電腦化壞鍵計算機融入教學對五年級學童數感能力與整數四則解題能力之影響

國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所

國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：施淑娟 博士

電腦化壞鍵計算機融入教學對五年級學

童數感能力與整數四則解題能力之影響

The effects of integrating computerized broken

calculator into instruction on the number sense ability

and solving arithmetic operations of the fifth graders

研究生：張芬玲 撰

謝辭

六月是鳳凰花開的季節，今年的六月對我更是意義重大。在論文付梓的同 時，兩年的學習生涯也將劃上休止符，內心有許多的喜悅與感激。喜悅的是兩年 的辛苦總算有美好的成果，感激的是ㄧ路上有許多關心我、幫助我的人，讓我能 順利的完成論文。 在學習研究的過程，幸蒙指導教授施淑娟博士的指導與協助，尤其施老師在 從研究開始的方向、內容、資料的提供及論文架構，到論文的構思和觀念的釐清， 每個環節都不厭其煩、ㄧ次又ㄧ次的指導和糾正，幫助我從疑惑中得到答案，在 此向您獻上我最大與最深的敬意和謝意。 此外，在論文口試期間，謝謝口試委員林素微教授、許天維博士以及施淑娟 博士，在百忙中抽空改正錯誤，提供寶貴意見，讓我的論文能更加的完善，在此 感謝。 在學習期間，感謝中師測統所彥鈞、俊華學長、淑娟學姊及學校同事國榮主 任在施測工具設計及資料分析上的協助及指導，也感謝同窗好友美蟬及筱婷在學 習過程中相互的鼓勵及打氣，讓學習的路上不孤單、充滿歡樂；更感謝大鵬國小、 大雅國小、永春國小、塗城國小及樹義國小等，幫助我研究施測及教學的好同事 和學生，還有許多關心我的人，有你們的協助、支持，今日才有此表現。 最後，將本文獻給我最親愛的家人，感謝女兒和兒子對媽媽的體貼和善解人 意，更感謝我的先生及媽媽無怨無悔的支持、包容和奉獻，幫我分擔及照顧兩個 小孩，讓我能無後顧之憂的完成學業。還有公公、婆婆在精神上的鼓勵和支持。 在此將此份小小的成就和喜悅與你們分享。 張芬玲謹誌 中華民國一O二年六月

摘要

本研究主要探討電腦化壞鍵計算機活動融入教學對五年級整數四則運算解 題表現及數感的影響，並透過分析學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評 量」中的解題策略，了解學生的多元解題思考。 研究方法採不等組前後測準實驗設計，以台中市一所國小五年級學生為研 究對象，採立意取樣抽取四個班共 95 位學生，其中實驗組兩班的學生接受電腦 化壞鍵計算機活動融入教學，對照組兩班學生接受傳統教學法。實驗流程先以 自編的數感測驗及整數四則運算測驗進行前測，接著以電腦化壞鍵計算機活動 進行實驗教學，之後再對實驗組與對照組學生實施自編的數感測驗及整數四則 運算測驗後測。最後，為瞭解兩組學生在解題策略上的差異，於後測結束之後， 兩組分別再進行「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」。 教學成效之評估是依據兩個組別在兩種測驗上的表現，分析電腦化壞鍵計 算機活動融入教學對學生數感及整數四則運算解題表現的影響；並根據「結合 壞鍵計算機之整數四則解題評量」之結果，分析兩組之解題策略差異。 本研究之研究結果如下： 一、國小五年級學童在實施電腦化壞鍵計算機活動融入教學後，學生整數四則 運算解題表現及數感均有顯著差異。 二、國小五年級學童在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」之表現，主要 出現八種解題策略如下：總和法、倍數法、簡化題目數字、合成 1 或 0、由左 而右、運算性質法、結合律法及拆解合成法。比較兩組的解題策略，實驗組在 拆解合法法及及運算性質法等優異的解題策略中，其表現是優於對照組；在答 題率上，實驗組表現也是高於對照組。 三、國小五年級學童在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」，常見的錯誤類 型有：無法轉譯、誤用已知條件、誤用運算規則、錯誤表徵列式、無法解題、計

算錯誤。比較兩組錯誤類型的頻率與分佈，文字題型中，控制組在無法轉譯的錯 誤最多而實驗組則多為誤用已知條件；在計算題型中，對照組在誤用運算規則、 錯誤表徵列式、無法解題以及計算錯誤的錯誤率高於實驗組，而無法解題在兩組 學生的錯誤類型中是發生率最高的。

Abstract

The purposes of this research were to explore the effects of "Integrating Instruction with Computerized Broken Calculator in Integer Arithmetic Courses" on the performances in solving integer arithmetic operations and number sense ability. By analyzing students' problem solving strategy in "the integer arithmetic assessment with online broken calculator", the researcher could understand multiple problem solving strategies of students.

This study adopted an unequal pre-test and post-test quasi-experimental design. The participants were from four fifth-grade classes of an elementary school in Taichung City and the sample size is 95. Two classes are randomly assigned to be the experimental group and the other two classes to be the control group. The experimental group received instruction based on "Integrating Instruction with Computerized Broken Calculator in Integer Arithmetic Courses", and the control group received the traditional instruction. Before the experiment, both of the 2 groups were given same pre-tests, including "Number Sense Test" and "Integer Arithmetic Achievement Test"

After different teaching models, same post-tests are implemeht, including "Number Sense Test" and "Integer Arithmetic Achievement Test". Finally, to understand differences between 2 groups in problem solving strategy, they are re-evaluated in "The integer arithmetic assessment with online broken calculator" after post-tests.

The assessment of teaching effects are according to the performance of experimental group and control group in "The integer arithmetic assessment with online broken calculator"

The results are as follows:

1. The fifth graders who received "Integrating Instruction with Computerized Broken Calculator in Integer Arithmetic Courses" performed significantly better on solving integer arithmetic operations and number sense ability than those who received traditional instruction.

2. According to students' performance recorded by "The integer arithmetic assessment with online broken calculator",there are 6 common strategies used by fifth graders: "Using addition or subtraction only", "Collocating multiplication with addition or subtraction", "To simplify operations", "Using operations to combine numbers to 1 or 0", "Computing according to an order of operations", "Using properties of arithmetic", "Associative law", "To permute and combine numbers with computing".

3. On "The integer arithmetic assessment with online broken calculator", there are 6 common error patterns found:"Don't understanding the questions", "Misusing the information", "Using wrong calculating rules", "Wrong representation", "Don't know how to compute", "Computation error".

Keywords: integer arithmetic, number sense, problem solving strategy, broken calculator

目錄

摘要... II Abstract ...IV 目錄...VI 表目錄... VIII 圖目錄...X 第一章 緒論 ...1 第一節 研究背景與動機 ...1 第二節 研究目的...3 第三節 研究範圍與限制 ...4 第四節 名詞釋義...5 第二章 文獻探討 ...7 第一節 數學解題的歷程和策略 ...7 第二節 壞鍵計算機的相關研究 ...12 第三節 數感的重要性...15 第四節 整數四則運算的教材分析 ...21 第三章 研究方法 ...29 第一節 研究流程...29 第二節 研究對象...32 第三節 研究工具...33 第四節 實驗設計與教學設計 ...52 第五節 資料處理與分析 ...58 第四章 研究結果與討論...60 第一節 不同教學模式對學生數感及整數四則運算解題表現的影響 ...60

第二節 「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」學生解題表現分析...63 第三節 「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」學生解題錯誤類型分析.87 第五章 結論及建議 ...101 第一節 結論 ...101 第二節 建議 ...104 參考文獻...107 壹、中文部分...107 貳、英文部分...109 附錄... 114 附錄一 數感測驗試題(前測) ... 114 附錄二 整數四則運算解題測驗(前測)... 119 附錄三 「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」評分標準 ...124

表目錄

表 2-1 92 課綱與 97 課綱在整數四則主題之差異對照表 ...22 表 3-1 預試樣本...32 表 3-2 正式施測樣本 ...32 表 3-3 數感測驗命題卡範例...33 表 3-4 數感測驗試題架構表...34 表 3-5 數感能力測驗試題分析表...37 表 3-6 整數四則運算試題雙向細目表 ...40 表 3-7 整數四則運算測驗命題卡範例 ...40 表 3-8 整數四則運算測驗 試題分析表 ...41 表 3-9「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」試題分類表 ...43 表 3-10 結合壞鍵計算機之整數四則解題評量試題編製表 ...44 表 3-11「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」評分標準範例...47 表 3-12 多元計分 V.S.二元計分信度統計量 ...49 表 3-13 評分者信度 Pearson 相關係數表 ...49 表 3-14 教學時程表 ...54 表 3-15 「電腦化壞鍵計算機教學」教學活動設計(實驗組) ...55 表 3-16 實驗組與對照組教學模式對照表 ...58 表 4-1 各組回歸線平行假設考驗...61 表 4-2 多變量及單變量共變數分析摘要表 ...62 表 4-3 組別變項在兩個依變項構面之描述性統計摘要表 ...62 表 4-4「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」得分統計表 ...64 表 4-5 文字題解題策略表 ...68 表 4-6 計算題解題策略表 ...74

