謝師教室數學教學觀察的結果

教室觀察系統主要分「教學形式和內容」、「教學活動中數學領域的知識」與

「對學生使用的數學」三大類，以下將觀察依序報導謝師數學教學的結果。「教學 形式和內容」與「對學生使用的數學」在三階段中結果較為一致，因此合併階段 討論，而「教學活動中數學領域的知識」則顯現了不同階段有較大的差異，因此，

再細分前導階段、第一階段、第二階段討論其特色，最後，綜合討論跨階段結果 的異同。

壹、教學形式和內容

「教學形式和內容」包含三個部分，第一是「教學形式」，第二是「教學內容」， 最後則是「教學的進行方式」。

「教學形式」有兩種，一種是全體活動，另一種是個人活動。由表4-1-1 知，

謝師教學時多採對全班講述，前導與第二階段皆佔八成，而第一階段只55%是因 為謝師在此單元(重複組合)穿插了許多其他排列組合的題目，因此不算在分析的 範圍。個人活動是讓學生自行練習，三階段比例都不超過15%。事實上，謝師通 常是找三位學生直接在黑板上演算，其他人在台下自行練習，過程中謝師會到處

表4-1-1：教學形式

前導階段 第一階段 第二階段

總片段(個數) 180 38 59

全體活動 147(82%) 21(55%) 47(80%) 個人活動 10(5%) 2(2%) 8(14%)

「教學內容」則是按照所屬的章節來分類，前導階段是空間中的平面與直線，

屬於幾何範疇，第一階段是觀察重複組合，屬於離散數學部分，最後階段是期望 值，屬於機率領域。事實上，在真實的數學教學活動中，謝師通常會夾雜許多不 同的教學內容，例如代數與幾何意義是時常需要同時比對的。

「教學的進行方式」中有八個類別，各階段的時間分布可見表4-1-2。前導階 段中，「介紹主要的工作或概念」、「教師示範例題」與「學生操作」所佔比例為各 類別的前三名。第一階段則是「教師示範例題」、「介紹主要概念或工作」與「與 教學目標無關的數學」，而「與教學目標無關的數學」佔了23%，分析其原因為，

謝師將其他排列組合的題目穿插在重複組合單元之中教學，但是，這些題目又與 重複組合的概念沒有什麼關聯，因此「與教學目標無關的數學」的比例才會偏高。

第二階段則是與前導階段一樣是「介紹主要的工作或概念」、「教師示範例題」與

「學生操作」。綜觀此三階段可知，謝師的數學教學模式主要由「介紹主要的工作 或概念」、「教師示範例題」與「學生操作」三種活動組成，約佔教學總時間的八 成。

此外，「教學的進行方式」中各類別有出現的順序，研究者從登錄表中發現，

謝師特定的數學教學模式為一開始先作班級經營，接著是概念回顧或是介紹主要 概念或工作，再來才是教師示範例題或學生練習，如果是學生練習，謝師也會講 解學生的練習，最後是做總結。但是，這樣的教學模式並非一成不變，謝師會視 狀況做些微調整，例如，講解概念的一堂課可能就沒有辦法作概念回顧；或是學

生當下的學習狀況不佳，謝師會開始精神講話，因此造成數次的班級經營穿插其

2754(22%) 1957(20%) 5257(36%) 9968(36%) 教師示範

例題

2609(21%) 2273(23%) 4007(27%) 8889(27%) 學生操作 1417(12%) 1175(12%) 2375(16%) 4967(16%) 講解學生的

練習

458(4%) 998(10%) 916(6%) 2372(6%) 總結 1108(9%) 232(2%) 671(5%) 2011(5%)

一、前導階段

前導階段的教學內容為空間中的平面與直線，以下分九小節分析十一個細 項，最後做階段性小結。

（一）數學描述、數學解釋與數學證明

為了傳達新的數學概念或展示運算的過程，需要使用到「數學描述」、「數學 解釋」或「數學證明」，這三者中出現最多的是「數學解釋」，總計有19837 秒，

而對步驟做「數學描述」有3685 秒，最少的是「數學證明」，有3652 秒(見表 4-1-3)。

表4-1-3：數學描述、數學解釋與數學證明（前導階段）

描述 解釋 證明 L1 150 1057 802 L2 58 1114 580 L3 213 1586 416 L4 287 1692 505 L5 316 1259 150 L6 143 1934 0 L7 0 2310 0 L8 446 564 154 L9 710 2018 0 L10 87 1338 1045 L11 539 1525 0 L12 736 1433 0 L13 0 2007 0 總計 3685 19837 3652

在解釋與描述部分，「數學解釋」時間是描述的六倍多，原因是，謝師教學中純粹 描述過程的部分不多，即便是在解題當中，可以直接描述步驟，但是謝師還是會 再次說明理由，因此造成「數學描述」時間較少。證明則多出現在介紹新概念時，

例如證明平面方程式、直線方程式與平面族等，因此，在表 4-1-3 中就有許多節 課是沒有「數學證明」的。事實上，謝師為了做概念回顧，還重複證明了平面方 程式兩次，因此，真正證明的時間是更少的。

（二）選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念

前導階段是研究空間中的平面與直線，謝師在這單元的最大特色是使用了大 量的操作物或可見的具體模型。因為，使用操作物或具體模型通常是以「次」計 算，而非以時間量處理，但是，本觀察系統只在各數學教學片段中勾選細項是否 出現，因此，研究者計算這類細項在總教學片段出現的百分比，以下其他類似細 項也是如此處理。由附錄一(5)知有 55%的片段使用「選擇正確的操作物或可見的 具體模型去表示數學概念」，而其他細項皆在 20%以下，由此可知，此項在前導 階段之重要性。其中，發生最多的情況是在黑板上繪出示意圖，其次是謝師利用 學生、身邊的物品當作輔助，因為，有時黑板上圖形無法展現三度空間的立體感，

