第四章 研究結果
第三節 謝師數學教學觀點對教學實作的影響
本節首先說明謝師數學教學的觀點，接著描述教學觀點對教學實作的影響，
最後進行總結。
壹、謝師數學教學觀點
從課堂教學觀察中，個人發現謝師希望培養學生「帶得走的數學能力」，所謂
「帶得走的數學能力」包含「獨立思考」與「概念理解」兩部分。
謝師認為，獨立思考的好處有兩點，第一，在解題的過程中，如果學生某些 做法忘記了，他可以憑自己的思考重建解題的過程。但是，如果老師直接告訴學 生做法，學生會認為老師提的方法很理所當然，而失去自行建構的機會。以下為 相關的教學片段轉譯：
老師還是很希望說，你們在想問題的時候，ㄟˊ，你們有這樣的自己思考，
這樣的話是說，將來你齁，將來你這個地方的所有東西你會忘掉，你還 是有辦法怎樣？重建起來（B1,981012)。
這個問題上次先提的意思是希望同學先想，齁，你會發現我們現在處理 的方法沒有辦法處理這個問題，知不知道？...，我的意思是說，自己想 不太能夠想出來，那那個，你們如果沒有這經歷（自己思考），現在聽老 師直接講，好像會覺得很自然對不對？我總是覺得說喔，聽人家講好像 會缺少一層東西好像很可惜阿(B3,990430)。
由上可以知，謝師對於學數學的看法是偏向學生自行建構的。思考數學的過程就 好像爬山一樣，中途蜿蜒崎嶇，常常需要有嘗試的勇氣和耐性。有些老師會認為，
既然有比較好走的數學道路，學生就應該依照著前進，不需要再自己摸索，但是，
謝師卻鼓勵學生多嘗試探索新的數學道路。
第二個好處是，謝師認為數學的思考模式對之後不繼續念數學的人是有幫助 的，因此，培養獨立思考的能力比起學習解題來得更重要。他在教學時曾說：
將來你們到大學，乃至到大學畢業研究所畢業，讀完書出來就業，高中 現在講的這些題目，完全沒有任何的意義知道嗎？但是什麼會留下？你...
你...你思考那些問題那些動腦筋的過程會留下來，就會養成習慣，知不
知道？遇到問題也許可以怎麼樣想，怎麼樣想，這個才是我們要的，訓 練你的。（B2,990312)。
再來，謝師希望學生能對概念真正的理解。他認為，能夠做到與人談論數學 概念代表對概念有真正理解，學習的目的也在於此。以下為相關的教學片段轉譯：
像我們上課這種東西對班上有蠻多同學可能是很簡單的，對不對，但是 我常常看你們的簡單是簡單在哪裡呢？齁，有些人會算啊，被人家一問 就…，拿一張考卷給你寫，你好像會，對不對，但是這樣問你數學，開 始跟你談數學觀念，你會嗎？所以我常常跟你們講齁，要記得考試不等 於唸書啊。(B2,980928)
你們現在可能都會，都會叫你們算可能都會算，但是叫你們講都講不出 來，這個很頭痛拉齁，要學會跟人家講數學拉齁，說數學齁，知不知道？
(B2,980928)
另外，謝師在訪談中也說到，他認為學生很難做到對概念真正的理解，以下為相 關的訪談片段：
我覺得他們很多都會用名詞說喔，但是內涵本來就不太容易體會，譬如 說期望值算出來是什麼東西？你現在隨便找一個人講，他可能也只跟大 概跟你講平均數啊，他是不是真的有概念，我是覺得不容易，不容易啊。
（D3, 990430）
貳、數學教學觀點對教學實作的影響
在第一部分的討論中，我們可以知道謝師重視數學對學生長久的影響，因為，
對大部分的學生而言，目前所學習的數學內容大半是不會再用到的。因此，他希 望培養學生帶得走的數學能力，而不是之後回憶過去所學，只剩一片空白。這樣 的數學教學觀點，影響了教學的實作。以下提出兩點反映謝師教學觀點的教學行
一、主動提問
在介紹概念的時候，謝師會以提問的方式進行。他的數學教學雖然是以講述 為主，但是，他在每個階段中都會提出大量的數學問題，這些待解的問題串連成 教學活動的主軸，透過提問與討論，進一步地引動學生思考。以前導階段為例，
在介紹平面方程式的時候，謝師第一個提出的問題是「如何描述空間中的點，如 何畫出點」，第二個問題是「如何描述面和線」，之後，根據這兩個問題展開了主 要的教學內容。還有，第一階段和第二階段都是使用例題來介紹數學概念，像重 複組合是利用「取餐題」展開，而期望值則是以探討「改變供餐方式猴子是否划 算？」開啟教學。
除了介紹概念外，謝師在解題的時候，也常常會先當作自己也不知從何下手，
要求學生提供一個想法當做為起頭，之後為了節省時間，再換成自己講解。這是
「形」為提問，但「實」為要求學生思考，有別於口頭禪的「有沒有問題？」。例 如以下的教學片段轉譯：