表 4-7 學生錯誤類型分析表...88 表 4-8 文字題型錯誤類型作答統計 ...89 表 4-9 計算題型作答錯誤類型統計表 ...91 表 4-10 文字題型錯誤類型總表...96 表 4-11 文字題型錯誤類型總表_兩組差異比較表 ...96 表 4-12 計算題型錯誤類型作答整理 ...98 表 4-13 計算題型錯誤類型作答整理-兩組差異比較表...99

圖目錄

圖 2-1 Clark 設計的壞鍵計算機畫面 ...15 圖 3-1 研究流程圖 ...30 圖 3-2「整數四則運算」單元專家知識結構圖...39 圖 3-3「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」測驗實施流程 ...50 圖 3-4「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」-系統登入畫面 ...51 圖 3-5「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」測驗畫面 ...52 圖 3-6 研究變項關係圖 ...53 圖 3-7 研究實驗架構圖 ...55 圖 4-1 全體不同試題類型答對百分比 ...65 圖 4-2 全體學生試題答對百分比...66 圖 4-3「不同評量目標類別」全體學生答對百分比...67 圖 4-4 文字題型兩組之策略差異...74 圖 4-5 計算題型兩組之策略比較...87 圖 4-6 文字題型錯誤類別統計圖...96 圖 4-7 文字題型錯誤類別_兩組比較圖 ...97 圖 4-8 計算題型錯誤類別統計圖...98 圖 4-9 計算題型錯誤類別_兩組比較圖 ...99

第一章 緒論

本研究的主要目的是探討電腦化壞鍵計算機活動融入教學對五年級學生 整數四則運算解題表現與數感的影響。本研究共區分為五章，第一章為緒論、 第二章為文獻探討、第三章為研究方法、第四章為研究結果、第五章為結論與 建議。本章共分成四節，茲分述如下。

第一節 研究背景與動機

國小數學能力是奠定未來學習的基礎，為掌握學生基本數學能力，臺北市 於民國 95 到 97 年舉辦五年級數學基本能力檢測中，依照檢測能力的成果報告 中發現在數與量的整數部分，97 年的平均通過率為 77.98%，在四則運算部分， 有七成五的學生能通過檢測，亦即表示四則運算實應為學生尚能得心應手的能 力(臺北市政府教育局，2008)。然而從課堂的實務教學中卻發現，學生在四則 運算的單元裡多為記憶運算規則，也就是僅具備如心理學家 Skemp 所謂的工具 性的了解，而無法掌握關連性了解(Skemp, 1976)。尤其是當問題有些微變化時， 學童往往無法運用正確的解題策略，過於重視標準算則的練習及答案的精確 性，因而阻礙學生進行有意義的思考，學習的成效就容易事倍功半。因此，如 何透過教學的流程，培養學生建構關連性的了解，了解運算的意義及理解運算 間的關聯，讓學生覺察數學與生活的關連，發現數學在生活中的重要性，是刻 不容緩的工作。 為增強學生的關聯性理解，NCTM(1989)提出「做」數學(doing mathematics)」 的理念。強調在有目的的教學活動中，學生必須主動的探索學習，教師用實例 和實物來「做」數學的教學過程。並主張利用「計算機」的工具，讓學生探索

學生數學概念，幫助學生在數學觀念的瞭解與成長，發現樣式，進而對一些數 學規則與數學式產生意義化的瞭解，建構關聯性(Demana, 1999; Hembree & Dessart, 1992; Huinker, 2002)。事實上，許多的研究報告也具體指出計算機融入 數學教學的優點，包括幫助數學概念的瞭解(Demana, 1999; Goldenberg, 1991; Irwin, 1997)、有助於解題能力的發展(Dunham & Dick, 1994; Frick, 1989; Keller & Russell, 1997; Siskind, 1995)、以及引發學生的學習意願，同時提昇學生的學 習動機(Hembree & Dessart, 1986, 1992; Waits & Demana, 2000)。

而傳統的數學工具，例如算盤、計算機等，目的多在於簡化數值計算的過程， 以節省人力的方式獲得精確或估計的答案。但是隨著電子產品不斷快速發展，各 種數學工具的功能發展也大異其趣，功能也遠超出數值計算的範圍，數位科技強 大的模擬效果與趣味性，不僅能豐富學生的想像，也逐漸改變學生學習思考的模 式。 Schwartz(2005)所開發的壞鍵計算機軟體便是相當著名的一種數學工具， 它將數學概念視覺化，幫助學生發展位值概念，探索數字與運算間關係的了解， 更聚焦於應用數學方式的推理能力進行決策判斷、反思和推理等問題解決的活 動，而前述能力都與學生在數感方面的表現息息相關(Collison, Collison, & Schwartz, 2006)。 因 此 研 究 者 參 酌 許 多 國 外 研 究 者 發 展 數 學 遊 戲 的 網 站 (http://www.subtangent.com/maths/broken-calc.php, http://studymaths.co.uk/games/brokencalculator.html, http://seeingmath.concord.org/broken_calculator/)，以壞鍵計算機工具為基礎，配 合現行五年級整數四則運算單元，以創意的教學活動設計非例行性的題目讓學 生解題，訓練學生的思考、推理與解題的能力。藉由操作壞鍵計算機工具，讓 學生靈活、彈性且多元方式處理數的問題，對數字做開放且高層次的推理與思 考，表達多元解題方法，激發學童多元的解題思考策略，進而提升學童的數感。

第二節 研究目的

壹、研究目的

基於上述研究動機，本研究的主要目的是探討電腦化壞鍵計算機活動融入 教學對五年級學生整數四則計算解題表現與數感的影響。本研究之主要目的如 下﹕ 一、 探討電腦化壞鍵計算機活動融入教學對國小五年級學生整數四則運算 解題表現與數感的影響。 二、 國小五年級學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」之解題策 略。 三、 瞭解國小五年級學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」上，易 犯的錯誤類型。

貳、研究問題

根據上述的研究目的，本研究想要探討的問題如下： 一、 實施電腦化壞鍵計算機活動融入教學後，國小五年級學生整數四則運算學 習成效表現為何？ (一) 國小五年級學生整體學習成效，是否因不同教學法而達顯著差異? (二) 國小五年級學生整數四則運算測驗成績，是否因不同教學法而達顯著 差異？ (三) 國小五年級學生數感測驗成績，是否因不同教學法而達顯著影響？ 二、 (一) 國小五年級學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」之解題策略 有哪些？ (二) 實驗組與對照組兩組學生，在解題策略應用上的差異為何

(一) 國小五年級學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」上，易犯的 錯誤類型有哪些？ (二) 實驗組與對照組兩組學生，在錯誤類型上的差異為何

第三節 研究範圍與限制

壹、研究內容限制

一、 本研究之整數四則運算教材，以民國九十二年公布之國民中小學九年一 貫課程綱要數學領域為主，以南一版本中有關整數四則運算的教材內容 為基準，並不涉及其他版本之內容為研究範圍。 二、 本研究以探究五年級學生之整數四則解題表現，進行教學及評量活動， 研究結果具有內容的特定性無法直接推論至其他單元。

貳、研究對象限制

礙於研究者之人力、時間之資源之限制，本研究取樣樣本依立意取樣，以 台中市某國小五年級學生為施測對象，研究結果僅能呈現實驗班級之真實資料 供參考，無法向外過度推論。

參、研究者的限制

本研究是以研究者任教的四個班級為研究對象，研究者的能力與個人偏見 多少都會影響到研究結果的推論。研究者藉由教學前與班群老師討論，與數學 教學經驗豐富的老師進行相關的課程分析，確保對教學內容能有充分了解，以 期將研究者的限制減至最小。

肆、實驗限制

本研究重點為五年級學生整數四則運算解題策略之分析及探討，藉由教學 後的測驗結果探討學生解題策略的變化，因此僅進行資料的研究，並未採取訪

談之資料收集，探究學生能力之改變。

第四節 名詞釋義

壹、國小五年級

本研究所指之國小五年級係指101學年度就讀於臺中市公立國民小學五年級 普通班學生，當中排除因智力或感官障礙而導致之數學學習困難學生。

貳、數感

McIntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997)認為，數感是一個人對數字和運 算的一般性了解，能變通性的使用這種了解來做數學的判斷，並發展出有用及有 效的策略來處理所面對的數字情境。

