數學概念發展之相關理論

根據孫良誠、盧美貴（2006）針對五歲幼兒數學學力指標建構之研究結果顯 示，五歲幼兒在數學之邏輯推理的發展，需要具備分類及配對、序列與規則與事 物關係等能力，以下就幼兒學習數學知識之概念發展的相關理論探討之。

壹、 Piaget 認知發展理論

皮亞傑(Piaget)的認知發展理論，實際上也就是他的智力發展理論，他認為 兒童的思維或心智活動異於成人，兒童隨年齡曾長而產生的智力發展，並非只是 表現於他的知識量的增加，而是在思維方式上產生了質的改變（張春興，2007）。

皮亞傑認為，數概念是一種有意義的學習結果，必須建立在邏輯的思考上。他對 數概念的主要論點為（周淑惠，1999）：（一）數與其他數概念之理解是源自於兒 童的心智發展，這些概念的發展是自發性的，無人教導；（二）數的保留概念是 數學理解的先決條件，兒童到了六歲半左右就會自然發展出這樣的能力。皮亞傑 從認知論的觀點認為兒童的學習有三個主要的知識型態：（一）社會性知識，如 語言、穿著、禮貌的表達、規則等，是經由人們的習慣創造出來的；（二）物理 性知識，如顏色、大小、磁性、浮力等屬於物體相關特性的知識，可透過觀察的 經驗而得到；（三）數理邏輯知識。數學概念的獲得來源是幼兒的心智發展，不 是靠他人激發，是幼兒自我統合經驗的學習而發展，所以數學知識的來源是內部 的；不同於社會性及物理性知識，其知識的來源是外部的（周淑惠，1999）。

皮亞傑將幼兒的認知發展分為以下四階段：（一）感覺動作期；（二）前運思 期；（三）具體運思期；（四）形式運思期，內容見下列表格說明如表 2- 1：

表 2- 1

Piaget 的認知發展論四階段

期 別 年 齡 認 知 特 徵

感覺動作期 0~2 歲

1. 憑感覺與動作以發揮其基模功能 2. 對物體認知具有物體永存概念

3. 具有因果關係概念，知道某件事情是引起其他 事情的原因，約十個月大以後有此概念

前運思期 2~7 歲

資料來源：研究者根據下列學者之研究整理（張春興，2007；陳菀菁，2007）

由皮亞傑的認知階段論可以得知，幼兒在認知發展的過程中，從具體概念至

逐漸變成社會人，成為一個符合於當地社會文化要求的成員。因此，幼兒的認知 發展，無疑是在社會學習的歷程中進行的。

二、 語言在認知發展中的功能

維高斯基認為，語言對認知發展具有兩大功能：（一）在文化傳承中，成人 將生活經驗和思維解決問題的方法，經由語言傳遞給幼兒；（二）幼兒以學得的 語言為工具，用於適應環境和解決問題，從而促進以後的認知發展。所以說，語 言與思維的關係是前者為因，後者為果，即語言具有促進幼兒認知發展的功能。

他所提出的自我中心語言(egocentric speech)觀點，與皮亞傑的說法不同。根據皮 亞傑的觀點，幼兒自我中心的語言只是代表幼兒對事物認知思維的一種表達方 式，與其認知發展並沒有必然關係，待兒童發展到具體運思期之後，自我中心的 語言即會自行消失。但維高期基認為，幼兒自我中心的語言，是調和其思想與行 動從而促進其認知發展的重要因素，幼兒會藉其自我中心語言來幫助自己思考，

以解決困難。維高斯基認為自我中心語言是具有自己對自己溝通的意義。

三、 最近發展區與鷹架作用

維高斯基提出學校教育可提升幼兒認知發展水準的主張，此即是他的最近發 展區理論。最近發展區(zone of proximal development)是指，從幼兒實際認知發展 水準到他可能認知發展水準之間的差距，即在教師或其他幼兒適當協助之下，可 以達到的成就。所以，實際發展區的上限代表幼兒認知發展的實力，最近發展區 的上限代表幼兒認知發展的最大潛力。維高斯基認為，在教導幼兒學習知識時，

不宜只重視其實際發展區，而應該特別重視他的最近發展區。他相信文化與教育 具有促進認知發展的功能，因此主張，學校應將教師協助學生在學得實際能力之 上去發展他的潛在能力視為教學的目的。另外，維高斯基將教師的協助解釋為鷹 架(scaffolding)，意謂適時協助學生學習，像工人搭鷹架一樣，具有提升學生學 習能力的作用。

