「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」學生解題表現分析

壹、學生在各試題之表現情形統計

一、得分結果統計

本研究將「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」之試題依評量目標及試 題類型做區分，評量目標分三類：四則運算規則、分配律及結合律；試題類型 分兩類：文字題及計算題，分別統計學生在各類別的答題表現，在表 4-4 所呈 現的是各題作答的得分結果，分別列出每題得分的統計。

表 4-4「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」得分統計表

各試題作答情形答對百分比

0 10 20 30 40 50 60 70

題號 百

分 比

答對率

不同試題類型選答率

41.75 44.33

文字題 計算題

圖 4-1 全體不同試題類型答對百分比

在全部試題的整體表現中，整份測驗的整體答對率 43.75%，每一題的答對 率不到 50%，顯示半數以上的學生在文字題及計算題型的解題是有困難的(圖 4-2)。推究其的原因：有一些學生的語文知識雖足以讀懂題目，但語意的知識 不足，對題意欠缺組織力，造成轉譯上的困難，因此無法整合題意，選取正確 的基模來解題；另一方面，對測驗工具的不熟練也是一項重要的原因，因為學 生所接受過的測驗，不論是文字題或是計算題都以紙筆測驗為主，線上的電腦 化適性診斷平台測驗方式是第一次進行，許多學生還不甚熟悉，每個步驟都需 自行輸入數字及符號，結束答題後，也須按下送出鍵才能答對，因此會影響學 生作答答對的百分比；除此之外，施測試題正確解答非單一答案也是造成學生 答對率不高的原因，學生在施測過程中須花時間思考更多元的解題方式，因而 影響其他試題的作答時間，造成答對率偏低，也是需要考量的原因之一。

圖 4-2 全體學生試題答對百分比

在個別試題的表現上，第一題、第八題和第十題的正確率是較低的，低於 平均值 42.42%。從試題的題目分析，第八題和第十題均是測驗學生在分配律的 概念，尤其在試題第十題的答對率中，僅有 24.21%，推究其原因應是學生對於 分配律的概念不清楚，加上試題的困難度又偏高，解題計畫的能力不足，卻以 本身能力及喜好猜測，任意使用數字及符號來做計算，所以導致答對率偏低；

文字題中，對於答對率偏低的第一題，則呈現問題轉譯上的困難，學生因為語 意知識不足，題意組織力不佳，只閱讀表面的文字敘述而未能了解數學上的意 義，未將題目上的文句轉譯成有用的資訊，所以無法正確表徵算式，執行解題。

二、學生在不同評量目標試題之作答表現

依照評量目標的不同，試題可以分成三類：四則運算規則、分配律及結合 律三種，以下分別對學生在各類別的表現做說明。

四則運算規則題型中，試題分布於文字題1、2、3 題以及計算題的 4、11、

12 共六題，文字題的平均答對率為 41.75%，計算題的平均答對率為 46.32%，

從平均數的比較可以發現：計算題的答對率高於文字題，此差距顯示學生瞭解 整數四則運算的規則，應用程序性的知識執行解題；而在文字題中因需要將題 目的字句加以轉譯，對於部分的學生因語意知識不足，缺乏對題意的組織能力，

因而造成無法表徵及解決問題，答對率略低於計算類型試題。

從四則運算規則、分配律及結合律三種類別的答題平均來比較(圖 4-3)，

可以發現：結合律型的題目其平均答對率最高 54.21%，其次為整數四則運算規 則類，分配律型的題目是三種類別中答對率最低的只有 37.89%。在四則運算單 元的學習中，結合律的概念是最淺顯易懂，運算符號單純，全部是加號或是乘 號，對學生來說是較容易理解；而分配律包含兩種運算符號，無形中增加了問 題的複雜性，如果運算符號與數字的排列不同，過程也會不同，因此容易造成

學生學習上的迷思，錯誤的比率因而大為提高，由此可知，學生對分配律的概 念是沒有真正理解，過於依賴定理公式，遇到有變化的題型時，就顯得不知所 措，而無法正確解題。

評量目標類別答對率

37.89

44.04 54.21

分配律 四則運算 結合律

圖 4-3「不同評量目標類別」全體學生答對百分比

而在整數四則運算規則題型中，平均答對率為44.04%，介於分配律及結合 律型的中間，排除數字之計算錯誤與運算符號看錯及筆誤等非認知型的錯誤 後，學生大部分的錯誤仍為四則運算規則概念不熟悉，例如: 「括號」的使用，

先乘除後加減、沒有等量的觀念...等，詳細的錯誤類型於第三節討論中，會在 予以詳加說明。

貳、解題策略

一、解題策略分析

本節將從不同類型題目的作答進行歸納與整理，並對學生正確解題的結果 進行分析，探討學生在「結合壞鍵計算機之整數四則解題評量」中所呈現出的 解題策略，以及不同教學法實驗教學下，學生的解題策略差異，茲將學生在解 題中的各類型的解題策略和答題反應整理如下表 4-8

表 4-5 文字題解題策略表

【題目一】

說明：學生須利用題目右側的壞鍵計算機按鈕來操作並列式，察覺題目所提供 的已知條件及限制條件，以求得等於 24 的列式解。

策略類別-倍數法：以乘法的為基礎，對數字做倍數的放大後，搭配加減的 算則讓列式符合題意。學生出現的列式有三種：18+2×3、(8-2)×(3+1)、(8+3+1)

