桌上遊戲融入條件機率教學設計與實踐

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系(所) 碩士論文 Department of Mathematics College of Science. National Taiwan Normal University Master’s Thesis. 桌上遊戲融入條件機率教學設計與實踐. 汪陽 Yang Wang. 指導教授：左台益博士. 中華民國 109 年 07 月 July 2020.

(2) 致謝首先，謝謝左台益教授這三年的支持與包容，一開始在桌遊設計上的茫然，老師總是能夠給予十分精闢的建議，讓我設計的桌遊逐漸完善，過程中我成長了許多，不管是對學術的嚴謹或是對教學的反思，雖然還有廣大的進步空間，但是對這三年下來自己的成長，我是滿意的。謝謝口試委員陳明璋教授和李源順教授在疫情的不方便中仍然抽空指導，給予我滿滿的建議與回饋，讓我發現自己桌遊上設計的盲點與可以改進的地方。感謝協助我施測、試玩的學生們和同事們，還有怡秀老師大力的支援讓我有對照組的學生可以施測。感謝鵬宇，對我來說回到已經人生地不熟的師大念書，有人可以聊聊或是抱怨是非常重要的。這三年來不斷師大和工作兩邊跑，總算是要告一個段落了，期間有好多次想放棄、有好多抱怨、有好多的心累，但是都挺過來了！雖然很累但是真的能感受自己的成長，也認識很多的人，也學會用不同的角度看待自己的教學，檢視自己的不成熟，謝謝自己最後能夠堅持下去。最後更謝謝我的家人們，你們的支持和鼓勵對我來說是最大的動力，如果沒有你們在我低潮時的鼓勵的話，我一定沒有辦法這麼順利的完成學業，謝謝你們！. i.

(3) 摘要 108 新課綱的來臨，高中數學從以往的知識和解題導向轉變成能力應用素養導向，學生能在具體有感的環境下學習數學。為了強調具體有感的數學，數學桌上遊戲或許可營造數學感，激發學生興趣積極參與學習。本研究主要是設計能夠幫助學生建構新的數學概念的桌上遊戲並探討學生的學習成效。研究者以條件機率作為桌上遊戲主題，利用 APOS 理論搭配多重表徵將條件機率進行起源分解形成假設性學習軌道並融入遊戲歷程中，避免學生的認知層次發生混亂，設計遊戲機制時避免學生產生過多的認知負荷。本研究採用準實驗研究法，以台北市某公立高中兩班高一學生各 35 人作為實驗組（有桌遊）與對照組（無桌遊），將桌遊定位為學習條件機率前的奠基活動進行教學實驗，透過前後測和學習感受度問卷了解學生的學習成效。研究者將學習成效分成學習表現、學習感受和學習效率三個面向，學習表現以受測學生的後測表現做為參考，後測問題分成基本題、近遷移題、遠遷移題，學習感受分成認知感受、信心、自我效能、學習策略、情意、主動性六大項，學習效率則是以 Paas 和 van Merriënboer(1993)提出的學習效率公式來計算。主要研究結果如下： (1) 在學習表現上實驗組在基本題、近遷移題、遠遷移題表現均高於對照組，但均無顯著差異。 (2) 在學習感受上實驗組在認知感受、信心、自我效能、情意、主動性表現均顯著高於對照組。 (3) 在學習效率上實驗組在基本題、近遷移題、遠遷移題中的學習效率均高於對照組，但均無顯著差異。從上述的研究結果可知，桌上遊戲可營造數學感，激發學生的興趣積極參與學習，並且學習表現和學習效率也不會比不玩遊戲的學生還差。. 關鍵字：APOS 理論、桌上遊戲、遊戲設計、學習效率。. ii.

(4) 目錄第壹章緒論......................................................................................................... 1 第一節研究背景與動機 ................................................................................. 1 第二節研究目的與研究問題 ......................................................................... 4 第三節名詞界定 ............................................................................................. 4 第貳章文獻探討................................................................................................. 5 第一節數學知識的過程物件觀 ...................................................................... 6 第二節教學遊戲的認知負荷 ........................................................................ 13 第三節中學機率的課程歷史發展與結構 .................................................... 16 第四節條件機率的多重表徵 ........................................................................ 20 第五節桌上遊戲融入教學............................................................................. 25 第參章研究方法............................................................................................... 30 第一節研究對象 ............................................................................................ 31 第二節研究設計 ............................................................................................ 31 第三節研究工具 ............................................................................................ 37 第四節資料收集與分析方式 ......................................................................... 40 第肆章實徵研究結果與討論........................................................................... 42 第一節條件機率桌遊實作成品 ................................................................... 43 第二節實徵研究結果 ................................................................................... 46 第三節實徵研究討論 ................................................................................... 65 第伍章結論與建議........................................................................................... 71 第一節結論 ................................................................................................... 71 第二節建議 ................................................................................................... 72 參考文獻…….…….…….…….…….….….......…………………………………………...73. 附錄…….…….…….…….…..……………………………………………………............76. iii.

(5) 表目錄表 1-1-2-1 近六年學測、數甲、數乙與條件機率相關的試題之答對率……………….…..3 表 2-1-1-1 程序性概念與結構性概念之整理…………………………………………...……6 表 2-1-1-2 操作性概念轉化成結構性概念的三個階段……………………………………...7 表 2-1-3-1 條件機率課本問題………………………………………………………………11 表 2-3-1-1 國中九年一貫義務教育、高中 99 課綱與十二年國教之機率課程編排整理...16 表 2-4-1-1 條件機率的五種數學表徵……………………………………………………….21 表 2-5-2-1 桌遊遊戲機制的分類……………………………………………………………27 表 3-1-1-1 正式施測的樣本分佈狀況………………………………………………………31 表 3-2-3-1 本桌遊使用的遊戲機制………………………………………………………….36 表 3-3-3-1 前後測問卷試題分析…………………………………………………………….38 表 3-4-1-1 學習感受度問題分類…………………………………………………………….39 表 4-1-1-1 卡片類型/功能/數量清單………………………………………………….......... 44 表 4-2-1-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生的前後測答對率之平均數與標準差….46 表 4-2-1-2 實驗組和對照組中不同數學程度學生對前測之二因子變異數分析.................47 表 4-2-1-3 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測基本題之二因子變異數分析.....48 表 4-2-1-4 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測近遷移題之二因子變異數分析 49 表 4-2-1-5 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測遠遷移題之二因子變異數分析 50 表 4-2-1-6 實驗組受測學生在前後測表現之比較.................................................................50 表 4-2-1-7 對照組受測學生在前後測表現之比較.................................................................50 表 4-2-2-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生的學習感受度之平均數與標準差.........51 表 4-2-2-2 實驗組和對照組中不同數學程度學生對認知感受之二因子變異數分析.........52 表 4-2-2-3 實驗組和對照組中不同數學程度學生對信心之二因子變異數分析.................53 表 4-2-2-4 實驗組和對照組中不同數學程度學生對自我效能之二因子變異數分析.........55 表 4-2-2-5 實驗組和對照組中不同數學程度學生對學習策略之二因子變異數分析.........56 表 4-2-2-6 實驗組和對照組中不同數學程度學生對情意之二因子變異數分析.................57 表 4-2-2-7 實驗組和對照組中不同數學程度學生對認主動性之二因子變異數分析.........58 表 4-2-2-8 實驗組不同數學程度學生的綜合自我感受之平均數與標準差.........................58 表 4-2-3-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生的學習表現和心智努力之平均數和標準差........................................................................................................................59 表 4-2-3-2 實驗組和對照組學生在後測表現之學習效率比較.............................................63 表 4-2-3-3 實驗組和對照組中高分組學生在後測表現之學習效率比較.............................63 表 4-2-3-4 實驗組和對照組中低分組學生在後測表現之學習效率比較.............................64 表 4-3-1-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生的後測表現.............................................65 表 4-3-2-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生的學習感受度之影響.............................66 表 4-3-3-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生在後測表現中的學習效率.....................70. iv.