參、整數四則運算

數學學習領域的內容為「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」 和「連結」五大主題，而四則運算包含於「數與量」及「代數」中。所謂的四則 運算是指在教學的過程中，強調數的加、減、乘、除運算，而學童在做運算時， 通常將運算式子書寫成二步驟(two-step)或多步驟(multi-step)的運算。本研究所 探討的是二步驟、三步驟的整數四則混合運算，並聚焦於此運算之「結合律」及 「分配律」兩個性質。

肆、電腦化壞鍵計算機

電腦化壞鍵計算機是一套兼具教學及測驗的工具，以自編的「結合壞鍵計算 機之整數四則解題評量」為主，利用BNAT適性診斷測驗暨學習系統(Bayesian Network based Adaptive Test,簡稱BNAT)(郭伯臣、曾彥鈞，2007)進行施測。試題 的畫面是一台計算機，計算機中會有幾個按鍵壞掉不能使用，學生必須利用可用

「分配律」等三種類型之四則混合運算，研究者便利用此平台作為本研究之教學 工具。

第二章 文獻探討

本研究的主要目的是探討電腦化壞鍵計算機活動融入教學對五年級學生整 數四則運算解題表現與數感的影響，並透過分析學生在「結合壞鍵計算機之整 數四則解題評量」中的解題策略，了解學生的多元解題思考。因此，本章之文 獻探討，以蒐集國內外相關文獻加以統整，共分為四節：第一節為數學解題的 歷程和策略。第二節為壞鍵計算機的相關研究。第三節為數感的重要性。第四 節為整數四則運算的教材分析。

第一節 數學解題的歷程和策略

壹、數學解題的意義

數學教育裡非常重視培養問題解決的能力。解題是所有數學學習中不可或 缺的部分，可視為數學課程的核心，是所有數學教學的主要目標，在國小階段 需紮實的幫助學生發展解題能力，讓數學學習得以開展（陳竹村、林淑君、陳 俊瑜，2002；NCTM, 1989, 2000）。而在現行的九年一貫課程數學領域課程綱 要中也闡明：必須學習應用問題的解決方法（教育部，2003）。課程綱要的精 神以重視問題解決為導向的教學，培養學生能在問題情境中去形成解決問題所 需的數學概念、態度和能力。 數學解題的定義很廣，學者們提出不同的看法， 茲分述如下： Lester(1980)認為數學解題：「是指一個人面臨一種情境，在此種情境下沒 有算式可以保證獲得解答，個人必須利用所擁有的相關知識或訊息，去獲得問 題解答的過程。」 Mayer(1992)認為「問題」是從一個「已知狀態」到達另一個「目標狀態」，

且無明顯的方法可到達目標就產生了問題。而解題是指從「已知狀態」朝向「目 標狀態」進行的過程中一連串的心智活動。 Kilpatrick(1985)以心理學、社會人類學、數學及數學教學三個不同的觀點 來敘述數學解題。 一、 心理學的層面 數學解題常被定義為一個情境，在此情境中個體想要達到某一目標，但直 接通往此目標的路徑已經被阻塞了，因而產生問題，此時在尋求解答的過程中， 需要利用數學概念、原理或方法，所以把解題看成為了達到某種目的而做的一 些活動。 二、 社會人類學的層面 把一個數學問題當作是老師給學生的一項任務，學生在接受此項任務時與 老師產生了微妙的關係，互相猜測對方的意思，從自我的觀點出發來解釋對方 的行為。 三、 數學及數學教學的層面 將數學問題當作數學建構的泉源，及數學教學進行的思考工具。所有的數 學都是數學家們在形成問題及解題的過程中創造出來的。所以數學解題活動正 是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。 美國數學教師協會(NCTM,1989）認為解題是一種利用已學過的知識去處 理新的或未知情境的歷程。 劉秋木（1996） 認為數學解題應先確定問題，一般人也許認為教科書後面 的練習都是問題， 但這樣的問題有許多只要套一下公式就可以得到答案，沒有 一點困難，是不成問題的，只可稱為疑問(question)，或練習(exercise)，不足以 稱為問題(problem)，有困難才能成為問題。故構成問題的要素有：動機－目標、 障礙和探索活動。當個體接受一個問題之後， 就會進行活動以期達成目標，所 以解題為縮減初始狀態與目標狀態的差異，或解題為問題表徵的建構與再建構。

綜合上述看法，本研究認為數學解題是依數學解題的成分，解題者必須運 用已有的數學知識與經驗，經由分析、推理與組織等方式完成解題任務。解題 的過程是一連串自我發現、建構及實現的創造思考歷程。在解題過程中，學生 自發的解題行為：閱讀、理解、重組、猜測及嘗試錯誤等，更能表達呈現其解 題的心理歷程。而本研究用以分析學生解題歷程的「結合壞鍵計算機之整數四 則解題評量」，即是以此為出發點思考設計的整數四則運算之數學問題，希望 藉由此類問題觀察學生解題策略運用的情形。

貳、數學解題歷程

在數學解題的研究領域中，Polya(1945)是最早提出數學解題的歷程模式。 其後雖然有 Lester(1985)、Schoenfeld (1985)和 Mayer(1992)等人從不同的角度詮 釋解題的歷程，但深入研究各學者所提出的內容，仍以 Polya 為基礎，再各自 以不同的分類方式，發展其理論架構。 本節以介紹 Polya、Schoenfeld 和 Mayer 等三位學者的解題理論，然後歸 納各家解題的觀點，內容如下： Polya (1945)在「如何解題」一書中，提出解決問題的四步驟，此四步驟成 為後繼解題歷程研究的基礎。

1. 瞭解問題(understanding the problem)：解題者必須瞭解句子的意義，分析已 知和未知答案之間的關係，及可使用哪些先備概念。

2. 想出計畫(devising a plan)：解題者必須認清題目各條件的關係，利用已有 的知識，擬定解題的輔助方法、策略和執行步驟，獲得解決問題。

3. 執行計畫(carrying out the plan)：解題者依計畫執行各種計算和操作。 4. 回頭檢驗(looking back)：解題者檢視答案，校正答案之合理性及用不同方 法求解答，從過程中找出這個解題經驗應用到別的問題。

些問題變成一種思維的習慣，最後能獨立思考並解題。這四個階段並非階段分 明，若發現無法正確執行或檢驗時發現錯誤，即得再重新擬定計畫，重複來回 四階段的步驟。 Schoenfeld(1985)將複雜的解題活動還需加入一些高層次的解題者心理活 動。並提出影響解題行為的四個因素即： 1. 資源(resource)指解題者所擁有數學知識，包括數學定裡、運算程序及四則 運算技巧等。 2. 啟發策略(heuristics)為解決非例行性問題時，從過往的解題經驗中應用累積 的策略和技巧來進行解題。 3. 控制(control）是指個人在解題過程中，能決定解題計畫及策略、監控、評 估和決策的能力。 4. 信仰系統(belief system)則是個人對數學的觀點，將影響解題者的行為。 在 Schoenfeld (1985)的研究中發現四個因素中的控制因素是解題的重要關 鍵，已因此以控制因素的觀點，將解題歷程分為六個階段： 1. 閱讀(read)：閱讀題目，並能複述題目中的重要條件。 2. 分析(analyze)：瞭解題目陳述，能有系統的重新陳述問題，找出解題方向。 3. 探索(explore)：閱讀題目後，尋找解題路徑。 4. 計畫(plan)：從分析及探索階段，獲得解題路徑，規劃解題步驟。 5. 執行(implement)：於計畫之後，逐一執行解題步驟。 6. 驗證(verify)：檢驗答案之合理性。 而 Mayer(1992)從認知心理學觀點，將解題歷程分為問題表徵及問題解決 兩個步驟，每步驟又包含兩個子步驟， 問題表徵包含問題轉譯和問題整合；問 題解決分為解答的計畫與監控和解題執行。 1. 問題轉譯：應用語言知識將問題的語句轉化為個人能理解的符號或訊息， 將題目的陳述句轉譯為內在表徵，理解語句間的關係。

