桌遊融入數學建模之活動設計與學習成效評估--以高中數據分析為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 桌遊融入數學建模之活動設計與學習成效評估 --以高中數據分析為例. 研究生：游舒婷. 中華民國. １０７. 年. 7. 月.

(2) 致謝首先，謝謝楊凱琳教授一路上的支持與鼓勵，總是能夠在我迷惘的時候點出問題所在，心中滿滿的感恩無法用言語形容，在這段期間我成長很多，雖然還是有進步的空間，但我一定會繼續努力，讓自己持續成長。謝謝口試委員鄭英豪教授、謝豐瑞教授與曹博盛教授給了許多具體的建議，使我能找到自己的盲點，讓整個論文可以更完整的傳達給讀者。感謝幫忙施測、試玩以及參與實驗的老師與學生，因為有你們才能讓本研究順利執行與評鑑。謝謝學長姐與學弟妹每次開會的建議與鼓勵，也謝謝助教在行政方面的協助與提醒。謝謝研究所的老師與同學們在學術上或是待人處事上的不吝分享，我很懷念那些上課及下課時光，雖然辛苦但卻充實。謝謝任教學校同事們的支持與體諒，分擔科務並協助支援暑期重補修課程，讓我能有多一些心力在進修的課程上。謝謝高三導師班學生的包容，能夠在我進修的時段自我管理，讓老師不需要為你們操心。謝謝我給自己一個機會，勇於面對新的挑戰，在畢業多年之後又回到師大數學持續學習與成長。謝謝家人與朋友的關心與包容，讓我能安心上課以及不眠不休的寫論文，許多細節沒有照顧到的也請見諒。. 最後，希望我的小小研究能夠帶給大家一些不同的想法，謝謝大家。. 游舒婷謹誌於臺灣師範大學數學系中華民國 107 年 7 月. II.

(3) 摘要本研究旨在發展以高一數據分析為內容的桌遊，並安排相關的學習活動，使學生能在遊戲中感受統計的不確定性並經驗統計的建模歷程，提升其統計素養。因此研究者提出三個研究問題：(1) 設計一款融入高一數據分析內容與建模過程的桌遊之歷程與步驟為何？ (2) 評估桌遊融入數學建模的學習活動是否能夠帶起學生主動建模的歷程？ (3) 桌遊融入數學建模的學習活動對學生的學習成效之影響為何？本研究採用設計研究法，研究者針對高一數據分析內容設計桌遊，經歷四個版本的調整與測試，結合統計調查 PPDAC 的循環，讓學生能夠在處理與分析資料之中感受建模的過程，並在正式活動時搭配閱讀文本與反思回饋單，提供學生不同的學習機會，自發性發展數據分析的概念。研究者亦針對新北市某社區高中一年級實驗班的 6 位學生進行認知與動機的前後測，分析學生在經過桌遊活動後認知與動機的變化，再藉由個別訪談與活動紀錄來了解學生的建模歷程、概念發展與活動評估。研究結果包含本研究發展之桌遊的設計歷程、學生在活動中的建模歷程、及學生的學習成效。重要的研究發現如下：在桌遊的設計過程中，依據適當的中介理論修改細節或評估設計，可以幫助設計靈感與理論基礎的完整結合。從學生的學習歷程中可發現學生較能主動提出問題，對於後續的教學介入可以更快理解，也能感受其背後的意義。而學生在學習成效上沒有顯著差異，但訪談時學生表示後來上二維數據分析課程時，會主動連結到本研究的桌遊活動，對於散布圖代表的意義也更有感覺。整體而言，學生對於這樣的活動融入課程表示肯定，認為遊戲後若能介入教學更能有效幫助學習。. 關鍵字：設計、桌遊、數學建模、PPDAC、動機. III.

(4) 目錄第一章緒論.................................................................................................................. 1 第一節研究背景與研究動機.................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題.................................................................... 7 第三節名詞界定........................................................................................ 7 第二章文獻探討.......................................................................................................... 9 第一節數學建模 for all ............................................................................. 9 第二節高中階段的統計思維發展.......................................................... 12 第三節設計理論...................................................................................... 13 第四節應用在教育上的遊戲設計.......................................................... 19 第五節桌遊與學習.................................................................................. 22 第三章研究方法........................................................................................................ 26 第一節研究設計...................................................................................... 26 第二節研究流程...................................................................................... 27 第三節測驗工具...................................................................................... 29 （一）認知測驗................................................................................ 29 （二）動機測驗................................................................................ 38 （三）活動評估問卷........................................................................ 42 第四節學習活動...................................................................................... 43 （一）活動設計理念........................................................................ 43 （二）遊戲設計與演化過程............................................................ 44 （三）正式活動流程與設計............................................................ 45 第五節研究對象...................................................................................... 47 第六節資料收集...................................................................................... 48 第四章研究結果........................................................................................................ 50 第一節桌遊版本的演化與設計歷程...................................................... 50 （一）概念版遊戲（第一版）........................................................ 50 （二）修正版遊戲（第二版）........................................................ 54 （三）口碑版遊戲（第三版）........................................................ 58 （四）正式版遊戲 Gotcha!（第四版） .......................................... 62 （五）綜合分析................................................................................ 69 第二節學生在活動中的建模歷程.......................................................... 74 （一）各學生的建模歷程................................................................ 74 （二）遊戲中的建模機會................................................................ 89 （三）文本角色與教學引導............................................................ 93. IV.

(5) 第三節. 學生的學習成效.......................................................................... 94. （一）子概念發展............................................................................ 94 （二）認知測驗結果........................................................................ 99 （三）動機測驗結果...................................................................... 100 （四）活動評估問卷結果.............................................................. 101 （五）對活動的看法與回饋.......................................................... 105 第五章結論與建議.................................................................................................. 107 第一節結論............................................................................................ 107 （一）設計融入數學建模體驗之桌遊.......................................... 107 （二）學生在活動中的建模歷程.................................................. 109 （三）學生的學習成效.................................................................. 111 第二節建議............................................................................................ 112 （一）對於本桌遊融入教學課程的建議...................................... 113 （二）對於桌遊設計的建議.......................................................... 114 （三）研究限制與未來發展.......................................................... 115 參考文獻……………………………………………………………………………117 英文部分…………………………………………………………………117 中文部分…………………………………………………………………120 附錄一機率與統計學習動機測驗………………………………………………122 附錄二《Gotcha!》活動評估問卷…………………………………….…………123 附錄三反思回饋單………………………………………………………………124 附錄四認知測驗（前測）………………………………………………………125 附錄五《桌遊 Gotcha!》規則說明………………………………………………133. V.

(6) 表目錄表1 表2 表3 表4 表5 表6 表7 表8. ARCS 動機模式與其子概念 .......................................................... 17 比較工作場所與學校所使用的數學.............................................. 18 遊戲機制的分類.............................................................................. 23 以 Bloom 教育目標分類的桌遊 ..................................................... 24 本研究桌遊曾使用的機制.............................................................. 25 認知前測雙向細目表...................................................................... 33 認知後測雙向細目表...................................................................... 34 專家審題建議.................................................................................. 36. 表 9 預試學生建議.................................................................................. 37 表 10 認知測驗的信度.............................................................................. 38 表 11 各因子個別因素負荷量.................................................................. 41 表 12 各因子間相關性與各因子信度係數.............................................. 42 表 13 各版本試玩與結果.......................................................................... 45 表 14 反思回饋單的雙向細目表.............................................................. 46 表 15 6 名個案的前測表現....................................................................... 48 表 16 能力者種類與功能.......................................................................... 66 表 17 認知測驗結果.................................................................................. 99 表 18 動機測驗結果（整體平均）........................................................ 100 表 19 動機測驗三因子前測平均............................................................ 101 表 20 動機測驗三因子後測平均............................................................ 101 表 21 活動評估問卷各問項分析............................................................ 102 表 22 6 名個案活動評估分析表格......................................................... 103 表 23 6 名個案活動評估-整體平均 ....................................................... 103 表 24 6 名個案活動評估-「對活動的興趣」平均 ............................... 104 表 25 6 名個案活動評估-「對活動的投入」平均 ............................... 104 表 26 6 名個案活動評估-「對活動的評估」平均 ............................... 104 表 27 6 名個案活動評估-「對未來的自信」平均 ............................... 105. VI.

