數學解題的歷程和策略

壹、數學解題的意義

數學教育裡非常重視培養問題解決的能力。解題是所有數學學習中不可或 缺的部分，可視為數學課程的核心，是所有數學教學的主要目標，在國小階段 需紮實的幫助學生發展解題能力，讓數學學習得以開展（陳竹村、林淑君、陳 俊瑜，2002；NCTM, 1989, 2000）。而在現行的九年一貫課程數學領域課程綱 要中也闡明：必須學習應用問題的解決方法（教育部，2003）。課程綱要的精 神以重視問題解決為導向的教學，培養學生能在問題情境中去形成解決問題所 需的數學概念、態度和能力。

數學解題的定義很廣，學者們提出不同的看法， 茲分述如下：

Lester(1980)認為數學解題：「是指一個人面臨一種情境，在此種情境下沒 有算式可以保證獲得解答，個人必須利用所擁有的相關知識或訊息，去獲得問 題解答的過程。」

Mayer(1992)認為「問題」是從一個「已知狀態」到達另一個「目標狀態」，

且無明顯的方法可到達目標就產生了問題。而解題是指從「已知狀態」朝向「目 標狀態」進行的過程中一連串的心智活動。

Kilpatrick(1985)以心理學、社會人類學、數學及數學教學三個不同的觀點 來敘述數學解題。

一、 心理學的層面

數學解題常被定義為一個情境，在此情境中個體想要達到某一目標，但直 接通往此目標的路徑已經被阻塞了，因而產生問題，此時在尋求解答的過程中，

需要利用數學概念、原理或方法，所以把解題看成為了達到某種目的而做的一 些活動。

二、 社會人類學的層面

把一個數學問題當作是老師給學生的一項任務，學生在接受此項任務時與 老師產生了微妙的關係，互相猜測對方的意思，從自我的觀點出發來解釋對方 的行為。

三、 數學及數學教學的層面

將數學問題當作數學建構的泉源，及數學教學進行的思考工具。所有的數 學都是數學家們在形成問題及解題的過程中創造出來的。所以數學解題活動正 是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。

美國數學教師協會(NCTM,1989）認為解題是一種利用已學過的知識去處 理新的或未知情境的歷程。

劉秋木（1996） 認為數學解題應先確定問題，一般人也許認為教科書後面 的練習都是問題， 但這樣的問題有許多只要套一下公式就可以得到答案，沒有 一點困難，是不成問題的，只可稱為疑問(question)，或練習(exercise)，不足以 稱為問題(problem)，有困難才能成為問題。故構成問題的要素有：動機－目標、

障礙和探索活動。當個體接受一個問題之後， 就會進行活動以期達成目標，所 以解題為縮減初始狀態與目標狀態的差異，或解題為問題表徵的建構與再建構。

綜合上述看法，本研究認為數學解題是依數學解題的成分，解題者必須運 用已有的數學知識與經驗，經由分析、推理與組織等方式完成解題任務。解題 的過程是一連串自我發現、建構及實現的創造思考歷程。在解題過程中，學生 自發的解題行為：閱讀、理解、重組、猜測及嘗試錯誤等，更能表達呈現其解 題的心理歷程。而本研究用以分析學生解題歷程的「結合壞鍵計算機之整數四 則解題評量」，即是以此為出發點思考設計的整數四則運算之數學問題，希望 藉由此類問題觀察學生解題策略運用的情形。

貳、數學解題歷程

在數學解題的研究領域中，Polya(1945)是最早提出數學解題的歷程模式。

其後雖然有 Lester(1985)、Schoenfeld (1985)和 Mayer(1992)等人從不同的角度詮 釋解題的歷程，但深入研究各學者所提出的內容，仍以 Polya 為基礎，再各自 以不同的分類方式，發展其理論架構。

