種是程序性概念(Operational conception)，另一種是結構性概念(Structural conception)，表 2-1-1-1 將這兩種概念做整理如下： (condensation)、物化(reification)，
表2-1-1-2 操作性概念轉化成結構性概念的三個階段
階段1：內化 階段2：壓縮 階段3：物化
特徵
把外在行為轉換成內 在思維
學習者可以將冗長的 操作過程凝化成一個 整體，不需要顯示任 何細部操作。
學習者將整個操作過程視為 一個靜態結構，並可以理解 其性質、表徵之間的關係。
Gray&Tall(1994)描述符號同時蘊涵了運算過程和概念，將過程(pro-cess)和概念 (con-cept)合成後形成過程概念(procept)，例如 5+4 可以表示加法過程(process of addition) 也可以表示為和的概念(concept of sum)，這代表在學習一個新的符號的時候我們可以透 過運算操弄符號的過程來理解符號的概念，Tall(2008)也提出數學的三個世界代表個人 的認知思考發展過程，如圖 2-1-1-1，第一個世界是概念具象世界(conceptual-embodied world)，個人在與真實世界的物件互動中，隨著逐漸穩定的經驗，利用語言來描述關於 數學物件的性質推演，最後產生出定義，並將感官經驗轉換成心像，第二個世界是過程 概念性的符號世界(proceptual-symbolic world)，個人可利用符號去表徵心智概念和運思 過程，例如在計數的過程中形成數的概念，組合的動作形成加法的概念，連加的動作形 成乘法的概念，分的動作形成分數的概念等，而在運思過程和概念形成間，符號與具象 則 是 可 以 雙 向 進 行 具 象 化 符 號(embodying symbolism) 、 符 號 具 象 化 (symbolizing embodiment)的轉換，第三個世界是形式化世界(formal world)，個人透過明確的定義和進 一步的性質透過證明演繹而形成的數學概念。
圖2-1-1-1 數學的三個世界概念圖（引自 Tall,2008,p.9）
從Tall(2008)提出的數學的三個世界中可以看到學生學習條件機率時教師能夠努力 的方向，從第一個概念具象世界裡教師可以嘗試佈置一個讓學生能夠互動的真實物件，
而在真實世界與機率相關的物件最常使用的就是硬幣或是骰子，所以教師在設計教學活 動的時候最好能夠帶出真實物件讓學生不斷操弄，而將操弄的感官經驗轉換成心像，而 在第二個過程概念性的符號世界則是提醒設計桌遊的時候要注意學習者是如何將過程 轉換成概念，並將其融入遊戲歷程當中，以免造成學生認知發展上的混亂。
二、APOS 理論
學習者要將過程轉換成概念其實是一件非常不容易的事情，所以Piaget(1972)將個 體抽象思考的方式分成三種類型：(1)經驗抽象(Empirical abstraction)代表個體透過操作 原有的具體物件產生新的經驗，例如一根手指代表數字1、兩根手指代表數字 2。(2)擬 經驗抽象(Pseudo-empirical abstraction)個體透過操作具體物件並注意操作過程中所產生 的特性，例如利用手指頭來進行加法的動作。(3)反思抽象(Reflective abstraction)個體將 許多操作過程形成一個新的概念，並將新概念運用在更高認知層次中，例如：個體可以 直接回答3 加 5 等於 8。
Dubinsky(1991)提出 APOS 理論，說明個體建構數學概念的機制和結構，而這些心 智結構在 APOS 理論中被分成四個階段，動作(Action)、過程(Process)、物件(Object)、
基模(Schema)，這四個階段之間也是透過反思抽象來形成，而這些反思抽象的心智機制 分別為內化(interiorization)、合成(coordination)、反轉(reversal)、膠囊化(encapsulation)、
一般化(generalization)。
Dubinsky 採用 Piaget 的理論，個體對既有的物件(object)進行外顯可見的操作 (action)，當個體反覆進行操作和反思後就可能內化成一個心智過程(process)，這時個體 已經可以在心中操作整個過程，若個體可以將過程應用到更高層次的操作中就代表將過 程膠囊化(encapsulation)轉換成物件(object)，接著再繼續對新的物件進行操作，必要時也 可以對原本從過程膠囊化形成的物件進行解膠囊化(de- encapsulation)，另外也可以將兩 個以上的物件去膠囊化在形成一個新的物件或是將過程反轉(reversal)。而這樣的發展並 非是線性一步一步的進行，也會依據情境不同學習者是在步驟間來回往返的，發展到最 後物件、過程、動作會形成一個關聯性的架構，我們稱之為基模(schema)。
圖2-1-2-1 APOS 理論架構圖
三、起源分解
所以要讓學生學會一個全新的抽象概念，可以依循APOS 理論的架構來嘗試，設 計可以讓學生具體操作的物件，透過反覆的動作內化成過程，再將過程膠囊化成物 件，但是Sfard(1911)指出將過程轉換成物件，就像從一個科學領域轉到另外一個科學 領域一樣難，所以Dubinsky 提出起源分解(genetic decomposition)，以 APOS 理論為基 礎來描述學生在建構數學概念所發生的動作、過程和物件時的心智結構，能幫助教學 者了解大多數學生的概念建構，是一種假設性的學習軌道，並能透過實徵性研究幫助 教學者修改或調整再作為下一次教學實驗上的設計架構。所以研究者設計桌上遊戲 時，將條件機率依照APOS 理論進行起源分解形成一個假設性的學習軌道，並希望將 軌道融入遊戲歷程中，也就是學習者可以透過玩桌上遊戲而進行有理論支持的認知發 展歷程。
目前高中課本介紹條件機率時，幾乎都是用情境例題做引導，透過不同的問題讓 學生感受樣本空間改變的狀況，研究者以某版本課本的條件機率單元的課本例題為例 發展出條件機率的起源分解：
表2-1-3-1 條件機率課本問題
生產部門 技術部門
男性 50 550
女性 250 150
科技公司有生產與技術兩個部門，男女員工人數如上表，公司舉辦摸彩活動，提供 一個特獎。
問題一：請問得到特獎為男性員工的機率是多少？
問題二：如果主持人抽出摸彩單後，提示得獎人是生產部門時，請問得到特獎為男 性員工的機率是多少？
以表2-1-3-1 條件機率課本問題為例的起源分解
150=1000
Action：依據 問題一確認 事件空間
（男性員 工）的個數 50+550=600
Action：依據 問題二確認 樣本空間
（生產部 門）的個數 50+250=300
Action：依據 interiorization
coordination
Object：比較從問題一和問題二所得的兩種機 率，從算式中可以觀察從事件空間（分子）、
樣本空間（分母）的部分有產生差異，進而可 以反思事件空間和樣本空間會因隨著情境不同
（提供訊息的改變）而變化，導致機率改變。
de-encapsulation encapsulation