(7) 圖目錄圖 1 GAMMIE 提出的建模過程與其中的關係 ........................................ 11 圖 2 統計學家 MacKay & Oldford 提出的 PPDAC 調查循環 ................ 15 圖 3 PPDAC 套用至建模過程 .................................................................... 16 圖 4 Kalloo et al.提出的數學遊戲設計方法 .............................................. 20 圖 5 設計研究的四個階段......................................................................... 26 圖 6 研究流程............................................................................................. 28 圖 7 活動流程............................................................................................. 45 圖 8 欲推測的目標卡牌............................................................................. 51 圖 9 蒐集卡牌以獲得更多資訊................................................................. 52 圖 10 自製桌遊概念版（第一版）試玩................................................... 53 圖 11 靈感筆記（部分） ........................................................................... 56 圖 12 圖 13 圖 14 圖 15 圖 16 圖 17 圖 18 圖 19. 第二版桌遊版圖............................................................................... 57 自製桌遊修正版（第二版）試玩................................................... 58 五個種族的資料卡牌....................................................................... 59 能力者卡片角色與功能................................................................... 60 自製桌遊 Gotcha!（第三版）試玩 ................................................. 61 五個不同種族生物的範例............................................................... 62 欲發展的子概念............................................................................... 63 公版區域有已開獎的資料供參考................................................... 65. 圖 20 圖 21 圖 22 圖 23 圖 24 圖 25 圖 26 圖 27 圖 28 圖 29. 遊戲中可能得到的圖表與數據資料............................................... 67 最後幾輪的押注特別熱烈............................................................... 68 設計步驟........................................................................................... 71 個案 A 的建模歷程 .......................................................................... 75 個案 B 的建模歷程 .......................................................................... 77 個案 F 的建模歷程 .......................................................................... 80 個案 a 的建模歷程........................................................................... 82 個案 b 的建模歷程........................................................................... 84 個案 f 的建模歷程 ........................................................................... 87 分析數學建模的子過程關係圖....................................................... 90. 圖 30 學生發現此圖對於觀察任務「克魔族體重」並無幫助............... 95 圖 31 PPDAC 套用至建模過程 ................................................................ 110. VII.

(8) 第一章緒論本章節共分為三小節，分別說明研究背景與研究動機、研究目的與研究問題，以及名詞界定。. 第一節. 研究背景與研究動機. 現代社會注重知識的實用性，希望所學有一天能夠派上用場，這對於高中數學教育無疑是一大挑戰。一般民眾往往誤解數學就是數字或計算，在日常生活中看不見數學，也不認為他所做的事情可能與數學有關。網路上各種數學無用論的說法，社會上也不乏攻擊教育的言論，導致學生在耳濡目染之下，對於學校中的數學學習充滿質疑。然而，工作場合所使用的數學往往隱含在目標環境中，會受到文化和脈絡的影響而呈現不同的面貌(Gravemeijer, Stephan, Julie, Lin, & Ohtani, 2017)，和學校教育中單純且理想化的抽象數學概念相比，彷彿是兩個不同的世界。再加上科技的進步，電子產品取代了許多繁複的計算，民眾容易產生用不到數學的錯覺。Gravemeijer 等人(2017) 亦指出在日常生活中，數感（numeracy）與量化素養（quantitative literacy）之重要性，同時需關注成年公民的自立與自信。這些能力和國際學生能力評量計畫(Program for International Student Assessment [PISA] )中所謂的「數學素養」有異曲同工之妙。其實，培養學生的數學素養早已成為很多國家數學課程的目標，例如：荷蘭、丹麥、德國、…等國家。呼應國際趨勢，台灣推動 12 年國民基本教育，其課程設計亦以素養為導向(林福來、單維彰、李源順、鄭章華，2013)。根據國家教育研究院之課程發展指引中的定義，核心素養為「一個人為適應現在生活及未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度」。而素養不只是有實用的含義，在中文的語意上也包含「素質」和「修養」的意涵(單維彰，2016)。教育部提升國民素養專案辦公室(2013) 進一步列出國民素養之內容，其中數學素養是指. 1.

(9) 「個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點」。反思台灣數學教育，許多學生為了考試而學習，只想知道標準答案，不一定會花時間去了解中間的過程與原因。在教學現場裡，為了學習成效與教學效率，教師大多以講述式教學為主，通常的教學模式是：重要概念教學、教師示範例題、學生模仿練習、考試檢討訂正、複習統整概念。在這樣的教學中，學生可以有效率的學習數學解題程序，在一般的考試中也能有很好的表現。但是當學生遇到沒有見過的問題時，常常不知道作何反應，有些同學就直接略過此題，也有同學埋頭苦算，方向錯誤卻不自知，甚至某些同學直接尋求老師索取正確答案。學生或許厭惡這樣的學習過程，卻又滿足於快速呈現的效果；在沒有十足的把握與支持的環境下，教師也不願意輕易調整已經熟練的教材教法；而社會上給予的壓力更讓台灣教育難以順利翻轉。然而，我們花了很多時間學習數學，在生活中卻用不出來，除了無法達到數學教育的理想之外，台灣的未來也令人擔憂，在變化萬千的高科技時代，學生們是否擁有自我學習、解決問題與適應未來的能力以面對無法捉摸的未知挑戰？為了順利應用數學在各種工作和日常生活上，數學教育應該讓學生做好準備(Gravemeijer et al., 2017)。21 世紀的社會受到數位化的影響，許多工作可能被機器取代，如何運用電腦卻不被牽著走，操作者必須了解機器中所涉及的數學知識，並養成批判性思維，以評估答案的有效性。除了為工作準備，更重要的是為生活作準備，在需要使用的時候，能夠主動覺察並適時派上用場。Lakoma (2007)對於數位時代的數學教育提出他的見解：比起傳遞數學理論的概念後展示簡單的應用，數學教育未來的重點目標應該是要形成學生創建模型的能力、提出假設並利用數學工具驗證之。而上述這些能力常見於數學建模的過程中，. 2.

(10) Lakoma 更表明在真實現象中的數學建模能力是數學素養的必要元素，也是現今與未來社會上十分需要的能力。現代的數學教育越來越強調帶著走的能力，數學建模已然是世界趨勢，但台灣學生對於這類開放性問題卻顯得沒有自信。或許是平時練習題的對與錯太過絕對，或許是不曾遭遇過這樣的生活經驗，也或許是沒有類似的建模體驗，課堂上貿然提出的現實情境問題常常讓學生們無所適從。事實上，在學校課程中的數學問題通常經過小心的數學化和建構，以引出具體的數學關係。為了過濾掉無關的訊息，條件和目標是結構化的，也就是說，問題的結構可對應到特定的數學結構(Lesh, 2003)。學生在解題時往往有「跡」可循，利用特殊化或是一些技巧可以「速解」，或者某些教師會告訴學生如何分類題型，從結構中找尋關鍵字，連結適當的觀念求解。學生或許知道如何求解，卻不清楚為什麼，連自己都無法給出合理的解釋。研究者認為這可能也是台灣學生在生活中用不上數學的原因之一，在釐清問題的關鍵條件與水平數學化上的訓練過少，學生習慣面對「設計過」的應用問題，也利用熟練的題海形成了舒適圈，現在要他跳出來面對現實世界的多元挑戰，自行簡化情境並轉譯為數學問題，不只沒有充足的經驗，甚至沒有信心面對可能不夠完善的模型。不同於一般的應用問題主要關注在特定數學知識可用在現實世界之處，使用已學過的模型來解決問題，數學建模則強調從真實世界的情境脈絡中形成問題，轉化為數學世界的問題後，再找尋可用的知識以解決問題(English, Ärlebäck, & Mousoulides, 2016)，也就是說，學生要想辦法連結可用的知識，或是增能學習相關的概念以解決問題，甚至還要進一步檢驗結果對應至真實世界的合理性。因而，研究者認為台灣學生所欠缺的能力，可藉由數學建模的經驗得到不同的想法，甚至改變過去學習數學的方法。為了增強學生在現實生活中使用數學的能力，研究者曾經利用彈性課程時間讓學生學習數學建模，希望學生自行尋找問題、轉化問題、建構模型與解釋意義，從解決困難的過程中發現數學之用。但研究者卻發現對於社區高中的高. 3.