2. 問題整合：以基模知識整合連貫題目中的已知條件。 3. 解題計畫及監控：能運用策略知識以數學語句、方程式或必須的運算列式 來表示問題。 4. 解題執行：利用程序性知識，讓學生正確有效的運算及執行解題計畫，求 得答案。 從以上多位學者對於解題的歷程的觀點，可知雖然各家對解題的觀點有差 異，但卻都有各自獨到的見解。其中，Mayer 歸納提出每個階段所對應的知識 類型，將各階段對解題的看法解釋得更為完整。因此，本研究將以此為規準， 來分析學生解題時使用的策略與發生的錯誤類型，探究解題歷程與錯誤發生的 關係。

參、數學解題策略

數學解題是一個複雜的心智活動，一般人面對問題時，會運用各種解題策 略以達到目標或求得解答；即使同一個問題，每一個人所採用的策略也會有所 差異，甚至遇到不同類型的問題，所使用的解題策略也會不同，因此策略的運 用是一種高層次的解題技巧表現，關鍵的解題因素之一。國內外有許多研究者 對於解題策略運用，提出不同的看法，茲整理如下： Babbit 和 Miller(1993)提出解題策略中最重要的部分為：(1)仔細閱讀問 題。(2)自問自答、畫圖、視覺圖像化和畫重點等方式思考問題。(3)決定正確 運算或解題策略。(4)寫出數學式。(5)計算計檢查答案。 Montague(1996)認為失敗的解題者通常缺乏數學解題策略，因此解題策略 的運用更為重要。其中有效的認知策略為：(1)閱讀理解。(2)重組句子。(3) 視覺化。(4)提出假設。(5)預估。(6)計算。(7)驗算。 施青豐（1999）探討教學對解題態度與解題歷程錯誤的影響，並結合Mayer 和 Montague 的解題步驟發展出一套解題策略，包括：閱讀與探究問題、圖示

表徵問題、解題執行、回顧解答與檢查。其結果顯示，教學後的總題數作答正 確率明顯進步，解題歷程錯誤經教學後亦有改進，惟問題表徵的錯誤仍多於問 題解決的錯誤。 張淑芳(2001)在探討認知策略對於增進國小輕度智能障礙學生解答改變類 加減法應用問題的效果，以Polya 的解題歷程並加入了 Marshall(1995)的基模圖 策略發展出一套解題策略，策略包括五步驟：唸題目、找重要字、畫圖表示、 列算式和計算與檢查，其結果發現，整體答題正確率均較教學前進步，且撤除 教學後一週，仍可持續維持。 綜合上述的各種解題策略可知：策略的選擇主要從閱讀和分析問題而來， 對題意了解的程度差異，因而產生不同的策略解題結果。而不同的學生特質， 具有不同的學習特質，策略的選擇上，也導致不同的解題表現。本研究以蒐集 學生作答的表現歸納學生解題的策略類別，以幫助學生在遇到類似問題時，增 加選擇正確策略的機會，達到解題成功的目標。

第二節 壞鍵計算機的相關研究

計算機是一項教學的輔助工具，它的主要功用是啟發學生思考過程及數學概 念形成，並提供更豐富的解題活動（袁媛，2005）。過去有不少研究指出使用計 算器能夠促進學生的數學成就、解題技能及增進數學概念的了解(Suydam, 1987)，在小學階段適當地使用計算機不但不會降低學生的計算能力，反而可以幫 助學生學習基本數概念與技巧、提升解題能力及數學態度的改變(Campbell & Stewart, 1993; Groves & Stacey, 1998; Hembree & Dessart, 1992; Huinker, 2002; Shuard, 1992)。

顏杏宜（2003）研究發現國小學生在使用計算機的情境下學習對學生的心理 層面和數學學習層面都有助益：

一、學生心理層面 （一）降低心理壓力：可以減少紙筆計算時擔心計算錯誤產生的心理壓力。 （二）提供即時回饋：運用計算機可達立即回饋的功能，學童能夠立即得知答案 是否正確，進而修正答案。 （三）增加自信心：因為計算機可以提供學生即時回饋，獲得立即的正確答案， 因此可以增加學生的自信心。 二、數學學習層面 （一）提高計算的效率：運用計算機，只要按幾個按鍵就能得到正確答案，可以 加快計算的速度。 （二）容易進行探索活動：學生可在計算機上不斷的嘗試，透過觀察，最後歸納 出結果。 （三）計算機的自動記憶常數運算功能和即時回饋的功能，可以讓學童進行數字 樣式的探索。 袁媛（2005）也認為使用計算機有助於學生學習： 一、計算機可以節省學生完成複雜及冗長的計算時間，鼓勵無法完成計算程序的 學生完成解題的活動，進一步地加強數學的學習與思考。 二、計算機做了低層次的計算工作，可以加速學習過程，讓學生有更多時間把學 習的焦點放在概念的學習及了解上，得以有機會經驗數學的意義及價值。 三、適當地使用計算機學習數學不但不會損害計算能力的培養，反而因為計算機 的使用使學生有機會接觸新的科技產品，了解計算機的優缺點，可提高其使用高 科技產品的意願。 可見其關鍵應不在計算機本身，而是在於活動的設計。如能善用計算機立即 回饋及自動記憶常數運算的功能，在數字規律的察覺活動上，計算機將會是一項 輔助數學學習的有效工具。

遊戲結合教學現場的問題情境，讓學生利用計算機來進行探索活動，Lu和Schwartz (2005)曾提到，壞鍵計算機就像是廉價且可普遍取得的數字實驗室，它可以用來 發展和評估學生的計算是否流暢。當學生利用它來發展解題策略時，他們同時也 達到了以下幾個目標：1. 學著用數學的方式去推理；2.探索運算之間的位值和關 係；3. 運用基本的數學技巧；4.對於不熟悉的問題，他們會應用自己的方式將其 靈活發展。 Clark (2006)也發表了他使用壞鍵計算機在小學數學教學上的研究。他所做 的教學實驗分為三期，第一和二期先讓學生假想有一台計算機並使用紙筆算式 來組合出指定的數字，第三期就讓學生真正使用壞鍵計算機軟體來解決不同的 數字挑戰。 在紙筆挑戰階段，隨著限制的增加，學生組合數字的方式從單純的加減法， 進步到使用乘除法。Clark 在教學一個段落後，會和學生一起檢視他們先前列出 的算式，然後將這些算式容易產生的迷思概念提出來討論，比如：乘法和除法 的交換性、位值的概念、如何避免錯誤的使用零、等號的意義與正確使用方式 等。Clark 表示，經由紙筆列式運算與假想壞鍵計算機的數字挑戰訓練，使學生 在進入正式使用壞鍵計算機軟體來組合數字的階段時會更有信心，圖 2-1 便是 Clark 所設計的壞鍵計算機畫面(Clark,2006)。

圖 2-1 Clark設計的壞鍵計算機畫面

資料來源：Clark, G.(2006).If it is broken, how can you fix it. APMC, 11(2), 18-22. 由於怕學生設計出不可能解答的挑戰問題，比如有人會一下子讓九個 數字按鍵都壞掉，所以設計挑戰問題的限制條件就是他們至少要自己想出一個 解答。另外因為學生對除法較不熟悉，所以Garry Clark 在壞鍵計算軟體挑戰題 中特別設計了使用除法的問題，讓學生思考解題方式後，再據此討論除法的商 數、餘數、除數與被除數的問題(Clark, 2006)。 透過上列的文獻探討，計算機融入國小數學教學活動確實提供了發展學生心 算技巧及創造運算策略的正當性範例。但因為計算機的角色應是輔助而非取代其 他的運算策略。因此，在融入計算機使用的同時，教師必須還要注意到增進數學 概念相關的技能，如心算、估算等能力，讓學生藉由選擇不同的解題策略，來進 行討論、辨証、計算與檢驗等工作。(楊國泉，2004) 藉由壞鍵計算機的程式的開發與應用，研究者針對國小整數四則運算概念， 利用計算機的估算特性，設計了可以在班級教學的題目，從中讓學生在操作計算 機的同時，也可以精熟整數四則運算規律，更重要的是可以強化學童對數字間的 敏感度，活動中充滿了思考與挑戰，十足符合學童的愛挑戰不認輸的個性，學生 在腦力激盪解題的過程中，提升學生對數字的敏銳利，察覺題目中隱藏的數字規 律，最後也達到教學的目的，使學生對整數四則的運算規律更加嫻熟。

第三節 數感的重要性

壹、數感的意義

有些研究將數感(number sense)翻譯為「數常識」、「數字常識」、或「數 字感」（吳昭毅，2006；吳婉萍，2006；楊德清、吳宛儒，2007）。Howden(1989)

