第四章 研究結果與討論
第一節 學生在比與比例式的表現情形
本研究將比與比例式分成四個分年細目，並分別屬性代號 A、B、C、D 表示「能理解比例的意義」、「能做比例式的基本運算」、「能理解連比和連比 例的意義」、「能熟練連比例式的應用」，個別的分年細目再細分其相關內容，
並給於 1、2、3、4 數字表示。「能理解比例的意義」細分出的概念為：A1 觀 察比描述的問題、A2 理解並求比例或比值相關問題、A3 理解並正確判斷正 比、反比的概念；「能做比例式的基本運算」細分出的概念有：B1 理解並計 算比的相等的問題、B2 觀察並描述最簡整數比或比值、B3 做比例式的簡單 運算、B4 能描述並解出比例式的應用問題；「能理解連比和連比例的意義」
細分出的概念為：C1 理解並解決簡易的連比問題、C2 理解連比例式的概念；
「能熟練連比例式的應用」細分出的概念有：D1 理解、計算及求出簡易的 連比例式的問題、D2 能思考並計算出連比例式的應用問題。
本節由比與比例式測驗各題的答對率、S-P 表分析與各概念間的精熟度 來對施測的學生在比與比例式的概念發展上，進行描述性的分析。
一、比與比例式測驗各題的答對率
以下就全體受試學生在本研究自編之比與比例式測驗中各試題的答對 率，探究受試學生在比與比例式的概念發展情況。
表4-1-1 比與比例式測驗各題之答對率
題號 概念屬性代號 答對率 題號 概念屬性代號 答對率
1 A1 .93 13 B1、B3 .79
2 A1 .75 14 B4 .86
3 A2、B2 .96 15 B2、B4 .36 4 A2 .68 16 B2、B4 .46
5 A3 .75 17 C1 .71
6 A2 .96 18 B2、C1、C2 .71
7 A3 .89 19 C1 .82
8 B1 .89 20 B2、C1、C2 .71 9 B1 .89 21 B2、D2 .75 10 A2、B2 .89 22 D1 .86 11 A3、B2、B4 .61 23 A1、A2 .50 12 B1、B3 .86 24 A3、D2 .18
由表 4-1-1 中可發現到，試題中有題號第 15、16 及 24 三題答對率低 於.50，而第 23 題答對率恰等於.50，而這四題的比與比例式的概念屬性如表 4-1-2：
表4-1-2 答對率在.50以下的試題與概念屬性
的部份，求三角形三邊長其邊上的高，此涉及到三邊上的高和三邊長的比成 反比，因此三邊長為 5:6:7，其邊上的高之比為
7 :1 6 :1 5
1 ，再寫成最簡整數比 為 42:35:30，從錯誤類型發現，有多數(43％)的錯誤類型為未有反比的概念，
而將認為其高的比等於邊長的比，亦有少數(11％)的錯誤類型其有反比的想 法，但是其呈現反比的方式是將比的順序反寫，寫為 7:6:5，代表其未將反 比定義和想法，融入實際應用問題中。
二、S-P 表分析
根據受測班級的 28 位學生所收集的作答反應資料，透過認知診斷之測 驗即時服務系統(林原宏、莊宗霖，2007)進行資料分析，以下為 S-P 表分析，
其呈現的 S-P 表和學生學習類型分類及試題品品質分析進行說明。
圖 4-1-1 為 S-P 曲線圖，且經由資料分析後差異係數為 D*=.38，差異係 數未大於.60，因此該測驗試題毋須修改。而學生類型分析及試題品質分析 如下：
圖 4-1-1 S-P 曲線圖
(一)學生學習類型分析
由表 4-1-3 所示，可以發現受試學生經由 S-P 表分群後，各群所佔的人 數和比例。由各類型的人數來看，A’群、B’群與 C’群人數總和共 5 人，約佔 全體人數 18％，由表 4-1-4 也知道，就整體來看學生們的學生注意係數普遍 不高，也表示反應組型不尋常的情況較少。
表4-1-3 S-P表分析各群人數比例
學生學習類型 人數 比例
A 群學習穩定型 12 43％
A’群粗心大意型 3 11％
B 群努力不足型 11 39％
B’群欠缺充分型 1 3.5％
C 群學力不足型 0 0
C’群學習異常型 1 3.5％
總計 28 100％
表4-1-4 學生總分排序表
受測學生編號(S) 得分總分 得分百分比 學生注意係數(CS)
S23 24 100％ .00
S20 24 100％ .00
S4 23 95％ .00
S3 23 95％ .00
S26 23 95％ .32
S8 23 95％ .25
S24 22 91％ .26
S12 22 91％ .26
S14 22 91％ .26
S2 21 87％ .00
S10 21 87％ .03
S27 19 79％ .20
S18 19 79％ .31
S16 18 75％ .32
S9 18 75％ .65
S15 17 70％ .04
S7 17 70％ .34