(11) 一學生來說，將數學建模本身作為學習目標，似乎不太適合。根據研究者的觀察與評析，在分組報告中，六組之中只有一組算是有抓到數學建模的精神，其餘組別則認為這樣的任務太過艱難，報告內容大多稱不上「建模」，所使用的數學概念也不是非常合適。從這次的活動中，研究者也發現學生一開始提出的問題就如課本習題般的制式，對於開放性問題又常常以特殊化形式處理，無法感受一般化的需求(Lakoma, 2007)，而有些數學程度落後的同學自覺無用武之地，以至於想逃避活動中的討論。種種現象顯示學生們在數學素養上的貧乏，更大的問題是，這樣的課程似乎無法提升大多數學生的學習興趣，當然也無法激發有效的討論與思考。但學者們普遍認為數學建模任務能激勵學生參與數學。Zbiek 與 Conner (2006) 說明建模能幫助三種類型的學習動機，首先，確認現實世界的情境對（某些）學習者有吸引力，只是在後續的學習上，有些個案的動機不一定會持續發展。其次是一般學習數學的動機，為了解決一系列的數學問題，他們需要學習各種數學。最後，當學生接受一個目的，但目前所學卻不足以達成此目的，因而產生學習新知或調整聯繫的動機。但 Zbiek 與 Conner (2006)也強調，我們在課程環境中工作，其中數學建模被視為學習其他數學的場所，而不是其本身的教學目標。因此，研究者考量學生的程度與環境，重新思考高中課程融入數學建模的意義，目的應該是讓學生擁有將情境脈絡數學化，以及評估與調整模型的經驗，而不是「如何」建模。故研究者希望能創造一個可以自然建模的環境，讓學生從過程中感受數學之存在，並累積處理開放性問題的經驗。為了避免毫無目標的摸索，導致學生沒有動力尋找有意義的問題，討論或思考無法聚焦，但又不希望教師直接指定開放性問題，學生沒有真正經歷困難，主動提出問題的過程，所以研究者選擇使用遊戲的環境來融入數學建模過程，使學生能夠根據遊戲目標提出問題與假設，並且藉由遊戲過程維持動機，從不斷的建模中培養主動思考與探究的能力。每個人天生就能在遊戲中學習。國內外亦有許多研究指出，數學遊戲結合. 4.

(12) 教學，能提高學生的學習成就(張名榕，2017)。有別於教科書上設計好的情境應用問題，學生根據該單元的概念不帶批判的運用，只求答案正確不顧過程是否符合邏輯，身在遊戲中的玩家必須試著自己提出問題，運用所擁有的知識來解決困難，沒有標準答案可供參考，也沒有規定的路徑可遵循，只能靠自己的能力開出一條路，如此挑戰性的任務，不只是得到解決就結束了，玩家也會對這樣的結果多一層意義層面的解釋。但研究者也發現，一般常見的數學遊戲中，所含的數學概念不是太過簡單，就是基本數字運算的操作，而純數學思考與邏輯推理的益智遊戲又不夠親切，對於不喜歡數學的小孩或大人來說，無論簡單或困難，逃避往往是他們最佳的選擇。近幾年桌上遊戲（本文將簡稱桌遊）風氣盛行，尤其德式桌遊的機制多樣、主題豐富、美術精緻，在台灣掀起一陣旋風。研究者因緣際會也接觸了各種不同機制的桌遊，發現其中經常隱含許多數學原理，例如期望值，在決定每一個動作的時候，常常必須估算利弊，以賺取更多分數；有些桌遊必須擬定策略，但遊戲過程千變萬化，有時也必須視情況微調策略，才能從各個玩家之中脫穎而出，得到最後的勝利。事實上，桌遊在歐洲是一種極度被重視的遊戲類型，不只可作為刺激腦力的教具，也將其視為家庭互動的好工具，每年在德國埃森（Essen）都會舉辦一個國際遊戲展 Internationale Spieltage，集結世界各地的遊戲出版商，展覽他們的新產品。而美國有些企業也願意將桌遊融入教育訓練課程當中，以提升訓練成效。桌遊的適合年齡從幼兒到成人，針對不同的遊戲過程，每個人可能會有不同的想法，甚至需要使用一些技巧評估每個動作的優缺點，想辦法解決遇到的困境。因為桌遊這樣子靈活的特性，研究者認為可將桌遊與教學活動作結合，但使用現有桌遊融入在高中數學課程中總是顯得不夠融洽，因此研究者決定嘗試設計一款融入高中數學單元的桌遊，意圖將數學建模結合桌遊情境，讓學生可以在遊戲中嘗試解決自己心中的疑問，體驗數學建模的歷程，藉此培養數學素養。在資訊發達的 21 世紀，培養統計思維越來越重要(Gravemeijer et al.,. 5.

(13) 2017)，無論文組或理組科系，未來都有很大的機會使用到統計工具，但只會使用是不夠的，重要的是對於數據資料的分析評估與意義解釋。統計單元兼具不確定性與實用性，實用性能夠更直接的結合數學建模的歷程，不確定性讓遊戲本身就有足夠的變化，可以兼顧趣味與教育意義。為了改善學生對數據分析單元的應用能力，加強學生在統計資訊上的解讀，並破除學生對統計單元的迷思與誤解，於是研究者決定以數據分析為主題，以桌遊提供背景使學生建構模型處理資料分析問題，自然發展出形成假設、模擬與分析數據、驗證假設的思維模式，並且能夠從處理資料的過程中感受建模的意義。搭配相關課程的教學，甚至能夠使學生從桌遊中自然感受的「發現」，進一步建構出相關概念，完整的理解過程可以讓學生更容易產生學習遷移。即將施行的 108 課程綱要，一再強調培養素養的重要性。根據經濟合作暨發展組織(Organization for Economic Co-operation and Development [OECD] )的定義，素養可分為知識（Knowledge）、技能（Skills）、態度與價值（Attitude & Values）三大面向。十二年國教的前導研究小組(林福來等人，2013) 亦提出以數學素養為核心理念，並以「知」、「行」、「識」作為課程的設計向度與檢核指標。其中「知」就是「學什麼」或「是什麼」，包括改變與關係(change and relationships)、空間與形狀(space and shape)、數量(quantity)、不確定性和資料 (uncertainty and data) 的數學知識內容；「行」就是「怎麼做」或「怎麼用」，指學生所展現出來的數學技能；「識」就是「為什麼」或「你認為」，是對數學的內在認知與情意涵養。本研究中，在「知」的面向，選擇數據分析為學習內容，主要有一維數據資料的分布與二維數據資料之間的關係，包含觀察兩類別資料關係所使用的列聯表，以及觀察兩連續資料關係所使用的散布圖，符合數學素養所強調數學內容的實用性。在「行」的面向，採用 Ben-Zvi 與 Garfield (2005) 所提出的統計認知三個層次，從統計知識的基礎技能出發，發展統計推理能力以推論或解讀資訊，漸漸培養出更高觀點的統計思考能力，朝向適應現在生活及面對未來挑. 6.

(14) 戰的終身學習目標。在「識」的面向，學生從遊戲中感受統計的不確定性，自發性發展策略與評估效果，最後藉由回饋單反思其學習歷程，重新調整自己學習數學的方式與態度。總而言之，研究者希望所設計的桌遊活動能兼顧「知」、「行」、「識」三個面向，在促進數學建模的環境下，漸漸改變學生數學學習的習慣，真正朝向培養數學素養的目標前進。. 第二節. 研究目的與研究問題. 本研究的目的是設計桌遊融入數學建模的學習活動以提升學生的統計素養，關注於學生在活動中的建模歷程，及其所帶來認知與動機的變化，因此研究者提出以下三個研究問題： 1. 設計一款融入高一數據分析內容與建模過程的桌遊之歷程與步驟為何？ 2. 評估桌遊融入數學建模的學習活動是否能夠帶起學生主動建模的歷程？ 3. 桌遊融入數學建模的學習活動對學生的學習成效之影響為何？. 第三節. 名詞界定. 一、桌遊桌上遊戲（table game 或 board game）是指如卡片遊戲、圖版遊戲、骰牌遊戲，以及其他在桌子或任何平面上玩的遊戲，俗稱「桌遊」，亦泛指不依賴電子產品的、通常不需要大幅度動作的遊戲，故又被稱為「不插電遊戲」，而現代的遊戲講求作者的智慧財產與創新設計，因此也有人稱為「設計者遊戲」。陳介宇(2010) 綜合以上觀點，定義桌遊應該包含各種有規則且可以在平面上進行的遊戲，玩家們藉由操作其中的配件而分出勝負。. 7.