除了感覺之外，Hope(1989)曾以瞭解、常識、及能力等三方面擴充數感定義為： 1.能解釋並多樣化呈現的「感覺」；2.計算時對數正確程度的「瞭解」；3.使用 數字支持自己的論證之「常識」；4.產生合理估計、偵測計算錯誤、選擇最有效 的計算程序、與辦識數的組型之「能力」。 Reys(1994)認為數感不是一個有或無的實體，它是一個隨著經驗及知識發展 及成熟的歷程。數感主要是能夠彈性操作數字，而從學習歷程來看，學童仍須仰 賴具體的量建立數感，誠如Trafton(1989)所言，數感比較像是把數當作量來處理， 而不是把數字當作抽象、正式的東西來察覺。Behr(1989)把數感解釋為能彈性操 作量的心靈表徵，並在各種表徵之間轉換的能力。Griffin(2004)更進一步解釋數 學是存在於空間與時間中的量、語言世界中所計數的數及正式的符號這三個面向 所組成，而數感就是要建構這些面向之間的關係。為了賦予數感更明確的定義， 研究者列舉以下學者的詮釋： 一、Sowder(1992)對數感的想法是： （一）良好的概念組織網路，讓人們能夠連結數字及運算特性的關係。 （二）一種可供辨認的能力，在比較數字時，使用數字的大小、相對和絕對大小 來做質與量的判斷。 （三）能辨認計算的不合理性，運用非標準化的策略來進行心算和估算。 （四）能運用多種變化及創新的數字形式來解決問題。 二、Reys(1994)認為數感是學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的 連結，而更重要的是，驅使學習者有形成這種連結的能力。

三、McIntosh, Reys, Reys, Bana, and Farrel(1997)認為數感是對數字和運算的一般 性理解，能變通使用這種瞭解來做數學的判斷，並發展出有用及有效的策略來處 理所面對的情境。

四、Gersten, Russel, Chard, and David(1999)認為數感是指孩子能流暢與彈性處理 數字，明白數字意義，及有能力心算數學、觀察並做比較。

五、Wiest(2006)提到數感的概念與技巧一般是指計算、數的表徵、數字間的關係、 及位值。

六、Naylor(2007)表示數感是一種感覺，這感覺包含對數字的大小與含意、數字 間的關係、合成與分解數字的方法、以及數字與周遭世界的連結。

七、Yang, Li, and Lin(2008)把數感定義為個人對數、計算以及兩者關係的一般性 瞭解，它也是處理有關數字情境的能力，這能力是用來發展有用的、彈性的以及 有效率的策略。 八、曹雅玲(2006)則從三個面向來描述數感： (一)直觀性：數感是一種常識、一種直覺，可以有一定的形式，而且是逐步發展 的。 (二)概念性：數感是一種開放性且高層次的推理與思考。 (三)表徵性：數感是一種處理數字的能力。 九、許清陽（2006）的觀點是擁有數感能力的人，對數字有較強的直覺感覺，能 以各種不同的方式使用和解釋數字，並能創新數字的形式來解決問題，在不須使 用紙筆計算的情境下，能以各種不同形式的數字瞭解方式做數學上的判斷，並能 運用有效的策略來處理所面對的數字情境。這和傳統強調筆算的計算過程以得到 精確答案的能力，顯然不同。也就是說，傳統數學考試成績好的學生，並不能代 表有較好的數感。 根據以上文獻，可以瞭解沒有一個數感定義是可以絕對被認同接受。研究者 針對各學者的看法，把數感定義為個人對數與運算能有意義理解、靈活思考、以 及彈性運用方法解題，它會隨著經驗增長而轉化為更成熟的直覺及後設認知能 力。

貳、數感的組織與架構

具備哪些特徵才算是擁有好的數感，受到諸多學者專家長期關心研究，以下

為研究者收集國內外文獻，探討數感組織架構： 一、Thompson and Rathmell(1989)的組織架構

Thompson and Rathmell(1989)將數感的組成元素區分如下： （一）了解數字的意義與關係。 （二）了解數字的相對大小。 （三）了解運算對數字的影響。 （四）了解如何使用參考點於日常生活情境中。 二、Sowder(1992)的組織架構 Sowder(1992)將數感歸納成九項元素： （ㄧ）能對數字進行分解與合成，運用不同表徵解決問題。例如：如果已知 8×199 ＝ 1 5 9 2 ， 則 8 × 1 9 9 ＝ 8 × （ 2 0 0 - 1 ） ＝ 8 × 2 0 0 － 8 ＝ 1 6 0 0 － 8 ＝ 1 5 9 2 。 （二）能分辨數字的相對大小，包括對數字進行比較大小和排序，以及運用有 理數的稠密性。例如：把數字0.8、0.2、0.7 由大到小進行排列，理解 0.8＞ 0.7＞0.2，並知道0.8 與0.7間存有0.711、0.712、0.713、0.714…等無限多個 小數。 （三）瞭解數字的絕對大小。例如：知道小學裡操場的司令台上無法站上2000 個人。 （四）靈活使用參考點。例如：以50作為參考點，估算49＋53大約等於100。 （五）以有意義的方式將數字、運算與符號做連結。例如：知道327×6 也可以 寫成300×6＋20×6＋7×6。 （六）瞭解數字對運算的影響。例如：知道一百零幾加一百零幾的結果會比200 大。 （七）運用數字與運算間的關係，發展創新的方式進行心算。例如：解決「297 ＋203」的問題時，能夠先把203 看成200＋3，再將3 與297合起來，得到300， 最後把300加上200，得到答案500。

（八）能適時運用估算策略，以判斷答案的正確性。例如：處理「398×5」的問 題時，能夠發覺398接近400，以400×5＝2000來判斷398×5的積最接近2000。 （九）判斷數字的合理性。例如：當我10 歲時，我的身高是130 公分，當我30 ① 歲時，我的身高大約是幾公分？ 390公分②175公分 260③ 公分④135公分，學童 能察覺一般成人的高度大約是一百七十幾公分，而選擇合理的答案為175公分。 三、McIntosh, B. Reys, and R. Reys(1992)的組織架構

McIntosh, B. Reys, and R. Reys(1992)三位學者將數感組織架構區分為：數字、運 算、數字與運算的情境等三個領域，並以圖2-2-1說明數感和數字、運算、數字 與運算的情境等三個領域之間的關係，其架構如下： （ㄧ）數字概念 數字順序的理解、數字與運算的多重表徵、數字相對與絕對大小的比較、參照點 的使用。 （二）運算 了解運算對數字的影響、了解數學的特性、了解運算之間的關係。 （三）應用數字與計算於情境中 了解問題情境與運算的關係、發展多重的計算策略、使用不同的表徵、判斷答案 的合理性。

此外,McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 亦以另一個圖表說明數感與數字、運算 和情境之間的關係。

Yang, Li, and Lin(2008)曾對國小五年級學童進行數感研究，將數感組成元素區分 如下： （一）瞭解數的相對大小：包含瞭解數的相對大小。在比較分數大小時，學生不 需要依賴標準算則（例如，在數學課裡找出最小公倍數的分母）。相反地，他們 能使用有意義的方法，例如，相同分子、相同分母、遞移、及剩餘等策略以比較 分數。 （二）使用數與運算的多重表徵：包含在不同情境使用不同表徵形式，例如，口 語表徵、圖畫表徵、符號表徵等，達到彈性而且適當地解題。 （三）判斷估算結果的合理性：不需紙筆計算就能在內心運用估算策略解題，同 時也能判斷結果合理性。 （四）瞭解運算對數的相對影響：個人知道四則運算如何影響結果。他們能有意 義理解運算，並知道乘不一定會得到較大的數，除不一定會得到較小的數。 五、許清陽（2006）的組織架構 許清陽（2006）在編製「國小六年級數感診斷測驗量表」將數感元素定義為五 大項： （ㄧ）瞭解數字的意義和關係的能力：對正整數、小數、分數等有理數的理解， 能瞭解數字的基本意義及數字間的關係。例如，知道68和69之間有無限 多個分 數；910×0.5與910÷2的意義是相同的。 （二）辨認數字大小的能力：此能力指的是比較和排序數字的能力。例如，能 辨認 35×0.08 的乘積會比35小很多；6.7比6.6987 大。 （三）瞭解運算對數字的意義和影響的能力：此能力指的是瞭解運算在不同數 字所產生的影響，當運算元改變時，其結果也會跟著改變。例如，知道二位數和 二位數相乘的乘積可能是三位數，也可能是四位數；能瞭解「甲＋100＝乙-100 ＝丙×100＝丁÷100」的相等式子中，丁最大。 （四）發展計算策略與判斷答案合理性的能力：指的是能應用不同的解題策略