維高斯基特別強調最近發展區的重要，他認為教學最佳的效果即是在此產 生。因此，教師要具備高的敏銳度，能在學生需要的時候給予協助，是教學時非

（周淑惠，2005）。教師必須透過對話才能取得推測其潛在能力的線索，或者以 此激發其潛在能力。當我們以對話的方式了解孩子的發展層次時，會逐漸體會出 對話的試探性作用（陳昇飛，2013）。維高斯基的社會建構論具體說明了教師在 教學時，如何透過語言的引導來提昇學生的學習能力。

參、 吸收論

吸 收 論 的 主 要 代 表 人 物 有 桑 代 克 (Thorndike) 、 斯 金 納 (Skinner) 和 葛 聶 (Gagne)，其認為數學是一組事實與技能，數學學習之主要目的乃在獲得這些事 實與技能（曾珮珮，2014）。吸收論認為學習數學內容與技能必須要靠不斷地記 憶、背誦和練習以強化聯結關係之建立，在形成聯結關係時，理解視為不必要的 過程，學習者只要藉由練習與記誦，技能與概念就越純熟穩固，累積聯結的實體 也越多（陳麗美，2012）。吸收論認為，知識被視為是事實的集合，事實藉由記 憶而被學習，而學習則是使訊息內化或複製資訊的過程，有知識的人就是記憶很 多訊息並隨時準備取用的人（桂冠前瞻教育叢書編輯組譯，2000）。

吸收論的主要觀點有以下幾點（桂冠前瞻教育叢書編輯組譯，2000；陳麗美，

2012）：一、環境是一種外在的刺激；二、個體對外在環境刺激會自然產生行為 反應；三、強調應透過環境來控制行為反應；四、行為的形成可細分為許多小步 驟；五、個體在接收到刺激後會立即產生特定的反應，此行為可以客觀的被測量 出反應的增減；六、學習的產生來自於一連串的刺激、反應與增強的聯結。七、

透過操弄可以確定個體是否已經達成學習效果。由此可以得知，吸收論者的主張 認為，幼兒在學習知識時是被動的接受者，成人對幼兒的學習是主導之角色。

吸收論認為數學學習具有以下幾項特點（桂冠前瞻教育叢書編輯組譯，

2000）：

一、 被動式的接收學習

吸收論者認為學習是一種接受反覆性事實的記憶輸入，透過不斷重複展現的 事實與技巧，進行被動的吸收過程。而「聯結」就是將這樣的過程不斷的輸入記 憶中。就聯結的形成而言，「理解」並非其形成要素，而是兒童在學習過程中只 要願意接受並樂意練習即可。因此認為，學習在本質上是一種記憶的過程。

二、 累積性學習

學習知識和累積知識猶如建造一座事實與技巧的城堡。因此，聯想新的事實 與技巧意即知識正在不斷的增長，同時也可以將過去所累積的舊知識，繼續與新 的知識結合，形成更加錯綜複雜的事實與習慣。由此，知識就更加的擴展與累積，

所聯結的數目也不斷的增加。

三、 一致性與有效性學習

吸收論者認為除了有障礙者之外，每個人的學習速度與記憶力應該差別不 大，因此只要提供相同的機會與方式，兒童在學習上應會具有一致性的成果。此 外由於兒童能夠有效的學習事實與技巧，因此透過聯結式的學習以機械性的記憶 模式，應該可以快速而有效完成知識的吸收。

四、 外部的控制

由於知識的學習來自外在的力量，因此成人在引導幼兒學習時，必須採取獎 勵或懲罰的方式來幫助他們學習，由此才能產生正確的聯結與知識的複製。獎懲 是一種控制學習的手段，目的在提供誘因以激勵學習。

根據上述理論，本研究使用 Phinken 教具融入教學活動，運用遊戲的方式並 讓幼兒自行操作教具，在過程中教師適時的給予幼兒引導及協助，此教學與維高 斯基的鷹架理論相同。此外，在教學活動過程當中，鼓勵孩子提問與引導其探索 的方式，讓孩子有機會表達並自主學習，加上同儕間的討論與相互指導，讓邏輯 概念能力較佳的孩子有機會可以指導其他孩子，程度稍為落後的孩子也能有更多 的練習並且可以有同儕鷹架的支持而完成學習的活動。