(15) 二、數學建模本研究以現實數學教育 RME 的理念為精神，透過一些可想像情境脈絡的桌遊活動，使學生主動形成非正式的模型，提供機會使學生有重新發明數學的體驗。研究者參考 GAMMIE 的報告(Garfunkel & Montgomery, 2016)，定義數學建模（mathematical modeling）為利用數學表示、分析、做出預測，或是以其他方式提供覺察現實情境脈絡的過程，並根據其提出的實踐過程模式圖來分析學生在活動中的建模歷程。. 三、學習成效本研究所謂學習成效包含認知、動機、以及對活動的評估，分別利用認知測驗、動機測驗、與活動評估問卷來測量。認知測驗以不確定性的概念與兩變數的相關性為主要命題目標，檢測學生在類別或連續資料的解讀與分析能力，而動機測驗包含自我效能、主動學習策略、機率與統計學習價值三個子項目，測量學生對機率與統計的學習動機。研究者藉由認知與動機測驗檢測學生在活動前後的變化，分析本活動對認知與動機的影響。活動評估問卷則包含對活動的興趣、對活動的投入、對活動的評估，以及對未來的自信四個子項目，在活動結束之後請學生根據個人在活動中的體驗來填寫問卷，藉此分析學生對本活動的想法。. 8.

(16) 第二章. 文獻探討. 本章分別就五個主題作文獻探討，第一節介紹本研究中數學建模的定位；第二節介紹高中階段的統計思維發展；第三節從教學設計的層次出發，討論本研究設計桌遊時所應用的理論；第四節探討文獻上關於應用在教育上的遊戲設計；第五節則是討論桌遊與學習的關聯。. 第一節. 數學建模 for all. 關於數學建模的歷程，學者們的說法不一(楊子錕，2010)，但大多強調在真實世界與數學世界之間來回的過程，包含在情境脈絡中形成問題、假設並轉化為數學問題、求得數學結果、在情境脈絡中作詮釋、檢驗結果之合理性。數學建模的目的通常是為了解決現實生活中所遭遇的困難，常常涉及複雜的開放式問題，除了注重現實世界與數學世界轉換的過程，同時也需要一定程度的推理與反思能力，過程中可能需要不斷的修改，透過探索、數學化、分析和檢驗來形成模型。所謂的模型（model），不一定是由數學符號組成，它可能是一種語言、一個表格、一幅圖畫或具體物品。但高中階段進行數學建模教學的目的，主要是希望學生能培養數學應用的意識，不要讓學習與現實脫節，才能在適當的時機運用數學方法解決困難(沈華偉，2002)。對於社區高中的多數學生而言，完整的數學建模彷彿不可能的任務，如同 Freudenthal (1968) 所說，正式數學適用於具有高水平的專家，不適用於普通學生，主張「學生不是學習數學，而是學習數學化」。研究者希望不同程度的學生都能參與所發展的活動，每個人都有機會能體驗建模的歷程，自己研發非正式策略以解決問題，與現實數學教育 RME（Realistic Mathematics Education）的理論不謀而合。. 9.

(17) RME 為荷蘭近代發展的數學教育理論，主要的理念是讓孩子有機會在成人的引導下重新發明數學。雖然 RME 可追朔至 Freudenthal 的觀點「數學作為人類活動，必須與現實聯繫在一起」，但其實 RME 中的“現實”並不像中文表面上的意思，根據原文字義，指的是對學生而言能夠想像的問題情境(Van den Heuvel-Panhuizen, 2003)，也就是說，具體的童話故事或虛擬的星際大戰都可能成為學生眼中真實的脈絡，設計者提供的情境問題只需要對學生來說是真實且有意義的，在這樣的環境下，學習者能夠更直接的進入狀況，主動發展非正式策略。在 RME 教學設計的原則中，學生被提供一個學習環境讓他有機會體驗自己發明模型的過程(Gravemeijer, 1994)，教師不著痕跡的引導其發明，除了安排的情境容易數學化，另外也要讓學生感受到建模的必要性，並且能覺察數學結構和概念。而 Treffers (1991) 進一步表明正式的數學知識可以從學生的非正式策略中發展出來。Streefland (1985) 提出從非正式至正式的模型演變，即“model of”轉變為“model for”，Freudenthal (1975) 進一步解釋 model of something 是給定的現實後的素描，用以描述實物，model for something 則是創造現實前的草圖，用來形塑規範。對照國內學者楊凱琳與楊子錕(2007) 對模型的定義，從建模活動的角度定義 model of 與 model for，一種是表現學習者與情境脈絡互動產生對某種想法的概念，另一種是表現其所對應的數學外或數學內的結構。 Gravemeijer (1999) 提出“緊急模型”來表示模型的發展特徵，當學生解決情境脈絡問題時，緊急模型出現在學生的非正式解決策略中，可有效拉近非正式知識和正式知識之間的差距。然而，學生在數學理解上的成長，不是因為所造出的模型，而是建模活動的過程，故本研究針對可能初次參與建模的學生，提供機會體驗建構“model of”的過程，至於是否能夠自行達到“model for”的層次則視學生的潛力而定。事實上，建模者的數學意識與假設會影響其識別數學結構的程度(Zbiek & Conner, 2006)，每個學生需要摸索的時間可能不同，但研究者希望每位學生都能藉由自行發展非正式的“緊急模型”，至少對於相關問題能夠. 10.

(18) 有所感知，在之後引入數學概念時更能感受其背後的意義。因為本研究預期學生發展非正式策略，且以數據分析為主題，建模的過程並不一定包含連結數學實體的經驗，所以採用較為彈性的模式來分析學生的建模歷程。在 Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education [GAIMME] 最新的報告中，作者將數學建模定義為「利用數學表示、分析、做出預測或是以其他方式提供洞察真實世界現象的過程」，並將建模過程分為 6 個部分，強調建模者在實踐過程中經常會在各個階段來回跳 (Garfunkel & Montgomery, 2016)，如圖 1，注意圖中同時包含單向與雙向的箭頭，意指數學建模的過程並不是步驟性的固定順序發生，可能在分析的途中發現問題，需要調整變數定義，也有可能從結果中發現新的問題，必須再進行另一個問題的循環。像是 Zbiek 與 Conner (2006) 分析學生在課程數學的概念發展，雖然提出精細的建模過程圖，但也表示學生基於不同目的及背景知識，可能採取不同的路徑，或者也可以省略某些子過程專注在其他過程上。本研究除了把數學建模的過程融入桌遊設計中，同時也採用 GAIMME 的定義，以圖 1 的過程為背景理論，分析學生在活動中的建模歷程。. 圖1 GAMMIE 提出的建模過程與其中的關係翻譯自“GAIMME” by Garfunkel, S., & Montgomery, M., 2016, p. 13.. 11.

(19) 由於本研究以數據分析作為內容，為了避免學生在推論時容易受到統計信念的影響，並且在 RME 理念下，許多學者(Lesh & Doerr, 2003; Bills, 2004) 也認同數學建模的初始情境不一定要來自於真實生活，只要是可想像的真實即可。故研究者選擇虛擬情境作為桌遊背景脈絡，讓學生在桌遊中體驗建模歷程，除了可以避免現實生活環境的複雜性，也能控制變因讓玩家在指定的區域內處理相關問題，讓學生練習形成問題與解決困難的能力。. 第二節. 高中階段的統計思維發展. 在現行高中課程中，統計的單元首先出現在高一下學期，主要介紹一維與二維數據分析的概念。學生學習此單元時，大多覺得公式繁雜，但只要能背好公式，程序題相對容易解決。這種覺得統計很簡單的假象，一旦面對統計概念的素養題，就馬上打回原形，學生往往不知所措，隨機的抽象概念讓大家望之卻步，但這卻是我們學統計最重要的精神，甚至命題老師也沒有抓到統計思維的核心概念，僅以數學上的結構和推理過程設計所謂的概念題。在科技的發達與資訊的流通下，我們身處一個大數據時代，比起收集數據計算各種統計量，如何取捨與分類大量資料，及如何評判分析有效資訊的能力更為重要。可惜的是，台灣過去的統計教育大多將重點放在統計量的計算與公式的推導證明，近幾年來隨著課綱的變化，雖然在教材上漸漸有所改善，但教育現場的「數學」老師們卻不一定能準確傳達統計所要強調的隨機概念，偏偏統計分析的教學非常需要「有練過」的老師引導，才能讓學生真正提升至能夠適當應用正確統計量解決現實問題的層次(陳幸玫，2006)。 Lakoma (1990, 2000)的研究指出發展隨機概念的自然方法有二：考慮真實隨機情境與塑造具體隨機現象。但以學生有限的所見所聞，不一定所有學生都有相關的現實生活經驗，或是該單元的應用情境對於這個年紀的學生較無感，. 12.

