數感的重要性

壹、數感的意義

有些研究將數感(number sense)翻譯為「數常識」、「數字常識」、或「數 字感」（吳昭毅，2006；吳婉萍，2006；楊德清、吳宛儒，2007）。Howden(1989)

除了感覺之外，Hope(1989)曾以瞭解、常識、及能力等三方面擴充數感定義為：

1.能解釋並多樣化呈現的「感覺」；2.計算時對數正確程度的「瞭解」；3.使用 數字支持自己的論證之「常識」；4.產生合理估計、偵測計算錯誤、選擇最有效 的計算程序、與辦識數的組型之「能力」。

Reys(1994)認為數感不是一個有或無的實體，它是一個隨著經驗及知識發展 及成熟的歷程。數感主要是能夠彈性操作數字，而從學習歷程來看，學童仍須仰 賴具體的量建立數感，誠如Trafton(1989)所言，數感比較像是把數當作量來處理，

而不是把數字當作抽象、正式的東西來察覺。Behr(1989)把數感解釋為能彈性操 作量的心靈表徵，並在各種表徵之間轉換的能力。Griffin(2004)更進一步解釋數 學是存在於空間與時間中的量、語言世界中所計數的數及正式的符號這三個面向 所組成，而數感就是要建構這些面向之間的關係。為了賦予數感更明確的定義，

研究者列舉以下學者的詮釋：

一、Sowder(1992)對數感的想法是：

（一）良好的概念組織網路，讓人們能夠連結數字及運算特性的關係。

（二）一種可供辨認的能力，在比較數字時，使用數字的大小、相對和絕對大小 來做質與量的判斷。

（三）能辨認計算的不合理性，運用非標準化的策略來進行心算和估算。

（四）能運用多種變化及創新的數字形式來解決問題。

二、Reys(1994)認為數感是學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的 連結，而更重要的是，驅使學習者有形成這種連結的能力。

三、McIntosh, Reys, Reys, Bana, and Farrel(1997)認為數感是對數字和運算的一般 性理解，能變通使用這種瞭解來做數學的判斷，並發展出有用及有效的策略來處 理所面對的情境。

四、Gersten, Russel, Chard, and David(1999)認為數感是指孩子能流暢與彈性處理 數字，明白數字意義，及有能力心算數學、觀察並做比較。

五、Wiest(2006)提到數感的概念與技巧一般是指計算、數的表徵、數字間的關係、

及位值。

六、Naylor(2007)表示數感是一種感覺，這感覺包含對數字的大小與含意、數字 間的關係、合成與分解數字的方法、以及數字與周遭世界的連結。

七、Yang, Li, and Lin(2008)把數感定義為個人對數、計算以及兩者關係的一般性 瞭解，它也是處理有關數字情境的能力，這能力是用來發展有用的、彈性的以及 有效率的策略。

八、曹雅玲(2006)則從三個面向來描述數感：

(一)直觀性：數感是一種常識、一種直覺，可以有一定的形式，而且是逐步發展 的。

(二)概念性：數感是一種開放性且高層次的推理與思考。

(三)表徵性：數感是一種處理數字的能力。

九、許清陽（2006）的觀點是擁有數感能力的人，對數字有較強的直覺感覺，能 以各種不同的方式使用和解釋數字，並能創新數字的形式來解決問題，在不須使 用紙筆計算的情境下，能以各種不同形式的數字瞭解方式做數學上的判斷，並能 運用有效的策略來處理所面對的數字情境。這和傳統強調筆算的計算過程以得到 精確答案的能力，顯然不同。也就是說，傳統數學考試成績好的學生，並不能代 表有較好的數感。

根據以上文獻，可以瞭解沒有一個數感定義是可以絕對被認同接受。研究者 針對各學者的看法，把數感定義為個人對數與運算能有意義理解、靈活思考、以 及彈性運用方法解題，它會隨著經驗增長而轉化為更成熟的直覺及後設認知能 力。

貳、數感的組織與架構

具備哪些特徵才算是擁有好的數感，受到諸多學者專家長期關心研究，以下

為研究者收集國內外文獻，探討數感組織架構：

一、Thompson and Rathmell(1989)的組織架構

Thompson and Rathmell(1989)將數感的組成元素區分如下：

（一）了解數字的意義與關係。

（二）了解數字的相對大小。

（三）了解運算對數字的影響。

（四）了解如何使用參考點於日常生活情境中。

二、Sowder(1992)的組織架構

Sowder(1992)將數感歸納成九項元素：

（ㄧ）能對數字進行分解與合成，運用不同表徵解決問題。例如：如果已知 8×199

＝ 1 5 9 2 ， 則 8 × 1 9 9 ＝ 8 × （ 2 0 0 - 1 ） ＝ 8 × 2 0 0 － 8 ＝ 1 6 0 0 － 8 ＝ 1 5 9 2 。 （二）能分辨數字的相對大小，包括對數字進行比較大小和排序，以及運用有 理數的稠密性。例如：把數字0.8、0.2、0.7 由大到小進行排列，理解 0.8＞

