計算策略。在謝師的課堂數學教學中常顯現的 則是，一般學生的迷思、學習困難處、學生對內容是否理解、對內容的理解學生 一般解題策略；選擇例子時他則會思考，學生是否有興趣和是否會混淆學生焦點。

這些特性符合上述之一、二和四種類型，至於三，則是因為研究目的聚焦在高二 單元而不易顯現。

KCT 的部分，謝師除了將課堂數學教學內容的例題排序、選擇起始例引入教 學、評估概念表徵在教學上的優劣之外，亦出現Sleep (2009)提出三類涉及 KCT 的數學教學活動：具體說明問題的細節和建構活動，使學生聚焦在預定要學的數 學；準備特定教師行動，使學生聚焦在預定要學的數學；計畫如何使用預期中學 生的反應，讓學生更深入致力於預定要學的數學。Ball 等人(2008)對於 KCT 的描 述，可區分為教學前與教學中兩種情況，上述情況是屬於教學前即使用的KCT。

而為了因應教學的不確定性產生的KCT 包括：教師決定何時暫停課堂討論以做概 念澄清、決定何時利用學生的談論形成學習數學的重點，以及決定何時提出新問 題或新的任務加深學生的學習。在謝師的課堂數學教學活動中，亦出現這類的 KCT 的特徵，但是，與前面描述不同的是，謝師是為了配合學生提出的想法，而 臨時更動教學的內容與順序。由此可知，謝師的KCT 似乎是有彈性又可因應教學 之不確定性。

二、KCC 與 HCK

關於KCC 的部分，Ball 等人(2008)的定義比較不明確，但是，她們提供了三 個需要使用 KCC 的例子，分別為：什麼年級的學生應該要教到分數的除法？在 學校的數學課程中，如何將分數的除法關聯到整數的除法？有什麼關於分數和除

位」是指出不同單元的數學概念，在學校數學課程中是被安排在哪個年級學習的，

因此屬於KCC。

如同KCC，HCK 的部分，因為受限於 Ball 等人(2009)的定義皆是抽象性的描 述，較少以實際的數學教學案例來說明，因此，無法比照文獻做更深入的分析。

但是，這並不表示謝師的教學中不需使用HCK。在此，個人參照 Ball (2010)所提 供的例子，舉一教學實例說明謝師的課堂數學教學中亦反映出部分的HCK 特徵。

首先，回顧第二章中 Ball 所舉的例子「『當一個數除以越來越小的分數，所得的 數值將會越來越大。』這樣的說法是否正確的？此外，這個描述是否有其背後的 意義，或只是有趣的結果？」本研究中的謝師在講解某例題時，也需要做同樣的 數學思考。例如，他講解「求過 (2,1,4)的平面，與座標軸截出的體積最小為何？」

題時，在求出答案後，立即告訴同學此題的答案有固定的規則，假若平面上的點 改為(p,q,r)的一般形式，則答案是92pqr。這個敘述永遠是正確的，謝師也提出 證明。事實上，若再進一步討論，(p,q,r)代表了平面上的重心，這個結果可以直 接從證明中獲得。此教學的實例顯示，當一個有規律的現象被提出時，教師需要 知道此描述是否正確並洞察其背後的數學意義，它是更深、更廣的數學素養，但 是，不一定展現在數學教學之中，這符合HCK 的部分特徵。

貳、MKT 各領域知識的綜合描述

一、各領域知識的外顯與隱藏特性

謝師的CCK、SCK、KCS、KCT 並非單獨出現，在教學當下的同一段時間中，

謝師可能使用了數種領域的知識，但是在教學的過程中，不必然會全部顯現，而 是隱藏在謝師的數學教學思維中，需要借助訪談才能反映出來。例如，在大部分

的數學教學活動中，謝師的CCK 支持 SCK，因為，謝師在解釋時所使用的 SCK 必須建立在CCK 之上，但是，我們不見得能在他的課堂數學教學中直接觀察到，

只有當他在描述數學概念或程序，例如，使用定義或描述解題程序活動時，才可 直接觀察到 CCK 的特徵。另外，當謝師對一個數學概念有多種的解釋時，這是 使用了SCK，但是，他對不同的數學解釋必定有先後的順序，關於排序的選擇則 屬於KCT。個人在教學活動中沒有辦法直接判斷謝師是否呈現 KCT，只有透過訪 談，才可知道他是有意的對數學學習的內容做排序，在這樣的情況下，KCT 是隱 藏的，而當下的SCK 則外顯於教學。