(6) 圖目錄圖 2-1-1-1 數學的三個世界概念圖（引自 TALL,2008,P.9）...............................................8 圖 2-1-2-1 APOS 理論架構圖..................................................................................................10 圖 2-1-3-1 條件機率課本問題為例的起源分解.....................................................................12 圖 2-2-3-1 學習效率圖.............................................................................................................15 圖 2-3-2-1 建議學習路徑圖.....................................................................................................18 圖 2-4-1-1 LESH, R., POST, T., & BEHR, M.(1987)數學表徵的五個形態..........................20 圖 2-4-1-2 數值表徵下條件機率問題的起源分解.................................................................22 圖 2-4-1-3 圖形表徵下條件機率問題的起源分解.................................................................23 圖 2-4-1-4 語言表徵下條件機率問題的起源分解.................................................................24 圖 2-5-1-1 JUST DO MATH 的學習環境...............................................................................26 圖 2-5-2-1 KALLOO、MOHAN 和 KINSHUK(2015)的數學遊戲設計方法.......................28 圖 2-5-3-1 桌上遊戲設計大綱.................................................................................................29 圖 3-1 研究架構........................................................................................................................30 圖 3-2-3-1 桌上遊戲設計流程.................................................................................................32 圖 3-2-3-2 條件機率問題的起源分解(數值表徵) .................................................................34 圖 3-2-3-3 條件機率問題的起源分解(圖形表徵) .................................................................34 圖 3-2-3-4 條件機率問題的起源分解(語文表徵) .................................................................35 圖 3-4-1-1 施測流程.................................................................................................................40 圖 3-4-2-1 二因子變異數分析流程.........................................................................................41 圖 4-1-1-1 桌遊條件卡之一.....................................................................................................45 圖 4-1-1-2 桌遊功能卡之一.....................................................................................................45 圖 4-1-1-3 桌遊地圖.................................................................................................................45 圖 4-1-1-4 桌遊配件.................................................................................................................45 圖 4-2-3-1 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測整體的學習效率圖.....................60 圖 4-2-3-2 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測基本題的學習效率圖.................61 圖 4-2-3-3 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測近遷移題的學習效率圖.............62 圖 4-2-3-4 實驗組和對照組中不同數學程度學生對後測遠遷移題的學習效率圖.............62. v.

(7) 第壹章. 緒論. 第一節研究背景與動機一、新課綱下的全新挑戰新課綱對老師們來說是一個全新的挑戰，最大的衝擊就是以數學素養為導向，課程編排的內容除了原有知識與能力外，更強調數學素養的態度，所要思考的是在有限的時間內該如何讓學生做最有效率的素養學習。新課綱以自發、互動、共好為理念，強調適性揚才希望能夠培養學生成為自動自發地主動學習者，學生的課表也有所謂「彈性學習」的時間讓學生自主使用。教師必須適當地給出「誘因」引導學生進行「自主學習」的動作，對學生來說最有誘因之一或許就是玩遊戲，如果能夠讓學生在玩遊戲的過程中可以學會新概念或是奠定學會概念的基礎那就是最好的事情了。葉盛昌(2003)提到遊戲式數學教學模式有助於學生學習成就的提升，也能改善學生數學學習的態度，然而這幾年桌上遊戲(Board Game)如雨後春筍般發展，很多不同遊戲主題的桌上遊戲都在吸引許多玩家的興趣，那令許多人著迷的桌上遊戲到底是什麼呢？一般來說桌上遊戲就是在桌上玩並且不需要插電的遊戲，例如最常見的五子棋、大富翁、麻將、撲克牌等等。Mayer 和 Harris(2010)認為桌上遊戲有著四點特色：資訊充足的環境、開放式的決定、遊戲結束的計分方式、相稱的主題。這類型的遊戲在 1980 年代開始在歐洲地區盛行，尤其被視為引起歐洲桌遊風潮的大作《卡坦島》與《卡卡頌》問世之後，桌上遊戲的開發和問世漸漸在人們的生活中發展，尤其在德國的幼稚園裡就會使用桌上遊戲訓練孩童的邏輯能力和辨識力，也顯見桌上遊戲在教育貢獻上也是有許多的支持。陳介宇(2010)也提到桌上遊戲比起其他能夠幫助學生學習的媒介所擁有的優勢有三點：遊戲提供真實的經驗、兒童參與的意願高、激發高層次的思考。但是如果要尋找市面上與數學學習有關的桌遊其實並不太多，且多以概念練習與解題運用為主，例如《數學桌遊書》、《你加我減》、《數字快打》、《法老密碼》等等，幾乎都是利用玩家已經學會的數學概念（數字、加減乘除、機率等）讓玩家利用已 1.

(8) 知的概念融入規則設計當中，這樣玩家在遊戲中就可以不斷地進行反覆練習。因為遊戲的性質讓反覆練習變得不枯燥，但是在市面上這類型的桌遊主要都是針對國中小的學生使用，高中單元的數學桌遊基本上很難找到。陳介宇、王沐嵐(2017)統計 2002 年至 2016 年桌上遊戲論文與期刊文章數量共有 137 篇，其中教育類的佔 82 篇(59.9%)，數學相關的有 10 篇(10.1%)，研究多探討桌遊提升學習動機之效果，在內容上則涵蓋幾何、加減、因數、倍數與質數等，以一般高中生為對象的則是 2 篇(3%)，可以看出與高中生相關的數學教育桌上遊戲其實並不多，主要原因還是高中數學概念發展較為不易，多數的桌上遊戲都是透過反覆操作讓學生熟練舊有的觀念。蔡佳玲(2013)利用 van Hiele 幾何思考層次理論來開發國小平面幾何圖形概念的桌上遊戲《我有一組》，是透過卡牌遊戲搭配教案讓學生透過不斷練習讓學生精練數學概念，因此研究者想要發展出一套桌上遊戲能幫助學生發展一個新的數學概念。. 二、以條件機率作為桌上遊戲主題 108 新課綱提到「數學是一種語言，宜由自然語言的題才導入學習」強調生活經驗和數學概念之間的連結，而機率在日常生活中的經驗經常被使用到，像是天氣的降雨機率、刮刮樂的中獎機率、擲硬幣得到正面的機率等等，而這些機率常常成為人們判斷是否該下決定的決策參考。與機率決策有關的問題最有名的是蒙提霍爾問題(Monty Hall problem)，情境是在一個電視節目中主持人與參賽者的遊戲中，題目是「有三扇門，每扇門後各有一份獎品，山羊或者汽車，而且僅有一扇門後藏有大獎汽車。當參賽者從三扇門中選定一門準備開啟時，知道門後情形的主持人會打開剩下兩道門後藏有山羊的一扇門，露出山羊頭，然後問參賽者：要不要換？」一開始參賽者選中汽車的機率其實就是三分之一，但是在後續主持人打開一扇有山羊的門後就是給參賽者新的資訊來讓他判斷，而這就是條件機率的概念，在決策的過程中透過資訊的增加讓人改變對原本機率的判斷。. 2.

(9) 從表 1-1-2-1 可以看出 103 年到 108 年的學科能力測驗和指定科目考試數學甲、數學乙中，與條件機率有關的答對率介於 17%到 58%，換句話說將近四成到八成的學生在遇到與條件機率相關的題目是無法回答正確答案。表 1-1-2-1 近六年學測、數甲、數乙與條件機率相關的試題之答對率題目. 105 學測 F. 答對率. 17%. 104 學測 B 103 學測 6 39%. 33%. 105 數甲 A 104 數甲 8 23%. 42%. 107 數乙 7 58%. 資料來源：大考中心. 李佳奇(2000)在探討高中生對條件機率解題策略與錯誤類型中指出一些學生容易遇到的困難：(1) 學生經常將條件機率的問題誤為交集機率的問題、(2)當解需要應用到貝氏定理的條件機率問題時，學生經常用 P(B|A) 或 P(A∩B)來求 P(A|B)。新課綱的課程手冊也提到學生容易將條件機率 P(B|A)誤以為是積事件 P(A∩B)，本研究將以條件機率為單元素材，探索學生對於條件機率的概念結構與設計一套幫助學習者建立條件機率概念的桌遊並探討其學習成效。條件機率是一個在生活中常見直觀的數學概念，但是對學生來說卻容易被條件或情境所干擾，因此如何透過更好的教學模式或是教學活動幫助學生學習條件機率的概念，進而幫助學生在生活中應用機率來做決策，是值得我們現在去研究的。機率作為桌上遊戲中經常使用的遊戲機制，例如大富翁人物的移動步數會透過擲骰子點數來決定，甚至為了追求遊戲內的公平（避免玩家靠擲骰子技術作弊）甚至還有「骰塔」來做為輔助，機率的不確定性也替遊戲增加許多的趣味，而條件機率中的「條件」則可以透過遊戲機制的發展與桌上遊戲結合，最後發展一套能夠幫助還沒學過條件機率的學生發展條件機率概念的桌上遊戲。. 3.

(10) 第二節研究目的與研究問題面對未來新課綱下數學課教學時數的減少，為了提高學生的學習成效，讓學生能夠有效的利用自主學習的時間來學習數學概念，許多研究利用桌上遊戲來幫助學生學習數學概念，但是主要都是利用桌上遊戲幫助學生複習或是精熟一個概念或解題，卻幾乎沒有桌上遊戲是能夠幫助學生建構一個從未學過的數學概念。故本研究目的旨在探討桌上遊戲幫助學生學習未學過的數學概念之影響。依此研究目的，本研究發展出的研究問題如下： 1. 高中生經驗條件機率形成概念的桌遊的特質與內涵為何？ 2. 課堂中進行條件機率桌遊輔助高中生學習的學習成效為何？. 第三節名詞界定ㄧ、桌上遊戲桌上遊戲(Board Game)簡稱桌遊，泛指在桌子上面玩的不插電遊戲。. 二、學習成效本研究的學習成效包含學習表現、學習感受、學習效率三部分，學習表現代表學生的前後測表現，學習感受代表學生在施測活動中對教學活動的認知、信心、自我效能、學習策略、情意、主動性感受，學習效率代表學生在後測表現中的學習效率表現。. 4.