要強迫你們想一下，你們要給我一個方向阿，不然我也不知道怎麼想？
(B1,980929)。
這樣的提問，除了可以促進學生思考外，還可以增加學生陳述數學概念的機會。
事實上，謝師也希望學生學會利用問題來做概念的整理，他說：其實老師很希望 你們是那種問題導向的，去做一些整理知道嗎？(B1,980929)。
如果學生答對他提出的問題，謝師會進行追問以確定學生是否了解概念，他 在訪談時表示：
那個家宏不是一聽我講就說用那個解釋就OK，可是我立刻反問他說為 什麼？為什麼呢可以用那樣，對阿，你看他就會被我問住這樣，那那個 其實就是有些地方沒有想通，也是我們解釋不清楚的地方。（D3, 990430）
由上面的描述，我們可以知道，謝師在介紹概念、解題開始與解題過程中，都會 對學生進行提問。
二、讓學生對數學有感覺
這部分謝師透過「分析」以及「做引入」來達成。謝師在教學時花不少時間 描述數學概念間的關係，並建立上層架構，這個在編碼屬於「分析」的部分。研 究者在訪談時曾提到謝師會去做一些綜觀的討論，而他也相當的認同：
(那些東西)他們看書看不到，譬如說你有一個人會看講義就會做題目，
有一個人看課本就會做了，他看不到那個東西，阿我覺得那個是當老師 要幫他們建立的，常常要知道自己在學什麼東西這樣，因為那個，那個，
那個我覺得是老師在上課一個很重要的部分。（D3, 990430）
除此之外，良好的引入概念也可以幫助學生讓數學有感覺，以下為相關的訪談片 段：
老師一直覺得，這種講法比較有情境，同學會比較有感覺，這樣，如果 我一開始跟同學想說我現在要找的是這個非負整數解，它是比較生的，
它是一個純粹的數學問題對不對？(B2,990312)
因為我覺得那個，你真的要讓他對學科有感覺齁，其實它很多那個，像...
像你現去在問一個跟你同年紀，不學數學，不是數學系的人來講，你問 他高中數學期望值學什麼？做了什麼題目都忘掉了，我覺得如果你跟他 聊這個，他會，真的有聽進去的人會記起來，可能有些東西像那個定義，
有些東西你如果稍微多一點點陳述，他稍微有一點印象的話，像之前有 一個老師叫儲啟正，…竹北有一個老師是他的學生，我曾經聽那個老師 講過說，他現在都還記得，以前儲老師上課在講概念，用的例子是什麼，
一方面可能它本身也是一個認真的學生啦，但是就是說那個，但是因為 儲老師講課是很特別的，他那個很多東西就是會有用一些例子引導一些 概念，他說他那些例子都還記得，我是覺得說那個引導的東西如果還記
小結
個人認為，謝師透過「主動提問」與「讓學生對數學有感覺」來培養學生「帶 得走的數學能力」。以MKT 的架構而言，這樣的教學可以解釋為教師所抱持的信 念影響了KCT 的展現。所以個人認為，數學教學「信念」應該是影響教師展現教 數學相關「知識」一個重要隱性因素。此外，謝師在對學生提問與做一些教學決 策時，都有運用到對學生的理解。以提問為例，因為他知道他的學生都不太會思 考問題，因此他利用提問刺激學生思考。以下為相關訪談片段：
其實像現在我自己帶那個班，也不需要講太多，因為他們那個反應，我 一直覺得不是很好，就是少數幾個他們聽得不太好，但是就是丟問題給 他們講，常常是今天丟請他們講，隔天來沒有，一定要再唸一次，他們 才會開始去想，那很多問題，他們學習的胃口跟習慣，很多我都覺得很 差很多很差。(B1,980925)
我希望刺激他們想問題啊，他們，我跟你說我這一班非常明顯，我是覺 得他們太...就覺得不太有想問題的習慣，我覺得你怎麼胡思亂想都好，
你提怎麼樣怪的問題都好這樣，就是要想這樣子，那我只是說有人曾經 這樣提過啊，那他們也提出了解決方式，啊我是說那你咧？你們咧？你 看他們都沒有，沒有人去想。（D3, 990430）
由這個方面來看，謝師採取「提問」這個教學行動時，是受到對學生理解的影響。
以MKT 的架構而言，可以被視為 KCS 影響 KCT。因此，我們可以知道，信念與 KCS 都是影響 KCT 展現的因子。
本章總結
謝師的數學教學相關知識呈現可分為三個層次，首先是表層的教學模式與不 同屬性教學單元所呈現的知識特性，其次為 MKT 各領域知識的呈現，以及隱含 在背後的教學思維。最後，謝師的教學信念也滲透在教學中，影響了KCT 的展現。
整體而言，謝師的教學既重視數學知識的內容與結構，同時重視學生的學習，他 以問題導向設計課程，以提問、分析與做引入的方法讓學生進行有意義的學習。