二、各領域知識之間的交互轉換

謝師各領域知識在教學中並不盡然都是持續地出現，可能隨著時間序列而不 停地轉換。以前導階段中的「學生的非標準解法」教學片段為例，謝師聆聽學生 的想法，接著判斷這個做法是否正確，再解釋學生的思考，最後，他臨時決定將 自己的解法推遲，先呈現學生的解法。這個教學過程所展現的知識依序為KCS、

SCK、KCS 與 KCT，若將教學片段還原回五十分鐘的數學課程，更能清楚分析謝 師各領域知識的連續轉換現象，這呼應了Ma (1996)描述教師學科知識如同水流，

沒有人能使之保持靜止。

三、各領域知識的交互影響

（一）KCS 影響 SCK

在第四章中，個人曾經提出，因KCS 而影響 SCK 的呈現，例如，謝師認為 學生無法理解期望值的數學意義，因此，解釋的時候強調期望值為什麼這樣定義。

在教學活動中，我們除了可觀察到外顯的 SCK，透過訪談，我們更知道 KCS 的

（二）KCS 影響 KCT

個人在第四章中曾經指出以下的觀察心得：了解學生學習時可能會有困難的 地方，為了減少學生學習的困難，影響例題安排；依照學生對不同模型的接受程 度，安排不同觀點的教學順序；以及，為避免分散學生注意而修改例子。雖然，

謝師的課堂數學教學是以講述為主，但是，這並不完全都是以教師的思考為中心，

他在教學的安排中還是會顯現他對於學生的關注。這個結果與個人原先的猜想不 同，個人認為，台灣的高中數學教師應該大多數是以自己對數學的理解，來安排 數學教學，對學生的考量則較其次。但是，以本研究結果而言，雖然，謝師的數 學教學形式以講述為主，但是，他的教學安排依然考慮到是否有助於學生的學習。

這樣的結果，呼應了Artzt & Thomas (1999)對新手與資深數學教師的研究結果，

新手教師多半思考教學的技巧，但是，資深教師因已掌握相關的教學技巧，反而 能夠注意到學生學習的不同面向。

（三）KCC 與教學信念影響 KCT

除了KCS 對 SCK 與 KCT 的影響之外，數學教學目標也會影響 KCT 的呈現。

在Sleep (2009)對 KCT 的描述中，有一項是「準備特定教師行動，使學生聚焦在 預定要學的數學(preparing specific teacher moves that focus students on the intended mathematics;)」，其中「要學的數學(the intended mathematics)」涉及謝師所設定的 數學教學目標。若教學的目標是知識層面的，例如，學生在此單元應該要學會哪 些數學知識，那就屬於KCC(在 p.94 中有提到 KCC 的運用)。若是情意層面，例 如，謝師想要培養學生獨立思考數學的能力而提問，那就屬於數學教學信念的部 分。

（四）SCK 影響 KCT

在第四章前導階段「教學活動中展現的MKT」分析中，第一個例子是說明謝

師利用「二維類推三維」的方式進行教學，這樣的教學源自謝師對概念理解的架 構，而組織這個架構的應該是SCK，因此這個例子顯示了 SCK 對 KCT 的影響。

（五）情境影響 KCS

此外，謝師的KCS 也會受到情境的影響，例如他曾在訪談中(D3, 990430)表 示，自然組與社會組學生對數學證明的接受程度不同。這是KCS 在不同情境中的 不同樣貌，為了因應差別，他會在不同組別上課時，考慮要不要證明某些數學性 質，這屬於情境影響KCS 再影響 KCT 的例子。這部分呼應了 Fennema & Franke (1992)所提出的數學教師知識與信念的互動論。他們認為，數學教師的知識可區 分為數學知識、教學法知識及學習者數學認知的知識，而這些知識會受到情境與 脈絡的影響。

參、Ma 和 Ball 理論的整合

在本章的第一節中曾經提到，謝師的課堂數學教學具部分PUFM 的特徵，若 以MKT 中各領域知識來考慮 PUFM，在 CCK、SCK、HCK 和 KCC 中皆可能出 現 PUFM 的特徵。首先，CCK 是對基礎數學深刻理解的必要條件。再來，在本 研究中發現，SCK 的形式包含有對數學概念的連結與比較，因此，涉及數學知識 的深度與廣度。HCK 為一種對數學主題如何在課程中跨越的察覺，例如，了解目

在本章的第一節中曾經提到，謝師的課堂數學教學具部分PUFM 的特徵，若 以MKT 中各領域知識來考慮 PUFM，在 CCK、SCK、HCK 和 KCC 中皆可能出 現 PUFM 的特徵。首先，CCK 是對基礎數學深刻理解的必要條件。再來，在本 研究中發現，SCK 的形式包含有對數學概念的連結與比較，因此，涉及數學知識 的深度與廣度。HCK 為一種對數學主題如何在課程中跨越的察覺，例如，了解目