整數四則運算的教材分析

1的位置，其位置應該如下圖‚ 的黑點位置。

綜上所述，國內外學者提出的數感組織架構並未一致，但其內涵皆呼應有 意義理解、靈活思考、以及彈性運用方法解題。其中學者許清陽（2006）所列 出的數感五向度，也就是：「了解數字的基本意義」、「比較數字的相對大小」、

「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「能夠判斷運算結果的合理性」、

「瞭解數與運算多重表徵的能力」，研究者認為最能概括包含各種內容而又可 以簡潔明瞭表示出數感涵蓋意義，因此本研究以其組織架構為中心，並根據此 五向度為基礎，編製成本研究所採用之數感測驗。

第四節 整數四則運算的教材分析

壹、四則運算的意義

四則混合運算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意或解題計劃而來的，

其規則為「由左到右運算」、「先乘除、後加減」、「括號內先算」等。九年 一貫課程數學學習領域暫行綱要與正式綱要中，關於整數四則混合運算的能力

為輔，以二步驟、三步驟之計算題、文字題、文字或畫圖題為題型，依據整數 四則混合運算的三大運算規則自編自我效能量表，以瞭解國小五年級學生整數 四則混合運算之自我效能表現。

貳、四則運算的教材分析

研究者欲進行整數四則運算單元的教材設計及教學，須先對課程的內容做 縱貫連結及橫向的分析，瞭解一到六年級的課程彼此觀念的銜接，

一、整數四則運算在能力指標中的狀況

本研究所使用的整數四則運算教材，以民國九十二年公布之國民中小學九年 一貫課程綱要數學領域為主，92 年版之課程綱要自實施以來，隨著時間的推演，

課程綱要的內涵及能力指標都需要進行修改調整，以期讓國小的課程更能兼具橫 向與縱貫的統整與聯繫，因此在 97 年教育部公布修正後的九年一貫課程綱要，

在關於整數四則運算的主題中的修正，除了反映在教學現場中教師教學的狀況，

調整或刪除部分的內容外，更能符合學生在學習上的表現，能讓學生的學習有效 率，茲將 92 及 97 年課程綱要中，關於整數四則運算主題的差異整理如下：

表 2-1 92 課綱與 97 課綱在整數四則主題之差異對照表 92 課綱

(現行綱要分年細目)

97 課綱-100 年度新生適用 (修訂綱要分年細目) 2-n-05 能作連加、連減與加減混合

計算。

2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、

＝作橫式記錄，並解決生活 中的問題。

2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝

做橫式記錄與直式記錄，並解決生活 中的問題。

2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟 問題（加與減，不含併式）。

92 課綱

92 課綱

算試題的運算方式與解題策略，可以對學生的認知發展與認知結構更加的認識與 瞭解，以下針對數位國內、外研究者對於四則運算的相關研究加以說明與分析。

曹宗萍（1988）探討高屏地區國小六年級學生四則運算問題的解題表現及相 關因素。研究結果發現，兒童語文或閱讀理解能力的高低與認知發展的快慢會影 響其四則問題的解題過程表現，而多步驟等分除比單一步驟包含除的問題較易為 兒童理解。

楊瑞智（1990）探討四則運算的錯誤類型及在教學上的應用。指出學生四則 運算上的錯誤不只受到學生是否有完備的演算法則和原始模式潛在的影響，還受 到問題的語意結構及描述語言的影響。

劉天民（1992）調查國一學生在整數與分數四則運算之錯誤情形，並探討學 生可能犯錯的原因。研究結果顯示，學生在進行加減法運算時，會誤用乘法運算 性質；學生在對四則運算的規則上，忽略了先乘除後加減的規則，及未考慮括號 前後的運算情形。

林能傑（1994）研究學生二步驟問題的解題表現。發現學生答對情形會因題 型的不同而有顯著差異，在運算方面則顯示出︰＋×最簡單，＋÷與－×次之，－÷

最困難。

陳博文（1996）探討國小六年級學生四則運算能力。研究結果發現，學生在 整數的加法、減法和乘法上較無困難，然而在整數除法、小數運算、分數運算和 四則混合運算上，有較多困難。研究也發現，學生先前的錯誤規則會延續至同類 型的運算中，而阻礙往後的學習。

陳家弘（1997）探討以建構教學教導四年級數學學習障礙學生解四則運算問 題的解題策略。研究結果發現，數學學習障礙學生進行數學解題的特徵有：認為 自己的答案是對的、認為同學抄襲他的、表面判斷不重意義、直式運算、等號意 義不明、不願多花時間、重答案輕過程、不願再思考、任意編算式、遺忘規則、