(11) 第貳章. 文獻探討. 將桌上遊戲融入教學其實非常不容易，尤其是在設計遊戲時最常遇到兩個困難，一個是遊戲蘊含的數學知識結構不符合學生學習的認知層次，另一個是學習者只顧著玩遊戲而忽略遊戲中的數學知識，研究者將透過文獻探討來解決這兩個困難。整個文獻探討分成五節，第一節探討從數學知識的過程物件觀點來看個體對於抽象概念的發展，以 APOS 理論來作為理論基礎對條件機率進行起源分解，發展學生對於條件機率的假設性學習軌道，並將其融入桌上遊戲的遊戲歷程中，避免造成學生認知發展上的混亂。第二節探討桌上遊戲對學生學習條件機率時所產生的認知負荷，以避免遊戲設計時是否造成學生過多的認知負荷影響學生的學習成效。第三節則討論臺灣普通高中在新舊課綱（108 新課綱與 103 課綱）對機率課程的編排順序與課程建議，第四節延續新課綱的課程手冊對條件機率的教學建議，探討條件機率的多重表徵，並延續第二節所提到的認知負荷，也就是在設計桌上遊戲時也須考慮學生的認知負荷不要放置過多的表徵造成干擾。第五節則是定位桌上遊戲在教學中扮演的角色，參考臺師大數學教育中心的奠機活動，將桌上遊戲定位為在課堂上正式學習條件機率之前「奠定學習條件機率的基礎」的一個奠基活動，並探討桌上遊戲本身的結構與參考 Kalloo、Mohan 和 Kinshuk(2015)的數學遊戲設計方法作為桌上遊戲設計參考。. 5.

(12) 第一節數學知識的過程物件觀將遊戲融入教學中第一個的困難是遊戲蘊含的數學知識結構不符合學習者學習的認知層次，有可能遊戲中設計的遊戲歷程會造成學生認知發展上的混亂，所以要設計一個桌上遊戲讓學習者透過桌上遊戲發展條件機率概念的話，就必須要先弄清楚學習者在學習一個抽象概念時的認知發展歷程是什麼，並且進一步將其認知發展歷程融入桌上遊戲中避免胡亂設計的遊戲歷程反而造成學生認知發展上的混亂。. ㄧ、抽象概念的發展 Sfard(1991)從歷史和心理學的角度認為抽象概念可以用兩種不同的方式來發展，一種是程序性概念(Operational conception)，另一種是結構性概念(Structural conception)，表 2-1-1-1 將這兩種概念做整理如下：表 2-1-1-1 程序性概念與結構性概念之整理程序性概念. 結構性概念. 一般特性. 數學實體被認為是某個過程的產物，或者被認為是過程本身。. 一個數學實體被設想為一個靜態結構-就像它是一個真實的對像一樣。. 內部表現. 由口頭陳述支持. 由視覺圖像支持. 在概念開發中的地位. 在概念形成的第一階段發展. 從操作理念演變而來. 在認知過程中的作用. 對於有效的解決問題和學習是必要的，但還不夠。. 促進所有的認知過程（學習、解決問題）. 他推測程序性概念是對於多數人是獲得新的數學概念的第一步，然而這兩種概念並非是完全毫無關係，學習和解決問題的過程構成了相同概念的程序和結構概念之間錯綜複雜的相互作用，程序性概念和結構性概念就像是硬幣的正反兩面一樣，兩者之間是互相轉換的，進而從轉換過程發展出三個階段的模型來說明：內化(interiorization)、壓縮 (condensation)、物化(reification)，. 6.

(13) 表 2-1-1-2 操作性概念轉化成結構性概念的三個階段. 特徵. 階段 1：內化. 階段 2：壓縮. 階段 3：物化. 把外在行為轉換成內在思維. 學習者可以將冗長的操作過程凝化成一個整體，不需要顯示任何細部操作。. 學習者將整個操作過程視為一個靜態結構，並可以理解其性質、表徵之間的關係。. Gray&Tall(1994)描述符號同時蘊涵了運算過程和概念，將過程(pro-cess)和概念 (con-cept)合成後形成過程概念(procept)，例如 5+4 可以表示加法過程(process of addition) 也可以表示為和的概念(concept of sum)，這代表在學習一個新的符號的時候我們可以透過運算操弄符號的過程來理解符號的概念，Tall(2008)也提出數學的三個世界代表個人的認知思考發展過程，如圖 2-1-1-1，第一個世界是概念具象世界(conceptual-embodied world)，個人在與真實世界的物件互動中，隨著逐漸穩定的經驗，利用語言來描述關於數學物件的性質推演，最後產生出定義，並將感官經驗轉換成心像，第二個世界是過程概念性的符號世界(proceptual-symbolic world)，個人可利用符號去表徵心智概念和運思過程，例如在計數的過程中形成數的概念，組合的動作形成加法的概念，連加的動作形成乘法的概念，分的動作形成分數的概念等，而在運思過程和概念形成間，符號與具象則是可以雙向進行具象化符號 (embodying symbolism) 、符號具象化 (symbolizing embodiment)的轉換，第三個世界是形式化世界(formal world)，個人透過明確的定義和進一步的性質透過證明演繹而形成的數學概念。. 7.

(14) 圖 2-1-1-1 數學的三個世界概念圖（引自 Tall,2008,p.9）從 Tall(2008)提出的數學的三個世界中可以看到學生學習條件機率時教師能夠努力的方向，從第一個概念具象世界裡教師可以嘗試佈置一個讓學生能夠互動的真實物件，而在真實世界與機率相關的物件最常使用的就是硬幣或是骰子，所以教師在設計教學活動的時候最好能夠帶出真實物件讓學生不斷操弄，而將操弄的感官經驗轉換成心像，而在第二個過程概念性的符號世界則是提醒設計桌遊的時候要注意學習者是如何將過程轉換成概念，並將其融入遊戲歷程當中，以免造成學生認知發展上的混亂。. 8.

(15) 二、APOS 理論學習者要將過程轉換成概念其實是一件非常不容易的事情，所以 Piaget(1972)將個體抽象思考的方式分成三種類型：(1)經驗抽象(Empirical abstraction)代表個體透過操作原有的具體物件產生新的經驗，例如一根手指代表數字 1、兩根手指代表數字 2。(2)擬經驗抽象(Pseudo-empirical abstraction)個體透過操作具體物件並注意操作過程中所產生的特性，例如利用手指頭來進行加法的動作。(3)反思抽象(Reflective abstraction)個體將許多操作過程形成一個新的概念，並將新概念運用在更高認知層次中，例如：個體可以直接回答 3 加 5 等於 8。 Dubinsky(1991)提出 APOS 理論，說明個體建構數學概念的機制和結構，而這些心智結構在 APOS 理論中被分成四個階段，動作(Action)、過程(Process)、物件(Object)、基模(Schema)，這四個階段之間也是透過反思抽象來形成，而這些反思抽象的心智機制分別為內化(interiorization)、合成(coordination)、反轉(reversal)、膠囊化(encapsulation)、一般化(generalization)。 Dubinsky 採用 Piaget 的理論，個體對既有的物件(object)進行外顯可見的操作 (action)，當個體反覆進行操作和反思後就可能內化成一個心智過程(process)，這時個體已經可以在心中操作整個過程，若個體可以將過程應用到更高層次的操作中就代表將過程膠囊化(encapsulation)轉換成物件(object)，接著再繼續對新的物件進行操作，必要時也可以對原本從過程膠囊化形成的物件進行解膠囊化(de- encapsulation)，另外也可以將兩個以上的物件去膠囊化在形成一個新的物件或是將過程反轉(reversal)。而這樣的發展並非是線性一步一步的進行，也會依據情境不同學習者是在步驟間來回往返的，發展到最後物件、過程、動作會形成一個關聯性的架構，我們稱之為基模(schema)。. 9.

