數感的理論與美塔數感教學法

本節分別探討數感的意義、定義與理論、數感與後設認知之相關性、數感的教學 策略，最後聚焦到本研究使用之美塔數感教學法。

壹、數感的意義、定義與理論

數感(Number Sense)是有別於一般數學的計算能力，而是一種凌駕於數學概念和 數學知識之上，為一數學概念整合和靈活運用之能力(劉逸書，2009)，而學生具有良 好的測驗成績並不代表能在日常生活中運用數學概念來觀察、分析、判斷、推理、或 找到能解決問題的方法，因此有研究指出測驗成績並不代表他們能擁有好的數感能力 (楊德清，1998)，也就是說，強調紙筆測驗的數學教學教給學生的往往只存在於書本 裡，是死的學問，無法實際在生活中發生作用。在十二年國基本教育的技術型高級中 等學校數學的課程綱要中，將數學定位是一種生活應用的工具、是一連串經驗建構的 歷程、更是一種體現終身學習的能力(教育部，2018)；國外學者 Brownell(1935)也 提出，數學學習成就真正測驗的重點不應只在計算能力，而更應該強調具備善用數字 關係的智慧，能適當的理解各種數學情境所代表的實際意義(引自劉逸書，2009)，這 也與我國強調要教給學生帶的走的能力相符合；美國數學教師協會(NCTM，2000)亦強 調發展數感教學為數學教育中相當重要且基本的向度；可以知道數感教育是非常符合 現階段快速變遷的時代中要教給學生的基本能力之一。

數感在不同學者的研究中有不同的定義與詮釋，最早是由 Hope(1987)提出一個 較宏觀的定義：『數感可以是一種對數字及其多樣化使用與解釋的「感覺」，計算時對 正確程度的「了解」，以及使用數字支持論證的「常識」，也可以是產生合理估計、偵 測算術錯誤、選擇最有效的計算程序、與辨識數字組型的「能力」。』Hope 用了數字 感、計算的正確與了解、使用數字論證的常識、以及對數字的後設能力等四個向度來 進行數感的定義，此後眾多研究者雖然對數感有不同的詮釋，但這四個向度的概念多 半可以囊括。到了 1989 年之後，數感的研究更被強調於與真實的生活情境結合 (Schoen,1989；Howden, 1989；Markovits, 1989；楊德清，1997)，學習情境中數字

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的意義化(Resnick, 1989；Reys & Barger, 1991)，以及數感不單純是數字知識，而 是一種思考模式與能力(Kastner, 1989；Sowder, 1992； Reys,1994)，且是能隨著 經驗跟知識發展逐漸成熟的(Howden, 1989；Resnick, 1989)。

除了對數感的定義不盡相同，但也有相當程度的共識，只是對數感的內涵與組成 架構，以及如何量測各家觀點有所異同。相同之處劉逸書(2009)將其歸類為三部分，

第一部分是著重於數字的意義、大小與關係(Thompson & Rathmell, 1989；sowder, 1992；McIntosh, B. Reys & R. Reys, 1992；Mclntosh, Reys, Bana & Farrell，

1997；楊德清，1997；許清揚，2001)，第二部分是運算對數字的影響(Thompson &

Rathmell, 1989；sowder, 1992；Mclntosh, Reys, Reys, Bana & Farrell，1997；

楊德清，1997；許清揚，2001)，第三部分是參考點的選取、心算估算能力與判斷答 案的合理性(Thompson & Rathmell, 1989；Greeno, 1991；McIntosh, B. Reys & R.