情。

林秋榮（2001）探討電腦化動態評量對增進國小三年級學習障礙學生整數四 則問題解題之可行性，以及學生在電腦化動態評量的解題表現情形。研究發現，

電腦化動態評量數學解題系統可以提昇國小學習障礙學生整數四則問題解題能 力；在整數四則問題解題錯誤題型方面，以兩步驟文字題、多餘訊息文字題、除 法的預備經驗等題目的比例較高。

陳國雄（2006）探討國小四年級學生整數四則運算問題解題歷程的表現，以 了解學生的解題能力、策略及錯誤類型與原因。研究結果發現，學生整數四則運 算問題的表現，在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題的答題表現較佳；在加

（減）、乘兩步驟和加（減）、除兩步驟類型問題的答題表現較差。而學生在整 數四則運算所使用的解題策略有：使用最擅長或是最近才教的運算法、由數字大 小來決定運算符號、將所有運算都試過再選出最適當的答案、利用關鍵字、先猜 測答案是大（用乘或加）或小（用減或除）。解題時經常犯錯的錯誤類型有：加

（減）法運算錯誤、加（減）法進退位的概念不清楚、乘（除）法直式運算不熟 練、錯用乘（除）法運算符號、缺乏乘法結合律的基模知識、不會運用併式來表 徵、未依據四則運算的計算約定、不懂的運用括號區分計算的先後次序、缺乏基 本數學知識與概念、錯用資訊及已知條件、缺乏估算的能力、看錯題目數值、錯 誤表徵列式、任意使用運算符號、算式表徵不完整。

吳惠貞（2007）探討國小五年級學生整數四則混合運算概念學習表現及解題 錯誤類型與原因。將整數四則混合運算上之錯誤類型歸納為：四則運算規則運用 錯誤、算式或答案不完整、粗心而導致之計算錯誤、抄錯題目、列式錯誤、隨意 回答或空白等。並從這些錯誤中歸納出：學生在兩步驟的四則運算類型中，以「含 有括號」的錯誤率最低，以「沒有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最 高，但在含有括號之三步驟運算類型並非錯誤率最低，其原因為部分試題中除括 號內先算，其餘部分仍有涉及兩步驟的運算，學生仍運用錯誤運算規則。而在三

步驟的運算中，以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。學生將「先 乘、除後加、減」的演算規則，類化並外推到其他的情境，認為在運算時也要先 算加法再算減法，先算乘法再算除法，因而形成運算上的錯誤。學生無法區分算 式等價與不等價的敘述，對四則運算逐次減項的表示方式，仍有待改進。學生在 應用問題部分的錯誤原因可歸納為未確切遵守四則運算的規則，從簡單或容易運 算的部分先著手，將題目中所有的條件直接計算，使用他們慣用的知識來解決問 題。

楊淑靜（2007）主要是對四則運算文字題有列式（算式填充題）困難的三年 級學生，進行補救教學，並探討補救教學實施情形及其成效。研究結果顯示，結 合圖示與擬題教學策略的補救教學活動能有效提升學生之列式能力。

張育綾（2008）探討潛在類別分析在國小五年級學生四則運算規則之縱貫研 究，研究結果發現，前、後測四則運算中，學生整體的解題表現，以非文字題部 分比文字題部分佳。前、後測學生三大運算規則的解題表現，文字題部分以「括 號內先算」較不熟練，非文字題部分以「先乘除，後加減」尚需加強。前、後測 四則運算概念表現上，除了文字題「由左到右依序運算」的前測分數顯著高於後 測分數，其餘各項並未達顯著差異。根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果 進行交叉比對，發現學生對四則運算概念的認知結構有所轉變。

Page (1969)在「數字的基本運算規則」一書中提到，不當的應用四則運算規 則會造成計算錯誤，其錯誤的原因來自於學生受先前所學的運算所影響，也可能 來自於學生沒仔細的辨別。

Quintero(1983)研究9-14 歲兒童二步驟問題概念上的了解，其研究發現，影 響二步驟解題的主要因素是文字題中的文字概念與語意關係，而且由訪談過程 中，發現語意結構是影響解題的最主要因素。

綜合以上的研究，以研究目的來說，許多研究者是研究學生四則運算的解題

困難或學習障礙的學生進行研究，有些研究者則對三〜六年級學生進行研究。而 本研究則是以準實驗設計，抽測五年級的四個班級學生為研究對象進行實驗教 學，研究學生在兩種教學法下，整數四則運算文字題及計算題的解題策略及錯誤 類型之設計。