直接使用空間中實物比較能幫助學生了解抽象的數學概念。

（三）對符號、具體的圖像及圖表做連結與多重模型

因為謝師繪圖的情況相當多，因此，與圖形相關的細項也會跟著被勾選，例 如「對符號、具體的圖像及圖表做連結」與「多重模型」，分別佔了6%與 19%（見 附錄一(5)）。如果謝師除了圖形外，再使用方程式來表達數學概念的話，就會被 認定為使用「多重模型」來講解概念，因為，圖像與方程式算是兩類的模型。以 圖 4-1-1 為例，謝師先列出方程式，然後告訴同學，這個方程式代表的平面應該 長怎樣，所以在旁邊又畫了圖。但是，如果謝師有特別指出符號與圖像的關連的 話，就是「對符號、具體的圖像及圖表做連結」。以圖4-1-2 為例，謝師指出直線 參數式之參數與相對應之點的位置關係。由統計數據可知，符號與圖像並列是謝 師經常使用的數學教學手法，但是，很少將他們要做連結。

圖 4-1-1：多重模型

圖 4-1-2：對符號、具體的圖像及圖表做連結

（四）概念連結

除了符號與圖像的連結之外，還有一種是「概念連結」，其出現頻率佔了13%

（見附錄一(5)）。謝師經常利用之前已學習的數學概念來講解目前要教的新概 念，多是以二維類推到三維，例如：

T：我們在平面上怎麼描述直線，也許他的方法就直接可以被我們替用 到哪裡去？空間中怎麼描述平面對不對？平面上怎麼描述直線？我們怎 麼寫直線方程式？

S：點項式跟參數式。

T：是ㄚ，但是更早之前，我們在第一冊，有一個什麼的想法，是斜率 的概念？對不對？ㄟˊ，平面上可不可以定義斜率？平面能不能定義斜 率？可不可以？...要怎麼定義？(B1,980928)

（五）比較

謝師把空間當成是平面的類推，因此在講解概念或例題時，常常會去思考平 面的時候是怎麼處理的，那麼，在空間可以如何被推廣，何時需要再尋找新的處 理方法，這時就會自然地顯露兩概念間的差異，個人稱之為「比較」。這種狀況佔 了 10%（見附錄一(5)），例如，謝師說明直線可以用斜率表示，而平面卻不行，

相關教學片段轉譯如下︰

T：平面上可不可以定義斜率？...請問，這個跟地面夾 45 度的平面在哪 裡？

S：無限多。

T：麻煩了，幾個？它可以轉對不對？...是不是？所以同學有沒有發現，

這個東西沒有辦法直接推廣，我們大概只剩下什麼觀點？向量觀點。

(B1,980928)

（六）提示教材地位

謝師為了從二維類推至三維，需要指出以前在平面學到的數學概念，因此就 會顯示教材的順序，此細項出現率為 11%（見附錄一(5)）。最常見的是指出以前 學過什麼概念，但是，大多沒有指出明確的學習時間，少數有確切指出附屬的章 節，這些狀況都會和「概念連結」同時出現。以下為兩類的教學片段轉譯：

T：以前我們平面還學過什麼？平面上的直線還有學過什麼？...什麼式？

截距式，兩點式。(B1,980924)

T：在我們第四冊會講整個截痕，截圓錐出來的就叫做圓錐曲線喔。

(B1,980925)

除了謝師主動的「指出教材地位」，尚有在解題時，依照學生的想法列出的式 子是之後才會學到的狀況，例如：

要到微積分知道嗎？(B1,980929)

或是解題時學生先用了之後才會教的方法，但是謝師打算留待之後再講解，如：

T：國書我還是很喜歡他的做法，但是國書這個做法其實是，我們要講 的一個重要的方法，這個叫做什麼東東知道嗎？叫做，平面族阿，不過 這個做法我們是後面才會再跟同學提拉齁，我打算那個在那個平面的相 對位置那邊再提齁，現在不適合講太多齁。(B1,980928)

（七）分析

謝師對要教的內容進行有系統的討論稱為「分析」，此細項佔 13%（見附錄 一(5)）。以平面方程式為例，他藉由平面中直線的特性，例如斜率、方向向量與 法向量，逐一檢視何者適合用來發展平面方程式。這種討論可以展現他對於理解 數學概念的組織架構。此外，「分析」也有提綱挈領之功效，例如在謝師的講義中，

例題是依照空間中幾何元素基本關係（點與點、點與線、點與面、線與線、線與 面、面與面）來收錄的，他的教學就按照這些關係的順序進行。

（八）多觀點

這部分佔14%（見附錄一(5)）。「多觀點」可分為兩類，第一是數學概念的多 種看法，例如平面方程式可以寫成一般式或截距式，前者使用的概念是方向向量，

後者則是截距。第二種的「多觀點」則是，解題時謝師提供二種以上不同的求法。

（九）與數學史做連結

此細項僅出現了3 個片段，但是因為謝師在就讀研究所時是專研數學史，因 此特別提出討論。個人在拍攝前訪談中，曾詢問謝師是否會在前導研究展現相關

此細項僅出現了3 個片段，但是因為謝師在就讀研究所時是專研數學史，因 此特別提出討論。個人在拍攝前訪談中，曾詢問謝師是否會在前導研究展現相關