數學建模 for all

關於數學建模的歷程，學者們的說法不一(楊子錕，2010)，但大多強調在 真實世界與數學世界之間來回的過程，包含在情境脈絡中形成問題、假設並轉 化為數學問題、求得數學結果、在情境脈絡中作詮釋、檢驗結果之合理性。數 學建模的目的通常是為了解決現實生活中所遭遇的困難，常常涉及複雜的開放 式問題，除了注重現實世界與數學世界轉換的過程，同時也需要一定程度的推 理與反思能力，過程中可能需要不斷的修改，透過探索、數學化、分析和檢驗 來形成模型。所謂的模型（model），不一定是由數學符號組成，它可能是一種 語言、一個表格、一幅圖畫或具體物品。

但高中階段進行數學建模教學的目的，主要是希望學生能培養數學應用的 意識，不要讓學習與現實脫節，才能在適當的時機運用數學方法解決困難(沈華 偉，2002)。對於社區高中的多數學生而言，完整的數學建模彷彿不可能的任 務，如同 Freudenthal (1968) 所說，正式數學適用於具有高水平的專家，不適用 於普通學生，主張「學生不是學習數學，而是學習數學化」。研究者希望不同 程度的學生都能參與所發展的活動，每個人都有機會能體驗建模的歷程，自己 研發非正式策略以解決問題，與現實數學教育RME（Realistic Mathematics Education）的理論不謀而合。

RME 為荷蘭近代發展的數學教育理論，主要的理念是讓孩子有機會在成人 的引導下重新發明數學。雖然RME 可追朔至 Freudenthal 的觀點「數學作為人 類活動，必須與現實聯繫在一起」，但其實RME 中的“現實”並不像中文表面上 的意思，根據原文字義，指的是對學生而言能夠想像的問題情境(Van den Heuvel-Panhuizen, 2003)，也就是說，具體的童話故事或虛擬的星際大戰都可能 成為學生眼中真實的脈絡，設計者提供的情境問題只需要對學生來說是真實且 有意義的，在這樣的環境下，學習者能夠更直接的進入狀況，主動發展非正式 策略。在RME 教學設計的原則中，學生被提供一個學習環境讓他有機會體驗 自己發明模型的過程(Gravemeijer, 1994)，教師不著痕跡的引導其發明，除了安 排的情境容易數學化，另外也要讓學生感受到建模的必要性，並且能覺察數學 結構和概念。

而Treffers (1991) 進一步表明正式的數學知識可以從學生的非正式策略中 發展出來。Streefland (1985) 提出從非正式至正式的模型演變，即“model of”轉 變為“model for”，Freudenthal (1975) 進一步解釋 model of something 是給定的現 實後的素描，用以描述實物，model for something 則是創造現實前的草圖，用來 形塑規範。對照國內學者楊凱琳與楊子錕(2007) 對模型的定義，從建模活動的 角度定義model of 與 model for，一種是表現學習者與情境脈絡互動產生對某種 想法的概念，另一種是表現其所對應的數學外或數學內的結構。

Gravemeijer (1999) 提出“緊急模型”來表示模型的發展特徵，當學生解決情 境脈絡問題時，緊急模型出現在學生的非正式解決策略中，可有效拉近非正式 知識和正式知識之間的差距。然而，學生在數學理解上的成長，不是因為所造 出的模型，而是建模活動的過程，故本研究針對可能初次參與建模的學生，提 供機會體驗建構“model of”的過程，至於是否能夠自行達到“model for”的層次則 視學生的潛力而定。事實上，建模者的數學意識與假設會影響其識別數學結構 的程度(Zbiek & Conner, 2006)，每個學生需要摸索的時間可能不同，但研究者 希望每位學生都能藉由自行發展非正式的“緊急模型”，至少對於相關問題能夠

有所感知，在之後引入數學概念時更能感受其背後的意義。

因為本研究預期學生發展非正式策略，且以數據分析為主題，建模的過程 並不一定包含連結數學實體的經驗，所以採用較為彈性的模式來分析學生的建 模歷程。在Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education [GAIMME] 最新的報告中，作者將數學建模定義為「利用數學表 示、分析、做出預測或是以其他方式提供洞察真實世界現象的過程」，並將建模 過程分為6 個部分，強調建模者在實踐過程中經常會在各個階段來回跳

(Garfunkel & Montgomery, 2016)，如圖 1，注意圖中同時包含單向與雙向的箭 頭，意指數學建模的過程並不是步驟性的固定順序發生，可能在分析的途中發 現問題，需要調整變數定義，也有可能從結果中發現新的問題，必須再進行另 一個問題的循環。像是Zbiek 與 Conner (2006) 分析學生在課程數學的概念發 展，雖然提出精細的建模過程圖，但也表示學生基於不同目的及背景知識，可 能採取不同的路徑，或者也可以省略某些子過程專注在其他過程上。本研究除 了把數學建模的過程融入桌遊設計中，同時也採用GAIMME 的定義，以圖 1 的過程為背景理論，分析學生在活動中的建模歷程。

圖1 GAMMIE 提出的建模過程與其中的關係

翻譯自“GAIMME” by Garfunkel, S., & Montgomery, M., 2016, p. 13.

由於本研究以數據分析作為內容，為了避免學生在推論時容易受到統計信 念的影響，並且在RME 理念下，許多學者(Lesh & Doerr, 2003; Bills, 2004) 也 認同數學建模的初始情境不一定要來自於真實生活，只要是可想像的真實即 可。故研究者選擇虛擬情境作為桌遊背景脈絡，讓學生在桌遊中體驗建模歷 程，除了可以避免現實生活環境的複雜性，也能控制變因讓玩家在指定的區域 內處理相關問題，讓學生練習形成問題與解決困難的能力。