Reys, 1992；sowder, 1992；Mclntosh, Reys, Reys, Bana & Farrell，1997；楊德 清，1997；許清揚，2001)；而看法較為分歧之處，例如 McIntosh, B. Reys & R. Reys(1992) 強調數感不同情境下的符號表徵方式，Sowder(1992)提到數感具有解題的多重策略，

而楊德清(1997)認為數感會適時地使用計算工具，另外許清揚(2001)指出數感會有後 設認知監控的能力，這也與 Resnick(1989)認為的數感可以用「更高層次的思考」一 詞來代替，有其異曲同工之妙，也是關於後設認知的部分，也是本研究的重點，故以 下便針對與本研究相關的數感與後設認知的相關文獻來進行文獻探討。

貳、數感與後設認知之相關性

很多學者認為的數感定義，有許多是與後設認知的定義有所相關，例如：Howden (1989)提及數感能力能察覺運算時的錯誤；Resnick(1989)認為的數感可以用「更高 層次的思考」一詞來代替；sowder(1992)亦說明數感是數的一種思考方式，而非數學 知識本身；許清揚(2001)指出數感會有後設認知監控的能力，且 2006 年繼續提出數 感與後設認知能力是相輔相成的；劉逸書(2009)提到數感一種凌駕於數學概念和數學

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知識之上，為一數學概念整合和靈活運用之能力；這些都與後設認知定義的「認知的 認知」，並與監控、調整與整合性思考有關。

另一方面，從數感的培養面來看，很多人對數感都認為是天生的、與生俱來的，

但 Howden (1989)提到數感能力的成長是一種隨著經驗與知識發展、逐漸成熟的過程；

且 Resnick(1989)也有說到數感是可經由努力而改善的，這與後設認知常被誤認為是 先天的、無法改變的誤解如出一轍，曾望超(2004)即提到後設認知能力是可以經由訓 練而提升後設認知能力的。由上述可以了解，數感與後設認知都是屬於高層次的思維 模式，也因此常被誤解為無法藉由後天改變，但其實皆可以藉由不斷持續的練習和覺 察、培養而獲得更多，因此許清陽(2006)即提到，後設認知與數感關係密切，兩者兼 俱發展性與習得性兩種特徵。

除了從定義與培養兩方面來看，數感與後設認知多有雷同之處，另有些學者更將 兩者的內涵加以對應。如第一節後設認知的文獻探討中，後設認知學者對後設認知理 論的分類，大致可以歸類為靜態的「知識部分」與動態的「監控部分」，許清陽(2006) 即將數感與後設認知對照，將數感區分成「數感的後設認知知識」與「數感的後設認 知監控與調節」兩類：其中第一類「數感的後設認知知識」分成三個方面，包括了個 體的數感認知知識、數感認知解題活動和環境的知識、及數感認知活動中的策略知識；

而第二類「數感的後設認知監控與調節」中亦有三個方面：數感後設認知自覺的體驗、

數感後設認知的監控、與數感後設認知的調節。劉逸書(2009)亦將 Hope(1987)對數感 定義的四個向度：「數感可以是一種對數字及其多樣化使用與解釋的感覺」對應到後 設認知的「計畫」(後設認知調節)；「計算時對正確程度的了解」、「偵測算術錯誤」

對應到後設認知的「監控」(後設認知調節)；「產生合理估計」、「選擇最有效的計算 程序」對應到後設認知的「評價」(後設認知調節)；「使用數字支持論證的常識」、「辨 識數字組型的能力」對應到後設認知的「後設經驗」。其他如 sowder(1992)認為解題 之前會先形成「計畫」，Resnick(1989)提到數感會幫助學生思考歷程中自我「調整」，

張漢宜(1997)提到數感學習能增進解題過程中的後設認知能力，以及 McIntosh, B.

Reys & R. Reys(1992)以數感與數字、運算及情境三個主要組成成分而畫出的內部連

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結關係圖(圖 2-10)，皆顯示了數感運作時組成成分之間的連結，後設認知在整個監控 歷程中皆扮演了重要的角色(許清陽，2006)。

圖 2-10 數感主要成分之內在連結

資料來源：許清陽（2006）。國小學童數感理論模式建構與電腦化診斷測驗系統之研 究（未出版之碩士論文）。國立高雄師範大學教育學系，高雄。

由以上可知，數感與後設認知可以說是一體的兩面，也有其同時相對思考的概念，

後設認知學習過程中培養的計畫、監控與調整能力，在數學中亦能相對培養其數感的 能力，使其學習數學從知其然到知其所以然，因此更有意義化，進而能引發其學習數 學之興趣(張漢宜，1997)，故本研究亦以美塔學理論來進行數感教學法，期許能改變 學生對數學的刻板印象，並對數學學習產生興趣。