(20) 課堂中引起動機的例題通常效果有限。研究者欲將桌遊融入數學建模，主要是希望設計一個虛擬情境，讓學生從遊戲中感受「不確定性」的影響。學生自發性學習如何分析數據間的關係，對於所使用的統計工具有感覺，才能夠知道各種分析方式的好壞，理解其分析結果所代表的意義。 Ben-Zvi and Garfield (2005) 提出統計認知三個層次，統計知識（Statistical Literacy）代表使用統計工具的基礎能力，例如整理資料、製作圖表等技能；統計推理（Statistical Reasoning）代表利用統計知識去解讀或推論，例如解釋圖表、找關係等推導或判斷；統計思考（Statistical Thinking）則是理解整個統計調查的架構與緣由，解讀統計分析所得訊息。高中階段學生應該能夠輕鬆完成基本統計知識層次的任務，並且在現行課程學習中培養其統計推理能力，包含高一的基礎數據分析與敘述統計，以及高三隨機變數的概念與基礎推論統計，某些學生在正確的引導下，甚至能提升至統計思考的層次。本研究預期學生能在進行統計調查的過程中，從統計知識的層次漸漸提高到統計推理的層次，並且用統計思考的角度來提出問題，試著找尋解決方案。但就如 Shaughnessy (1992) 在研究中所言，初學統計的學生可能由信念或因果關係作出判斷，不注重機率的概念，而略具統計概念者可能藉由經驗或非正式的模型來作決定。為了讓學生能提升至統計思考的層次，遊戲過程中除了讓學生發現直覺反應與數學模型的差異之外，也要適時點出機率在不同表徵中所隱含的隨機概念，學生才能進一步發展出正式的統計模型，並能應用至適當的問題上。因此，如何在學習單中引導學生思考相關問題，自然覺察利用直觀判斷可能的陷阱，也是本研究活動安排時需要考量的問題。. 第三節. 設計理論. 每個設計背後一定有一個崇高的理想，但在教學上面要能夠應用得當，除. 13.

(21) 了有一個廣大的理論背景之外，還要有中介理論框架銜接理想和現實的差距，如此也能幫助我們的設計工具更堅固。Ruthven、Laborde、Leach與Tiberghien (2009) 提出教學設計的三個層次，從大理論出發，藉由中介理論框架的連結，最後聚焦到設計工具，更能有效結合理論/模型與目標/事件。之所以想設計桌遊融入數學建模的學習活動，是因為研究者發現某些單元引起動機的例子往往對學生無感，學生過去沒有類似的經驗，當然也不會因為老師多解釋幾句就有感覺，研究者希望學生能身在其境的去感同身受，自己發現困難，探索解決方案，並能驗證求出的解之合理性，可算是廣義的數學建模歷程，但是如何製造困難呢？利用虛擬的遊戲情境，為了要獲得勝利，玩家可以探索策略，可以互相交流想法，甚至學習新知識來解決問題。研究者的這個理想和Bruner的發現學習論不謀而合，Bruner強調由學生「主動探索」的學習，教師將所要學習的內容先隱藏起來，讓學生主動去發現它，不僅有助於長期記憶的保留，與增進獨立研究的能力，也讓學生從內在獲得滿足感，比起外在動機，這樣的滿足能激勵學習效果更持久。在這樣的一個大理論之下，研究者從兩個面向來引入中介理論框架，第一個是動機面向，採用的是ARCS動機理論，第二個是建模面向，除了數學建模的基本理論之外，更進一步融合PPDAC統計調查循環來檢視數據分析的歷程。值得注意的是，本研究並不是一開始就明確指出中介理論框架的內容，在設計之初，研究者作了一些嘗試，從玩家的回饋與專家的建議中，確立了本研究重要的理論依據，利用PPDAC調查循環重新發展設計工具，完成桌遊的設計後，發現動機的部分使用ARCS理論進一步細分檢驗，可以幫助我們分析這些設計背後的意義，釐清理論與實際之間的關係，故研究者認為這也可算是一種中介理論框架。因為本研究以數據分析作為數學內容，MacKay與Oldford (1994) 提出的 PPDAC調查循環可作為研究者將桌遊融入數學建模時最主要的模型。如圖2所示，在PPDAC調查循環中，第一個P代表提出問題（Problem），包含掌握系統. 14.

(22) 脈動與定義問題；第二個P代表擬訂計畫（Plan），包含計畫如何測量系統、如何設計抽樣、如何管理資料、如何測試和分析，第三個D代表收集資料（Data），包含收集資料、管理資料、清理資料；第四個A代表分析資料（Analysis），包含資料探索、計畫中的分析、非計畫中的分析、產生假設；第五個C代表形成結論（Conclusions），包含解釋、結論、新的想法、溝通。進行統計調查時，可能經歷一輪PPDAC之後又產生新的問題，為此重新抽樣或分析資料，重複進行數次PPDAC循環。. 圖2 統計學家 MacKay 與 Oldford 提出的 PPDAC 調查循環翻譯自“Stat 231 course notes fall 1994” by MacKay, R. J., & Oldford, W., 1994, Waterloo: University of Waterloo. 鐘文懋(2011) 分析了國中小課程綱要與相關課程教材，發現統計和機率的能力指標大多以分析資料（Analysis）為主，課程教材以教授統計知識與技能為目標，對統計思維的培養不夠完整，學生嚴重缺乏提出問題（Problem）與擬訂計畫（Plan）的經驗，課本所安排的題目也大多經過精心設計，使得學生無法接受現實狀況的複雜數據，顯示台灣教育在統計素養的培養上還有很大的進步. 15.

(23) 空間。研究者希望藉由PPDAC調查循環，來發展學生的統計思維，並將此模型對應到GAIMME報告中所提的建模過程(Garfunkel & Montgomery, 2016) 中，如圖 3，從確定問題到假設變數，使用適當的統計方法，分析和評估推論，並解釋結果的意義，不知不覺中就完成了一個PPDAC的循環。然而，因為調查過程中D 與A都是統計裡重要的操作，研究者根據數據分析主題，將建模過程中「做數學」的部分聚焦在使用統計思維收集與統整資料，「分析與評估模型」的部分則關注於分析方式與推論結果。因為統計的特性，Plan、Data和Analysis之間可能產生更密切的流動，如同建模過程的折返與跳躍，學生可以隨時調整策略，感受不同模型的有效性。在本研究所設計的桌遊活動中，學生藉由操作完整或不完整的PPDAC調查過程，體驗統計想做的事情，能讓他們更了解為什麼需要統計，以及統計數據背後的意義，並且從中學習數學建模的精神，能夠應用所學來解決現實情境問題。. 圖3 PPDAC 套用至建模過程. 16.

(24) 另外一個中介理論框架為ARCS動機理論。由於現代電子產品的普及，加上資訊媒體的發達，使得學生在傳統課堂上的專注力逐年下降，對學習的動機更加薄弱。只是單純控制環境的影響，並無法帶來有效的學習，教師們想要有個良好的教學環境，勢必要提升學生的學習動機。Keller (2010)整合相關理論提出ARCS動機模式，使教師們能針對學生動機的需求，了解教學的設計策略，診斷並用系統化的方式改善問題，讓所設計的教材能發揮應有的效用。ARCS 的各個字母代表Attention（注意）、Relevance（關聯）、Confidence（信心）與 Satisfaction（滿足），每一項底下再細分三個子概念或策略，可參考表1。表1. ARCS 動機模式與其子概念項目. 子概念或策略注意. A1. 知覺覺醒：我能做些什麼來捕捉他們的興趣？. （Attention）. A2. 詢問喚醒：我如何激發詢問的態度？. A3. 可變性：我如何保持他們的注意力？. R1. 目標取向：我如何最好地滿足學習者的需求？（我知道他們的需求？）. R2. 動機匹配：我如何以及何時向我的學習者提供適當的選擇，責任和影響？. R3. 熟悉：我怎樣才能將教學與學習者的體驗聯繫起來？. C1. 學習要求：我如何協助建立對成功的積極期望？. C2. 成功機會：學習經驗如何支持或提高學生對自我能力的信心？. C3. 個人控制：學習者如何清楚地知道他們的成功取決於他們的努力和能力？. S1. 自然後果：我如何為學習者提供有意義的機會來使用他們新獲得的知識/技能？. S2. 積極的後果：什麼會加強學習者的成功？. S3. 公平：我如何協助學生樹立對成就的正面感受？. 關聯（Relevance）. 信心（Confidence）. 滿足（Satisfaction）. 資料來源：翻譯自“Motivational design for learning and performance : the ARCS model approach” by Keller, 2010, Boston, MA : Springer Science+Business Media, LLC.. 17.