於計算情境，並能預估答案是否合理的能力。例如：請判斷 538.8×0.4925，下 列哪一個答案是正確的？ (2.65359‚ 26.5359 ƒ265.359 „2653.59）。能 瞭解 0.4925 很接近 0.5，538.8 的一半應該是二百多才合理。 （五）以多重方式表徵數字的能力：指的是能以不同的形式表徵數字的能力。 例如：繞著正方形前進來表示 3 1_{的位置，其位置應該如下圖‚ 的黑點位置。} 綜上所述，國內外學者提出的數感組織架構並未一致，但其內涵皆呼應有 意義理解、靈活思考、以及彈性運用方法解題。其中學者許清陽（2006）所列 出的數感五向度，也就是：「了解數字的基本意義」、「比較數字的相對大小」、 「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「能夠判斷運算結果的合理性」、 「瞭解數與運算多重表徵的能力」，研究者認為最能概括包含各種內容而又可 以簡潔明瞭表示出數感涵蓋意義，因此本研究以其組織架構為中心，並根據此 五向度為基礎，編製成本研究所採用之數感測驗。

第四節 整數四則運算的教材分析

壹、四則運算的意義

四則混合運算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意或解題計劃而來的， 其規則為「由左到右運算」、「先乘除、後加減」、「括號內先算」等。九年 一貫課程數學學習領域暫行綱要與正式綱要中，關於整數四則混合運算的能力

為輔，以二步驟、三步驟之計算題、文字題、文字或畫圖題為題型，依據整數 四則混合運算的三大運算規則自編自我效能量表，以瞭解國小五年級學生整數 四則混合運算之自我效能表現。

貳、四則運算的教材分析

研究者欲進行整數四則運算單元的教材設計及教學，須先對課程的內容做 縱貫連結及橫向的分析，瞭解一到六年級的課程彼此觀念的銜接， 一、整數四則運算在能力指標中的狀況 本研究所使用的整數四則運算教材，以民國九十二年公布之國民中小學九年 一貫課程綱要數學領域為主，92 年版之課程綱要自實施以來，隨著時間的推演， 課程綱要的內涵及能力指標都需要進行修改調整，以期讓國小的課程更能兼具橫 向與縱貫的統整與聯繫，因此在 97 年教育部公布修正後的九年一貫課程綱要， 在關於整數四則運算的主題中的修正，除了反映在教學現場中教師教學的狀況， 調整或刪除部分的內容外，更能符合學生在學習上的表現，能讓學生的學習有效 率，茲將 92 及 97 年課程綱要中，關於整數四則運算主題的差異整理如下： 表 2-1 92 課綱與 97 課綱在整數四則主題之差異對照表 92 課綱 (現行綱要分年細目) 97 課綱-100 年度新生適用 (修訂綱要分年細目) 2-n-05 能作連加、連減與加減混合 計算。 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、 ＝作橫式記錄，並解決生活 中的問題。 2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝ 做橫式記錄與直式記錄，並解決生活 中的問題。 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟 問題（加與減，不含併式）。

92 課綱 (現行綱要分年細目) 97 課綱-100 年度新生適用 (修訂綱要分年細目) 4-n-03 能在具體情境中，解決兩步 驟問題，並學習併式的記法 （包括連乘、連除、乘除混 合）。 3-n-03 能用併式記錄加減兩步驟的問 題。 3-n-08 能在具體情境中，解決兩步驟 問題（連乘，不含併式）。 4-n-04 能在具體情境中，解決兩步驟 問題，並學習併式的記法與計算。 5-n-01 能在具體情境中，解決三步 驟問題。 5-n-02 能在具體情境中，解決三步驟 問題，並能併式計算。 6-n-06 能理解等量公理。 6-a-01 能理解等量公理。 1-a-02 能在具體情境中，認識加法 的交換律、結合律，並運用 於簡化計算。 1-a-01 能在具體情境中，認識加法的 交換律。 2-a-02 能在具體情境中，認識加法順 序改變並不影響其和的性質。 2-a-02 能 將 具 體 情 境 中 單 步 驟 的 加 、 減 問 題 列 成 算 式 填 充 題，並解釋式子與原問題情 境的關係。 3-a-01 能 將 具 體 情 境 中 單 步 驟 的 乘 、 除 問 題 列 成 算 式 填 充 題，並能解釋式子與原問題 情境的關係。 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除 互逆。 3-a-01 能理解乘除互逆，並運用驗算 及解題。 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法 結合律、先乘再除與先除再 乘的結果相同，也理解連除 兩 數 相 當 於 除 以 此 兩 數 之 積。 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結 合律。 5-a-02 能在具體情境中，理解先乘再 除與先除再乘的結果相同，也理解連 除兩數相當於除以此兩數之積。 4-a-02 能在四則混合計算中，運用數 的運算性質。 4-a-02 能將具體情境中所列出的單 步驟算式填充題類化至使用 未知數符號的算式，並能解釋 式子與原問題情境的關係。

92 課綱 (現行綱要分年細目) 97 課綱-100 年度新生適用 (修訂綱要分年細目) 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於 驗算與解題。 3-a-01 能理解乘除互逆，並運用驗算 及解題。 5-a-03 能解決使用未知數符號所列 出的單步驟算式題，並嘗試 解題及驗算其解。 5-a-04 能將整數單步驟的具體情境問 題列成含有未知數符號的算式，並能 解釋算式、求解及驗算。 6-a-02 * 能使用未知數符號，將具體 情境中的問題列成兩步驟的 算式題，並嘗試解題及驗算 其解。 6-a-02 能將分數單步驟的具體情境問 題列成含有未知數符號的算式，並求 解及驗算。 6-a-03 能用符號表示常用的公式。 比較92 及 97 年的課程綱要，可以發現課程的改革以修正或補強詮釋不足 的部分，做小幅的修正，以期能讓課程能為完整、符合教學現場的需求。在進 行整數四則運算的教學中，許多教師習慣將整數四則運算的記錄方式-算式填充 題做為重要的代數工具，因而過分嚴格評量，造成家長以及學生許多困擾，因 而在97 年修訂之後，已經將類似的分年細目(如 2-a-02, 3-a-01,4-a-02)予以刪除。 對於各年級在數與量整數四則主題的學習，也明確規定三年級做加減兩步 驟併式，五年級則是解三步驟的問題並能併式，而在92 年的課程綱要則是在四 年級學習倂式的記法，而後就不強調倂式，是不太一樣的。對於併式的記錄的 要求，兩者有程度上的差異：92 年的課程綱要中，併式的記錄是為了瞭解算則， 而 97 年的課程綱要認為察覺關係式的併式更重要。

參、整數四則運算相關研究

整數四則混合運算在國民教育的數學課程中佔有極重要的地位，數學的學習 亦是從認識數字及數字的加、減、乘、除中開始的，藉著學生對整數四則混合運

算試題的運算方式與解題策略，可以對學生的認知發展與認知結構更加的認識與 瞭解，以下針對數位國內、外研究者對於四則運算的相關研究加以說明與分析。 曹宗萍（1988）探討高屏地區國小六年級學生四則運算問題的解題表現及相 關因素。研究結果發現，兒童語文或閱讀理解能力的高低與認知發展的快慢會影 響其四則問題的解題過程表現，而多步驟等分除比單一步驟包含除的問題較易為 兒童理解。 楊瑞智（1990）探討四則運算的錯誤類型及在教學上的應用。指出學生四則 運算上的錯誤不只受到學生是否有完備的演算法則和原始模式潛在的影響，還受 到問題的語意結構及描述語言的影響。 劉天民（1992）調查國一學生在整數與分數四則運算之錯誤情形，並探討學 生可能犯錯的原因。研究結果顯示，學生在進行加減法運算時，會誤用乘法運算 性質；學生在對四則運算的規則上，忽略了先乘除後加減的規則，及未考慮括號 前後的運算情形。 林能傑（1994）研究學生二步驟問題的解題表現。發現學生答對情形會因題 型的不同而有顯著差異，在運算方面則顯示出︰＋×最簡單，＋÷與－×次之，－÷ 最困難。 陳博文（1996）探討國小六年級學生四則運算能力。研究結果發現，學生在 整數的加法、減法和乘法上較無困難，然而在整數除法、小數運算、分數運算和 四則混合運算上，有較多困難。研究也發現，學生先前的錯誤規則會延續至同類 型的運算中，而阻礙往後的學習。 陳家弘（1997）探討以建構教學教導四年級數學學習障礙學生解四則運算問 題的解題策略。研究結果發現，數學學習障礙學生進行數學解題的特徵有：認為 自己的答案是對的、認為同學抄襲他的、表面判斷不重意義、直式運算、等號意 義不明、不願多花時間、重答案輕過程、不願再思考、任意編算式、遺忘規則、

