數學教師的知識內涵

教師數學教學需要具備哪些相關數學教學知識？不同的學者分別有些同與不 同的看法，以下分析幾位主要學者對數學教學知識的觀點。

壹、Shulman 的觀點

大家都認同教師需要充足的學科知識，想要教數學，自己必須要先會做數學 才行。但是，會做數學的人不必然會教數學，因此，具備其他與教學相關的知識 也是必要的。若我們檢視過去美國教師檢定考試項目，就可以發現，檢定的標準 是上述思維的展現，首重學科知識，教學理論、教學法次之。之後，教師檢定的

級經營等，反倒忽略了學科內容知識，因此，Shulman (1986)提出了迷失的典範(the missing paradigm)，意即失去了我們所要教學的學科內容和本質，只重視一般教學 法，這直接影響了教師的發展和培育。

學科知識與一般教學法長期的分歧，宛若兩條平行線，教師檢定的重心則是 在這兩條線上轉換，對於教學法如何因「科」制宜，或是學科知識如何轉換成教 學的內容，也沒有太多人關心。因此，Sulman (1986)提出了融合學科與教學的 PCK，它是最有用的概念表徵形式、最有力的類比、圖示(illustrations)、例子、解 釋和論證(demonstrations)，使學科成為他人可理解的形式的知識。教師為了讓學 科容易理解，需要了解不同背景與年齡學生的先備概念、迷思概念，哪些主題學 習的難易度等，這些也都包含在 PCK 中。此外，Sulman 又提出了課程知識 (curricular knowledge，簡稱 CK)，其中包括了橫向(lateral)和縱向(vertical)的課程 知識，橫向課程知識強調教師連結或是同時進行討論課程或主題內容的能力，縱 向課程知識是同一學科中已經教過或是以後會教的概念或議題。最後，加上學科 內容知識(subject matter content knowledge 或 content knowledge，簡稱 SMK)，成 為教師知識基礎的三種分類。之後Sulman 於 1987 年再度修改教師的知識分類，

提出教師知識至少包含七種(p. 8)：SMk、一般教學法知識、CK、PCK、有關學生 及學生特性的知識、教育脈絡的知識、教育目標與價值及其哲學歷史背景知識。

Sulman (1987)認為教學是一個教學推理(pedagogical reasoning)的過程，而教 學推理與行動包括理解(comprehension)、轉化(transformation)、教學(instruction)、

評量(evaluation)、省思(reflection)、新理解(new comprehensions)六個部分。首先，

理解是指對教學目標以及所要教的內容理解。但是，這種理解並不足以使教學成 為專業，真正關鍵之處在於，將內容轉化為讓人易於學的能力，此種能力即為轉 換，它包含了準備、表徵、選擇、編織適應學生的特質(adaptation and tailoring to student characteristics)四項。在準備的過程中，教師依個人對學科的理解檢視教學 素材，並重新構造使之適合教學，再將概念以新的類比、隱喻等形式表徵。接著，

當教師透過表徵將內容具體化時，需要選擇可行的教學方法，例如講述、論證、

合作學習、發現學習等等。最後，再依照學生的能力、性別、語言、文化、動機、

先備知識等把教材修改到適合特定學生而非一般學生的特質，如同為之量身訂 做。此過程是從個人理解到使他人理解，是教學推理與行動的本質。再來，教學 是指可觀察的教學行為表現，它包含了班級經營、呈現清楚的解釋和生動的描述、

設計和確認工作、學生互動等等。教學過後，尚須確認學生的理解以得到回饋和 評量自身的教學表現，這是評量。最後，教師回顧教和學的發生過程，重新建構、

重演或重現教學事件、情緒與成就，透過這些過程，教師強化對教學目標、內容 結構的理解，此為新理解。

教學推理與行動並非線性的途徑，它是一個循環的過程。此外，它們之間的 順序並非固定的，有時某項並不會發生。深刻的推論需要他們正在做什麼的過程 和事實、原則和經驗的適當基礎，教師擁有深厚的知識基礎有助於做教學決定，

