設計理論

每個設計背後一定有一個崇高的理想，但在教學上面要能夠應用得當，除

了有一個廣大的理論背景之外，還要有中介理論框架銜接理想和現實的差距，

如此也能幫助我們的設計工具更堅固。Ruthven、Laborde、Leach與Tiberghien (2009) 提出教學設計的三個層次，從大理論出發，藉由中介理論框架的連結，

因為本研究以數據分析作為數學內容，MacKay與Oldford (1994) 提出的 PPDAC調查循環可作為研究者將桌遊融入數學建模時最主要的模型。如圖2所 示，在PPDAC調查循環中，第一個P代表提出問題（Problem），包含掌握系統

脈動與定義問題；第二個P代表擬訂計畫（Plan），包含計畫如何測量系統、如 何設計抽樣、如何管理資料、如何測試和分析，第三個D代表收集資料

（Data），包含收集資料、管理資料、清理資料；第四個A代表分析資料

（Analysis），包含資料探索、計畫中的分析、非計畫中的分析、產生假設；第 五個C代表形成結論（Conclusions），包含解釋、結論、新的想法、溝通。進 行統計調查時，可能經歷一輪PPDAC之後又產生新的問題，為此重新抽樣或分 析資料，重複進行數次PPDAC循環。

圖2 統計學家 MacKay 與 Oldford 提出的 PPDAC 調查循環

翻譯自“Stat 231 course notes fall 1994” by MacKay, R. J., & Oldford, W., 1994, Waterloo: University of Waterloo.

鐘文懋(2011) 分析了國中小課程綱要與相關課程教材，發現統計和機率的 能力指標大多以分析資料（Analysis）為主，課程教材以教授統計知識與技能為 目標，對統計思維的培養不夠完整，學生嚴重缺乏提出問題（Problem）與擬訂 計畫（Plan）的經驗，課本所安排的題目也大多經過精心設計，使得學生無法 接受現實狀況的複雜數據，顯示台灣教育在統計素養的培養上還有很大的進步

空間。

研究者希望藉由PPDAC調查循環，來發展學生的統計思維，並將此模型對 應到GAIMME報告中所提的建模過程(Garfunkel & Montgomery, 2016) 中，如圖 3，從確定問題到假設變數，使用適當的統計方法，分析和評估推論，並解釋結 果的意義，不知不覺中就完成了一個PPDAC的循環。然而，因為調查過程中D 與A都是統計裡重要的操作，研究者根據數據分析主題，將建模過程中「做數 學」的部分聚焦在使用統計思維收集與統整資料，「分析與評估模型」的部分 則關注於分析方式與推論結果。因為統計的特性，Plan、Data和Analysis之間可 能產生更密切的流動，如同建模過程的折返與跳躍，學生可以隨時調整策略，

感受不同模型的有效性。在本研究所設計的桌遊活動中，學生藉由操作完整或 不完整的PPDAC調查過程，體驗統計想做的事情，能讓他們更了解為什麼需要 統計，以及統計數據背後的意義，並且從中學習數學建模的精神，能夠應用所 學來解決現實情境問題。

圖3 PPDAC 套用至建模過程

另外一個中介理論框架為ARCS動機理論。由於現代電子產品的普及，加 上資訊媒體的發達，使得學生在傳統課堂上的專注力逐年下降，對學習的動機 更加薄弱。只是單純控制環境的影響，並無法帶來有效的學習，教師們想要有 個良好的教學環境，勢必要提升學生的學習動機。Keller (2010)整合相關理論提 出ARCS動機模式，使教師們能針對學生動機的需求，了解教學的設計策略，

診斷並用系統化的方式改善問題，讓所設計的教材能發揮應有的效用。ARCS 的各個字母代表Attention（注意）、Relevance（關聯）、Confidence（信心）與 Satisfaction（滿足），每一項底下再細分三個子概念或策略，可參考表1。

表1

ARCS 動機模式與其子概念

項目 子概念或策略

注意

（Attention）

A1 知覺覺醒：我能做些什麼來捕捉他們的興趣？

（Confidence）

C1 學習要求：我如何協助建立對成功的積極期望？

資料來源：翻譯自“Motivational design for learning and performance : the ARCS model approach” by Keller, 2010, Boston, MA : Springer Science+Business Media, LLC.

根據本研究一開始的理想，希望藉由數學建模作為數學理論與現實生活的 橋樑，從Gravemeijer et al. (2017) 針對在工作場所與學校使用數學的不同特徵之 討論中，不難想像一般民眾的生活經驗可能與過去學校體驗的數學相差甚遠，

研究者將其特徵列於表2比較。為了打破民眾對於抽象數學無法實用的誤解，本 研究所發展的桌遊活動，跳脫以往學校Q&A的模式，讓學生針對情境自己提出 問題，評估不同策略的適切性，調整出最佳模型，以完成遊戲任務為目的，利 用表面上回答實際問題的動機，帶起內在學習數學思想的動機，既為一種概念 工具，也同樣是一種實用工具。

表2

比較工作場所與學校所使用的數學

工作場所中的數學 學校裡的數學

使用方法 視為實用工具 視為概念工具

目的 達成客戶目標 通過考試

Q 自己提出問題 老師提出問題

A 多種可能解，有時需考慮折衷 唯一解，恆久不變

動機 回答實際問題 學習數學思想

本研究設計之桌遊融入數學建模的活動，指的並不是在情境脈絡中進行活 動後才回到數學世界討論與解題，也不是要求學生將情境脈絡到數學世界的水 平化過程作為遊戲目標。如同Lakoma (2007) 提出的學生自然推理過程之五個 步驟：(一) 探索帶有隨機的情境；(二) 形成問題；(三) 創造一個局部模型

（model）；(四) 分析模型以解決問題；(五) 比較模型得到的解和隨機現象的 觀察結果。本研究中桌遊的角色包含整個建模歷程，除了形成問題，也要建構 數學模型來解決問題，並檢驗模型的正確性等，而活動的設計只是幫助學生連 結概念或點出迷思，使其在這樣的環境和任務下，覺察數學的有用性，培養其 統計素養。