(16) 圖 2-1-2-1 APOS 理論架構圖. 三、起源分解所以要讓學生學會一個全新的抽象概念，可以依循 APOS 理論的架構來嘗試，設計可以讓學生具體操作的物件，透過反覆的動作內化成過程，再將過程膠囊化成物件，但是 Sfard(1911)指出將過程轉換成物件，就像從一個科學領域轉到另外一個科學領域一樣難，所以 Dubinsky 提出起源分解(genetic decomposition)，以 APOS 理論為基礎來描述學生在建構數學概念所發生的動作、過程和物件時的心智結構，能幫助教學者了解大多數學生的概念建構，是一種假設性的學習軌道，並能透過實徵性研究幫助教學者修改或調整再作為下一次教學實驗上的設計架構。所以研究者設計桌上遊戲時，將條件機率依照 APOS 理論進行起源分解形成一個假設性的學習軌道，並希望將軌道融入遊戲歷程中，也就是學習者可以透過玩桌上遊戲而進行有理論支持的認知發展歷程。. 10.

(17) 目前高中課本介紹條件機率時，幾乎都是用情境例題做引導，透過不同的問題讓學生感受樣本空間改變的狀況，研究者以某版本課本的條件機率單元的課本例題為例發展出條件機率的起源分解：表2-1-3-1 條件機率課本問題生產部門技術部門男性 50 550 女性 250 150 科技公司有生產與技術兩個部門，男女員工人數如上表，公司舉辦摸彩活動，提供一個特獎。問題一：請問得到特獎為男性員工的機率是多少？問題二：如果主持人抽出摸彩單後，提示得獎人是生產部門時，請問得到特獎為男性員工的機率是多少？. 11.

(18) 以表 2-1-3-1 條件機率課本問題為例的起源分解. Action：依據問題一確認樣本空間（總人數）的個數. Action：依據問題一確認事件空間（男性員工）的個數. Action：依據問題二確認樣本空間（生產部門）的個數. Action：依據問題二確認事件空間（男性員工）的個數. 50+250+550+ 150=1000. 50+550=600. 50+250=300. 50. interiorization Process：依照古典機率的定義計算機率. coordination. 600 3 = 1000 5. Process：依照古典機率的定義計算機率 50 1 = 300 6. encapsulation de-encapsulation Object：比較從問題一和問題二所得的兩種機率，從算式中可以觀察從事件空間（分子）、樣本空間（分母）的部分有產生差異，進而可以反思事件空間和樣本空間會因隨著情境不同（提供訊息的改變）而變化，導致機率改變。圖 2-1-3-1 條件機率課本問題為例的起源分解. 12.

(19) 第二節教學遊戲的認知負荷將遊戲融入教學中容易遇到的另一個問題是學習者只顧著玩遊戲而忽略遊戲中的數學知識，也就是遊戲中的外在負荷太多了造成學生注意力分散，因此本研究利用認知負荷理論作為設計桌上遊戲的理論基礎，希望降低學生的外在認知負荷，增加有效的認知負荷來幫助學習者學習條件機率。. 一、認知負荷理論與教學上的應用 Chandler, P., & Sweller, J. (1991)提出認知負荷理論(cognitive load theory,CLT)，其理論主要希望能減輕學習者不必要的認知負擔(Sweller 2003，2004)，並將認知負荷分成三種類型，內在認知負荷(intrinsic cognitive load)、外在認知負荷(extraneous cognitive load)、增生認知負荷(germane cognitive load)，內在認知負荷代表與教學目標有關，教材內容的複雜度對學習者造成的心智負荷，外在認知負荷代表與教學目標不相關或是教材內容設計不當導致學習者處理訊息時產生額外的心智負荷，增生認知負荷代表學習者在有助於達成教學目標的活動中產生的心智負荷，而 Sweller(2010) 從元素互動性 (element interactivity)角度重新詮釋了一次認知負荷理論，內在認知負荷代表以學習內容本身形成的元素互動所造成的認知負荷，外在認知負荷代表教學程序形成的元素互動所造成的認知負荷，增生認知負荷不同於內在或外在認知負荷被認定為認知負荷來源，增生認知負荷代表在工作記憶區中專門處理學習內容相關的內在認知負荷。選定條件機率作為桌上遊戲的主題，其內在認知負荷是以學習內容本身的元素互動所造成的，在遊戲設計上比較無法可以再去做調整，但是桌上遊戲本身對學習條件機率來說就是一種外在認知負荷，所以在設計上的時候要注意學習者的認知負荷是否有超過工作記憶區容量的限制，若超過的話就要減少學習者的外在認知負荷以促進學習成效。研究者採用 Sweller(1991)的認知負荷理論，將認知負荷分類成三部分，內在認知負荷、外在認知負荷、增生認知負荷，藉由問卷方式瞭解桌遊是否會造成學生過多的外在認知負荷和桌遊能否增加學生的增生認知負荷，以便知道桌遊對學生學習成效的幫助。. 13.

(20) 二、認知負荷的測量一般來說教師在設計教材的時候可以透過訪談或是問卷的方式來了解學習者在學習的過程中所遭遇的困難或是心理層面的壓力進而調整自己的教材設計或是教學方法，因此如何測量學生在利用桌上遊戲學習條件機率時所產生的認知負荷也會是很重要的議題，Paas 和 van Merriënboer(1994)認為評估認知負荷的因素為心智負荷(mental load)、心智努力(mental effort)與工作成效(performance)，Paas(1992)也指出個體若認為學習內容困難度越大，或是需要投入更多努力來理解內容，代表個體的認知負荷就越大，而在教學中要如何測量學生的認知負荷，左台益、呂鳳琳、曾世綺、吳慧敏、陳明璋、譚寧君(2011)採用主觀測量方式來詢問受試者的閱讀意願、信心指數、困難度、花費心力與投入努力作為認知負荷感受檢測項目。為了瞭解學生利用桌上遊戲學習條件機率時的學習感受，研究者採用主觀測量方式來詢問學生的認知感受、信心、自我效能、學習策略、情意、主動性作為學習感受的檢測項目，以其結果來討論利用桌上遊戲學習條件機率對學生認知負荷的影響。. 三、桌上遊戲融入教學後學生的學習效率一般來說如果學一個概念，A 方法讓學生花一天學會個概念，而 B 方法讓學生花兩天學會這個概念，我們就會說 A 方法的效率比較高，然而除了考慮學習的時間之外，Paas 與 van Merriënboer(1993)提出將心智努力(mental effort)和學習表現 (performance)兩個指標合併來考慮學習者的學習效率(efficiency)，如果學習者的學習表現高於學習者所花費的心智努力或是學習者花費的心智努力低於學習者的學習表現那就代表學習者的學習是有效率的。 Paas 與 van Merriënboer(1993)提出學習效率公式（𝐸 =. )* +), √.. ），E 為學習率. (efficiency)，𝑍0 為經過標準化的學習表現(performance)，𝑍1 為經過標準化的心智努力 (mental effort)。透過教學實驗可以測量學習者的心智努力、學習表現，將其標準化後繪製在座標平面上，如圖 2-2-3-1，x 軸代表心智努力，y 軸代表學習表現，如果學習表現與心智努力相等時逮表學習效率為 0，如果學習表現高於心智努力時點會落在 y=x 14.

(21) 的上方（如 P 點）代表學習者正在進行有效率的學習，如果學習表現低於心智努力時點會落在 y=x 的下方（如 Q 點）代表學習者正在進行低效率的學習，而 P、Q 兩點到直線 y=x 的垂直距離即代表學習效率。. 圖 2-2-3-1 學習效率圖. 15.

(22) 第三節中學機率的課程歷史發展與結構一、新舊課綱下機率課程編排的差異十二年國教於 108 學年度開始實施（簡稱 108 新課綱），新課綱的課程編排勢必與舊課綱不同，在國中九年級時所學習與機率有關的內容主要是作為未來學習古典機率時的先備經驗，課程編排主要希望從生活中常見的情境，例如：銅板、骰子、撲克牌、抽球等，讓學生直觀上容易相信每一基本事件出現的機會相同，直觀來輔助學生學習機率的基本意義，並引用樹狀圖作為協助計算所有可能事件的工具，再來學生會在十年級正式接觸集合符號表徵和文氏圖圖型表徵下的樣本空間、事件空間並以樣本空間個數與事件個數的比值定義古典機率，再進一步討論作為機率應用的條件機率和貝氏定理，接著十二年級時不分數甲、數乙進一步延伸機率與統計的連結。新課綱的課程編排在六年級時學生就可以從「明天下雨機率是 95%，表示明天非常可能下雨」的可能性問題作為機率學習的前置經驗，九年級的部分則與舊課綱一樣從生活中常見的情境來作為直觀來輔助學生學習機率的基本意義，但是新舊課綱在十年級之後則有很大的不同，新課綱中十年級除了古典機率的定義與性質也介紹期望值，並將條件機率和貝氏定理移至十一年級，在舊課綱中十年級學習條件機率時並沒有特別提到客觀機率的概念也在新課綱中的十一年級不分 AB 版提出，希望學生能透過綜合運用主觀機率和客觀機率，與單純的古典機率有所區隔，在新課綱中的十二年級加深加廣課程 12 甲和 12 乙都介紹二項分布外 12 甲多介紹了幾何分布。表 2-3-1-1 國中九年一貫義務教育、高中 99 課綱與十二年國教之機率課程編排整理舊課綱. 新課綱. 年級. 學習內容. 年級. 主題. 九年級. 能在具體情境中認識機率的概念。. 六年級. 解題：可能性。從統計圖表資料，回答可能性問題。機率前置經驗「很有可能」、「很不可能」、「A 比 B 可能」。. 十年級. 1. 樣本空間與事件. 九年級. 1. 認識機率：機率的意義：樹狀圖（以兩層為限）。. 16.