情。 林秋榮（2001）探討電腦化動態評量對增進國小三年級學習障礙學生整數四 則問題解題之可行性，以及學生在電腦化動態評量的解題表現情形。研究發現， 電腦化動態評量數學解題系統可以提昇國小學習障礙學生整數四則問題解題能 力；在整數四則問題解題錯誤題型方面，以兩步驟文字題、多餘訊息文字題、除 法的預備經驗等題目的比例較高。 陳國雄（2006）探討國小四年級學生整數四則運算問題解題歷程的表現，以 了解學生的解題能力、策略及錯誤類型與原因。研究結果發現，學生整數四則運 算問題的表現，在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題的答題表現較佳；在加 （減）、乘兩步驟和加（減）、除兩步驟類型問題的答題表現較差。而學生在整 數四則運算所使用的解題策略有：使用最擅長或是最近才教的運算法、由數字大 小來決定運算符號、將所有運算都試過再選出最適當的答案、利用關鍵字、先猜 測答案是大（用乘或加）或小（用減或除）。解題時經常犯錯的錯誤類型有：加 （減）法運算錯誤、加（減）法進退位的概念不清楚、乘（除）法直式運算不熟 練、錯用乘（除）法運算符號、缺乏乘法結合律的基模知識、不會運用併式來表 徵、未依據四則運算的計算約定、不懂的運用括號區分計算的先後次序、缺乏基 本數學知識與概念、錯用資訊及已知條件、缺乏估算的能力、看錯題目數值、錯 誤表徵列式、任意使用運算符號、算式表徵不完整。 吳惠貞（2007）探討國小五年級學生整數四則混合運算概念學習表現及解題 錯誤類型與原因。將整數四則混合運算上之錯誤類型歸納為：四則運算規則運用 錯誤、算式或答案不完整、粗心而導致之計算錯誤、抄錯題目、列式錯誤、隨意 回答或空白等。並從這些錯誤中歸納出：學生在兩步驟的四則運算類型中，以「含 有括號」的錯誤率最低，以「沒有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最 高，但在含有括號之三步驟運算類型並非錯誤率最低，其原因為部分試題中除括 號內先算，其餘部分仍有涉及兩步驟的運算，學生仍運用錯誤運算規則。而在三

步驟的運算中，以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。學生將「先 乘、除後加、減」的演算規則，類化並外推到其他的情境，認為在運算時也要先 算加法再算減法，先算乘法再算除法，因而形成運算上的錯誤。學生無法區分算 式等價與不等價的敘述，對四則運算逐次減項的表示方式，仍有待改進。學生在 應用問題部分的錯誤原因可歸納為未確切遵守四則運算的規則，從簡單或容易運 算的部分先著手，將題目中所有的條件直接計算，使用他們慣用的知識來解決問 題。 楊淑靜（2007）主要是對四則運算文字題有列式（算式填充題）困難的三年 級學生，進行補救教學，並探討補救教學實施情形及其成效。研究結果顯示，結 合圖示與擬題教學策略的補救教學活動能有效提升學生之列式能力。 張育綾（2008）探討潛在類別分析在國小五年級學生四則運算規則之縱貫研 究，研究結果發現，前、後測四則運算中，學生整體的解題表現，以非文字題部 分比文字題部分佳。前、後測學生三大運算規則的解題表現，文字題部分以「括 號內先算」較不熟練，非文字題部分以「先乘除，後加減」尚需加強。前、後測 四則運算概念表現上，除了文字題「由左到右依序運算」的前測分數顯著高於後 測分數，其餘各項並未達顯著差異。根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果 進行交叉比對，發現學生對四則運算概念的認知結構有所轉變。 Page (1969)在「數字的基本運算規則」一書中提到，不當的應用四則運算規 則會造成計算錯誤，其錯誤的原因來自於學生受先前所學的運算所影響，也可能 來自於學生沒仔細的辨別。 Quintero(1983)研究9-14 歲兒童二步驟問題概念上的了解，其研究發現，影 響二步驟解題的主要因素是文字題中的文字概念與語意關係，而且由訪談過程 中，發現語意結構是影響解題的最主要因素。 綜合以上的研究，以研究目的來說，許多研究者是研究學生四則運算的解題

困難或學習障礙的學生進行研究，有些研究者則對三〜六年級學生進行研究。而 本研究則是以準實驗設計，抽測五年級的四個班級學生為研究對象進行實驗教 學，研究學生在兩種教學法下，整數四則運算文字題及計算題的解題策略及錯誤 類型之設計。

第三章 研究方法

為了瞭解實施電腦化壞鍵計算機活動融入教學，對於學童在數感及整數四 則運算解題表現的影響，本研究將進行編製、評量、電腦化壞鍵計算機建構反 應題型測驗編製及教學。研究的方法與步驟分為五節：第一節研究流程、第二 節研究對象、第三節研究工具、第四節實驗設計和第五節資料處理與分析。以 下就此五節進行說明。

第一節 研究流程

本研究是以國小五年級數學領域中的整數四則運算單元為研究範圍，根據教 學目標及錯誤類型等，建立整數四則運算單元的專家知識結構，編製試題並融入 電腦化壞鍵計算機活動，進行創意的實驗教學。探討實施電腦化壞鍵計算機活動 融入教學後，學童在數感及整數四則運算解題表現的影響。研究流程分四階段如 圖3-1 所示，說明如下：

一、準備階段 與指導教授商討研究方向，蒐集相關文獻、確認主題，擬定研究架構。 二、教材分析 分析南一版五年級整數四則運算單元教材及內容，歸納出各學生必須具備 的子技能，再依據相關研究文獻探討和老師實際教學經驗，整理單元教學目標 及分類出可能發生的錯誤類型，作為後續研究中試題編製的參考依據。 三、建立五年級整數四則運算單元教材專家知識結構 依據文獻、單元教學目標、教學順序、小組討論及專家建議，訂定出教學目 標下，各子技能間的上下位關係，建立本單元專家知識結構。 四、編製試題 依據所編列之教學目標子技能和錯誤類型，編製數感測驗和整數四則運算測 驗的前測和後測試題。 五、預試 由388位五年級學童進行試題預試，再進行信效度和試題分析。 六、編製結合壞鍵計算機之整數四則解題評量試題 將自編的「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」結合BNAT適性診斷測驗 暨學習系統平台，讓學生在解題的過程中也能記錄其解題歷程。 七、建立評分標準 整理結合壞鍵計算機之整數四則解題評量施測結果，根據多元評量的理念基 礎和原則，訂定多元評分標準，並進行評分者信度分析。 八、資料分析 評估數感測驗和整數四則運算解題測驗的信效度，分析學生進行電腦化壞鍵 計算機融入教學後，數感能力與整數四則運算成績之間的關係，以及探討結合壞 鍵計算機之整數四則解題評量的解題表現及運算時易犯的錯誤類型。

九、提出研究結果與分析

第二節 研究對象

本研究之研究對象分為試題預試及正式施測兩部分，以下針對所選取的研究 對象進行說明。

壹、試題預試對象

預試採立意抽樣，抽取台中市四間公立學校五年級的學童進行施測，共388 人（如表3-1）。刪除過程中作答不完整的資料後，有效樣本數373人。 表 3-1 預試樣本 縣市 鄉鎮 學校 人數/班級 合計 台中市 西屯區 甲國小 48/2 台中市 大里區 乙國小 145/5 台中市 大雅區 丙國小 139/5 台中市 南屯區 丁國小 56/2 388 人

貳、教學實驗對象

教學實驗之研究對象亦採立意抽樣，為研究者所任教之國小五年級四個班 級的學生，兩個班級為實驗組，另兩個班級為對照組，實施融入教學的教師由 研究者本身擔任。相關內容分述如下表 3-2： 表 3-2 正式施測樣本 組別 人數 合計 實驗組 50 對照組 46 96 人

第三節 研究工具

本研究所使用的研究工具為自編「數感能力測驗」與「整數四則運算」單元 成就測驗及「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」。分別說明如下：