0.7＞0.2，並知道0.8 與0.7間存有0.711、0.712、0.713、0.714…等無限多個 小數。

（三）瞭解數字的絕對大小。例如：知道小學裡操場的司令台上無法站上2000 個人。

（四）靈活使用參考點。例如：以50作為參考點，估算49＋53大約等於100。

（五）以有意義的方式將數字、運算與符號做連結。例如：知道327×6 也可以 寫成300×6＋20×6＋7×6。

（六）瞭解數字對運算的影響。例如：知道一百零幾加一百零幾的結果會比200 大。

（七）運用數字與運算間的關係，發展創新的方式進行心算。例如：解決「297

＋203」的問題時，能夠先把203 看成200＋3，再將3 與297合起來，得到300，

最後把300加上200，得到答案500。

（八）能適時運用估算策略，以判斷答案的正確性。例如：處理「398×5」的問 題時，能夠發覺398接近400，以400×5＝2000來判斷398×5的積最接近2000。

（九）判斷數字的合理性。例如：當我10 歲時，我的身高是130 公分，當我30 歲時，我的身高大約是幾公分？①390公分②175公分 260③ 公分④135公分，學童 能察覺一般成人的高度大約是一百七十幾公分，而選擇合理的答案為175公分。

三、McIntosh, B. Reys, and R. Reys(1992)的組織架構

McIntosh, B. Reys, and R. Reys(1992)三位學者將數感組織架構區分為：數字、運 算、數字與運算的情境等三個領域，並以圖2-2-1說明數感和數字、運算、數字 與運算的情境等三個領域之間的關係，其架構如下：

（ㄧ）數字概念

數字順序的理解、數字與運算的多重表徵、數字相對與絕對大小的比較、參照點 的使用。

（二）運算

了解運算對數字的影響、了解數學的特性、了解運算之間的關係。

（三）應用數字與計算於情境中

了解問題情境與運算的關係、發展多重的計算策略、使用不同的表徵、判斷答案 的合理性。

此外,McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 亦以另一個圖表說明數感與數字、運算 和情境之間的關係。

圖2-2-1 數感主要成份之內在連結（McIntosh, Reys, & Reys, 1992）

Yang, Li, and Lin(2008)曾對國小五年級學童進行數感研究，將數感組成元素區分 如下：

（一）瞭解數的相對大小：包含瞭解數的相對大小。在比較分數大小時，學生不 需要依賴標準算則（例如，在數學課裡找出最小公倍數的分母）。相反地，他們 能使用有意義的方法，例如，相同分子、相同分母、遞移、及剩餘等策略以比較 分數。

（二）使用數與運算的多重表徵：包含在不同情境使用不同表徵形式，例如，口 語表徵、圖畫表徵、符號表徵等，達到彈性而且適當地解題。

（三）判斷估算結果的合理性：不需紙筆計算就能在內心運用估算策略解題，同 時也能判斷結果合理性。

（四）瞭解運算對數的相對影響：個人知道四則運算如何影響結果。他們能有意 義理解運算，並知道乘不一定會得到較大的數，除不一定會得到較小的數。

五、許清陽（2006）的組織架構

許清陽（2006）在編製「國小六年級數感診斷測驗量表」將數感元素定義為五 大項：

（ㄧ）瞭解數字的意義和關係的能力：對正整數、小數、分數等有理數的理解，

能瞭解數字的基本意義及數字間的關係。例如，知道68和69之間有無限 多個分 數；910×0.5與910÷2的意義是相同的。

（二）辨認數字大小的能力：此能力指的是比較和排序數字的能力。例如，能 辨認 35×0.08 的乘積會比35小很多；6.7比6.6987 大。

（三）瞭解運算對數字的意義和影響的能力：此能力指的是瞭解運算在不同數 字所產生的影響，當運算元改變時，其結果也會跟著改變。例如，知道二位數和 二位數相乘的乘積可能是三位數，也可能是四位數；能瞭解「甲＋100＝乙-100

＝丙×100＝丁÷100」的相等式子中，丁最大。

（四）發展計算策略與判斷答案合理性的能力：指的是能應用不同的解題策略

於計算情境，並能預估答案是否合理的能力。例如：請判斷 538.8×0.4925，下 列哪一個答案是正確的？ (2.65359‚ 26.5359 ƒ265.359 „2653.59）。能 瞭解 0.4925 很接近 0.5，538.8 的一半應該是二百多才合理。

（五）以多重方式表徵數字的能力：指的是能以不同的形式表徵數字的能力。

例如：繞著正方形前進來表示 3

1的位置，其位置應該如下圖‚ 的黑點位置。

綜上所述，國內外學者提出的數感組織架構並未一致，但其內涵皆呼應有 意義理解、靈活思考、以及彈性運用方法解題。其中學者許清陽（2006）所列 出的數感五向度，也就是：「了解數字的基本意義」、「比較數字的相對大小」、

「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「能夠判斷運算結果的合理性」、

「瞭解數與運算多重表徵的能力」，研究者認為最能概括包含各種內容而又可 以簡潔明瞭表示出數感涵蓋意義，因此本研究以其組織架構為中心，並根據此 五向度為基礎，編製成本研究所採用之數感測驗。