也影響了教學品質，反之，透過教學推理與行動，教師的知識將會不斷地被重組，

也會變的更加豐富。

貳、Frennema & Franke 的觀點

Fennema & Franke (1992)分析數學教師的相關文獻後，提出較常被研究者認 同的教師知識有：數學知識、數學表徵的知識、教師的學生知識以及教學和做決 策的一般知識。其中，數學表徵的知識涉及將複雜的學科內容轉化成適合學習的 表徵給學生，這呼應了Shulman (1986)所提出的類比、隱喻、舉例等數學表徵。

而數學表徵與數學學習之間有密不可分的關係，許多學者(Brenner, Herman, Ho, &

Zimmer, 1999；Cramer, Post, & delMar, 2002；Dreyfus & Eisenberg, 1996；Lesh, Post,

& Behr, 1987)也提到，學生如果能以多重表徵說明一個相同的數學概念，並能在

2007)

綜合各方理論，Fennema & Franke (1992, p. 162)提出一個整合教師知識的架 構(如圖 2-2-1)，其中教師知識可區分為數學知識(knowledge of mathematics)、教 學法知識(pedagogical knowledge)及學習者數學認知的知識(knowledge of learners’

cognitions in mathematics) 三類。此外，他們強調教師知識是情境化的(teachers' knowledge as situated)，無法獨自脫離所處的情境(situation)與脈絡(context)，所有 的知識的獲得都是在活動、文化、脈絡下交互作用的結果，而且，知識也會隨著 情境的不同持續發展和改變，在背後影響著這些知識發展的則是信念(beliefs)。

圖2-2-1：教師知識：在脈絡中的發展(資料來源：Fennema & Franke, 1992, p. 162)

參、Ma 的觀點

Ma (1999)研究 23 位美國小學教師與 72 位中國小學教師並比較其教學相關知 識的差異後，提出知識包裹(knowledge packages)的構念，其成分包括：概念的序 列(sequence)、關鍵概念(key piece)和概念結(concept knot)。概念的序列是由數個

對學習者數學 認知的知識

特定知 識的脈絡

數學 知識 教學

知識

信念

概念形成一個概念發展的主軸，它位於知識包裹的中心，而其他相關的次級概念 會連結到主軸上，並且相互關連著，因此在主軸外圍形成環狀(circle)的組織。這 些相互連結的概念形成教學中學生發展知識技能的可能路徑(path)。此外，概念間 的地位並不一定是相等的，知識包裹中有一些比較核心的概念即為關鍵概念，但 它不一定在主軸上，有時也會出現在週邊的環中。概念結是由一個關鍵概念與其 所連結的概念所綁成的概念叢(cluster of concepts)，中國教師們認為，第一次就徹 底的學習一個關鍵概念，就如同解開這些概念的結，對往後的學習有事半功倍之 效。教師的知識包裹能顯示其概念的組織方式，以及啟發和培育學生心智的縱向 過程(longitudinal process)。

在 Ma (1999)的知識包裹中，程序性的理解和概念性的主題(topic)是交織 (interweave)的，老師重視概念性的理解並不會忽略程序性的知識，事實上，概念 理解和程序是不可分開的。另外，她提出了概念性理解的結構（如圖 2-2-2），長 方形是大的主題，橢圓形是知識包裹中的一些概念，白色的橢圓代表程序性的主 題，淺灰色的是概念性的主題，深色的是基本的原理，被虛線連接的是一般對數 學的基本態度，通常不包含在知識的包裹中，但是，它比一些基礎的原理更有貫 穿力，因為，一個基礎的原理不能支持所有的主題，而一個基本的態度卻可以表 現在每一個主題上，因此，它對教師知識的連貫性和一致性十分重要。數個結構 連結起來會形成一個堅固的知識網絡，它是教師教學理解的一個縮圖。