(23) 2. 古典機率的. 2. 古典機率：具有對稱性的情境下. 定義與性質 3. 條件機率與貝氏定理十二年級（數甲）. 1. 隨機的意義 2. 期望值、變. （銅板、骰子、撲克牌、抽球等）之機率；不具對稱性的物體（圖釘、圓錐、爻杯）之機率探究。 1. 複合事件的古典機率：樣本空間與事件，複合事件的古典機率性質，. 十年級. 異數、標準差 3. 獨立事件、重複試驗、二項分布、. 期望值。. 二項分布的性質十二年級（數乙）. 1. 隨機的意義 2. 期望值、變異數、標準. 十一年級（A 版）. 1. 主觀機率與客觀機率：根據機率性質檢視主觀機率的合理性，根據已知的數據獲得客觀機率。 2. 條件機率：條件機率的意涵及其應用，事件的獨立性及其應用。 3. 貝氏定理：條件機率的乘法公式，貝氏定理及其應用。. 差 3. 獨立事件. 十一年級（B 版）. 1. 主觀機率與客觀機率：根據機率性質檢視主觀機率的合理性，根據已知的數據獲得客觀機率。 2. 不確定性：條件機率、貝氏定理、獨立事件及其基本應用，列聯表與文氏圖的關係. 十二年級（甲）. 1. 離散型隨機變數：期望值、變異數與標準差，獨立性，伯努力試驗與重複試驗。 2. 二項分布與幾何分布：二項分布與幾何分布的性質與參數。. 十二年級（乙）. 1. 離散型隨機變數：期望值、變異數與標準差，獨立性，伯努力試驗與重複試驗。 2. 二項分布：二項分布的性質與參數。. 從課綱的編排可以看出學生學習條件機率時，新舊課綱最大的差異除了是在不同年級學習之外，新課綱在學習條件機率前會先介紹主觀機率和客觀機率，但是在新課綱 17.

(24) 中主觀機率與客觀機率並不是獨立的概念，而是兩種除了古典機率以外，獲得機率之數值的常用方法，在課程手冊中對主觀機率和客觀機率的相關約定提到，「主觀機率就是在缺乏調查或試驗資料，而且不能運用古典機率的情況下，對於不確定性現象的主觀量化估計。」、「客觀機率就是頻率機率，也就是以調查或試驗而獲得的事件發生頻率（相對次數），當作事件發生的機率。」，課程手冊也提到「主觀機率是依照個人信念或既有經驗而決定的，但是它也可以隨著新訊息的出現而調整其判斷，而這種現象可以作為條件機率的直覺認識。」課程編排中可將主觀機率作為學習條件機率的連結，除此之外新舊課綱的課程編排下，學生學習條件機率並沒有太大的差異。. 二、新課綱對條件機率的教學建議但是在新課綱的十一年級的 A 版和 B 版在學習條件機率上就有一些不同，主要因為學生的分類，學生從十一年級開始會針對不同屬性或需求的學生分成三種不同的學習路徑如圖 2-3-2-1，. 圖 2-3-2-1 建議學習路徑圖引自 108 年十二年國民基本教育課程綱要數學領域課程手冊所以在 A 版的學生是有高數學需求或不同面向的數學需求，B 版的學生則是低數學需求，對十一年級 B 版的學生學習條件機率來說，課程手冊特別提到幾個教學斟酌和釋例，「以在直觀上容易犯錯的例子提醒學生辨別古典機率與條件機率的差異。例如透過著名的 Monty Hall（蒙提霍爾問題又稱山羊問題）遊戲讓學生認識到在情境變化前後計算機率值須用不同方式思考。」、「本條目的教學，應盡量少用集合觀念而多用列聯表、樹狀圖。」這代表在新課綱的學習中針對低數學需求的學生主要需要兩種的教學策略， 18.

(25) 第一就是以具體、有感的情境例像是山羊問題讓學生辨別古典機率與條件機率的差異，第二就是學生在學習條件機率時可以用不同表徵來處理條件機率問題。以 103 年學測試題題為例，課程手冊中建議以列聯表的表徵來處理，題目：某疾病可分為兩種類型：第一類占 70%，可藉由藥物 A 治療，其每一次療程的成功率為 70%，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物 A 治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？列聯表解法示範：按題意寫出第一次療程的列聯表。第一步設計表格的變項，並填入題目提供的直接數據，如表二(a)；此處填入百分比，但是省略 % 符號。然後按照題意和列聯表規則，算出第一次療程實施後的情況，如表二(b)。從表 (b) 可判讀：接受第二次療程的病患有 51%，這些病患當中，只有屬於第一類的 21% 有七成的治癒機率，也就是 14.7% 的病患會在第二次療程被治癒。所以，第二次療程成功的條件機率約為 0.3 類一. 類二. 類一. 治癒. 治癒. 無效. 無效 70. 100. 類二. 70. 表二(a). 100 表二(b). 三、學生學習條件機率的困難點李佳奇(2000)在探討高中生對條件機率解題策略與錯誤類型中指出一些學生容易遇到的困難：(1) 學生經常將條件機率的問題誤為交集機率的問題、(2)當解需要應用到貝氏定理的條件機率問題時，學生經常用 P(B|A) 或 P(A∩B)來求 P(A|B)。新課綱的課程手冊也提到學生容易將條件機率 P(B|A)誤以為是積事件 P(A∩B)，本研究將以條件機率為單元素材，探索學生對於條件機率的概念結構與設計一套幫助學習者建立條件機率概念的桌遊並探討其學習成效。. 19.

(26) 第四節條件機率的多重表徵 Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987)提出數學表徵的五個形態，並且強調這五個表徵之間的轉換和轉移，如圖 2-4-1-1，(1) 真實腳本(real scripts)：在真實世界的情境問題， (2) 可操作的模型(manipulative models)：具體可以操作的物件，(3) 靜態圖像(static pictures)：跟教具模型一樣，可以內化成心象(image)，(4) 書寫符號(written symbols)：像口語或是特定句子與陳述，(5) 口語符號(spoken language)：包含邏輯語言。. 圖 2-4-1-1 Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987) 數學表徵的五個形態. 20.

(27) 若將條件機率對應到這五種數學表徵，則如下表 2-4-1-1，表 2-4-1-1 條件機率的五種數學表徵真實情境. 在社團中男女各半，從中任意抽一人，在不知道任何訊息時，會抽中男生的機率是二分之一，若知道抽中的人身高超過 170cm，此人是男生的機率還是二分之一嗎？. 可操作的模型. 與條件機率相關的模型，例如骰子、硬幣等等. 靜態圖像. S. B. A 以文氏圖呈現條件機率，如右圖書寫符號口語. A∩ B. 𝑃(𝐵|𝐴) 在 A 事件發生的情況下，B 事件發生的機率。. Lesh(1987)提到如果我們說學生理解了一個概念代表(1)學生能夠在不同的表徵系統中指出這一個概念，(2)學生可以在給定的表徵系統中靈活的操弄這一個概念，(3)學生可以將這一個概念從其中的表徵系統轉換成其他的表徵系統，以條件機率來說，若一個學生能夠理解條件機率這個概念的話代表(1)學生能夠從條件機率的圖形表徵（文氏圖）、符號表徵（𝑃(𝐵|𝐴)）、真實情境表徵（情境問題）指出條件機率的概念，(2)學生可以將情境問題中的條件去做修改或是可以舉出不同的含有條件機率的情境問題，(3)學生可以將情境問題轉換成文氏圖的圖形表徵來幫助自己理解題意。而如果是要確認學生在學習上的困難，教師也可以以其中一種表徵系統呈現想法並要求學生試著用其他的表徵系統來說明，或是學生在學習時發現一個概念要從其中一個表徵系統轉換到另外一個表徵系統發生困難時可以透過其他的表徵系統做轉換，例如有學生在真實情境表徵系統轉換到書面符號表徵系統發生困難，那學生可能會發現先將真實的腳本表徵系統轉換成口語符號表徵系統，接著再從口語符號表徵系統轉換成書面符號表徵系統是有幫助的，而這也代表學生在學習條件機率時如果能夠善用表徵的運用，就可以在學習時相對的較為容易。但是在設計桌上遊戲時若將五種表徵都融入進去，很有可能造成學生的外在負荷增加，所以研究者在設計遊戲時，設想在遊戲中玩家最容易使用到的三種表徵：(1)數值表徵：遊戲中將機率透過數值呈現幫助玩家在遊戲中進行決策。(2)圖形表徵：在遊戲中 21.