(25) 根據本研究一開始的理想，希望藉由數學建模作為數學理論與現實生活的橋樑，從Gravemeijer et al. (2017) 針對在工作場所與學校使用數學的不同特徵之討論中，不難想像一般民眾的生活經驗可能與過去學校體驗的數學相差甚遠，研究者將其特徵列於表2比較。為了打破民眾對於抽象數學無法實用的誤解，本研究所發展的桌遊活動，跳脫以往學校Q&A的模式，讓學生針對情境自己提出問題，評估不同策略的適切性，調整出最佳模型，以完成遊戲任務為目的，利用表面上回答實際問題的動機，帶起內在學習數學思想的動機，既為一種概念工具，也同樣是一種實用工具。表2. 比較工作場所與學校所使用的數學工作場所中的數學. 學校裡的數學. 使用方法. 視為實用工具. 視為概念工具. 目的. 達成客戶目標. 通過考試. Q. 自己提出問題. 老師提出問題. A. 多種可能解，有時需考慮折衷. 唯一解，恆久不變. 回答實際問題. 學習數學思想. 動機. 本研究設計之桌遊融入數學建模的活動，指的並不是在情境脈絡中進行活動後才回到數學世界討論與解題，也不是要求學生將情境脈絡到數學世界的水平化過程作為遊戲目標。如同Lakoma (2007) 提出的學生自然推理過程之五個步驟：(一) 探索帶有隨機的情境；(二) 形成問題；(三) 創造一個局部模型（model）；(四) 分析模型以解決問題；(五) 比較模型得到的解和隨機現象的觀察結果。本研究中桌遊的角色包含整個建模歷程，除了形成問題，也要建構數學模型來解決問題，並檢驗模型的正確性等，而活動的設計只是幫助學生連結概念或點出迷思，使其在這樣的環境和任務下，覺察數學的有用性，培養其統計素養。. 18.

(26) 第四節. 應用在教育上的遊戲設計. 近幾年開始，國內教師逐漸能夠接受遊戲融入教學的可能性，在研究上提到遊戲設計或應用的文獻也越來越多，但是真正用來發展概念的遊戲卻是少之又少，教師們想跳脫傳統講述式教學，進一步設計活動教材，卻沒有明確的步驟與理論支持，盲目的嘗試不僅很難達到理想的效果，也常常澆熄教師們的熱情，甚至懷疑自己的信念。黃國禎與付慶科(2017) 整理了近二十年遊戲式學習的相關研究，發現 2007 ～2016 年之間不僅在研究數量上逐年增長，從各個國家的比較中，發現台灣的發展更為快速，尤其是在行動科技的教育應用上。可知在資訊發達的現代，遊戲融入學習漸漸打破資源的限制，呈現與傳統教學不同的價值與效用，也成功獲得一些關注。縱使如此，相對於其他計算機科學或社會科學的大量應用，在數學領域上的相關研究依然有限，且大多集中在小學教育的各種數學操作。 Kalloo、Mohan 與 Kinshuk (2015) 曾在他們的研究中提出了數學遊戲設計的方法，如圖 4，從解一個問題的步驟出發，連結解題方法作為數學目標，再對應適合的遊戲種類，以這樣的設計方式可能導致遊戲偏向程序操作，作者雖然舉出了一些簡單數學遊戲的例子，但大多還是適合用來檢核學習成效，可能無法達到我們的理想—發展新的數學概念。近年來熱門的翻轉教育，也有一派提出遊戲式學習的理念，成立研究團隊改編或創作了許多可融入教學的遊戲，侯惠澤(2016) 建議老師們在設計微翻轉教學遊戲時，可從 Bloom 認知層次來對應設計遊戲規則，並控制遊戲時間在 20 分鐘內。2001 年發表的 Bloom 認知領域教育目標分類修訂版，其中認知歷程向度包含記憶、了解、應用、分析、評鑑或創造六個層次，主要區別在於它們的複雜性高低 (鄭蕙如、林世華，2004)，搭配知識向度形成分類表，可作為安排教學活動的依據 (葉連祺、林淑萍，2003)。其中認知層次包含各種不同深度的思考或行動，那麼，學生在還沒有低層次能力的情況下，要他玩一個較高層次. 19.

(27) 的遊戲是否會造成困難？況且要在 20 分鐘內完成任務，是否能完整理解知識內涵？以這樣的方式設計出來的遊戲很容易以檢驗學生使用知識的能力為目的，而較少關注於概念發展的過程，這樣的方式或許適合其他學科的熟練與記憶，但對於促進數學思考或發展新的數學概念是卻是毫無幫助。. 圖4 Kalloo et al.提出的數學遊戲設計方法翻譯自“A Technique for Mapping Mathematics Content to Game Design” by Kalloo, V., Mohan, P., & Kinshuk, 2015, International journal of serious games, 2(4), p. 77.. 20.

(28) 研究者過去也曾經在課堂中融入許多簡易遊戲機制，例如：利用 kahoot!網站設計知識王問答，小組搶答檢驗學生所學數學概念成效或澄清學生常見的迷思概念。但此類簡單機制只適合用於檢驗學習效果，在這樣的遊戲中，學生的成就感建立在相關概念發展完整的情況下，不只要理解與記憶，甚至要能分析與應用。對於在學習過程中已產生困難的學生，這樣的活動並沒有吸引力，甚至只會更加打擊他的信心。尤其在一般社區高中的數學教學上，要使學生達到應用的層級，絕對不是從一個驗收遊戲可以馬上得到效果，而遊戲或許有趣，但學習成就低落的學生可能還是什麼也不能做，動機很難因此而提升。研究上也指出大多數可用於數學發展與測驗的遊戲只著重在事實與程序，因為大多數開發者創作適合熟悉教學模型的遊戲 (Kiili, Devlin, & Multisilta, 2015)，這也促使研究者思考，課堂活動必須要能夠與數學概念有所連結，讓學生藉由認真參與活動的過程思考與學習，這樣的教學活動才有意義。學生常常對數學這門學科有著許多偏見，有些人覺得他對數學沒有天分則不可能學會，有些人認為數學就是數字，以為重點是要學習計算，也有人覺得一定要照著規則走才能得到正確的結果，Fuson、Kalchman與Bransford (2005) 認為這些偏見或困難可透過精心設計的教學活動解決，教師或課程設計師對任何數學領域都可以選擇一些概念性的支持來建構一個框架，幫助學生連結數學名詞、書寫符號和數量。如此一來，有意義的教學才能串連起現實生活的經驗與學校課程所教的數學。為了在桌遊過程中埋入數學建模的種子，我們必須更細緻的討論遊戲中各種可能的發展，Hernández、Levy、Felton-Koestler與Zbiek (2017) 提到在數學建模的教學活動中，欲促進學生建模，首先老師要選擇或發展合適的任務，在設計的過程中，最重要的問題是思考這項任務是否需要學生作出決定，如何以更數學的方式處理問題？並且可以更細緻的藉由以下問題構思活動的設計： . 學生對這些內容可能產生甚麼樣的問題？. . 他們需要哪些額外的資訊？. 21.