×2，學生在問題表徵中能理解題意，運用各數字與 24 的因數倍數關係表徵列 式，並懂得使用括號來區分運算的先後次序。

策略類別-合成 1 或 0：利用任何數乘以 1 或除以 1 其值不變的原理，以及 任何數加減零其值不變的特性，巧妙應用於列式中，簡化計算。學生出現的列 式有兩種：3×8×(2-1)、3×8÷(2-1)，學生從題目的解題目標，來判斷數字間的 特殊關係，並利用 1 的數字特殊性，相乘或相除以 1 其值不變，便可降低對其 他數字帶來的困擾而列出不同的解題方式。從解題的反應來看，學生對於乘法 的使用較嫻熟，反而忽略數字 1 在除法的特殊性，在 32 位使用「合成 1 或 0」

的策略中，僅有 1 人運用到除法。

策略類別-拆解合成法：組合或拆解數字，把題目中的數字重新排列成新 的數字並搭配運算符號以求解。學生出現的列式有三種：(32-8)×1、28-3-1、

28-(3+1)，學生依據題目所給的已知條件，將數字做組合再進行四則的加減乘

除運算，學生組和排列的數字，並非天馬行空亂湊，是以較接近題目的數字為 優先，與題意相差較大的數字反而容易被忽略；而在相同數字的表徵列式中，

若能再運用括號的方式來表徵，解題的表現又更甚於其他人。

由題 1 的三種解題策略來看「合成 1 或 0」的策略是屬於較普遍的解題方 式不論在實驗組或對照組，其策略的使用都是最高的，而「拆解合成法」的策 略應用明顯低於其他兩種方式，顯示學生在解題策略的使用上，較為缺乏這方 面的訓練，策略應用的能力較弱。

【題目二】

說明：學生須利用題目右側的壞鍵計算機按鈕來操作並列式，察覺題目所提供 的已知條件及限制條件，以求得等於 1 的列式解。

策略類別-倍數法：以乘法的為基礎，對數字做倍數的放大後，搭配加減的 算則讓列式符合題意。學生出現的列式有三種：8+5-4×3、8-(4×3-5)、5-(4×

3-8)，學生在問題表徵中能理解題意，讓前後數字的關係差為 1，即能求得正 確的列式。在運用乘法以倍數放大各數字的列式中，並懂得使用括號來區分運 算的先後次序。解題的策略中括號的運用是關鍵，能運用括號來表徵列式的學 生，其解題策略的層次較高。

策略類別-簡化題目數字：以除法的方式進行四則計算，將數字變小，以利

於估算正確的結果。學生出現的列式有五種：(8×3)÷4-5、(8÷4+3)÷5、(5-(8÷

4))÷3、(8÷4)×3-5、8÷4÷(5-3)，學生在表徵列式中，能察覺數字間存在的因數 倍數關係，運用估算的能力判別列式的合理性，將除法的運算應用於算式表徵 中。其中括號的使用為必備的數學能力，須能應用括號於列式中才能正確解題。

由題 2 的兩種解題策略來看，「倍數法」與「簡化題目數字」 的策略是很 接近的，兩者都須具備判別數字間的因數倍數關係，再依個人喜好或擅長之策 略解題，因此兩種解題法的使用很平均，沒有顯著差異；在「倍數法」的解題 策略中，可以發現括號的運用是影響解題策略高低的重要因素，不使用括號的 列式表徵其答題次數會高於有括號的表現。再者，在四則運算的學習上，學生 又習慣大數減小數的關係，能逆向思考將小數減大數的策略層次又更高於其他 的表徵策略。

【題目三】

說明：學生須利用題目右側的壞鍵計算機按鈕來操作並列式，察覺題目所提供 的已知條件及限制條件，以求得將任意四個數加減乘除後的結果會等於第五個 數字的列式解。

策略類別-總和法：將所有的數字運用加或減的符號列式以符合題意。學生 出現的列式有五種：8-7+5+3=9、8+5-9+3=7、9-5-3+7=8、9-8+7-5=3、9-3+7-8=5。

的列式，在問題解題過程中不斷檢驗及修正表徵方式，最後達成解題目標。由 於加減法是學生較熟悉和常用的運算法則，須遵守的運算規則較少，使用的情 形為各類解題策略之冠，在解題的策略歸類中屬於層次較低的策略法。

策略類別-倍數法：以乘法的為基礎，對數字做倍數的放大後，搭配加減的 算則讓列式符合題意。學生出現的列式有一種：5×7-3×9=8。由於題目規定的限 制較多，學生在推估表徵列式是否合理時，對估算能力的要求也相對提高，因 此使用的比例相對減低。

策略類別-簡化題目數字：以除法的方式進行四則計算，將數字變小，以利 於估算正確的結果。學生出現的列式有四種：9÷3×5-7=8、(8+7)÷5×3=9、9×5÷

策略類別-簡化題目數字：以除法的方式進行四則計算，將數字變小，以利 於估算正確的結果。學生出現的列式有四種：9÷3×5-7=8、(8+7)÷5×3=9、9×5÷