S17 16 75％ .06
S22 16 75％ .19
S25 16 75％ .54
S6 15 75％ .21
S28 14 75％ .41
S1 13 75％ .15
S11 13 75％ .27
S21 12 75％ .19
S13 12 75％ .25
S19 12 75％ .33
S5 3 75％ .51
(二)試題品質分析
由表 4-1-5 可以看出經由 S-P 表分析後，可看到各類型試題的數量和比 例，發現 A 類優良型試題佔 18 題(75％)，可知道多數的試題相當適當，可 以作區別低成就者與其他學生的不同。另外，由表 4-1-6 中，可以發現多數 試題的注意係數都不高，可以判斷試題異質性成份少，需要修正的題目較少。
表4-1-5 S-P表分析各類型題目和比例
試題類型 題數 比例
A類優良型試題 18 75％
A’類異質型試題 3 12.5％
B類困難型試題 3 12.5％
B’類拙劣型試題 0 0
總計 24 100％
表4-1-6 試題品質分析表
試題(P) 答對人數 答對率 試題注意係數(CP)
P6 27 96％ .00
P3 27 96％ .61
P1 26 96％ .19
P9 25 96％ .04
P7 25 96％ .30
P8 25 96％ .38
P10 25 96％ .87
P12 24 85％ .06
P14 24 85％ .16
P22 24 85％ .25
P19 23 82％ .11
P13 22 78％ .24
P5 21 75％ .29
P21 21 75％ .31
P2 21 75％ .40
P17 20 71％ .02
P18 20 71％ .25
P20 20 71％ .41
P4 19 67％ .66
P11 17 60％ .45
P23 14 50％ .13
P16 13 46％ .05
P15 10 35％ .24
P24 5 17％ .04
三、各概念間的精熟度
經由 S-P 表分析後，將全體受試學生分成 A 群、A’群、B 群、B’群及 C’
群五群，各群其比與比例式概念的精熟度如表 4-1-7。
表4-1-7各群概念屬性精熟度 S-P表各群
概念屬性代號 A 類 A’類 B 類 B’類 C’類 A1 .89 .78 .58 .67 .00 A2 .92 .80 .67 1.00 .60 A3 .73 .92 .43 .75 .00 B1 .98 .92 .80 .75 .00 B2 .89 .88 .49 .50 .00 B3 1.00 .83 .68 1.00 .00 B4 .77 1.00 .30 .50 .00 C1 .96 .92 .55 .50 .00 C2 .92 .83 .55 .50 .00 D1 1.00 .67 .82 1.00 .00 D2 .63 .67 .27 .50 .00
由表 4-1-7 得知，大致上在各群在概念 A2(理解並求比例或比值相關問 題)的精熟度皆在.60 以上，可知道大多數的受試學生對於理解比例或比值的 相關問題都有一定的基礎概念去面對問題；而各群在概念 D2(能思考並計算 出連比例式的應用問題)的精熟度較低，可看出大部份的受試學生對於連比 例的應用問題上，還需要多加練習，以補足概念的不足。
由於各群人數的差異，使得各群在各概念上的精熟度數值，會受到該群 人數多寡而有影響，由表 4-1-3 可知 S-P 表分群後，A 類該群人數有 12 人，
B 類有 11 人，已佔全體人數的 82％，大致上看來，A 群在各概念上的精熟 度皆高於 B 群組；另外 A’群只有 3 人，B’群和 C’群都僅有 1 人，因而這三
群的各概念精熟度數值容易受到群組人數太少而有較大改變，因此，A’群、
B’群和 C’群的精熟度僅供參考，不適宜和其他群作比較。此外，C’群的受 試學生也易有極端數值的呈現，就表 4-1-7 中可看出，其除了概念 A2(理解 並求比例或比值相關問題)的精熟度為.60 外，其餘概念的精熟度皆為.00，是 否有其他因素影響此次施測的表現，可考慮將該位受測學生納入之後的個案 訪談對象，以利於進一步瞭解情況。
第二節 各群學生比與比例式概念詮釋結構比較
將受試學生反應矩陣與試題屬性矩陣輸入 CAISM 軟體後，可由此描繪 出每位受試學生在比與比例式的概念詮釋結構圖，也可經由概念結構圖看到 到這 11 個概念之精熟度。以 .53進行截矩陣後，根據 S-P 表分析後，分 出五群，並從 A 群、B 群各挑選 2 位受試學生，A’群、B’群及 C’群各挑選 1 位受試學生，根據這 7 位受試學生的二元關係矩陣，繪製其個別概念結構 圖，表 4-2-1 為各群抽取之受試學生及其反應組型。
表4-2-1 各群組選取受試者之答題情況