(28) 呈現圖形表徵。(3) 玩家遊戲過程中可以透過交談來使用語文表徵進行交流。並將這三種表徵融入以 APOS 理論為基礎進行起源分解形成的假設性學習軌道中，以表 2-1-3-1 的條件機率問題為例： (一) 數值表徵下條件機率問題的起源分解. Action：依據問題一確認樣本空間（總人數）的個數. Action：依據問題一確認事件空間（男性員工）的個數. Action：依據問題二確認樣本空間（生產部門）的個數. Action：依據問題二確認事件空間（男性員工）的個數. 50+250+550+ 150=1000. 50+550=600. 50+250=300. 50. interiorization Process：依照古典機率的定義計算機率. coordination. 600 3 = 1000 5. Process：依照古典機率的定義計算機率 50 1 = 300 6. encapsulation de-encapsulation Object：比較從問題一和問題二所得的兩種機率，從算式中可以觀察從事件空間（分子）、樣本空間（分母）的部分有產生差異，進而可以反思事件空間和樣本空間會因隨著情境不同（提供訊息的改變）而變化，導致機率改變。圖 2-4-1-2 數值表徵下條件機率問題的起源分解. 22.

(29) (二) 圖形表徵下條件機率問題的起源分解. Action：以文氏圖表示問題一中要求的男性員工（事件空間）和全體員工（樣本空間）。. Action：以文氏圖表示問題二中要求的男性員工（事件空間）和生產部門員工（樣本空間）。. interiorization. Process：依照古典機率的定義計算機率. interiorization. coordination. 600 3 = 1000 5. Process：依照古典機率的定義計算機率 50 1 = 300 6. encapsulation de-encapsulation. Object：比較從問題一和問題二所得的兩種機率，從文氏圖中可以觀察從事件空間（藍色）、樣本空間（橘色）的部分有產生差異，進而可以反思事件空間和樣本空間會因隨著情境不同（提供訊息的改變）而變化，導致機率改變。圖 2-4-1-3 圖形表徵下條件機率問題的起源分解 23.

(30) (三) 語言表徵下條件機率問題的起源分解. Action：依據問題一口語敘述樣本空間是員工總人數為男性員工加女性員工 1000 人或是生產部門員工加技術部門員工 1000 人。. Action：依據問題一口語敘述事件空間是男性員工人數為生產部門男性員工加技術部門男性員工 600 人。. Action：依據問題二口語敘述樣本空間是生產部門員工為生產部門男性員工加生產部門女性員工 300 人。. Action：依據問題二口語敘述事件空間是男性員工而且是生產部門的有 50 人。. interiorization. Process：依照古典機率的定義樣本空間的元素個數分之事件空間的元素個數得機率. coordination. 8 為。 9. Process：依照古典機率的定義樣本空間的元素個數分之事件空間的元素個數得機率 : 為。 ;. encapsulation de-encapsulation. Object：比較從問題一和問題二所得的兩種機率，從口語中可以觀察從事件空間（分子）、樣本空間（分母）的部分有產生差異，進而可以反思事件空間和樣本空間會因隨著情境不同（提供訊息的改變）而變化，導致機率改變。圖 2-4-1-4 語言表徵下條件機率問題的起源分解 24.

(31) 第五節桌上遊戲融入教學一、桌上遊戲在教學中扮演的角色在面對 108 新課綱的挑戰中，越來越多人開始把「素養」兩個字掛在嘴邊，在教學現場中許多老師為了將生活情境融入教學中，也開始將桌上遊戲（簡稱桌遊）帶入教學現場，若是從來沒有幾過桌遊的老師打開全國教師研習網搜尋桌遊兩個字，都可以找到將桌遊應用在教學現場的研習資訊，可是雖然有越來越多桌遊相關的研習能讓教師參考，但是在實際上教師想要擺脫傳統式教學設計或使用桌遊融入教學，可是沒有仔細考慮或是沒有理論支持就直接在課堂使用桌遊，獲得的效果也是往往不如人意，對教師來說最後還是退回選擇最熟悉的傳統式教學，並且也有許多現實層面的考量，例如課堂時數的不夠、進度壓力、家長的不配合與反彈都會是教師將桌遊融入課堂的困難和阻力。考慮到種主層面的因素，到底桌遊應該是在什麼時間點，什麼地方，針對怎麼樣程度的學生和哪一種教學目標而使用的呢？在國立臺灣師範大學數學教育中心的主要計畫「就是要學好數學(JUST DO MATH)」就給了一個答案，計劃的目標有三個：(1) 藉由有趣的數學活動，對學習數學準備不足之學生，奠立其學習數學的意願與興趣。(2) 經由數學義診的系統，診斷學生學習數學的問題，給予適當的輔導，以提升學習數學準備不足之學生學習數學的成效。(3) 培養數學活動師、數學義診師，並與數學輔導團、數學亮點基地學校結合，具體的協助學習數學準備不足之學生學習數學，以期每位學生都能成功的學習數學。而在這個計畫中為了達成第一個目標其策略為「奠基」，「奠基」是在學生學習前，先讓學生經由活潑有趣的數學活動，激發學生對數學的興趣，可引起學生的數學學習動機；同時，在進行數學活動時，養成學習數學內容的具象經驗，讓學生體會與數學單元連結的關鍵點，促使學生在關鍵點引動的好奇心驅使下，進一步探索相關問題，之後進入數學教室學習相關單元時能具象有感的學習。游舒婷(2018)也將桌遊融入高中數學單元中的數據分析單元，在成效上也提到「學生對於本活動融入課程表示肯定，不是因為桌遊，而是對統計的意義有更深的感受，且認為遊戲後若能搭配教學. 25.

(32) 引導可幫助其有效學習。」所以研究者在整個教學實驗中讓桌遊在課堂上扮演的角色主要就是「奠基」，讓學生感受到具象的數學，在之後的奠基進教室活動的教學引導會較為容易。. 圖 2-5-1-1 JUST DO MATH 的學習環境. 二、桌上遊戲的設計理論目前市面上能夠找到與數學相關的桌遊，如《數學桌遊書》、《你加我減》、《數字快打》、《法老密碼》等等，幾乎都是利用玩家已經學會的數學概念（數字、加減乘除、機率等）讓玩家利用已知的概念融入規則設計當中，這樣玩家在遊戲中就可以不斷地進行反覆練習，也因為遊戲的性質讓反覆練習變得不枯燥，但是在市面上這類型的桌遊主要都是針對國中小的學生使用，高中單元的數學桌遊基本上很難找到，主要原因是高中數學單元比起國中小的數學單元難度差很大，再來就是設計一個能夠讓學生學會一個新概念的桌遊比起設計一個能讓學生精熟已學會概念的桌遊要難的很多，因為要讓學生學會一個新的概念，開發者必須要思考學生要學的概念背後所需要支持的理論架構並不是那麼容易。所以為了設計一款可以幫助學生學習新概念的桌遊，就必須要先了解桌遊是什麼，劉忠岳(2015)在[認真玩] 寫給老師們的桌上遊戲指南與心法中提到要分析一款桌遊可 26.

(33) 以分成三個部分，第一個部分叫做主題(theme)代表著桌遊預設的情境和故事，第二個部分叫做機制(mechanics)代表驅動玩家進行桌遊的規則架構，第三部分是美術/配件代表將主題、機制具象化呈現給玩家的部份。在桌遊融入教學最常見的手法，就是修改主題以符合教學目標和原則，但是這樣的手法容易讓學生流於操作，成為一種填鴨教材讓遊戲失去趣味性，反而變成坊間常見的「教具」，而若要從遊戲機制來下手的話，全球最大桌遊分享資訊的網站：桌遊痴(Board Game Geek)整理了八種不同類型的遊戲方式，分別是派對遊戲、策略遊戲、情境遊戲、戰爭遊戲、抽象遊戲、交換卡片遊戲、兒童遊戲、家庭遊戲，遊戲的機制也分成了 51 種，如表。表 2-5-2-1 桌遊遊戲機制的分類 1 Acting 27 Action / Movement Programming 2 Action / Movement Programming 28 Area Control / Area Influence 3 Action Point Allowance System 29 Area Movement 4 Area Control / Area Influence 30 Auction/Bidding 5 Area Enclosure 31 Campaign / Battle Card Driven 6 Area Movement 32 Chit-Pull System 7 Area-Impulse 33 Cooperative Play 8 Auction/Bidding 34 Deck / Pool Building 9 Betting/Wagering 35 Grid Movement 10 Campaign / Battle Card Driven 36 Hex-and-Counter 11 Card Drafting 37 Memory 12 Chit-Pull System 38 Paper-and-Pencil 13 Commodity Speculation 39 Pattern Building 14 Cooperative Play 40 Pick-up and Deliver 15 Crayon Rail System 41 Point to Point Movement 16 Deck / Pool Building 42 Rock-Paper-Scissors 17 Dice Rolling 43 Roll / Spin and Move 18 Grid Movement 44 Secret Unit Deployment 19 Hand Management 45 Simulation 20 Hex-and-Counter 46 Singing 21 Line Drawing 47 Storytelling 22 Memory 48 Tile Placement 23 Modular Board 49 Trading 24 Paper-and-Pencil 50 Variable Phase Order 25 Partnerships 51 Voting 26 Pattern Building 資料來源：Board Game Geek https://boardgamegeek.com/browse/boardgamemechanic. 但是如果設計桌遊時都是天馬行空想到什麼規則就加進去，或是一堆遊戲機制採用進去的話，桌遊設計起來就會很沒效率又沒方向，Kalloo、Mohan 和 Kinshuk(2015)提出的數學遊戲設計方法，如圖，步驟一：挑選數學主題，步驟二：在這個數學主題中挑選一個問題，步驟三：找到這個問題的解題步驟，步驟四：將步驟對應至遊戲設計目標，. 27.