本節以介紹 Polya、Schoenfeld 和 Mayer 等三位學者的解題理論，然後歸 納各家解題的觀點，內容如下：

Polya (1945)在「如何解題」一書中，提出解決問題的四步驟，此四步驟成 為後繼解題歷程研究的基礎。

1. 瞭解問題(understanding the problem)：解題者必須瞭解句子的意義，分析已 知和未知答案之間的關係，及可使用哪些先備概念。

2. 想出計畫(devising a plan)：解題者必須認清題目各條件的關係，利用已有 的知識，擬定解題的輔助方法、策略和執行步驟，獲得解決問題。

3. 執行計畫(carrying out the plan)：解題者依計畫執行各種計算和操作。

4. 回頭檢驗(looking back)：解題者檢視答案，校正答案之合理性及用不同方 法求解答，從過程中找出這個解題經驗應用到別的問題。

Polya 希望藉由提出這些問題，協助教師進行解題的教學，讓學生能將這

些問題變成一種思維的習慣，最後能獨立思考並解題。這四個階段並非階段分 明，若發現無法正確執行或檢驗時發現錯誤，即得再重新擬定計畫，重複來回 四階段的步驟。

Schoenfeld(1985)將複雜的解題活動還需加入一些高層次的解題者心理活 動。並提出影響解題行為的四個因素即：

1. 資源(resource)指解題者所擁有數學知識，包括數學定裡、運算程序及四則 運算技巧等。

2. 啟發策略(heuristics)為解決非例行性問題時，從過往的解題經驗中應用累積 的策略和技巧來進行解題。

3. 控制(control）是指個人在解題過程中，能決定解題計畫及策略、監控、評 估和決策的能力。

4. 信仰系統(belief system)則是個人對數學的觀點，將影響解題者的行為。

在 Schoenfeld (1985)的研究中發現四個因素中的控制因素是解題的重要關 鍵，已因此以控制因素的觀點，將解題歷程分為六個階段：

1. 閱讀(read)：閱讀題目，並能複述題目中的重要條件。

2. 分析(analyze)：瞭解題目陳述，能有系統的重新陳述問題，找出解題方向。

3. 探索(explore)：閱讀題目後，尋找解題路徑。

4. 計畫(plan)：從分析及探索階段，獲得解題路徑，規劃解題步驟。

5. 執行(implement)：於計畫之後，逐一執行解題步驟。

6. 驗證(verify)：檢驗答案之合理性。

而 Mayer(1992)從認知心理學觀點，將解題歷程分為問題表徵及問題解決 兩個步驟，每步驟又包含兩個子步驟， 問題表徵包含問題轉譯和問題整合；問 題解決分為解答的計畫與監控和解題執行。

1. 問題轉譯：應用語言知識將問題的語句轉化為個人能理解的符號或訊息，

將題目的陳述句轉譯為內在表徵，理解語句間的關係。

2. 問題整合：以基模知識整合連貫題目中的已知條件。

3. 解題計畫及監控：能運用策略知識以數學語句、方程式或必須的運算列式 來表示問題。

4. 解題執行：利用程序性知識，讓學生正確有效的運算及執行解題計畫，求 得答案。

從以上多位學者對於解題的歷程的觀點，可知雖然各家對解題的觀點有差 異，但卻都有各自獨到的見解。其中，Mayer 歸納提出每個階段所對應的知識 類型，將各階段對解題的看法解釋得更為完整。因此，本研究將以此為規準，

來分析學生解題時使用的策略與發生的錯誤類型，探究解題歷程與錯誤發生的 關係。

參、數學解題策略

數學解題是一個複雜的心智活動，一般人面對問題時，會運用各種解題策 略以達到目標或求得解答；即使同一個問題，每一個人所採用的策略也會有所 差異，甚至遇到不同類型的問題，所使用的解題策略也會不同，因此策略的運 用是一種高層次的解題技巧表現，關鍵的解題因素之一。國內外有許多研究者 對於解題策略運用，提出不同的看法，茲整理如下：

Babbit 和 Miller(1993)提出解題策略中最重要的部分為：(1)仔細閱讀問 題。(2)自問自答、畫圖、視覺圖像化和畫重點等方式思考問題。(3)決定正確 運算或解題策略。(4)寫出數學式。(5)計算計檢查答案。

Montague(1996)認為失敗的解題者通常缺乏數學解題策略，因此解題策略 的運用更為重要。其中有效的認知策略為：(1)閱讀理解。(2)重組句子。(3) 視覺化。(4)提出假設。(5)預估。(6)計算。(7)驗算。

施青豐（1999）探討教學對解題態度與解題歷程錯誤的影響，並結合Mayer 和 Montague 的解題步驟發展出一套解題策略，包括：閱讀與探究問題、圖示

表徵問題、解題執行、回顧解答與檢查。其結果顯示，教學後的總題數作答正 確率明顯進步，解題歷程錯誤經教學後亦有改進，惟問題表徵的錯誤仍多於問 題解決的錯誤。

張淑芳(2001)在探討認知策略對於增進國小輕度智能障礙學生解答改變類 加減法應用問題的效果，以Polya 的解題歷程並加入了 Marshall(1995)的基模圖 策略發展出一套解題策略，策略包括五步驟：唸題目、找重要字、畫圖表示、

列算式和計算與檢查，其結果發現，整體答題正確率均較教學前進步，且撤除 教學後一週，仍可持續維持。

綜合上述的各種解題策略可知：策略的選擇主要從閱讀和分析問題而來，

對題意了解的程度差異，因而產生不同的策略解題結果。而不同的學生特質，

具有不同的學習特質，策略的選擇上，也導致不同的解題表現。本研究以蒐集 學生作答的表現歸納學生解題的策略類別，以幫助學生在遇到類似問題時，增 加選擇正確策略的機會，達到解題成功的目標。