(29) . 他們如何取得這些額外的資訊？. . 學生在建立模型時可能會作甚麼樣的假設？. . 如何讓學生更自然的接受這些必需的假設？. . 學生最常用的解題策略為何？. . 在建模的過程中，學生可能會卡住的點？. . 學生可能會用甚麼工具分析結果和評估他們的模型？. 綜合以上觀點，研究者首先思考活動的軸心，列出學生在學習過程中可以發展的概念，以此原則來調整固有規則或設計新的桌遊，再搭配相關的學習單引導學生思考或討論。. 第五節. 桌遊與學習. 一般而言，一款桌遊包含三大賣點，分別為主題、機制、美術。主題與美術相對容易理解，主題即為遊戲的情境或背景故事，美術則是配件與包裝，都是一款桌遊吸引玩家很重要的因素。但甚麼是機制呢？機制（Mechanics）是整個遊戲結構中的精隨，驅動遊戲進行的最大關鍵。關於遊戲機制的種類，可參考桌上遊戲資料庫與社群網站 BoardGameGeek 的分類，如表 3。機制的種類很多，但一款桌遊也可以結合兩種以上的機制，機制之間的結合與互動常常激出不同的火花，許多設計師也致力於發展新的遊戲機制，讓桌遊玩出更多創意。若從遊戲機制與規則的角度來觀察市面上桌遊，我們不難發現桌遊讓玩家想要一玩再玩的原因，Mayer 與 Harris (2010) 認為現代桌遊有以下特色：一、資訊充足的環境；二、開放式的決定；三、遊戲結束的計分方式；四、相稱的主題。和傳統遊戲不一樣，遊戲中充滿豐富的資料與訊息，增添了遊戲的互動性與複雜度，每次行動的選擇與取捨，也讓玩家們傷透腦筋，每一輪局勢的瞬息萬變，迫使玩家找出更精確的策略。陳介宇(2010) 亦指出和其他媒介相比，. 22.

(30) 表3. 遊戲機制的分類 1. Acting. 27. Action / Movement Programming. 2. Action Point Allowance System. 28. Area Control / Area Influence. 3. Area Enclosure. 29. Area Movement. 4. Area-Impulse. 30. Auction/Bidding. 5. Betting/Wagering. 31. Campaign / Battle Card Driven. 6. Card Drafting. 32. Chit-Pull System. 7. Co-operative Play. 33. Commodity Speculation. 8. Crayon Rail System. 34. Deck / Pool Building. 9. Dice Rolling. 35. Grid Movement. 10 Hand Management. 36. Hex-and-Counter. 11 Line Drawing. 37. Memory. 12 Modular Board. 38. Paper-and-Pencil. 13 Partnerships. 39. Pattern Building. 14 Pattern Recognition. 40. Pick-up and Deliver. 15 Player Elimination. 41. Point to Point Movement. 16 Press Your Luck. 42. Rock-Paper-Scissors. 17 Role Playing. 43. Roll / Spin and Move. 18 Route/Network Building. 44. Secret Unit Deployment. 19 Set Collection. 45. Simulation. 20 Simultaneous Action Selection. 46. Singing. 21 Stock Holding. 47. Storytelling. 22 Take That. 48. Tile Placement. 23 Time Track. 49. Trading. 24 Trick-taking. 50. Variable Phase Order. 25 Variable Player Powers. 51. Voting. 26 Worker Placement. –. –. 資料來源：https://boardgamegeek.com/wiki/page/mechanism#. 桌遊所擁有的優勢有三項：一、提供真實的經驗；二、兒童參與的意願高；三、激發高層次的思考。這也是研究者認為桌遊融入高中數學教學活動之所以可行的原因之一，真實的經驗可安排適當的情境脈絡，參與意願高則能提高學習動機，激發高層次的思考更適合融入高中數學內容。學生希望任務有挑戰性，但又害怕失敗，若是老師能提供這樣的機會，在一個主題式的虛擬環境. 23.

(31) 下，只要學生願意去理解規則，在遊戲提供的情境中學習與思考，就有機會成功。桌遊不只能使玩家思考與互動，Mayer 與 Harris (2010) 還將某些著名的桌遊對應至 Bloom's Taxonomy（舊版），認為玩家可以從遊戲的過程中培養評估、預測、組織、計劃、審查、選擇、分類、解釋、排列等能力，如表 4。一個桌遊如果設計的好，從遊戲過程中就能幫助學生回憶所學、應用知識、評析策略，甚至發展新概念。表4. 以 Bloom 教育目標分類的桌遊技能. Bloom’s Taxonomy. 桌遊. 評鑑（Evaluation）. 議論，評估，比較，判斷，預測，支持. 綜合（Synthesis）. 安排，收集，創造，開發，管理，組織，計劃. 分析（Analysis）. 估價，計算，批評，審查，質問. Citadels. 應用. 選擇，說明，改編，解. Charades, Numbers League,. （Application）. 決，使用. Portrayal. 理解分類，解釋，定位，識（Comprehension）別，挑選知識（Knowledge）. 記憶，定義，排列，列表. Chicago Express, Max, Battlestar Galactica Puerto Rico, Once upon a Time, 1960: The Making of the President Bolide, Shadows over Camelot,. Pictureka, Monopoly, Lost Cities Trivial Pursuit, Sorry!, 10 Days in the USA. 資料來源：翻譯自“Libraries Got Game : Aligned Learning through Modern Board Games” by Mayer, B., & Harris, C., 2010, American Library Association. 然而，目前市面上所謂桌遊融入教學的設計，大多都是從「主題」下手，透過自行改編情境，或融合不同故事，以符合教學的目標。這樣的作法常見於文科或理科中記憶方面的知識，但對於數學概念的發展來說，卻很難只利用主題改編來引導學生的思考。而現有的桌上遊戲又很難完全融入高中數學課程，一方面所需數學技巧或數學知識較為基本，很少需要使用到高中數學，另一方面遊戲的趣味性大於教育性，學生在玩完遊戲後，進入相關課程，可能依然會. 24.

(32) 只想玩不想學。因此為了將桌遊融入數學概念發展的教學，研究者認為：應該將適當的桌遊機制融入活動中，將相關的遊戲任務與課程作連結，使學生從遊戲過程中發現數學之用。而研究者也希望此桌遊可以兼具趣味性與教育意義，讓學生在遊戲的過程中可以不自覺地投入討論與分析，甚至能夠結合其他議題或概念，使各個程度的玩家都能從解決難度適當的任務中得到成就感，所以遊戲機制的選擇非常重要。以下針對在遊戲設計與發展過程中曾經使用過的機制作進一步的說明，如表 5，讀者可以先行猜想這些機制在本研究中會如何結合與變化。表5. 本研究桌遊曾使用的機制機制. 說明. Betting/Wagering. 玩家以錢做賭注，根據遊戲本身或遊戲的一部分的結果來賺. 打賭/下賭注. 取更多金錢。. Press Your Luck. 你重複一個動作（或動作的一部分），直到你決定停止的風險. 按運氣進行評估. 增加（或不）失分。包括風險管理和風險定價的遊戲，其中的風險是驅動的遊戲機制和評估其他玩家的想法。. Dice Rolling. 顧名思義，遊戲當中有部份或是全部結果是利用擲骰的結果. 擲骰. 來決定。. Set Collection. 玩家試圖取得特殊組合的物品，通常超過一種的物品會比較. 組合收集. 好。. Worker Placement. 透過擺放手中擁有的工人行動，控制可以使用的區域/版圖能. 工人放置行動. 力。. Modular Board. 遊戲的遊戲區域由可改變的部份組成，每次遊戲進行會不一. 組合式版圖. 樣 (不同的設定)，或是在遊戲過程中會突然變化。. Card Drafting. 玩家從某個數量的公開卡片當中選擇手牌。. 卡片選擇資料來源：修改自 http://erosbg.blogspot.tw/2013/03/blog-post_12.html 瘋狂艾洛斯/桌遊設計師玩樂誌--桌遊機制分類介紹 (2013). 25.