(34) 步驟五：將目標連結至遊戲機制，步驟六：確認遊戲是否可以設計，步驟七：發展遊戲其餘的部分。. 圖 2-5-2-1 Kalloo、Mohan 和 Kinshuk(2015)的數學遊戲設計方法. 三、桌上遊戲設計總結將遊戲融入教學最容易遇到的兩個問題：(1)遊戲蘊含的數學知識結構不符合學習者學習的認知層次。(2)學習者只顧著玩遊戲而忽略遊戲中的數學知識。研究者想要設計一個幫助學生發展條件機率概念的桌上遊戲，處理第一個問題的方法就是透過 APOS 理論對條件機率進行起源分解，並將其學習軌道融入桌上遊戲的遊戲歷程，避免造成學生認知發展上的混亂，處理第二個問題的方法就是透過 Kalloo 的數學遊戲設計方法來設計桌上遊戲，並考慮三個目標：(1)桌上遊戲的遊戲歷程必須符合假設的學. 28.

(35) 生學習軌道，(2)學習軌道要具有三種不同的表徵，(3)桌遊要能夠變異情境增加學生的學習空間，並在設計遊戲內容時避免造成學生過多的外在認知負荷。如圖 2-5-3-1，研究者開發的桌上遊戲以條件機率作為主題，並以 APOS 理論形成的假設性學習軌道作為遊戲歷程，考慮學生的認知負荷搭配多重表徵呈現，最後以數學遊戲設計方法來設計桌上遊戲，並在教學上是以奠基活動的方式來幫助學生學習條件機率。. 圖 2-5-3-1 桌上遊戲設計大綱. 29.

(36) 第參章. 研究方法. 為了設計一個可以幫助學生學習條件機率的桌遊，研究者以 APOS 理論做起源分解來假設學生學習條件機率的學習軌道，並考慮學生的認知負荷以不同表徵呈現學習軌道，進一步將學習軌道融入桌上遊戲機制中並定位成學習條件機率前的奠基活動。研究者對受測學生進行準實驗研究法，透過前後測問卷和學習感受度問卷測驗有無桌遊奠基活動對不同程度學生的學習表現和學習感受度，並進行二因子變異數分析，分析在前後測的表現中是否會因為實驗組（有桌遊奠基活動）和對照組（沒有桌遊奠基活動）或是學生的數學程度（高分組和低分組）而有顯著的差異。最後研究者根據 Paas 和 van Merriënboer(1993)提出的學習效率公式，以實驗組學生和對照組學生的學習感受度問卷中第五題（這份教學活動，讓我花費很高的心力在沒有效率的學習過程上。）和第十二題（我覺得這個教學活動的內容非常困難。）作為心智努力的參考，後測表現當作學習表現(performance)的參考，將後測表現和學習感受度標準化後帶入公式得到實驗組和對照組中高分組和低分組的學習效率。同時以獨立樣本 t 檢定分析實驗組和對照組中不同數學程度學生學習條件機率的學習效率是否有顯著的差異。. 圖 3-1 研究架構. 30.

(37) 第一節研究對象研究對象為台北市信義區某公立高中兩班高一尚未學習條件機率之學生作為實驗組（有桌遊奠基活動）、對照組（無桌遊奠基活動），並利用兩班學生高一上的學期總成績將實驗組和對照組中的學生再分成高分組和低分組，進行教學實驗，如表 3-1-1-1。表 3-1-1-1 正式施測的樣本分佈狀況組別實驗組. 對照組. 高分組. 17 人. 17 人. 低分組. 18 人. 18 人. 學生數學程度. 第二節研究設計一、桌上遊戲在教學實驗中的定位研究者將桌上遊戲在教學實驗中定位成學習前的奠基活動，而「奠基」這兩個字其實是希望能夠幫助學生奠定學習前的基礎，可以透過一些有趣活潑的數學活動，激發學生對數學的學習興趣和動機，並且在進行奠基活動時培養學習數學概念的具象經驗，讓學生體驗到奠基活動和數學單元的連結，並進一步促使學生探索相關問題，使學生在進入教室內學習相關的數學概念時能進行具象且有感的學習。. 二、桌上遊戲的設計目標若要設計能夠當作奠基活動的桌上遊戲，其實就跟教師在教學上其實非常相似，一個老師要有好的教學首先第一個要考慮的就是教學目標，有明確的教學目標教師才能在設計課程的過程中可以不斷的反思自己設計的課程到底有沒有符合自己的課程目標，這樣才能避免設計出來的課程最後沒有重點，所以研究者在一開始設計桌遊時也是不斷反覆的問自己「這個桌遊到底希望學生能夠學到什麼？」，經過不斷的進行調整和測試， 31.

(38) 研究者設定了三個桌遊設計目標：(1)遊戲歷程必須符合假設的學生學習軌道(2)學習軌道要具有三種不同的表徵(3)桌遊要能夠變異情境增加學生的學習空間。. 三、桌上遊戲的設計流程研究者根據 Kalloo、Mohan 和 Kinshuk(2015)提出的數學遊戲設計方法作為桌遊設計的參考，如圖 3-2-3-1，. 圖 3-2-3-1 桌上遊戲設計流程以下是研究者的桌遊設計流程：步驟一：選定條件機率作為桌上遊戲的主題。步驟二：設定一個符合主題的情境問題. 在類似大富翁的棋盤遊戲中，投擲一枚公正的骰子，擲出來的骰子點數就是玩家控制遊戲角色可以移動的步數，問題一：如果玩家希望控制遊戲角色走到面前的第三格位置，則玩家可以達走到第三格的機率是多少？問題二：在遊戲中玩家手中有「條件卡」可以使用，而條件卡的功能是「使用卡片後擲出骰子點數必須要小於或等於 4，否則骰子必須要重丟。」若玩家使用條件卡後，則玩家可以走到第三格的機率是多少？. 32.

(39) 步驟三：找出步驟二的情境問題的解題步驟. 問題一：公正的骰子的樣本空間為{1,2,3,4,5,6}，則樣本空間的元素個數為 6，若玩家想要控制遊戲角色走到第三格代表骰子要擲出 3 點，則事件空間的元素個數為 1，所 : 以根據古典機率的定義，玩家可以控制遊戲角色走到第三格的機率為。 ;. 問題二：玩家使用條件卡後，擲出骰子點數必須要小於或等於 4，否則骰子必須要重丟，則樣本空間變成{1,2,3,4}，樣本空間的元素個數為 4，若玩家想要控制遊戲角色走到第三格代表骰子要擲出 3 點，則事件空間的元素個數為 1，所以根據古典機率的定義，玩 : 家可以控制遊戲角色走到第三格的機率為。 <. 步驟四：將步驟對應至桌遊設計目標. (一) 目標一：遊戲歷程必須符合假設的學生學習軌道研究者將條件機率作為主題依照 APOS 理論做起源分解，如圖 3-2-3-2，研究者設計一個情境問題：「在類似大富翁的棋盤遊戲中，投擲一枚公正的骰子，擲出來的骰子點數就是玩家控制遊戲角色可以移動的步數，問題一：如果玩家希望控制遊戲角色走到面前的第三格位置，則玩家可以達走到第三格的機率是多少？問題二：在遊戲中玩家手中有「條件卡」可以使用，而條件卡的功能是「使用卡片後擲出骰子點數必須要小於或等於 4，否則骰子必須要重丟。」若玩家使用條件卡後，則玩家可以走到第三格的機率是多少？」遊戲中玩家必須透過遊戲機制搭配投擲公正骰子不斷的重複計算投擲一顆骰子會發生的樣本空間的元素個數和事件空間的元素個數(action)，推算走到目標位置的機率(process)，若搭配條件卡（條件限制）例如：使用卡片後擲出骰子點數必須要小於或等於 4，否則骰子必須要重丟，因此遊戲過程中擲骰子會因為條件卡導致樣本空間個數不同也間接改變走到目標位置的機率，多樣性的卡片也會讓玩家不斷的去重複 APOS 理論中的動作(action)和過程(process)，最後產生物件(object)：「若是多了限制條件，則樣本空間發生改變」。. 33.