壹、自編數感能力測驗

本研究在進行電腦化壞鍵計算機融入教學之前，須先測驗學生在數感方面的 起始水準，而在教學之後，也必須再次測驗學生在數感方面的能力有無提升，所 以研究者編製了一份數感測驗試題以供施測之用。 一、試題說明 整數數感測驗包括前測與後測兩部份，前測與後測都各有30題，且前測與 後測為複本測驗，研究者根據數感五向度，將前測與後測的每個向度各編製六個 題目，所以此份測驗包含了前測30題與後測30題，全部共有60題。此數感前測與 後測試題，均以選擇題的方式呈現，每則試題除了題幹以外，並包含有四個選項。 本研究所編製之「數感測驗」是以文獻探討所確立的數感五向度為架構， 配合五年級整數四則運算教材內容並參考國內相關研究所編製而成（許清陽， 2006；郭蔚文，2007；葉俊谷，2007；黃琮智，2008；黃瓊儀，2011），試題 編製範例如表 3-3 所示。 表 3-3 數感測驗命題卡範例 評量 向度 □瞭解數字的意義和關係的能力 □比較數字相對大小的能力 □瞭解運算對數字的意義和影響的能力 □發展計算策略和判斷答案合理性的能力 ■瞭解數與運算多重表徵的能力 試題 情境 □純數字或計算情境 □生活情境 ■圖表 適用 年級 □一年級 □二年級 □三年級 □四年級 ■五年級 □六年級

試題 出處 ■參考文獻 黃瓊儀，2011 □自編 題目 ( )期中評量考完後，老師把全班 32 人數學科的表現統計出來，所得 的資料畫成如下的圓餅圖。請問考 90-99 分的同學應該有幾個人？ ○1 4○2 8○3 16○4 28 選 項 選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 選答 原因 把四分之一當成 4人 ◎ 不會看圓餅圖, 當成一半 32-4=28 二、試題架構 此測驗除了根據數感五向度編製外，試題情境則分成純數字或計算情境、生 活情境、圖表等三種，以下為其試題架構表。 表 3-4 數感測驗試題架構表 試題情境 數感五向度 純數字或計算情境 生活情境 圖表 瞭解數字的意義 和關係的能力 1.2.3.4.6.7 比較數字相對大 小的能力 8.11.12.13 10.14 瞭解運算對數字 的意義和影響的 能力 16.21 17.19.20.23 發展計算策略和 判斷答案合理性 的能力 24.25.27 26.28.29 瞭解數與運算多 重表徵的能力 5.9.15.18.22.30

三、試題範例 以下列舉本測驗中數感五向度的試題範例。 (一) 瞭解數字的基本意義 1、 純數字或計算情境 例：下列哪個數最接近 0.5？ ○1 0.491○2 0.4951○3 0.4982○4 0.49783 此題主要是要評量學生是否具有位值概念，此外對於小於 1 的小數數字概 念是否有正確的觀念，所以它評量的內涵屬於瞭解數字的意義和關係的能力之 純文字或計算情境的例題。 (二) 比較數字相對大小的能力 1、 純數字或計算情境 例：不要經由計算，請比較甲= 11 4 3 ×3，乙＝ 11 3 3 ＋ 11 4 3 ＋ 11 5 3 ，哪個比較大？ ○1 甲 ○2 乙 ○3 一樣大 ○4 不計算,無法比較 此題主要是評量學生能否由等式中找出其數字關係，從有規則的變化中去判 斷數字的大小，所以它評量的內涵屬於比較數字相對大小的能力之純文字或計算 情境的例題。 2、 生活情境 例：班上舉辦慶生會，曉霞吃了 11 9 _{塊披薩、芸承吃了} 13 11_{塊披薩、東暉吃了} 15 13_{塊披薩，請問哪個人吃最多？} ○1 曉霞 ○2 芸承 ○3 東暉 ○4 不能比較 此題主要是評量學童能否從數字的排列中去找尋其特殊的關係，分數的分母 和分子相減剛好都有相等的數值，可利用這層關係去判斷分數間的大小，所以它 評量的內涵屬於比較數字相對大小的能力之生活情境的例題。

1、 生活情境 例：臺灣的紫蝶幽谷為世界上罕見的「越冬型蝴蝶谷」。蝶谷中的蝴蝶物 種多樣而繁複，其中小紫斑蝶總數預估約523 萬隻，佔總數 49%為最高， 其次為端紫斑蝶、斯氏紫斑蝶、圓翅紫斑蝶，及其它八種斑蝶類。若以此 推估的話，請問蝶谷內的斑蝶總量大約是多少隻？ ①250 萬 ②572 萬 ③773 萬 ④1046 萬 此題主要是評量學童能否將數字和百分比值相互對應，知道 523 萬估計值 大約是 500 萬隻，49%的估計值也可以當成 50%。所以它評量的內涵屬於瞭解運 算對數字的意義和影響的能力之純生活情境的例題。 (四) 發展計算策略和判斷答案合理性的能力 1、 純數字或計算情境 例： 「783×9」也會等於哪個答案？ ○1 783×8＋1○2 783×10－1○3 783×3×3○4 700＋83×9 此題主要是評量學生能否運用運算策略並判斷計算式的合理性，所以它評量 的內涵屬於發展計算策略和判斷答案合理性的能力之純數字或計算情境的例題。 (五) 瞭解數與運算多重表徵的能力 1、 生活情境 例：期中評量考完後，老師把全班 32 人數學科的表現統計出來，所得的資 料畫成如下的圓餅圖。請問考 90-99 分的同學應該有幾個人？ ○1 4○2 8○3 16○4 28 此題是評量學生能否判別圖形的比例大小並將其數據對應到相關的數字 間，所以其評量的內涵屬於瞭解數與運算多重表徵的能力之生活情境例題。

四、預試試題分析 (一) 預試信效度 預試階段全部以選擇題題型施測，採紙筆測驗。預試測驗的α信度.82，顯 示本預試測驗具有良好的信度。預試測驗試題之內容由1位教授及3位現任國小教 師討論後定稿，採用專家效度。 (二) 試題分析 研究者根據預試結果進行難度與鑑別度之分析，如表 3-5，試題難度介於 0.2~0.7，平均難度為 0.55，難易度適中；試題鑑別度介於 0.1~0.74，平均鑑 別度為 0.47，試題鑑別度良好，其中預試第 21 題鑑別度 0.1，審試題目之後， 發現出題的範圍已超出學生能力，因此鑑別度偏低。故將試題題目及選項加以 修正重新編製，以確保測驗之信度。 表 3-5 數感能力測驗試題分析表 數感五向度 題號 難度 鑑別 度 通過率 % 項目刪除時 Cronbach's Alpha 值 0001 0.73 0.51 75 0.8111 0002 0.56 0.58 53.2 0.8124 0003 0.76 0.19 76.6 0.8192 0004 0.29 0.51 22.1 0.8120 0006 0.66 0.60 66.6 0.8090 1.瞭解數字的意 義和關係的能力 0007 0.32 0.39 31.73 0.8182 0008 0.41 0.38 40.38 0.8184 0010 0.77 0.32 81.09 0.8162 0011 0.73 0.46 79.80 0.8129 0012 0.58 0.61 52.88 0.8121 0013 0.61 0.56 60.25 0.8137 2.比較數字相對 大小的能力 0014 0.50 0.42 44.23 0.8179 0016 0.53 0.74 49.03 0.8094 0017 0.76 0.38 81.41 0.8161 0019 0.50 0.75 49.03 0.8088 3. 瞭解運算對 數字的意義和影 響的能力

＊0021 0.20 0.10 14.42 0.8218 0023 0.55 0.70 61.21 0.8089 0024 0.57 0.46 50.32 0.8175 0025 0.64 0.60 66.66 0.8114 0026 0.53 0.47 54.48 0.8147 0027 0.64 0.43 66.98 0.8111 0028 0.39 0.37 38.46 0.8124 4. 發展計算策 略和判斷答案合 理性的能力 0029 0.68 0.47 70.83 0.8192 0005 0.51 0.51 45.1 0.8158 0009 0.63 0.5 68.91 0.8129 0015 0.26 0.30 20.51 0.8178 0018 0.51 0.26 48.71 0.8219 0022 0.73 0.48 74.03 0.8123 5. 瞭解數與運 算多重表徵的能 力 0030 0.57 0.60 64.74 0.8120 註：「＊」表示該題題目之難度及鑑別度異常，須修正再重新編製

貳、整數四則運算測驗

一、試題說明 研究者依據五年級「整數四則運算」單元之數學能力指標，參考各版本教材 之相關單元內容以及國內專家學者的研究(周麗莉，1996)，最後經由專家學者及 多位具有豐富教學經驗之現職國小教師共同討論，根據教學的順序及概念間的上 下位關係，建立專家知識結構(如圖3-2)。

圖 3-2「整數四則運算」單元專家知識結構圖 二、試題架構

此測驗除了根據單元專家知識結構編製外，再將試題依照認知層次的不同編 製雙向細目表（表三-6)，試題的類別集中在瞭解、應用及分析三大類，評鑑及 創造的層次在選擇題型的評量上，較難發揮。