(33) 第三章. 研究方法. 本章分為六個部分，包含研究設計、研究流程、測驗工具、學習活動、研究對象、及資料收集。從整個研究的計畫切入，全面性的俯瞰整個研究的流程與架構，接著說明所使用的測驗工具，再聚焦在本研究最主要的關鍵：設計桌遊融入數學建模的學習活動，最後介紹研究對象與資料收集的方式。. 第一節. 研究設計. 本研究採用設計研究法（Design-based Research），主要是在理論的基礎下設計產品，在實際教學活動中以此產品來協助教學，並評估其成效，而分析結果可修正原有的理論，依據新理論修正先前的產品設計，之後再次檢驗此產品在改善學習的成效，如此反覆的修正理論與產品，最後可推廣至教育界。設計研究法的目的包括建立理論、發展設計、改善實務三個層面，設計流程可分為四個階段，分別是準備、執行、評鑑、推廣，如圖5所示，其中從準備階段到執行階段可以反覆循環 (翁穎哲、譚克平, 2008)。. 圖5 設計研究的四個階段資料來源：翁穎哲與譚克平 (2008)。設計研究法簡介及其在教育研究的應用範例。科學教育月刊，(307)，20。研究者自行設計統計桌遊 Gotcha!，經過兩年半的測試與修正後，經歷了四個不同版本的設計，最終正式進入教育現場進行小組學習活動。活動設計主要是希望能提升學生的學習動機，並且從活動中體驗建模歷程，以桌遊為媒介，. 26.

(34) 讓學生能在活動中自然發展相關概念，對統計工具更有感，不只好玩，也富含教育意義。因此，本研究的目的是設計桌遊融入數學建模的學習活動以提升學生的統計素養。根據此研究目的延伸出以下三個研究問題： 1. 設計一款融入高一數據分析內容與建模過程的桌遊之歷程與步驟為何？ 2. 評估桌遊融入數學建模的學習活動是否能夠帶起學生主動建模的歷程？ 3. 桌遊融入數學建模的學習活動對學生的學習成效之影響為何？. 第二節. 研究流程. 本研究採用設計研究法，主要進行前三個階段，分別為準備階段、執行階段與評鑑階段，其中執行階段可再細分為設計與正式實驗兩個部分，詳細流程可參考圖6。在準備階段，研究者確定研究主題後，開始蒐集相關文獻，閱讀各方面的資料，除了研究相關的文獻之外，也包含坊間關於統計的科普書籍，從中充實統計相關知識，也學習如何以比較輕鬆又不失嚴謹的角度切入統計單元。接下來一邊紀錄各種設計靈感，並尋求理論支持來發展有潛力的想法，設計出第一版桌遊，進入執行階段測試與分析，從不同領域的專家諮詢中釐清問題，進一步調整或增添理論框架，找尋設計靈感重新設計第二版桌遊，後續又調整了兩三次，第四版桌遊才真正完整的結合設計靈感與理論基礎，明確符合學習目標，也兼顧其平衡性，研究者同時發展評量工具，目的是以客觀角度測量學生概念發展的程度。一切準備就緒後正式進入小組活動，在學習活動前後皆進行認知測驗與動機測驗的施測，後測過後再進行個別訪談，了解學生的學習歷程與對活動的想法。最後綜合所有資料進行分析，量化資料包含認知測驗與動機測驗的前後測，以及活動評估問卷，質性資料有活動觀察紀錄、反思回饋單和個別訪談。. 27.

(35) 確定研究主題. 蒐集相關文獻. 形成或調整. 理論基礎. 設計靈感. 實作. 構思認知測驗評量工具. 設計桌遊. 測試. 動機測驗. 對應目標. 測試. 分析. 分析. 前測桌遊活動後測訪談與問卷. 資料整理與分析. 撰寫研究報告圖6 研究流程. 28.

(36) 第三節. 測驗工具. 本研究測驗工具包含認知測驗、動機測驗、與活動評估問卷，以量化分析的方式了解學生在認知與動機上的變化，以及學生對活動的感受。其中認知測驗與動機測驗皆歷經試題修訂、專家評估、正式施測等編製歷程，以下詳細說明認知測驗、動機測驗、與活動評估問卷的發展過程。. （一）認知測驗認知測驗的部分經歷初步試驗、試題修訂、專家評估、預試、正式施測等歷程。在研究之初，目標架構還未完整確立時，研究者先發展初步前置試驗的問題，以二維數據分析為主，利用圖表閱讀的三個階級：Reading the data、 Reading between the data、及Reading beyond the data，搭配不同的情境設計四大題共10小題的認知測驗，以研究者當時所任教的實驗班一年級數學組學生共9人施測，了解在尚未學習二維數據分析時學生面對這類問題的直觀想法。. 例如第一大題第2小題所詢問的成績與近視的關係，有學生製作折線圖，也有學生照大小順序重新排列，但大部分學生都不同意此說法，並利用舉反例的方式指出不符合邏輯之處，或是以生活經驗加以判斷其真實性。從這個地方可以發現學生對於數理邏輯與統計推論之間並沒有明確意識到其差異，用了邏輯上判斷命題是非的方式判讀數據的相關性。另外也發現學生對於判斷此類現實中的問題，常常受到生活經驗的影響，利用經驗模型或是直覺推測來作出判斷，所提出的想法可能只是為了合理化自己信念的說法而已。. 29.

(37) 題目. 學生回答 1. 學生回答 2. 30.

(38) 學生回答 3. 再例如第三大題第2小題所詢問的廣告費用與銷售金額的關係，學生利用表格並重新排列數據，或是以數列方式由小到大分別寫下，相對於上一個例子，大多數學生同意本題有此趨勢，可能是因為敘述方式不同的差異，或是情境較無涉及個人信念所導致的差異。研究者依然發現有同學，而且常常是數理能力較高者，利用數理邏輯找尋數據上的矛盾來反駁相關性的推論。題目. 31.

(39) 學生回答 1. 學生回答 2. 學生回答 3. 經過初步試驗的觀察與分析，研究者對學生在開放性統計問題上可能的迷思概念有了進一步的想法，也更清楚在設計題目的敘述上需要注意的細節。待本研究的目標概念確定後，研究者重新設計試題與選項，盡量不讓學生產生真實性的連結或對個人信念無謂的堅持，使認知測驗能真正發揮檢核的作用。. 32.

(40) 以下將正式的認知測驗分為四個部分作詳細說明，測驗架構主要介紹雙向細目表的分類以及計分方式，編製過程則說明整份試題的設計與考量，在預試測驗結果分析與修正中，針對有問題的題目修正細節，最後報告正式測驗試題的信度分析。. 一、測驗架構為了測驗學生認知概念的發展，故雙向細目表的兩個維度皆從認知方面作分類，根據遊戲設定的2個核心思想與7個學習目標為其中一個維度，另一個維度則採用觀察變項的類型：類別變項（categorical variable）與連續變項（continuous variable），其中連續數據的期望值部分，因為考慮高中生憑藉既有知識的背景可能無法自然形成此概念，故不列入觀察項目。因為前後測的題目順序有稍作調整，雙向細目表分別如下表6、表7，一份測驗共有13小題，題目以解題為主（題目詳見附錄四）。表6. 認知前測雙向細目表學習目標. 不確定性的覺知. 兩變數的相關性. 類別變項. 連續變項. 有效的 data. 一-1. 七-1. 大數法則. 三-1. 五-1. 決策的期望值. 四-1. –. 解讀推論與結果的不一致. 四-2. 六-2. 解讀圖表表徵. 二-1. 一-2. 無相關. 二-2. 七-2. 過度解讀資訊. 一-3. 六-1. 33.

(41) 表7. 認知後測雙向細目表學習目標. 類別變項. 連續變項. 有效的 data. 一-1. 七-1. 大數法則. 五-1. 二-1. 決策的期望值. 四-1. –. 解讀推論與結果的不一致. 四-2. 六-2. 解讀圖表表徵. 三-1. 一-2. 無相關. 三-2. 七-2. 過度解讀資訊. 一-3. 六-1. 不確定性的覺知. 兩變數的相關性. 計分時參考每一題學生填寫的答案或理由，若理由符合所要測驗的概念，能夠判斷他真正運用這樣的想法解題者可得1分，若未完整使用所要測驗的概念，但使用的觀念符合統計概念者可得0.5分，若使用錯誤概念或理由不正當者得0分，除此之外，某些選項單純的問題卻未寫理由，導致研究者無法判定其使用的想法是否正確，同樣以0分計算。. 二、編製過程本研究的目的是以桌遊活動提升學生的統計素養，因此認知測驗的題目以素養導向的認知試題為主，有別於教科書上常有的程序題，本研究著重於應用知識與技能來解決情境脈絡中的問題，故研究者設計七個在情境中的問題，大多以單選題與複選題的形式，盡量避免繁複的計算過程，讓學生運用相關概念思考與分析即可直接判斷選項，並請學生簡單說明理由，計分時可參考理由充. 34.