比例式中的概念屬性 A1 至 D2，圓圈內下方的小數則代表受試學生該該概念 的精熟度，精熟度介於 0 和 1 之間，數值愈高，代表受試學生在該概念愈精 熟。
概念數字與概念屬性對照
1 A1 觀察並描述比的問題 7 B4 能描述並解出比例式的應用問題 2 A2 理解並求比例或比值相關問題 8 C1 理解並解決簡易的連比的問題 3 A3 理解並判斷正比、反比的概念 9 C2 理解連比例式的概念
4 B1 理解並計算比的相等的問題 10 D1 理解、計算及求出簡易的連比例式問題 5 B2 觀察並描述最簡整數比或比值 11 D2 能思考並計算出連比例式的應用問題 6 B3 做比例式的簡單運算
圖 4-2-1 受試學生 S20、S10 之概念結構圖(A 群)
特點如下：
(1)受試學生 S20 其概念階層為一層，而受試學生 S10 的概念階層有三層。
(2)受試學生 S20 因為概念全部精熟，故其概念都位於同一層且概念間互有 指向關係，而受試學生 S10 每個概念階有連結的概念，其中可看到該生 概念 4(B1 理解並計算比相等的問題)是概念 6(B3 做比例式的簡單運算)和 概念 10(D1 理解、計算及求出簡易的連比例式問題)的下階概念，即概念 4 的精熟有助於概念 6 和概念 10 的建立，而這也和一般學生在建立比與 比例式的相關概念吻合。首先，會從最初比的相等問題學起，進而學習比 例式的運算、連比例式的概念。
(3)受試學生 S20 的概念精熟度為 1，各個概念都很精熟，而受試學生 S10，
其最底層的概念精熟度為.56 到.57 之間，位於中層的概念精熟度為.53 到.56 之間，位於上層的概念精熟度為.50 到.52，A 群的兩位受試學生其 概念精熟度都在.50 以上，對於概念都有一定的瞭解。
綜上所述，A 群的兩位受試學生，概念精熟度都在.50 以上，且各個概 念間互有連結和指向關係，也由概念結構圖中，可發現 A 群中的受試學生 S10 的概念結構圖，其概念 4(B1 理解並計算比相等的問題)指向概念 6(B3 做比例式的簡單運算)和概念 10(D1 理解、計算及求出簡易的連比例式問 題)，從中能發現到學習比與比例式的概念是循序漸進的，而且越基礎的概 念精熟度越高，會對於後面延伸概念的學習有直接的幫助。
(二)A’群挑選受試學生概念結構圖分析
根據圖 4-2-2，受試學生 S9 其比與比例式概念結構圖，其特點如下：
(1) 概念階層為三層，概念 4(B1 理解並計算比相等的問題)、概念 7(B4 能 描述並解出比例式的應用問題)及概念 8(C1 理解並解決簡易的連比的問 題)位於最底層，而概念 2(A2 理解並求比例或比值相關問題)、概念 10(D1 理解、計算及求出簡易的連比例式問題)及概念 11(D2 能思考並計算出連 比例式的應用問題)位於最上層。
(2)概念間彼此的指向關係較多，每個概念皆有連結概念，其中該生概念 7( B4 能描述並解出比例式的應用問題)指向概念 2(A2 理解並求比例或比值相 關問題)，這與一般比與比例式的概念學習指向關聯不同，可判斷該生可 能有學習不穩定的情況產生或是不專心情況，這也和 S-P 表中 A’群的特 質吻合。
(3)最底層的概念精熟度介於.55 到.57，位於中層概念精熟度介於.51 到.54，
位於最上層的精熟度介於.48 到.49，其各概念的精熟度較 A 組的受試者略 低一些，不過多數的概念仍具有一定的瞭解程度。
綜上所述，各概念間的連結關係還算緊密，各概念都有連結關係，其中 以概念 7( B4 能描述並解出比例式的應用問題)指向概念 2(A2 理解並求比例 或比值相關問題)，故判斷可能該生在學習比與比例式的概念上常有不專心 或是不穩定的情況產生。
概念數字與概念屬性對照
1 A1 觀察並描述比的問題 7 B4 能描述並解出比例式的應用問題 2 A2 理解並求比例或比值相關問題 8 C1 理解並解決簡易的連比的問題 3 A3 理解並判斷正比、反比的概念 9 C2 理解連比例式的概念
4 B1 理解並計算比的相等的問題 10 D1 理解、計算及求出簡易的連比例式問題 5 B2 觀察並描述最簡整數比或比值 11 D2 能思考並計算出連比例式的應用問題 6 B3 做比例式的簡單運算
圖 4-2-2 受試學生 S9 之概念結構圖(A’群)
(三)B 群挑選受試學生概念結構圖比較
根據圖 4-2-3 所示，受試學生 S1 與 S17 其比與比例式概念結構圖，其 特點如下：
(1)受試學生 S1 概念階層分為三層，而受試學生 S17 的概念階層為三層，概 念 4(B1 理解並計算比的相等的問題)皆位於最底層，為多數概念的下階概
(1)受試學生 S1 概念階層分為三層，而受試學生 S17 的概念階層為三層，概 念 4(B1 理解並計算比的相等的問題)皆位於最底層，為多數概念的下階概