Ma (1999)的研究發現，中國的小學教師展現的數學並不是一個沒有互相連 結、只有計算的組合，相反的它是智力的、有挑戰且令人興奮的領域。這些教師 所呈現的小學數學是基礎的數學(fundamental mathematics)，基礎(fundamental)這 個字包含基本(foundational)、初始(primary)、入門(elementary)三個意義。研究結 果顯現了中國小學教師對基礎數學概念理解的深度(deepth)、廣度(vast)、全面性 (thorough)，Ma 稱之為 PUFM。其中，深度是連結到更強而有力的概念的能力，

是貫穿一個領域中所有部分的能力。

數 學 的 結 構 概念性

的理解 程序性的理解

圖 2-2-2：Ma 之主題的概念性理解(資料來源：Ma, 1999, p. 25)

擁有 PUFM 的教師的教學會有連通性(connectedness)、多重觀點(multiple perspectives)、基本概念(basic ideas)與縱向整合(longitudinal coherence)四個特徵 (Ma, 1999, p. 122)。連通性是把數學概念和程序作連結，在教學上可避免學生發生 片段的學習；多重觀點是指理解的廣度，例如欣賞一個概念的多面向，提供多種 解題的方式並分析優缺點，使學生有彈性靈活的理解；基本概念對應的是理解的 深度，意指注意簡單有力的基礎概念和原則，強化和重新思考這些概念，藉著聚 焦於這些基礎概念，學生們不只被鼓勵去解決問題，還有實施實際數學活動；最 後，縱向整合是指對知識有著整體的了解，教師把握機會幫學生複習之前的概念，

也為之後要學的概念建立基礎，這是數學教學全面性的理解。有PUFM 的教師就 好像精通路線的計程車司機，在心裡有一張數學教學相關知識的地圖，知道所有 的替代方案，可以依照教學的需求靈活的作調整和變化。

肆、范良火的觀點

范良火(2003)在討論數學教師知識時，認為知識應該涉及三個成分：認知者，

即知識的主體(知道的人)；被知體，即知識的客體(被認知的對象)；和知識過程(the knowing)，即主體與客體的交互作用(怎樣認知)。知識的定義是認知者和被知體之 間交互作用的結果，它可以有各種形式和類型，例如根據被知體將知識分類的話，

包括關於事實的知識和關於事物的知識、知道什麼和知道怎樣的知識。若以認知 者分類的話，可分為專業性知識和一般性知識，個人性知識和大眾性知識。

范良火(2003)認為，在 NCTM 的專業標準(1991)「懂得數學教學」中，提出 了五種教師教學時應有的能力與知識：包含關於技術在內的教學材料與資源的知 識、關於表達數學概念和過程的方式的知識、關於教學策略及課堂組織模式的知 識、關於促進課堂交流和培養數學集體意識的途徑的知識及關於評定學生數學理 解的方法的知識。由這五種教師能力與知識可知，教師教數學時需要的知識至少 包含課程的知識、教學的內容知識和一般的教學知識，因此，他將PCK 再細分為 PCrK、PCnK 與 PIK。PCrK 是技術在內的教學材料和資源的知識，PCnK 是關於 表達數學概念和過程的方式的知識，而PIK 是關於教學策略和課堂組織模式的知 識。他提出了教師知識來源的框架，認為教師的數學教學相關知識是源自於以前

范良火(2003)認為，在 NCTM 的專業標準(1991)「懂得數學教學」中，提出 了五種教師教學時應有的能力與知識：包含關於技術在內的教學材料與資源的知 識、關於表達數學概念和過程的方式的知識、關於教學策略及課堂組織模式的知 識、關於促進課堂交流和培養數學集體意識的途徑的知識及關於評定學生數學理 解的方法的知識。由這五種教師能力與知識可知，教師教數學時需要的知識至少 包含課程的知識、教學的內容知識和一般的教學知識，因此，他將PCK 再細分為 PCrK、PCnK 與 PIK。PCrK 是技術在內的教學材料和資源的知識，PCnK 是關於 表達數學概念和過程的方式的知識，而PIK 是關於教學策略和課堂組織模式的知 識。他提出了教師知識來源的框架，認為教師的數學教學相關知識是源自於以前