(40) 圖 3-2-3-2 條件機率問題的起源分解(數值表徵). (二) 目標二：學習軌道要具有三種不同的表徵學習軌道的不同表徵，以圖 3-2-3-2 為例即是條件機率的數值表徵，遊戲中學生若要不斷的計算走到目標位置的機率，除了用數值表徵來表示之外也可以從圖形表徵的角度來計算，如圖 3-2-3-3，玩家以藍色格子代表投擲一顆骰子能夠走到的範圍，以橘色星星格子代表玩家想走到的目標位置，以這兩種顏色不同的格子作為樣本空間和事件空間並求出機率。最後一種則是在遊戲過程當中，玩家和玩家之間可以交流的語文表徵，如圖 3-2-3-4，遊戲過程中玩家間其實可以透過交談來影響對手的決策或是增進遊戲趣味，可以聽到有人想要干擾對手判斷可以敘述「出卡片後，丟一顆骰子能走的格子就是那四格，所以機率就是四分之一。」這樣子的語文敘述。. 圖 3-2-3-3 條件機率問題的起源分解(圖形表徵). 34.

(41) 圖 3-2-3-4 條件機率問題的起源分解(語文表徵). (三) 目標三：變異情境增加學生的學習空間。設計桌遊時必須要變異情境為了避免玩家一直都在遇到同樣的情境導致遊戲失去樂趣又枯燥乏味，所以必須透過設置遊戲勝利目標讓玩家發展策略進而獲勝，規則的設置裡面如果玩家能夠佔領一個格子即可獲得一分，分數最高的玩家獲得勝利，為了增加變異情境，多加了一條規則：「若玩家佔領的格子是連續相鄰的話則以平方分計算，例如兩個連續相鄰格子就是 2 的平方就是 4 分，三個連續相鄰格子就是 3 的平方分就是 9 分，以此類推。」所以玩家為了獲得高分的話，就會盡量佔領連續相鄰的格子獲得高分，這樣玩家就會盡量使用條件卡，而每一回合玩家手中的條件卡片都會做補充，這樣的規則設計就是要讓玩家在玩桌遊的過程中都會遇到不同的情況增加遊戲豐富度。. 步驟五：將桌遊設計目標連結遊戲種類. 從情境問題中，整個桌遊會類似大富翁的遊戲機制，玩家必須要不斷的擲骰子和佔領空格來獲取高分，並且又有條件卡可以作為策略使用，所以研究者從著名的桌遊網站-桌遊癡(Board Game Geek)分類的 51 種遊戲機制中採用了其中五種遊戲機制，如表 3-2-3-1，讓玩家透過擲骰(Dice Rolling)而按運氣進行評估(Press Your Luck)來進行. 35.

(42) 網格移動(Grid Movement)達到區域佔領(Area Enclosure)的目的，遊戲過程中會依照輪抽＆卡片選擇(Card Drafting)使用條件卡和功能卡來調整玩家的策略獲得高分。表 3-2-3-1 本桌遊使用的遊戲機制機制 Area Enclosure 區域佔領 Dice Rolling 擲骰 Grid Movement 網格移動 Press Your Luck 按運氣進行評估 Card Drafting 輪抽＆卡片選擇. 說明. 將一塊區域圍起來，算是另一種「搶地盤的遊戲」類型。遊戲當中有部份或是全部結果是利用擲骰的結果來決定。像是棋類等在格線中移動的遊戲。遊戲要求玩家擲骰，接著強制按照擲骰的結果移動。玩家從某個數量的公開卡片當中選擇手牌。. 資料來源：http://erosbg.blogspot.com/2013/03/blog-post_12.html 瘋狂艾洛斯/桌遊設計師玩樂誌-桌遊機制分類介紹(2013) 步驟六：確認桌遊是可以設計出來的步驟七：發展桌遊的其餘部分. (1) 桌遊的遊戲規則制定：希望是四人競爭遊戲類型，制定獲勝條件、計分方式、玩家每回合能夠做的事情，和控制遊戲人物移動時所要注意的細部規則。 (2) 條件卡和功能卡設計：設計條件卡的造型和卡片的詳述使用說明，另外為了增加遊戲的趣味性而增加功能卡的使用，例如轉向卡（改變角色移動方向）、換位卡（可與其他玩家交換位置）、遙控骰子（直接指定當回合的骰子點數，決定前進步數）等等。 (3) 桌遊的遊戲地圖設計：為了確保遊戲公平性，地圖設計時需要考慮玩家的起始位置或是能夠走的空格數必須要相同，所以最後地圖中的格子會以對稱的形式呈現，並且能夠讓四個人來進行遊戲。 (4) 桌遊的小零件：尋找適合的店家是否有販售能夠當作桌遊中所需要的遊戲小零件。. 36.

(43) 第三節研究工具一、桌上遊戲《見機行事》 (一) 遊戲配件：棋型木塊（紅、黃、綠、藍）各一個、圓形版塊（紅、黃、綠、藍）各十個、遊戲地圖一張、骰子 3 顆、條件卡 44 張、功能卡 19 張。. 二、前測問卷前測的測驗目標是在於了解學生是否具備學習條件機率所需要的先備知識，在題目的設計把每一種想要測驗的概念分成兩種情境，一種是以桌遊《見機行事》的情境下會遇到的問題，另一種則是課本內的範例問題，如表 3-3-3-1。前測為問題一到問題五，共五題，每題有兩小題搭配不同情境，問題一測驗樣本空間的概念，問題二測驗古典機率的定義，問題三測驗積事件的概念，問題四測驗樣本點出現的機會均等的概念，而第五題則是放入條件機率的近遷移題，測驗學生在還沒學習條件機率之前，是否就具備解決條件機率的能力。. 三、後測問卷後測分成三個部分，共十二題，如同前測設計在前十題也都有兩小題搭配桌遊情境和課本的範例文題，如表 3-3-3-1。第一部分是前四題與前測相同的古典機率基本運算題（簡稱基本題），第二部分是第五題（也與前測相同）到第八題為條件機率的近遷移題，主要測驗學生對於條件機率的基本概念，例如：樣本空間改變下的圖形表徵會是什麼樣子、條件機率的兩種表示（個數、機率），第三部分則是條件機率的遠遷移題，例如不同條件（ P(B | A) 、 P( A | B) ）表示的條件機率、學生能否自己創造條件機率的情境、貝氏定理。. 37.

(44) 表 3-3-3-1 前後測問卷試題分析題目小題題目概念 1 樣本空間問題一 2 樣本空間古典機率 1 問題二古典機率 2 積事件 1 問題三積事件 2 樣本點出現的 1 機會均等問題四樣本點出現的 2 機會均等條件機率問題 1 問題五條件機率問題 2 1 問題六前測問題＋問題七後測問題. 問題八. 問題九. 問題十問題十一問題十二. 2 1. 2. 條件機率的樣本空間條件機率的樣本空間、事件. 2. 1 2 1 2. 課本遊戲課本遊戲課本. n( A∩ B) 、 n( A) n( A∩ B) 條 n(B) 件機率的個數表示. 1. 情境遊戲課本遊戲課本遊戲課本遊戲. P( A∩ B) 、 P( A). 測驗目的不同情境下，學生是否具備樣本空間概念不同情境下，學生是否具備古典機率概念不同情境下，學生是否具備積事件的概念不同情境下，學生是否具備古典機率定義（樣本點需出現機會均等）. 題型基本題基本題基本題基本題基本題基本題基本題. 不同情境下，學生是否在學習條件機率的內容前，就有能力處理其問題不同情境下，對樣本空間改變後的描述：圖形表徵（標注格子、文氏圖）. 近遷移題近遷移題. 相同情境中，學生對條件機率的描寫（個數表示、機率表示）. 近遷移題近遷移題. 課本. 基本題. 近遷移題近遷移題. 近遷移題近遷移題. P( A∩ B) P(B) 條件機率的機率表示 P(B | A) 、 P( A | B) 條件機率的一般問題，個數表示、機率表示皆可情境轉換貝氏定理. 遊戲. 不同情境中，學生對條件機率的描寫（個數表示、機率表示）. 遠遷移題. 學生是否透過自己設計情境了解條件機率的定義有無玩桌遊的條件是否會影響到學生的下一個階段的學習。. 遠遷移題. 課本無課本. 38. 遠遷移題遠遷移題遠遷移題. 遠遷移題.