參、數感的教學策略

NCTM(1991)在其「數學教學課程標準」提及數感的教學應具備三方面：(1)課程 內容要生動活潑有趣、充滿挑戰，(2)形成一個探索並能建構知識的學習環境，(3)藉 由課程內容和教學環境形成班級討論。其他眾多學者亦有提出其類似此三方面教學方 式，例如：Howden(1989)提出了數感教學可使用具體物的操作，藉以引導學生探索數 字、數字運算的奧秘，以及教學過程中提出開放性的問題，進行小組討論或全班討論；

Thornton & Tucker(1989)則建議要發展學生良好的數感，必須以日常生活經驗的實 例，建構數字的意義、瞭解數字的大小、數字的運算以及數字與運算間的關係；

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Greeno(1991)也認為從瞭解事實與過程當中能將數感連結，因而提供學生具體物的操 作可以增進數感能力，且教師必須瞭解學生數感發展的歷程，提供學生學習、討論的 機會，引發其好奇與探索，鼓勵自行建構或討論解題的方法，也強調了參與活動面向；

Sowder & Schappelle（1994）亦整理了數感教學需要包含的四個面向：(1)在所有與 數相關的數學學習及教學都強調建立數感，(2)教室討論有助於數感的提升，(3)數學 是一種分享式的智慧學習，(4)學生在數感教學比在傳統的教室環境下學習到更多的 數學。

而在上述數感教學法中可以看到，除了課程與課室方面之外，Greeno(1991)特別 強調了課程中教師的角色，而 Sowder(1992)亦認為教師必須先瞭解數感的意義、特徵，

才能進一步設計增進數感能力的教學活動，並老師在數感教學中扮演了一個引導者的 角色。研究者認為，教師對數感意義與內涵的了解程度如何，自然會決定教師設計出 的數感教學課程，以及教師在當中是扮演主動教授還是輔助引導的角色，這些都進而 會影響數感教學是否成功。Thornton & Tucker(1989)則主張關於學生的數感發展，

老師的設計與引導很重要，從課程一開始的準備活動，是腦力激盪的活動？或複習昨 天的功課？或提供下次的課程所需的先備知識？到課程進行中的發展活動時，是否能 將新的觀點與先前的知識相結合？是否能提供學生具體操作的機會？是否能將活動 設計與問題能融入現實世界的經驗？或是是否能適當的提問以促進教室討論？有沒 有辦法經常檢核學生是否瞭解教學內容？接著教學後學生獨自練習的時間中，老師從 旁觀察並評估學生是否要再加強或是再重新教一次，到最後的補充課程教師該如何經 營以提升其數感能力，再再都跟教師有多了解數感的意義與內涵有關；Rey(1994)亦 提出教師在數感教學上扮演非常關鍵的角色，並說明了解數感教學的教師應善用過程 問題與數學寫作資料、鼓勵學童發展自己的解題策略與計算方法、幫助學童建立參考

老師的設計與引導很重要，從課程一開始的準備活動，是腦力激盪的活動？或複習昨 天的功課？或提供下次的課程所需的先備知識？到課程進行中的發展活動時，是否能 將新的觀點與先前的知識相結合？是否能提供學生具體操作的機會？是否能將活動 設計與問題能融入現實世界的經驗？或是是否能適當的提問以促進教室討論？有沒 有辦法經常檢核學生是否瞭解教學內容？接著教學後學生獨自練習的時間中，老師從 旁觀察並評估學生是否要再加強或是再重新教一次，到最後的補充課程教師該如何經 營以提升其數感能力，再再都跟教師有多了解數感的意義與內涵有關；Rey(1994)亦 提出教師在數感教學上扮演非常關鍵的角色，並說明了解數感教學的教師應善用過程 問題與數學寫作資料、鼓勵學童發展自己的解題策略與計算方法、幫助學童建立參考